3.1: Paralelogramos
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Un polígono es una figura formada por segmentos de línea que delimitan una parte del plano (Figura3.1.1), Los segmentos de línea delimitadora se denominan los lados del polígono, Los ángulos formados por los lados son los ángulos del polígono y los vértices de estos ángulos son los vértices del polígono, El polígono más simple es el triángulo, que tiene 3 lados, En este capítulo estudiaremos el cuadrilátero, el polígono con 4 lados (Figura3.1.2). Otros polígonos son el pentágono (5 lados), el hexágono (6 lados), el octágono (8 lados) y el decágono (10 lados).



Un paralelogramo es un cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos (Figura3.1.3). Para descubrir sus propiedades, dibujaremos una diagonal, una línea que conecta los vértices opuestos del paralelogramo. En la Figura 4, AC es una diagonal de paralelogramoABCD. Ahora vamos a probarΔABC≅ΔCDA.

Declaraciones | Razones |
---|---|
1. ∠1=∠2. | 1. Los ángulos interiores alternos de líneas paralelasAB yCD son iguales. |
2. ∠3=∠4. | 2. Los ángulos interiores alternos de líneas paralelasBC yAD son iguales. |
3. AC=AC. | 3. Identidad. |
4. △ABC≅△CDA. | 4. ASA=ASA. |
5. AB=CD,BC=DA. | 5. Los lados correspondientes de los triángulos congruentes son iguales. |
6. ∠B=∠D. | 6. Los ángulos correspondientes de los triángulos congruentes son iguales. |
7. ∠A=∠C. | 7. ∠A=∠1+∠3=∠2+∠4=∠C(Añádese los estados 1 y 2). |
Hemos demostrado el siguiente teorema:
Los lados opuestos y los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales.
En paralelogramoABCD de la Figura3.1.5,AB=CD,AD=BC,∠A=∠C, y∠B=∠D.

Buscarx,y,r ys:
Solución
Por teorema3.1.1, los lados opuestos y los ángulos opuestos son iguales. De ahíx∘=120∘,y∘=60∘,r=15, ys=10.
Respuesta:x=120,y=60,r=15,s=10.
Encuentrax,y,x yz:
Solución
w∘=115∘ya que los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales. x∘=180∘−(w∘+30∘)=180∘−(115∘+30∘)=180∘−145∘=35∘, porque la suma de los ángulos de△ABC es180∘,y∘=30∘ yx∘=x∘=35∘ porque son ángulos interiores alternos de líneas paralelas.
Respuesta:w=115,x=z=35,y=30.
Buscarx,y, yz:
Solución
x=120yy=z porque los ángulos opuestos son iguales,∠A y∠D son J suplementarios porque son ángulos interiores en el mismo lado de la transversal de líneas paralelas (forman la letra “C” Teorema3.1.3, sección 1.4).
Respuesta:x=120,y=z=60.
En Ejemplo3.1.3,∠A y∠B,∠B y∠C,∠C y∠D, y∠D y∠A se denominan los ángulos sucesivos de paralelogramoABCD. Ejemplo3.1.3 sugiere el siguiente teorema:
Los ángulos sucesivos de un paralelogramo son suplementarios.
En la Figura 6,∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180∘.

Encontrarx,∠A,∠B,∠C, y∠D.
Solución
∠Ay∠D son complementarios por Teorema3.1.2.
∠A+∠D=180∘x+2x+30=1803x+30=1803x=180−303x=150x=50
∠A=x∘=50∘
∠C=∠A=50∘
∠D=2x+30∘=2(50)+30∘=100+30∘=130∘.
∠B=∠D=130∘.
Comprobar:
Respuesta:x=50,A=50∘,B=130∘,C=50∘,D=130∘.
Supongamos ahora que se dibujan ambas diagonales de paralelogramo (Figura3.1.7):

Tenemos∠1=∠2 and ∠3=∠4 (both pairs of angles are alternate interior angles of parallel lines AB and CD. Also AB=CD from Theorem3.1.1. Therefore △ABE≅△CDE by ASA=ASA. Since corresponding sides of congruent triangles are equal, AE=CE and DE=BE. We have proven:
Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí (se cortan entre sí por la mitad).

Buscarx,y,AC, yBD:
Solución
Por Teorema3.1.3 las diagonales se bisecan entre sí.
x=7y=9AC=9+9=18BD=7+7=14
Respuesta:x=7,y=9,AC=18,BD=14.
Buscarx,y,AC, yBD:
Solución
Por Teorema3.1.3 las diagonales se bisecan entre sí.
AE=CEx=2y+1x−2y=1BE=DE2x−y=x+2y2x−y−x−2y=0x−3y=0
Comprobar:
Respuesta:x=3,y=1,AC=6,BD=10.
Buscarx,y,∠A,∠B,∠C, y∠D:
Solución
Por teorema3.1.2:
∠A+∠B=180∘4y+6+12y−2=18016y+4=18016y=180−416y=176y=11y∠C+∠D=180∘6x−4+15x−5=18021x−9=18021x=180+921x=189x=9
Comprobar:
Respuesta:x=9,y=11,∠A=∠C=50∘,∠B=∠D=130∘.
Problemas
Para cada uno de los siguientes estados cualquier teorema utilizado en la obtención de su (s) respuesta (s):
1. Buscarx,y,r, ys:
2. Buscarx,y,r, ys:
3. Buscarw,x,y, yz:
4. Buscarw,x,y, yz:
5. Buscarx,y, yz:
6. Buscarx,y, yz:
7. Buscarx,∠A,∠B,∠C, y∠D:
8. Buscarx,∠A,∠B,∠C, y∠D:
9. Buscarx,y,AC, yBD:
10. Buscarx,y,AC, yBD:
11. Buscarx,AB, yCD:
12. Buscarx,AD, yBC:
13. Buscarx,y,AB,BC,CD, yAD:
14. Buscarx,y,AB,BC,CD, yAD:
15. Buscarx,y,AC, yBD:
16. Buscarx,y,AC, yBD:
17. Buscarx,y,∠A,∠B,∠C, y∠D:
18. Buscarx,y,∠A,∠B,∠C, y∠D: