4.4: Diferenciales
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
En la Sección 2.2 exploramos el significado y uso de la derivada. Esta sección comienza revisitando algunas de esas ideas.
Recordemos que la derivada de una funciónf puede ser utilizada para encontrar las pendientes de líneas tangentes a la gráfica def. Atx=c, la línea tangente a la gráfica def tiene ecuación
$$y = f' (c) (x-c) +f (c).\]
La línea tangente se puede utilizar para encontrar buenas aproximaciones def(x) para valores dex cercac.
Por ejemplo, podemos aproximarnossin1.1 usando la línea tangente a la gráfica def(x)=sinx enx=π/3≈1.05. Recall thatsin(π/3)=√3/2≈0.866, ycos(π/3)=1/2. Así, la línea tangente af(x)=sinx atx=π/3 es:
$$\ ell (x) =\ frac12 (x-\ pi/3) +0.866.\]
Figura4.4.1: Gráficaf(x)=sinx y su línea tangentex=π/3 en para estimarsin1.1.
En la Figura4.4.1a, vemos un gráfico def(x)=sinx graficado junto con su línea tangente enx=π/3. El rectángulo pequeño muestra la región que se muestra en la Figura4.4.1b. En esta figura, vemos cómo nos estamos aproximandosin1.1 con la línea tangente, evaluada en1.1. En conjunto, las dos cifras muestran lo cerca que están estos valores.
Usando esta línea para aproximarsin1.1, tenemos:
ℓ(1.1)=12(1.1−π/3)+0.866=12(0.053)+0.866=0.8925.
(Dejamos al lector ver qué tan buena aproximación es esta.)
Ahora generalizamos este concepto. Dadof(x) y unx valor —valorc, la línea tangente esℓ(x)=f′(c)(x−c)+f(c). Claramente,f(c)=ℓ(c). DejarΔx ser un número pequeño, que representa un pequeño cambio en elx valor. Aafirmamos que:
$$f (c+\ Delta x)\ aprox\ ell (c+\ Delta x),\]
ya que la línea tangente a una función se aproxima bien a los valores de esa función cercax=c.
A medida que elx valor cambia dec ac+Δx, ely valor def los cambios def(c) af(c+Δx). A esto lo llamamos cambio dey valorΔy. Es decir:
$$\ Delta y = f (c+\ Delta x) -f (c).\]
Sustituyendof(c+Δx) con su aproximación de línea tangente, tenemos
Δy≈ℓ(c+Δx)−f(c)=f′(c)((c+Δx)−c)+f(c)−f(c)=f′(c)Δx
Esta ecuación final es importante; volveremos a ella en la Idea Clave 7.
Introducimos dos nuevas variables,dx ydy en el contexto de una definición formal.
Definición: Diferenciales dex and y.
Quey=f(x) sean diferenciables. El diferencial dex, denotadodx, es cualquier número real distinto de cero (generalmente tomado como un número pequeño). El diferencial dey, denotadody, es
dy=f′(x)dx.
Podemos resolver paraf′(x) en la ecuación anterior:f′(x)=dy/dx. Esto establece que la derivada def con respecto ax es el diferencial dey dividido por el diferencial dex; esta no es la notación alternativa para la derivada,dydx. Esta última notación se eligió por las cualidades fraccionadas de la derivada, pero nuevamente, es un símbolo y no una fracción.
Es útil organizar nuestros nuevos conceptos y notaciones en un solo lugar.
Idea Clave 7: Notación Diferencial
Dejary=f(x) ser una función diferenciable.
- Δxrepresenta un pequeño cambio distinto de cero en elx valor.
- dxrepresenta un pequeño cambio distinto de cero en elx valor (es decir,Δx=dx).
- Δyes el cambio dey valor comox cambios porΔx; de ahí Deltay=f(x+ Deltax)−f(x).
- dy=f′(x)dxque, por Ecuación4.4.7, es una aproximación del cambio dey valor comox cambios porΔx;dy≈Δy.
¿Cuál es el valor de los diferenciales? Al igual que muchos conceptos matemáticos, los diferenciales proporcionan beneficios tanto prácticos como teóricos. Exploramos ambos aquí.
Ejemplo4.4.1: Finding and using differentials
Considerarf(x)=x2. Conociendof(3)=9, aproximadof(3.1).
Solución
Elx valor va cambiando dex=3 ax=3.1; por lo tanto, eso lo vemosdx=0.1. Si sabemos cuánto cambia ely valor def(3) af(3.1) (es decir, si sabemosΔy), sabremos exactamente quéf(3.1) es (ya lo sabemosf(3)). Podemos aproximar\ Delta y\ condy.
Δy≈dy=f′(3)dx=2⋅3⋅0.1=0.6.
Esperamos que ely valor cambie aproximadamente0.6, así que aproximamosf(3.1)≈9.6.
Dejamos al lector verificar esto, pero la discusión anterior vincula el diferencial a la línea tangente def(x) atx=3. Se puede verificar que la línea tangente, evaluada enx=3.1, también day=9.6.
Por supuesto, es fácil calcular la respuesta real (a mano o con una calculadora):3.12=9.61. (Antes de ponernos demasiado cínicos y decir “Entonces, ¿por qué molestarnos?” , tenga en cuenta que nuestra aproximación es realmente buena!)
Entonces ¿por qué molestarse?
En “la mayoría” de las situaciones de la vida real, desconocemos la función que describe un comportamiento particular. En cambio, solo podemos tomar medidas de cómo cambian las cosas — mediciones de la derivada.
Imagina que el agua fluye por un canal sinuoso. Es fácil medir la velocidad y dirección (es decir, la velocidad) del agua en cualquier lugar. Es muy difícil crear una función que describa el flujo general, de ahí que sea difícil predecir dónde terminará un objeto flotante colocado al comienzo del canal. Sin embargo, podemos aproximar la ruta de un objeto usando diferenciales. A intervalos pequeños, la trayectoria tomada por un objeto flotante es esencialmente lineal. Los diferenciales nos permiten aproximar el camino verdadero al juntar lotes de caminos cortos y lineales. Esta técnica se llama Método de Euler, estudiada en cursos introductorios de Ecuaciones Diferenciales.
Utilizamos diferenciales una vez más para aproximar el valor de una función. A pesar de que las calculadoras son muy accesibles, es genial ver cómo estas técnicas a veces se pueden usar para calcular fácilmente algo que parece bastante duro.
Ejemplo4.4.2: Using differentials to approximate a function value
Aproximado√4.5.
Solución
Esperamos√4.5≈2, sin embargo podemos hacerlo mejor. Vamosf(x)=√x, y vamosc=4. Asíf(4)=2. Podemos calcularf′(x)=1/(2√x), entoncesf′(4)=1/4.
Aproximamos la diferencia entref(4.5) yf(4) usando diferenciales, condx=0.5:
$$f (4.5) -f (4) =\ Delta y\ approx dy = f' (4)\ cdot dx = 1/4\ cdot 1/2 = 1/8 = 0.125.\]
El cambio aproximado enf dex=4 ax=4.5 es0.125, por lo que aproximamos√4.5≈2.125.
Los diferenciales son importantes cuando hablamos de integración. Cuando estudiemos ese tema, usaremos notación como
$$\ int f (x)\ dx\]
muy a menudo. Si bien no discutimos aquí qué significa toda esa notación, nótese la existencia del diferencialdx. El manejo adecuado de las integrales viene con el manejo adecuado de los diferenciales.
A la luz de eso, practicamos encontrar diferenciales en general.
Ejemplo4.4.3: Finding differentials
En cada una de las siguientes, encuentra el diferencialdy.
y=sinx2.y=ex(x2+2)3.y=√x2+3x−1
S olución
- y=sinx: Comof(x)=sinx,f′(x)=cosx. Así dy= cos(x)dx.
- y=ex(x2+2): Vamosf(x)=ex(x2+2). Necesitamosf′(x), requiriendo la Regla del Producto.
Tenemosf′(x)=ex(x2+2)+2xex, así que dy= big(ex(x2+2)+2xex big)dx. - y=√x2+3x−1: Vamosf(x)=√x2+3x−1; necesitamosf′(x), requiriendo la Regla de la Cadena.
TenemosΔsf′(x)=12(x2+3x−1)−12(2x+3)=2x+32√x2+3x−1. Así dy= frac(2x+3)dx2 sqrtx2+3x−1.
Encontrar el diferencialdy de noy=f(x) es realmente más difícil que encontrar la derivada def; simplemente multiplicamosf′(x) pordx. Es importante recordar que no estamos simplemente agregando el símbolo "dx" al final.
Hemos visto un uso práctico de los diferenciales ya que ofrecen un buen método para hacer ciertas aproximaciones. Otro uso es la propagación de errores. Supongamos que se mide una longitud para serx, aunque el valor real esx+Δx (donde esperamos\ Delta x\ sea pequeño). Esta medición dex puede ser utilizada para calcular algún otro valor; podemos pensar en esto comof(x) para alguna funciónf. Como es la longitud verdaderax+Δx, uno realmente debería haber calculadof(x+Δx). La diferencia entref(x) yf(x+Δx) es el error propagado.
¿Qué tan cerca estánf(x) yf(x+Δx)? Esta es una diferencia en los valores “y”;
$$f (x+\ Delta x) -f (x) =\ Delta y\ día aprox.\]
Podemos aproximar el error propagado usando diferenciales.
Ejemplo4.4.4: Using differentials to approximate propagated error
Un rodamiento de bolas de acero debe fabricarse con un diámetro de 2cm. El proceso de fabricación tiene una tolerancia de±0.1 mm en el diámetro. Dado que la densidad del acero es de aproximadamente 7.85g/cm3, estime el error propagado en la masa del rodamiento de bolas.
Solución
La masa de un rodamiento de bolas se encuentra usando la ecuación “masa =× densidad volumétrica”. En esta situación la función de masa es producto del radio del rodamiento de bolas, de ahí que lo seam=7.8543πr3. El diferencial de la masa es
$$dm = 31.4\ pi r^2 dr.\]
El radio debe ser de 1cm; la tolerancia de fabricación en el radio es±0.05 mm, o±0.005 cm. El error propagado es aproximadamente:
Δm≈dm=31.4π(1)2(±0.005)=±0.493g
¿Este error es significativo? Ciertamente depende de la aplicación, pero podemos hacernos una idea calculando el error relativo. La relación entre la cantidad de error y la masa total es
dmm=±0.4937.8543π=±0.49332.88=±0.015,
o±1.5.
Dejamos al lector confirmar esto, pero si se suponía que el diámetro de la bola era de 10cm, la misma tolerancia de fabricación daría un error propagado en masa de±12.33 g, que corresponde a un\ textit {error porcentual} de±0.188\%. Si bien la cantidad de error es mucho mayor ($12.33 > 0.493$), el porcentaje de error es mucho menor.
Primero aprendimos de la derivada en el contexto de tasas de cambio instantáneas y pendientes de líneas tangentes. Ampliamos nuestra comprensión del poder de la derivada al estudiar cómo se relaciona con la gráfica de una función (conduciendo a ideas de aumento/decreciente y concavidad). Este capítulo ha puesto la derivada a aún más usos:
- Resolución de ecuaciones (Método de Newton)
- Tarifas relacionadas (fomentando nuestro uso de la derivada para encontrar tasas de cambio instantáneas)
- Optimización (valores extremos aplicados), y
- Diferenciales (útiles para diversas aproximaciones y para algo llamado integración).
En los capítulos siguientes, consideraremos el problema “inverso” para computar la derivada: dada una funciónf, ¿podemos encontrar una función cuya derivada esf? Poder hacerlo abre un increíble mundo de matemáticas y aplicaciones.