3.1: Paralelogramos
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Un paralelogramo es un cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos (Figura\(\PageIndex{3}\)). Para descubrir sus propiedades, dibujaremos una diagonal, una línea que conecta los vértices opuestos del paralelogramo. En la Figura 4, AC es una diagonal de paralelogramo\(ABCD\). Ahora vamos a probar\(\Delta ABC \cong \Delta CDA\).
| Declaraciones | Razones |
|---|---|
| 1. \(\angle 1 = \angle 2\). | 1. Los ángulos interiores alternos de líneas paralelas\(AB\) y\(CD\) son iguales. |
| 2. \(\angle 3 = \angle 4\). | 2. Los ángulos interiores alternos de líneas paralelas\(BC\) y\(AD\) son iguales. |
| 3. \(AC = AC\). | 3. Identidad. |
| 4. \(\triangle ABC \cong \triangle CDA\). | 4. \(ASA = ASA\). |
| 5. \(AB = CD\),\(BC = DA\). | 5. Los lados correspondientes de los triángulos congruentes son iguales. |
| 6. \(\angle B = \angle D\). | 6. Los ángulos correspondientes de los triángulos congruentes son iguales. |
| 7. \(\angle A = \angle C\). | 7. \(\angle A = \angle 1 +\angle 3 = \angle 2 + \angle 4 = \angle C\)(Añádese los estados 1 y 2). |
Hemos demostrado el siguiente teorema:
Los lados opuestos y los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.
En paralelogramo\(ABCD\) de la Figura\(\PageIndex{5}\),\(AB = CD\),\(AD = BC\),\(\angle A = \angle C\), y\(\angle B = \angle D\).
Buscar\(x\),\(y\),\(r\) y\(s\):
Solución
Por teorema\(\PageIndex{1}\), los lados opuestos y los ángulos opuestos son iguales. De ahí\(x^{\circ} = 120^{\circ}\),\(y^{\circ} = 60^{\circ}, r = 15\), y\(s = 10\).
Respuesta:\(x = 120, y = 60, r = 15, s = 10\).
Encuentra\(x, y, x\) y\(z:\)
Solución
\(w^{\circ} = 115^{\circ}\)ya que los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales. \(x^{\circ} = 180^{\circ} -(w^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - (115^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 145^{\circ} = 35^{\circ}\), porque la suma de los ángulos de\(\triangle ABC\) es\(180^{\circ}\),\(y^{\circ} = 30^{\circ}\) y\(x^{\circ} = x^{\circ} = 35^{\circ}\) porque son ángulos interiores alternos de líneas paralelas.
Respuesta:\(w = 115\),\(x = z = 35\),\(y = 30\).
Buscar\(x\),\(y\), y\(z\):
Solución
\(x = 120\)y\(y = z\) porque los ángulos opuestos son iguales,\(\angle A\) y\(\angle D\) son J suplementarios porque son ángulos interiores en el mismo lado de la transversal de líneas paralelas (forman la letra “C” Teorema\(\PageIndex{3}\), sección 1.4).
Respuesta:\(x = 120, y = z = 60\).
En Ejemplo\(\PageIndex{3}\),\(\angle A\) y\(\angle B\),\(\angle B\) y\(\angle C\),\(\angle C\) y\(\angle D\), y\(\angle D\) y\(\angle A\) se denominan los ángulos sucesivos de paralelogramo\(ABCD\). Ejemplo\(\PageIndex{3}\) sugiere el siguiente teorema:
Los ángulos sucesivos de un paralelogramo son suplementarios.
En la Figura 6,\(\angle A + \angle B = \angle B + \angle C = \angle C + \angle D = \angle D + \angle A = 180^{\circ}\).
Encontrar\(x\),\(\angle A\),\(\angle B\),\(\angle C\), y\(\angle D\).
Solución
\(\angle A\)y\(\angle D\) son complementarios por Teorema\(\PageIndex{2}\).
\[\begin{array} {rcl} {\angle A + \angle D} & = & {180^{\circ}} \\ {x + 2x + 30} & = & {180} \\ {3x + 30} & = & {180} \\ {3x} & = & {180 - 30} \\ {3x} & = & {150} \\ {x} & = & {50} \end{array}\]
\(\angle A = x^{\circ} = 50^{\circ}\)
\(\angle C = \angle A = 50^{\circ}\)
\(\angle D = 2x + 30^{\circ} = 2(50) + 30^{\circ} = 100 + 30^{\circ} = 130^{\circ}\).
\(\angle B = \angle D = 130^{\circ}\).
Comprobar:
Respuesta:\(x = 50\),\(A = 50^{\circ}\),\(B = 130^{\circ}\),\(C = 50^{\circ}\),\(D = 130^{\circ}\).
Supongamos ahora que se dibujan ambas diagonales de paralelogramo (Figura\(\PageIndex{7}\)):
Tenemos\(\angle 1 = \angle 2\) and \(\angle 3 = \angle 4\) (both pairs of angles are alternate interior angles of parallel lines \(AB\) and \(CD\). Also \(AB = CD\) from Theorem\(\PageIndex{1}\). Therefore \(\triangle ABE \cong \triangle CDE\) by \(ASA = ASA\). Since corresponding sides of congruent triangles are equal, \(AE = CE\) and \(DE = BE\). We have proven:
Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí (se cortan entre sí por la mitad).
Buscar\(x, y, AC\), y\(BD\):
Solución
Por Teorema\(\PageIndex{3}\) las diagonales se bisecan entre sí.
\[\begin{array} {rcl} {x} & = & {7} \\ {y} & = & {9} \\ {AC} & = & {9 + 9 = 18} \\ {BD} & = & {7 + 7 = 14} \end{array}\]
Respuesta:\(x = 7, y = 9, AC = 18, BD = 14\).
Buscar\(x, y, AC\), y\(BD\):
Solución
Por Teorema\(\PageIndex{3}\) las diagonales se bisecan entre sí.
\(\begin{array} {rcl} {AE} & = & {CE} \\ {x} & = & {2y + 1} \\ {x - 2y} & = & {1} \end{array}\)\(\begin{array} {rcl} {BE} & = & {DE} \\ {2x - y} & = & {x + 2y} \\ {2x - y - x - 2y} & = & {0} \\ {x - 3y} & = & {0} \end{array}\)
Comprobar:
Respuesta:\(x = 3, y = 1, AC = 6, BD = 10\).
Buscar\(x, y, \angle A, \angle B, \angle C\), y\(\angle D\):
Solución
Por teorema\(\PageIndex{2}\):
\(\begin{array} {rcl} {\angle A + \angle B} & = & {180^{\circ}} \\ {4y + 6 + 12y - 2} & = & {180} \\ {16y + 4} & = & {180} \\ {16y} & = & {180 - 4} \\ {16y} & = & {176} \\ {y} & = & {11} \end{array}\)y\(\begin{array} {rcl} {\angle C + \angle D} & = & {180^{\circ}} \\ {6x - 4 + 15x - 5} & = & {180} \\ {21x - 9} & = & {180} \\ {21x} & = & {180 + 9} \\ {21x} & = & {189} \\ {x} & = & {9} \end{array}\)
Comprobar:
Respuesta:\(x = 9, y = 11, \angle A = \angle C = 50^{\circ}, \angle B = \angle D = 130^{\circ}\).
Problemas
Para cada uno de los siguientes estados cualquier teorema utilizado en la obtención de su (s) respuesta (s):
1. Buscar\(x, y, r\), y\(s\):
2. Buscar\(x, y, r\), y\(s\):
3. Buscar\(w, x, y\), y\(z\):
4. Buscar\(w, x, y\), y\(z\):
5. Buscar\(x, y\), y\(z\):
6. Buscar\(x, y\), y\(z\):
7. Buscar\(x, \angle A, \angle B, \angle C\), y\(\angle D\):
8. Buscar\(x, \angle A, \angle B, \angle C\), y\(\angle D\):
9. Buscar\(x, y, AC\), y\(BD\):
10. Buscar\(x, y, AC\), y\(BD\):
11. Buscar\(x, AB\), y\(CD\):
12. Buscar\(x, AD\), y\(BC\):
13. Buscar\(x, y, AB, BC, CD\), y\(AD\):
14. Buscar\(x, y, AB, BC, CD\), y\(AD\):
15. Buscar\(x, y, AC\), y\(BD\):
16. Buscar\(x, y, AC\), y\(BD\):
17. Buscar\(x, y, \angle A, \angle B, \angle C\), y\(\angle D\):
18. Buscar\(x, y, \angle A, \angle B, \angle C\), y\(\angle D\):
