3.1: Paralelogramos

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Un polígono es una figura formada por segmentos de línea que delimitan una parte del plano (Figura$\PageIndex{1}$), Los segmentos de línea delimitadora se denominan los lados del polígono, Los ángulos formados por los lados son los ángulos del polígono y los vértices de estos ángulos son los vértices del polígono, El polígono más simple es el triángulo, que tiene 3 lados, En este capítulo estudiaremos el cuadrilátero, el polígono con 4 lados (Figura$\PageIndex{2}$). Otros polígonos son el pentágono (5 lados), el hexágono (6 lados), el octágono (8 lados) y el decágono (10 lados).

Figura$\PageIndex{3}$: Un paralelogramo.

Un paralelogramo es un cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos (Figura$\PageIndex{3}$). Para descubrir sus propiedades, dibujaremos una diagonal, una línea que conecta los vértices opuestos del paralelogramo. En la Figura 4, AC es una diagonal de paralelogramo$ABCD$. Ahora vamos a probar$\Delta ABC \cong \Delta CDA$.

Figura$\PageIndex{4}$: Diagonal$AC$ divide el paralelogramo$ABCD$ en dos triángulos congruentes.

Declaraciones	Razones
1. $\angle 1 = \angle 2$.	1. Los ángulos interiores alternos de líneas paralelas$AB$ y$CD$ son iguales.
2. $\angle 3 = \angle 4$.	2. Los ángulos interiores alternos de líneas paralelas$BC$ y$AD$ son iguales.
3. $AC = AC$.	3. Identidad.
4. $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.	4. $ASA = ASA$.
5. $AB = CD$,$BC = DA$.	5. Los lados correspondientes de los triángulos congruentes son iguales.
6. $\angle B = \angle D$.	6. Los ángulos correspondientes de los triángulos congruentes son iguales.
7. $\angle A = \angle C$.	7. $\angle A = \angle 1 +\angle 3 = \angle 2 + \angle 4 = \angle C$(Añádese los estados 1 y 2).

Hemos demostrado el siguiente teorema:

Teorema$\PageIndex{1}$

Los lados opuestos y los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.

En paralelogramo$ABCD$ de la Figura$\PageIndex{5}$,$AB = CD$,$AD = BC$,$\angle A = \angle C$, y$\angle B = \angle D$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Buscar$x$,$y$,$r$ y$s$:

$clipboard_ebff146676a9cb2cf865e63954df141f7.png$

Solución

Por teorema$\PageIndex{1}$, los lados opuestos y los ángulos opuestos son iguales. De ahí$x^{\circ} = 120^{\circ}$,$y^{\circ} = 60^{\circ}, r = 15$, y$s = 10$.

Respuesta:$x = 120, y = 60, r = 15, s = 10$.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Encuentra$x, y, x$ y$z:$

$2020-11-10 8.07.08.png$

Solución

$w^{\circ} = 115^{\circ}$ya que los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales. $x^{\circ} = 180^{\circ} -(w^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - (115^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 145^{\circ} = 35^{\circ}$, porque la suma de los ángulos de$\triangle ABC$ es$180^{\circ}$,$y^{\circ} = 30^{\circ}$ y$x^{\circ} = x^{\circ} = 35^{\circ}$ porque son ángulos interiores alternos de líneas paralelas.

Respuesta:$w = 115$,$x = z = 35$,$y = 30$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Buscar$x$,$y$, y$z$:

$2020-11-10 8.12.15.png$

Solución

$x = 120$y$y = z$ porque los ángulos opuestos son iguales,$\angle A$ y$\angle D$ son J suplementarios porque son ángulos interiores en el mismo lado de la transversal de líneas paralelas (forman la letra “C” Teorema$\PageIndex{3}$, sección 1.4).

Respuesta:$x = 120, y = z = 60$.

En Ejemplo$\PageIndex{3}$,$\angle A$ y$\angle B$,$\angle B$ y$\angle C$,$\angle C$ y$\angle D$, y$\angle D$ y$\angle A$ se denominan los ángulos sucesivos de paralelogramo$ABCD$. Ejemplo$\PageIndex{3}$ sugiere el siguiente teorema:

Teorema$\PageIndex{2}$

Los ángulos sucesivos de un paralelogramo son suplementarios.

En la Figura 6,$\angle A + \angle B = \angle B + \angle C = \angle C + \angle D = \angle D + \angle A = 180^{\circ}$.

2020-11-10 8.19.16.png — Figura$\PageIndex{6}$, Los ángulos sucesivos de paralelogramo$ABCD$ son suplementarios.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Encontrar$x$,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$, y$\angle D$.

$2020-11-10 8.22.16.png$

Solución

$\angle A$y$\angle D$ son complementarios por Teorema$\PageIndex{2}$.

\[\begin{array} {rcl} {\angle A + \angle D} & = & {180^{\circ}} \\ {x + 2x + 30} & = & {180} \\ {3x + 30} & = & {180} \\ {3x} & = & {180 - 30} \\ {3x} & = & {150} \\ {x} & = & {50} \end{array}\]

$\angle A = x^{\circ} = 50^{\circ}$

$\angle C = \angle A = 50^{\circ}$

$\angle D = 2x + 30^{\circ} = 2(50) + 30^{\circ} = 100 + 30^{\circ} = 130^{\circ}$.

$\angle B = \angle D = 130^{\circ}$.

Comprobar:

$2020-11-10 8.28.57.png$

Respuesta:$x = 50$,$A = 50^{\circ}$,$B = 130^{\circ}$,$C = 50^{\circ}$,$D = 130^{\circ}$.

Supongamos ahora que se dibujan ambas diagonales de paralelogramo (Figura$\PageIndex{7}$):

2020-11-10 8.32.56.png — Figura$\PageIndex{7}$. Parallelogram $ABCD$ with diagonals $AC$ and $BD$.

Tenemos$\angle 1 = \angle 2$ and $\angle 3 = \angle 4$ (both pairs of angles are alternate interior angles of parallel lines $AB$ and $CD$. Also $AB = CD$ from Theorem$\PageIndex{1}$. Therefore $\triangle ABE \cong \triangle CDE$ by $ASA = ASA$. Since corresponding sides of congruent triangles are equal, $AE = CE$ and $DE = BE$. We have proven:

Teorema$\PageIndex{3}$

Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí (se cortan entre sí por la mitad).

2020-11-10 8.40.46.png — Figura$\PageIndex{8}$. The diagonals of parallelogram $ABCD$ bisect each other.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Buscar$x, y, AC$, y$BD$:

$2020-11-10 8.42.48.png$

Solución

Por Teorema$\PageIndex{3}$ las diagonales se bisecan entre sí.

\[\begin{array} {rcl} {x} & = & {7} \\ {y} & = & {9} \\ {AC} & = & {9 + 9 = 18} \\ {BD} & = & {7 + 7 = 14} \end{array}\]

Respuesta:$x = 7, y = 9, AC = 18, BD = 14$.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Buscar$x, y, AC$, y$BD$:

$2020-11-10 8.45.49.png$

Solución

Por Teorema$\PageIndex{3}$ las diagonales se bisecan entre sí.

$\begin{array} {rcl} {AE} & = & {CE} \\ {x} & = & {2y + 1} \\ {x - 2y} & = & {1} \end{array}$$\begin{array} {rcl} {BE} & = & {DE} \\ {2x - y} & = & {x + 2y} \\ {2x - y - x - 2y} & = & {0} \\ {x - 3y} & = & {0} \end{array}$

$2020-11-10 8.49.22.png$

Comprobar:

$2020-11-10 8.50.14.png$

Respuesta:$x = 3, y = 1, AC = 6, BD = 10$.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Buscar$x, y, \angle A, \angle B, \angle C$, y$\angle D$:

$2020-11-10 8.52.21.png$

Solución

Por teorema$\PageIndex{2}$:

$\begin{array} {rcl} {\angle A + \angle B} & = & {180^{\circ}} \\ {4y + 6 + 12y - 2} & = & {180} \\ {16y + 4} & = & {180} \\ {16y} & = & {180 - 4} \\ {16y} & = & {176} \\ {y} & = & {11} \end{array}$y$\begin{array} {rcl} {\angle C + \angle D} & = & {180^{\circ}} \\ {6x - 4 + 15x - 5} & = & {180} \\ {21x - 9} & = & {180} \\ {21x} & = & {180 + 9} \\ {21x} & = & {189} \\ {x} & = & {9} \end{array}$

Comprobar:

$2020-11-10 9.01.10.png$

Respuesta:$x = 9, y = 11, \angle A = \angle C = 50^{\circ}, \angle B = \angle D = 130^{\circ}$.

Problemas

Para cada uno de los siguientes estados cualquier teorema utilizado en la obtención de su (s) respuesta (s):

1. Buscar$x, y, r$, y$s$:

$Screen Shot 2020-11-10 a las 9.12.28 PM.png$

2. Buscar$x, y, r$, y$s$:

$Screen Shot 2020-11-10 a las 10.57.48 PM.png$

3. Buscar$w, x, y$, y$z$:

$Screen Shot 2020-11-10 a las 10.58.04 PM.png$

4. Buscar$w, x, y$, y$z$:

$Screen Shot 2020-11-10 a las 10.58.26 PM.png$

5. Buscar$x, y$, y$z$:

$Screen Shot 2020-11-10 a las 10.58.49 PM.png$

6. Buscar$x, y$, y$z$:

$Screen Shot 2020-11-10 a las 10.59.10 PM.png$

7. Buscar$x, \angle A, \angle B, \angle C$, y$\angle D$:

$Screen Shot 2020-11-10 a las 10.59.45 PM.png$

8. Buscar$x, \angle A, \angle B, \angle C$, y$\angle D$:

$Screen Shot 2020-11-10 a las 11.00.10 PM.png$

9. Buscar$x, y, AC$, y$BD$:

$Screen Shot 2020-11-10 a las 11.00.29 PM.png$

10. Buscar$x, y, AC$, y$BD$:

$Screen Shot 2020-11-10 a las 11.00.48 PM.png$

11. Buscar$x, AB$, y$CD$:

$Screen Shot 2020-11-10 al 11.01.11 PM.png$

12. Buscar$x, AD$, y$BC$:

$Screen Shot 2020-11-10 al 11.01.24 PM.png$

13. Buscar$x, y, AB, BC, CD$, y$AD$:

$Screen Shot 2020-11-10 al 11.01.39 PM.png$

14. Buscar$x, y, AB, BC, CD$, y$AD$:

$Screen Shot 2020-11-10 al 11.01.56 PM.png$

15. Buscar$x, y, AC$, y$BD$:

$Screen Shot 2020-11-10 al 11.03.41 PM.png$

16. Buscar$x, y, AC$, y$BD$:

$Screen Shot 2020-11-10 al 11.03.59 PM.png$

17. Buscar$x, y, \angle A, \angle B, \angle C$, y$\angle D$:

$Screen Shot 2020-11-10 al 11.04.17 PM.png$

18. Buscar$x, y, \angle A, \angle B, \angle C$, y$\angle D$:

$Screen Shot 2020-11-10 al 11.04.37 PM.png$

Declaraciones	Razones
1. \(\angle 1 = \angle 2\).	1. Los ángulos interiores alternos de líneas paralelas\(AB\) y\(CD\) son iguales.
2. \(\angle 3 = \angle 4\).	2. Los ángulos interiores alternos de líneas paralelas\(BC\) y\(AD\) son iguales.
3. \(AC = AC\).	3. Identidad.
4. \(\triangle ABC \cong \triangle CDA\).	4. \(ASA = ASA\).
5. \(AB = CD\),\(BC = DA\).	5. Los lados correspondientes de los triángulos congruentes son iguales.
6. \(\angle B = \angle D\).	6. Los ángulos correspondientes de los triángulos congruentes son iguales.
7. \(\angle A = \angle C\).	7. \(\angle A = \angle 1 +\angle 3 = \angle 2 + \angle 4 = \angle C\)(Añádese los estados 1 y 2).

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Problemas