Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

2.5: Triángulos isósceles

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

En la Sección 1.6, definimos un triángulo para ser isósceles si dos de sus lados son iguales. La figura2.5.1 muestra un triángulo isóscelesABC conAC=BC. EnABC decimos queA es lado opuestoBC yB es lado opuestoAC.

clipboard_e43133622825a973bd3b9c28191e3b46e.png
Figura2.5.1:ABC es isósceles con AC = BC.

El dato más importante sobre los triángulos isósceles es el siguiente:

Teorema2.5.1

Si dos lados de un triángulo son iguales los ángulos opuestos a estos lados son iguales.

Teorema2.5.1 significa que siAC=BC enABC entoncesA=B.

Ejemplo2.5.1

Encuentrax:

2020-11-01 10.21.58.png

Solución

AC=BCasíA=B. Por lo tanto,x=40.

Respuesta:x=40.

EnABC siAC=BC entonces ladoAB se llama la base del triángulo yA yB se llaman los ángulos base. Por lo tanto, el Teorema a veces2.5.1 se afirma de la siguiente manera: “Los ángulos de base de un triángulo isósceles son iguales”,

Prueba de Teorema2.5.1: DibujarCD, el ángulo bisectriz deACB (Figura2.5.2). El resto de la prueba se presentará en forma de doble columna. Nosotros hemos dado esoAC=BC yACD=BCD. Debemos probarloA=B.

2020-11-01 10.31.41.png
Figura2.5.2: DibujarCD, el ángulo bisectriz deACB.
Declaraciones Razones
1. AC=BC. 1. Dado,ABC es isósceles.
2. ACD=BCD. 2. Dado,CD es el ángulo bisectriz deACB.
3. CD=CD. 3. Identidad.
4. ACDBCD. 4. SAS=SAS:AC,C,CD deACD=BC,C,CD deBCD.
5. A=B. 5. Los ángulos correspondientes de los triángulos congruentes son iguales.
Ejemplo2.5.2

Encuentrax,A,B yC:

2020-11-01 10.36.18.png

Solución

B=A=4x+5por Teorema2.5.1. We have

A+B+C=1804x+5+4x+5+2x10=18010x=180x=18

A=B=4x+5=4(18)+5=72+5=77.

C=2x10=2(18)10=3610=26.

Cheque

2020-11-01 10.44.33.png

Contestar

x=18,A=77,B=77,C=26.

En Teorema2.5.1 asumimosAC=BC y probamosA=B. Ahora vamos a asumirA=B y probarAC=BC. '1icuando se intercambian la suposición y la conclusión de una declaración, el resultado se llama el inverso de la declaración original.

Teorema2.5.2: The Converse of Theorem 2.5.1)

Si dos ángulos de un triángulo son iguales los lados opuestos estos ángulos son iguales.

Si Figura 4, siA=B entoncesAC=BC.

2020-11-01 10.48.05.png
Figura2.5.4. A=B
Ejemplo2.5.3

Encuentrax

2020-11-01 10.49.04.png

Solución

A=Bsox=AC=BC=9 por teorema2.5.2.

Contestar

x=9.

Prueba de teorema2.5.2: Draw CD the angle bisector of ACB (Figure 2.5.5). We have ACD=BCD and A=B. We must prove AC=BC.

2020-11-01 10.50.45.png
Figura2.5.5. Draw CD, the angle bisector of ACB.
Declaraciones Razones
1. A=B. 1. Dado.
2. ACD=BCD. 2. Dado.
3. CD=CD. 3. Identidad.
4. ACDBCD. 4. AAS=AAS:A,C,CD deACD=B,C,CD detriangleBCD.
5. AC=BC. 5. Los lados correspondientes de los triángulos congruentes son iguales

Los dos teoremas siguientes son corolarios (consecuencias inmediatas) de los dos teoremas anteriores:

Teorema2.5.3

Un triángulo equilátero es equiangular.

En la Figura2.5.7, if AB=AC=BC then A=B=C.

2020-11-01 10.58.47.png
Figura2.5.7:ABC es equilátero.
Prueba

AC=BCso por teorema2.5.1 B=C. Therefore A=B=C.

Dado que la suma del ángulo es180 we must have in fact that A=B=C=60.

Teorema2.5.4: The Converse of Theorem 2.5.3)

Un triángulo equiangular es equilátero.

En la Figura2.5.8, if A=B=C then AB=AC=BC.

2020-11-02 11.47.53.png
Figura2.5.8. ABC is equiangular.
Prueba

A=Bso por teorema2.5.2, AC=BC, B=C by Theorem 2.5.2, AB=AC. Therefore AB=AC=BC.

Ejemplo2.5.4

Buscarx,y yAC:

2020-11-02 11.51.13.png

Solución

ABCes equiangular y así por teorema2.5.4 is equilateral.

Por lo tantoAC=ABx+3y=7xyx7x+3y+y=06x+4y=0 and AB=BC7xy=3x+57x3xyy=54xy=5

Tenemos un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas para resolver:

2020-11-02 11.55.24.png

Comprobar:

2020-11-02 11.56.09.png

Respuesta:x=2,y=3,AC=11.

Nota Histórica

Teorema2.5.1, el teorema del triángulo isósceles, se cree que primero fue probado por Thales (c. 600 B, C,) - es la Proposición 5 en los Elementos de Euclides. La prueba de Euclides es más complicada que la nuestra porque no quiso asumir la existencia de una bisectriz angular, la prueba de Euclides va de la siguiente manera:

DadoABC conAC=BC (como en la Figura2.5.1 at the beginning of this section), extend CA to D and CB to E so that AD=BE (Figure 2.5.9). Then DCBECA by SAS=SAS. The corresponding sides and angles of the congruent triangles are equal, so DB=EA, 3=4 and 1+5=2+6. Now ADBBEA by SAS=SAS. This gives 5=6 and finally 1=2.

2020-11-02 12.01.09.png
Figura2.5.9: El “puente de los tontos”.

Esta complicada prueba disuadió a muchos estudiantes de seguir estudiando geometría durante el largo período en que los Elementos era el texto estándar, La figura2.5.9 se asemeja a un puente que en la Edad Media se conoció como el “puente de los tontos”, Esto supuestamente se debió a que un tonto podía no espero cruzar este puente y abandonaría la geometría en este punto.

Problemas

Para cada uno de los siguientes estados el (los) teorema (s) utilizado (s) para obtener su respuesta.

1. Encuentrax:

Screen Shot 2020-11-02 a las 12.06.49 PM.png

2. Buscarx,A, yB:

Screen Shot 2020-11-02 a las 12.07.07 PM.png

3. Encuentrax:

Screen Shot 2020-11-02 a las 12.07.27 PM.png

4. Buscarx,AC, yBC:

Screen Shot 2020-11-02 a las 12.07.40 PM.png

5. Encuentrax:

Screen Shot 2020-11-02 a las 12.08.00 PM.png

6. Encuentrax:

Screen Shot 2020-11-02 a las 12.08.15 PM.png

7. Buscarx,A,B, yC:

Screen Shot 2020-11-02 a las 12.08.31 PM.png

8. Buscarx,A,B, yC:

Screen Shot 2020-11-02 a las 12.08.45 PM.png

9. Buscarx,AB,AC, yBC:

Screen Shot 2020-11-02 a las 12.09.04 PM.png

10. Buscarx,AB,AC, yBC:

Screen Shot 2020-11-02 a las 12.09.43 PM.png

11. Buscarx,y, yAC:

Screen Shot 2020-11-02 a las 12.10.02 PM.png

12. Buscarx,y, yAC:

Screen Shot 2020-11-02 a las 12.10.22 PM.png

13. Encuentrax:

Screen Shot 2020-11-02 a las 12.10.43 PM.png

14. Buscarx,y, yz:

Screen Shot 2020-11-02 a las 12.10.58 PM.png


This page titled 2.5: Triángulos isósceles is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Henry Africk (New York City College of Technology at CUNY Academic Works) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

Support Center

How can we help?