Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

3.1: Paralelogramos

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Un polígono es una figura formada por segmentos de línea que delimitan una parte del plano (Figura3.1.1), Los segmentos de línea delimitadora se denominan los lados del polígono, Los ángulos formados por los lados son los ángulos del polígono y los vértices de estos ángulos son los vértices del polígono, El polígono más simple es el triángulo, que tiene 3 lados, En este capítulo estudiaremos el cuadrilátero, el polígono con 4 lados (Figura3.1.2). Otros polígonos son el pentágono (5 lados), el hexágono (6 lados), el octágono (8 lados) y el decágono (10 lados).

clipboard_e1879ffba8f6cb9220b97f00be77815cc.png
Figura3.1.1: Un polígono
clipboard_edebd558f73eb7c9d493d2a0070b23601.png
Figura3.1.2: Un cuadrilátero
clipboard_e430097fdd6453a7c8307faa5440ef96e.png
Figura3.1.3: Un paralelogramo.

Un paralelogramo es un cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos (Figura3.1.3). Para descubrir sus propiedades, dibujaremos una diagonal, una línea que conecta los vértices opuestos del paralelogramo. En la Figura 4, AC es una diagonal de paralelogramoABCD. Ahora vamos a probarΔABCΔCDA.

clipboard_e42912c3689cfd7a225b899562fd5cf82.png
Figura3.1.4: DiagonalAC divide el paralelogramoABCD en dos triángulos congruentes.
Declaraciones Razones
1. 1=2. 1. Los ángulos interiores alternos de líneas paralelasAB yCD son iguales.
2. 3=4. 2. Los ángulos interiores alternos de líneas paralelasBC yAD son iguales.
3. AC=AC. 3. Identidad.
4. ABCCDA. 4. ASA=ASA.
5. AB=CD,BC=DA. 5. Los lados correspondientes de los triángulos congruentes son iguales.
6. B=D. 6. Los ángulos correspondientes de los triángulos congruentes son iguales.
7. A=C. 7. A=1+3=2+4=C(Añádese los estados 1 y 2).

Hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema3.1.1

Los lados opuestos y los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.

En paralelogramoABCD de la Figura3.1.5,AB=CD,AD=BC,A=C, yB=D.

clipboard_e820eb15d6cddb0da9e5c52282638da3b.png
Figura3.1.5: Los lados opuestos y los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.
Ejemplo3.1.1

Buscarx,y,r ys:

clipboard_ebff146676a9cb2cf865e63954df141f7.png

Solución

Por teorema3.1.1, los lados opuestos y los ángulos opuestos son iguales. De ahíx=120,y=60,r=15, ys=10.

Respuesta:x=120,y=60,r=15,s=10.

Ejemplo3.1.2

Encuentrax,y,x yz:

2020-11-10 8.07.08.png

Solución

w=115ya que los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales. x=180(w+30)=180(115+30)=180145=35, porque la suma de los ángulos deABC es180,y=30 yx=x=35 porque son ángulos interiores alternos de líneas paralelas.

Respuesta:w=115,x=z=35,y=30.

Ejemplo3.1.3

Buscarx,y, yz:

2020-11-10 8.12.15.png

Solución

x=120yy=z porque los ángulos opuestos son iguales,A yD son J suplementarios porque son ángulos interiores en el mismo lado de la transversal de líneas paralelas (forman la letra “C” Teorema3.1.3, sección 1.4).

Respuesta:x=120,y=z=60.

En Ejemplo3.1.3,A yB,B yC,C yD, yD yA se denominan los ángulos sucesivos de paralelogramoABCD. Ejemplo3.1.3 sugiere el siguiente teorema:

Teorema3.1.2

Los ángulos sucesivos de un paralelogramo son suplementarios.

En la Figura 6,A+B=B+C=C+D=D+A=180.

2020-11-10 8.19.16.png
Figura3.1.6, Los ángulos sucesivos de paralelogramoABCD son suplementarios.
Ejemplo3.1.4

Encontrarx,A,B,C, yD.

2020-11-10 8.22.16.png

Solución

AyD son complementarios por Teorema3.1.2.

A+D=180x+2x+30=1803x+30=1803x=180303x=150x=50

A=x=50

C=A=50

D=2x+30=2(50)+30=100+30=130.

B=D=130.

Comprobar:

2020-11-10 8.28.57.png

Respuesta:x=50,A=50,B=130,C=50,D=130.

Supongamos ahora que se dibujan ambas diagonales de paralelogramo (Figura3.1.7):

2020-11-10 8.32.56.png
Figura3.1.7. Parallelogram ABCD with diagonals AC and BD.

Tenemos1=2 and 3=4 (both pairs of angles are alternate interior angles of parallel lines AB and CD. Also AB=CD from Theorem3.1.1. Therefore ABECDE by ASA=ASA. Since corresponding sides of congruent triangles are equal, AE=CE and DE=BE. We have proven:

Teorema3.1.3

Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí (se cortan entre sí por la mitad).

2020-11-10 8.40.46.png
Figura3.1.8. The diagonals of parallelogram ABCD bisect each other.
Ejemplo3.1.5

Buscarx,y,AC, yBD:

2020-11-10 8.42.48.png

Solución

Por Teorema3.1.3 las diagonales se bisecan entre sí.

x=7y=9AC=9+9=18BD=7+7=14

Respuesta:x=7,y=9,AC=18,BD=14.

Ejemplo3.1.6

Buscarx,y,AC, yBD:

2020-11-10 8.45.49.png

Solución

Por Teorema3.1.3 las diagonales se bisecan entre sí.

AE=CEx=2y+1x2y=1BE=DE2xy=x+2y2xyx2y=0x3y=0

2020-11-10 8.49.22.png

Comprobar:

2020-11-10 8.50.14.png

Respuesta:x=3,y=1,AC=6,BD=10.

Ejemplo3.1.7

Buscarx,y,A,B,C, yD:

2020-11-10 8.52.21.png

Solución

Por teorema3.1.2:

A+B=1804y+6+12y2=18016y+4=18016y=180416y=176y=11yC+D=1806x4+15x5=18021x9=18021x=180+921x=189x=9

Comprobar:

2020-11-10 9.01.10.png

Respuesta:x=9,y=11,A=C=50,B=D=130.

Problemas

Para cada uno de los siguientes estados cualquier teorema utilizado en la obtención de su (s) respuesta (s):

1. Buscarx,y,r, ys:

Screen Shot 2020-11-10 a las 9.12.28 PM.png

2. Buscarx,y,r, ys:

Screen Shot 2020-11-10 a las 10.57.48 PM.png

3. Buscarw,x,y, yz:

Screen Shot 2020-11-10 a las 10.58.04 PM.png

4. Buscarw,x,y, yz:

Screen Shot 2020-11-10 a las 10.58.26 PM.png

5. Buscarx,y, yz:

Screen Shot 2020-11-10 a las 10.58.49 PM.png

6. Buscarx,y, yz:

Screen Shot 2020-11-10 a las 10.59.10 PM.png

7. Buscarx,A,B,C, yD:

Screen Shot 2020-11-10 a las 10.59.45 PM.png

8. Buscarx,A,B,C, yD:

Screen Shot 2020-11-10 a las 11.00.10 PM.png

9. Buscarx,y,AC, yBD:

Screen Shot 2020-11-10 a las 11.00.29 PM.png

10. Buscarx,y,AC, yBD:

Screen Shot 2020-11-10 a las 11.00.48 PM.png

11. Buscarx,AB, yCD:

Screen Shot 2020-11-10 al 11.01.11 PM.png

12. Buscarx,AD, yBC:

Screen Shot 2020-11-10 al 11.01.24 PM.png

13. Buscarx,y,AB,BC,CD, yAD:

Screen Shot 2020-11-10 al 11.01.39 PM.png

14. Buscarx,y,AB,BC,CD, yAD:

Screen Shot 2020-11-10 al 11.01.56 PM.png

15. Buscarx,y,AC, yBD:

Screen Shot 2020-11-10 al 11.03.41 PM.png

16. Buscarx,y,AC, yBD:

Screen Shot 2020-11-10 al 11.03.59 PM.png

17. Buscarx,y,A,B,C, yD:

Screen Shot 2020-11-10 al 11.04.17 PM.png

18. Buscarx,y,A,B,C, yD:

Screen Shot 2020-11-10 al 11.04.37 PM.png


This page titled 3.1: Paralelogramos is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Henry Africk (New York City College of Technology at CUNY Academic Works) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

Support Center

How can we help?