4.E: Aplicaciones de Derivados (Ejercicios)
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4.1: Método de Newton
Términos y Conceptos
1. T/F: Dada una función\(f(x)\), el Método de Newton produce una solución exacta a\(f(x)=0\).
2. T/F: Para obtener una solución\(f(x) =0\) precisa a\(d\) lugares después del decimal, se deben usar al menos\(d+1\) iteraciones del Método de Newton.
Problemas
En los Ejercicios 3-7, las raíces de\(f(x)\) son conocidas o se encuentran fácilmente. Use 5 iteraciones del Método de Newton con la aproximación inicial dada para aproximar la raíz. Compárela con el valor conocido de la raíz.
3. \(f(x) =\cos x,\, x_0 =1.5\)
4. \(f(x) =\sin x,\, x_0 =1\)
5. \(f(x) =x^2+x-2,\, x_0 =0\)
6. \(f(x) =x^2-2,\, x_0 =1.5\)
7. \(f(x) =\ln x,\, x_0 =2\)
En los Ejercicios 8-11, utilice el Método de Newton para aproximar todas las raíces de las funciones dadas con precisión a 3 lugares después del decimal. Si se da un intervalo, encuentra solo las raíces que se encuentran en ese intervalo. Utilizar la tecnología para obtener buenas aproximaciones iniciales.
8. \(f(x) =x^3+5x^2-x-1\)
9. \(f(x) =x^4+2x^3-7x^2-x+5\)
10. \(f(x) =x^{17}-2x^{13}-10x^8+10\text{ on }(-2,2)\)
11. \(f(x) =x^2\cos x +(x-1)\sin x \text{ on }(-3,3)\)
En los ejercicios 12-15, usa el Método de Newton para aproximar cuando las funciones dadas son iguales, con una precisión de 3 lugares después del decimal. Utilizar la tecnología para obtener buenas aproximaciones iniciales.
12. \(f(x)=x^2,\,g(x)=\cos x\)
13. \(f(x)=x^2-1,\,g(x)=\sin x\)
14. \(f(x)=e^{x^2},\,g(x)=\cos x\)
15. \(f(x)=x,\,g(x)=\tan x\text{ on }[-6,6]\)
16. ¿Por qué el Método de Newton falla en encontrar la raíz de\(f(x)=x^3-3x^2+x+3\text{ when }x_0=1\)?
17. ¿Por qué el Método de Newton falla en encontrar la raíz de\(f(x)=-17x^4+130x^3-301x^2+156x+156\text{ when }x_0=1\)?
4.2: Tarifas Relacionadas
Términos y Conceptos
1. T/F: La diferenciación implícita se utiliza a menudo cuando se resuelven problemas de tipo “tasas relacionadas”.
2. T/F: Un estudio de tasas relacionadas forma parte de la capacitación estándar de los policías.
Problemas
3. El agua fluye sobre una superficie plana a razón de 5cm\(^3\) /s formando un charco circular de 10mm de profundidad. ¿Qué tan rápido crece el radio cuando el radio es:
(a) 1 cm?
b) ¿10 cm?
(c) ¿100 cm?
4. Un globo circular se infla con aire que fluye a una velocidad de 10cm\(^3\) /s. ¿Qué tan rápido aumenta el radio del globo cuando el radio es:
(a) 1 cm?
b) ¿10 cm?
(c) ¿100 cm?
5. Considera la situación de tránsito introducida en el Ejemplo 100. ¿Qué tan rápido viaja el “otro automóvil” si el oficial y el otro automóvil están cada uno a 1/2 milla de la intersección, el otro automóvil viaja hacia el oeste, el oficial viaja hacia el norte a 50 mph y la lectura del radar es de −80 mph?
6. Considera la situación de tránsito introducida en el Ejemplo 100. Calcula qué tan rápido está viajando el “otro auto” en cada una de las siguientes situaciones.
a) El oficial viaja hacia el norte a 50 mph y está a 1/2 milla de la intersección, mientras que el otro automóvil está a 1 milla de la intersección viajando hacia el oeste y la lectura del radar es de −80 mph?
b) El oficial viaja con dirección norte a 50 mph y está a 1 milla de la intersección, mientras que el otro automóvil está a 1/2 milla de la intersección viajando hacia el oeste y la lectura del radar es de −80 mph?
7. Un avión F-22 está volando a 500 mph con una elevación de 10,000 pies en una trayectoria de línea recta que lo llevará directamente sobre un cañón antiaéreo.
¿Qué tan rápido debe poder girar el arma para rastrear con precisión la aeronave cuando el avión está: a
) a 1 milla de distancia?
(b) ¿A 1/5 milla de distancia?
(c) ¿Gastos generales directos?
8. Un avión F-22 está volando a 500 mph con una elevación de 100 pies en una trayectoria en línea recta que lo llevará directamente sobre un cañón antiaéreo como en el Ejercicio 7 (observe la elevación más baja aquí).
¿Qué tan rápido debe poder girar el arma para rastrear con precisión la aeronave cuando el avión está: a
) a 1000 pies de distancia?
b) ¿A 100 pies de distancia?
(c) ¿Gastos generales directos?
9. Una escalera de 24 pies está apoyada contra una casa mientras que la base se aleja a una velocidad constante de 1 pies/s.
¿A qué ritmo se desliza la parte superior de la escalera por el costado de la casa cuando la base está:
(a) a 1 pie de la casa?
b) ¿A 10 pies de la casa?
c) ¿A 23 pies de la casa?
d) ¿A 24 pies de la casa?
10. Un bote está siendo arrastrado a un muelle a una velocidad constante de 30 pies/min por un cabrestante ubicado a 10 pies sobre la cubierta del bote.
¿A qué ritmo se acerca el barco al muelle cuando el barco está:
(a) a 50 pies de distancia?
b) ¿15 pies de distancia?
c) ¿A 1 pie del muelle?
d) ¿Qué sucede cuando la longitud de la cuerda que tira en la embarcación es inferior a 10 pies de largo?
11. Un cono cilíndrico invertido, 20 pies de profundidad y 10 pies de ancho en la parte superior, se está llenando de agua a una velocidad de 10\(^3\) pies/min. ¿A qué velocidad sube el agua en el tanque cuando la profundidad del agua es:
(a) 1 pie?
b) ¿10 pies?
c) ¿19 pies?
¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el tanque al comenzar en vacío?
12. Una cuerda, unida a un peso, sube a través de una polea en el techo y vuelve a bajar a un trabajador. El hombre sostiene la cuerda a la misma altura que el punto de conexión entre la cuerda y el peso.
Supongamos que el hombre se para directamente al lado del peso (es decir, una longitud total de la cuerda de 60 pies) y comienza a alejarse a razón de 2 pies/s. ¿Qué tan rápido aumenta el peso cuando el hombre ha caminado:
(a) 10 pies?
b) ¿40 pies?
¿Hasta dónde debe caminar el hombre para subir el peso hasta la polea?
13. Considerar la situación descrita en el Ejercicio 12. Supongamos que el hombre comienza a 40 pies del peso y comienza a alejarse a razón de 2 pies/s.
(a) ¿Cuánto dura la cuerda?
b) ¿Qué tan rápido está subiendo el peso después de que el hombre haya caminado 10 pies?
(c) ¿Qué tan rápido está subiendo el peso después de que el hombre haya caminado 40 pies?
d) ¿Hasta dónde debe caminar el hombre para subir el peso hasta la polea?
14. Un globo aerostático se levanta del suelo levantándose verticalmente. A 100 pies de distancia, una mujer de 5' rastrea el camino del globo. Cuando su línea de visión con el globo hace un ángulo de 45 grados con la horizontal, ella nota que el ángulo está aumentando a aproximadamente\(5^\circ\) /min.
15. Una empresa que produce materiales de jardinería está arrojando arena en una pila cónica. La arena se está vertiendo a una velocidad de 5ft\(^3\) /seg; las propiedades físicas de la arena, junto con la gravedad, aseguran que la altura del cono sea aproximadamente 2/3 de la longitud del diámetro de la base circular.
¿Qué tan rápido se eleva el cono cuando tiene una altura de 30 pies?
4.3: Optimización
Términos y Conceptos
1. T/F: Un “problema de optimización” es esencialmente un problema de “valores extremos” en un entorno de “problema de historia”.
2. T/F: Esta sección enseña a uno a encontrar los valores extremos de la función que tienen más de una variable.
Problemas
3. Encuentra el producto máximo de dos números (no necesariamente enteros) que tengan una suma de 100.
4. Encuentra la suma mínima de dos números cuyo producto es 500.
5. Encuentra la suma máxima de dos números cuyo producto es 500.
6. Encuentra la suma máxima de dos números, cada uno de los cuales está en [0,300] cuyo producto es 500.
7. Encuentra el área máxima de un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud 1.
8. Un ranchero tiene 1000 pies de cercado en el que construir plumas rectangulares adyacentes de igual tamaño. ¿Qué dimensiones deben tener estas plumas para maximizar el área cerrada?
9. Una lata de soda estándar es aproximadamente cilíndrica y contiene 355 cm\(^3\) de líquido. ¿Qué dimensiones debe tener el cilindro para minimizar el material necesario para producir la lata? En función de sus dimensiones, determine si se produce o no la lata estándar para minimizar los costos de material.
10. Encuentre las dimensiones de una lata cilíndrica con un volumen de 206in\(^3\) que minimiza el área de superficie.
La “lata #10” es una lata de tamaño estándar utilizada por la industria de restaurantes que tiene alrededor de 206\(^3\) pulgadas con un diámetro de 6 2/16 pulgadas y una altura de 7 pulgadas. ¿Parece que estas dimensiones fueron elegidas teniendo en mente la minimización?
11. El Servicio Postal de Estados Unidos cobra más por las cajas cuya longitud y circunferencia combinadas superan los 108” (la “longitud” de un paquete es la longitud de su lado más largo; la circunferencia es el perímetro de la sección transversal, es decir, 2w + 2h)
¿Cuál es el volumen máximo de un paquete con una sección transversal cuadrada (w = h) que no supera el estándar de 108”?
12. La resistencia\(S\) de una viga de madera es directamente proporcional a su ancho de sección transversal w y al cuadrado de su altura h; es decir,\(S = kwh^2\) para alguna constante\(k\).
Dado un tronco circular con un diámetro de 12 pulgadas, ¿qué tamaño de viga se puede cortar del tronco con la máxima resistencia?
13. Una línea eléctrica debe ser dirigida a una instalación en alta mar de la manera descrita en el Ejemplo 104. La instalación costa afuera está a 2 millas en el mar y a 5 millas a lo largo de la costa desde la planta de energía. Cuesta 50,000 dólares por milla tender una línea eléctrica bajo tierra y $80,000 correr la línea bajo el agua.
¿Cuánto de la línea eléctrica debe funcionar bajo tierra para minimizar los costos generales?
14. Una línea eléctrica debe ser dirigida a una instalación en alta mar de la manera descrita en el Ejemplo 104. La instalación costa afuera está a 5 millas en el mar y 2 millas a lo largo de la costa desde la planta de energía. Cuesta 50,000 dólares por milla tender una línea eléctrica bajo tierra y $80,000 correr la línea bajo el agua.
¿Cuánto de la línea eléctrica debe funcionar bajo tierra para minimizar los costos generales?
15. Una mujer arroja un palo a un lago para que su perro lo vaya a buscar; el palo está a 20 pies por la línea de costa y 15 pies en el agua desde allí. El perro puede saltar directamente al agua y nadar, o correr a lo largo de la línea de costa para acercarse al palo antes de nadar. El perro corre alrededor de 22 pies/s y nada alrededor de 1.5 pies/s.
¿Qué tan lejos de la orilla debe correr el perro para minimizar el tiempo que lleva llegar al palo? (Sugerencia: la figura del Ejemplo 104 puede ser útil.)
16. Una mujer arroja un palo a un lago para que su perro lo vaya a buscar; el palo está a 15 pies por la línea de costa y 30 pies en el agua desde allí. El perro puede saltar directamente al agua y nadar, o correr a lo largo de la línea de costa para acercarse al palo antes de nadar. El perro corre alrededor de 22 pies/s y nada alrededor de 1.5 pies/s.
¿Qué tan lejos de la orilla debe correr el perro para minimizar el tiempo que lleva llegar al palo? (Google “perro de cálculo” para aprender más sobre la capacidad de un perro para minimizar los tiempos.)
17. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo con mayor área que se puede dibujar dentro del círculo unitario?
4.4: Diferenciales
Términos y Conceptos
1. T/F: Dada una función diferenciable\(y=f(x)\), generalmente somos libres de elegir un valor para\(dx\), que luego determina el valor de\(dy\).
2. T/F: los símbolos\("dx"\) y\("\Delta x"\) representan el mismo concepto.
3. T/F: los símbolos\("dy"\) y\("\Delta y"\) representan el mismo concepto.
4. T/F: Los diferenciales son importantes en el estudio de la integración.
5. ¿Cómo se relacionan los diferenciales y las líneas tangentes?
Problemas
En los Ejercicios 6-17, utilizar diferenciales para aproximar el valor dado a mano.
6. \(2.05^2\)
7. \(5.93^2\)
8. \(5.1^3\)
9. \(6.8^3\)
10. \(\sqrt{16.5}\)
11. \(\sqrt{24}\)
12. \(\sqrt[3]{63}\)
13. \(\sqrt[3]{8.5}\)
14. \(\sin 3\)
15. \(\cos 1.5\)
16. \(e^{0.1}\)
En Ejercicios 17-29, computar el diferencial\(dy\).
17. \(y=x^2+3x-5\)
18. \(y=x^7-x^5\)
19. \(y=\frac{1}{4x^2}\)
20. \(y=(2x+\sin x)^2\)
21. \(y=x^2e^{3x}\)
22. \(y=\frac{4}{x^4}\)
23. \(y=\frac{2x}{\tan x+1}\)
24. \(y=\ln (5x)\)
25. \(y=e^x\sin x\)
26. \(y=\cos (\sin x)\)
27. \(y = \frac{x+1}{x+2}\)
28. \(y=3^x\ln x\)
29. \(y=x\ln x -x\)
30. Se va a hacer un conjunto de esferas de plástico con un diámetro de 1cm. Si el proceso de fabricación es exacto a 1mm, ¿cuál es el error propagado en el volumen de las esferas?
31. La distancia, en pies, una piedra cae en\(t\) segundos viene dada por\(d(t) = 16t^2\). La profundidad de un agujero se debe aproximar dejando caer una roca y escuchando que golpee el fondo. ¿Cuál es el error propagado si la medición del tiempo es exacta a 2/10 de segundo y el tiempo medido es:
(a) 2 segundos?
b) ¿5 segundos?
32. ¿Cuál es el error propagado en la medición del área de la sección transversal de un tronco circular si el diámetro se mide a 15′′, con una precisión de 1/4 ′′?
33. Se va a pintar un muro de 8′ de alto y mide 10′, 7′′ de largo. Encuentre el error propagado en la medición del área de superficie de la pared si la medición es precisa de 1/2 ′′.
Los ejercicios 34-38 exploran algunos temas relacionados con la topografía en los que las distancias se aproximan utilizando otras distancias medidas y ángulos medidos. (Sugerencia: Convertir todos los ángulos a radianes antes de calcular.)
34. Se debe aproximar la longitud\(l\) de un muro largo. El ángulo\(\theta\), como se muestra en el diagrama (no a escala), se mide para ser\(85.2^\circ\), exacto a\(1^\circ\). Supongamos que el triángulo formado es un triángulo rectángulo.
a) ¿Cuál es la longitud medida\(l\) del muro?
b) ¿Cuál es el error propagado?
c) ¿Cuál es el error porcentual?
35. Responde las preguntas al Ejercicio 34, pero con un ángulo medido de\(71.5^\circ\), exacto a\(1^\circ\), medido con un punto a 100' de la pared.
36. La longitud\(l\) de una pared larga se calculará midiendo el ángulo\(\theta\) mostrado en el diagrama (no a escala). Supongamos que el triángulo formado es un triángulo isósceles. El ángulo medido es\(143^\circ\), exacto a\(1^\circ\).
a) ¿Cuál es la longitud medida del muro?
b) ¿Cuál es el error propagado?
c) ¿Cuál es el error porcentual?
37. La longitud de las paredes en el Ejercicio 34-36 es esencialmente la misma. ¿Qué configuración da el resultado más preciso?
38. considera la configuración en Ejercicios 36. Esta vez, supongamos que la medición del ángulo de\(143^\circ\) es exacta pero la medida\(50^\circ\) desde la pared es exacta a\(6"\). ¿Cuál es el porcentaje aproximado de error?