2.5: Triángulos isósceles
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En la Sección 1.6, definimos un triángulo para ser isósceles si dos de sus lados son iguales. La figura2.5.1 muestra un triángulo isósceles△ABC conAC=BC. En△ABC decimos que∠A es lado opuestoBC y∠B es lado opuestoAC.

El dato más importante sobre los triángulos isósceles es el siguiente:
Si dos lados de un triángulo son iguales los ángulos opuestos a estos lados son iguales.
Teorema2.5.1 significa que siAC=BC en△ABC entonces∠A=∠B.
Encuentrax:
Solución
AC=BCasí∠A=∠B. Por lo tanto,x=40.
Respuesta:x=40.
En△ABC siAC=BC entonces ladoAB se llama la base del triángulo y∠A y∠B se llaman los ángulos base. Por lo tanto, el Teorema a veces2.5.1 se afirma de la siguiente manera: “Los ángulos de base de un triángulo isósceles son iguales”,
Prueba de Teorema2.5.1: DibujarCD, el ángulo bisectriz de∠ACB (Figura2.5.2). El resto de la prueba se presentará en forma de doble columna. Nosotros hemos dado esoAC=BC y∠ACD=∠BCD. Debemos probarlo∠A=∠B.

Declaraciones | Razones |
---|---|
1. AC=BC. | 1. Dado,△ABC es isósceles. |
2. ∠ACD=∠BCD. | 2. Dado,CD es el ángulo bisectriz de∠ACB. |
3. CD=CD. | 3. Identidad. |
4. △ACD≅△BCD. | 4. SAS=SAS:AC,∠C,CD de△ACD=BC,∠C,CD de△BCD. |
5. ∠A=∠B. | 5. Los ángulos correspondientes de los triángulos congruentes son iguales. |
Encuentrax,∠A,∠B y∠C:
Solución
∠B=∠A=4x+5∘por Teorema2.5.1. We have
∠A+∠B+∠C=180∘4x+5+4x+5+2x−10=18010x=180x=18
∠A=∠B=4x+5∘=4(18)+5∘=72+5∘=77∘.
∠C=2x−10∘=2(18)−10∘=36−10∘=26∘.
Cheque
Contestar
x=18,∠A=77∘,∠B=77∘,∠C=26∘.
En Teorema2.5.1 asumimosAC=BC y probamos∠A=∠B. Ahora vamos a asumir∠A=∠B y probarAC=BC. '1icuando se intercambian la suposición y la conclusión de una declaración, el resultado se llama el inverso de la declaración original.
Si dos ángulos de un triángulo son iguales los lados opuestos estos ángulos son iguales.
Si Figura 4, si∠A=∠B entoncesAC=BC.

Encuentrax
Solución
∠A=∠Bsox=AC=BC=9 por teorema2.5.2.
Contestar
x=9.
Prueba de teorema2.5.2: Draw CD the angle bisector of ∠ACB (Figure 2.5.5). We have ∠ACD=∠BCD and ∠A=∠B. We must prove AC=BC.

Declaraciones | Razones |
---|---|
1. ∠A=∠B. | 1. Dado. |
2. ∠ACD=∠BCD. | 2. Dado. |
3. CD=CD. | 3. Identidad. |
4. △ACD≅△BCD. | 4. AAS=AAS:∠A,∠C,CD de△ACD=∠B,∠C,CD detriangleBCD. |
5. AC=BC. | 5. Los lados correspondientes de los triángulos congruentes son iguales |
Los dos teoremas siguientes son corolarios (consecuencias inmediatas) de los dos teoremas anteriores:
Un triángulo equilátero es equiangular.
En la Figura2.5.7, if AB=AC=BC then ∠A=∠B=∠C.

- Prueba
-
AC=BCso por teorema2.5.1 ∠B=∠C. Therefore ∠A=∠B=∠C.
Dado que la suma del ángulo es180∘ we must have in fact that ∠A=∠B=∠C=60∘.
Un triángulo equiangular es equilátero.
En la Figura2.5.8, if ∠A=∠B=∠C then AB=AC=BC.

- Prueba
-
∠A=∠Bso por teorema2.5.2, AC=BC, ∠B=∠C by Theorem 2.5.2, AB=AC. Therefore AB=AC=BC.
Buscarx,y yAC:
Solución
△ABCes equiangular y así por teorema2.5.4 is equilateral.
Por lo tantoAC=ABx+3y=7x−yx−7x+3y+y=0−6x+4y=0 and AB=BC7x−y=3x+57x−3xy−y=54x−y=5
Tenemos un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas para resolver:
Comprobar:
Respuesta:x=2,y=3,AC=11.
Teorema2.5.1, el teorema del triángulo isósceles, se cree que primero fue probado por Thales (c. 600 B, C,) - es la Proposición 5 en los Elementos de Euclides. La prueba de Euclides es más complicada que la nuestra porque no quiso asumir la existencia de una bisectriz angular, la prueba de Euclides va de la siguiente manera:
Dado△ABC conAC=BC (como en la Figura2.5.1 at the beginning of this section), extend CA to D and CB to E so that AD=BE (Figure 2.5.9). Then △DCB≅△ECA by SAS=SAS. The corresponding sides and angles of the congruent triangles are equal, so DB=EA, ∠3=∠4 and ∠1+∠5=∠2+∠6. Now △ADB≅△BEA by SAS=SAS. This gives ∠5=∠6 and finally ∠1=∠2.

Esta complicada prueba disuadió a muchos estudiantes de seguir estudiando geometría durante el largo período en que los Elementos era el texto estándar, La figura2.5.9 se asemeja a un puente que en la Edad Media se conoció como el “puente de los tontos”, Esto supuestamente se debió a que un tonto podía no espero cruzar este puente y abandonaría la geometría en este punto.
Problemas
Para cada uno de los siguientes estados el (los) teorema (s) utilizado (s) para obtener su respuesta.
1. Encuentrax:
2. Buscarx,∠A, y∠B:
3. Encuentrax:
4. Buscarx,AC, yBC:
5. Encuentrax:
6. Encuentrax:
7. Buscarx,∠A,∠B, y∠C:
8. Buscarx,∠A,∠B, y∠C:
9. Buscarx,AB,AC, yBC:
10. Buscarx,AB,AC, yBC:
11. Buscarx,y, yAC:
12. Buscarx,y, yAC:
13. Encuentrax:
14. Buscarx,y, yz: