9.2: Ecuaciones paramétricas

Estamos familiarizados con el boceto de formas, como las parábolas, siguiendo este procedimiento básico:

La ecuación rectangular$y=f(x)$ funciona bien para algunas formas como una parábola con un eje vertical de simetría, pero en la sección anterior encontramos varias formas que no se podían esbozar de esta manera. (Para trazar una elipse usando el procedimiento anterior, necesitamos trazar la “parte superior” y la “parte inferior” por separado).

En esta sección presentamos un nuevo procedimiento de boceto:

Aquí,$x$ y$y$ se encuentran por separado pero luego trazados juntos. Esto nos lleva a una definición.

Definición 45 Ecuaciones Paramétricas y Curvas

Dejar$f$ y$g$ ser funciones continuas en un intervalo$I$. El conjunto de todos los puntos$\big(x,y\big) = \big(f(t),g(t)\big)$ en el plano cartesiano, como$t$ varía sobre$I$, es la gráfica de las ecuaciones paramétricas$x=f(t)$ y$y=g(t)$, donde$t$ está el parámetro. Una curva es una gráfica junto con las ecuaciones paramétricas que la definen.

Esta es una definición formal de la palabra curva. Cuando una curva se encuentra en un plano (como el plano cartesiano), a menudo se la denomina curva de plano. Los ejemplos nos ayudarán a entender los conceptos introducidos en la definición.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Plotting parametric functions

Trazar la gráfica de las ecuaciones paramétricas$x=t^2$,$y=t+1$ para$t$ in$[-2,2]$.

Solución
Trazamos las gráficas de ecuaciones paramétricas de la misma manera que trazamos gráficas de funciones como$y=f(x)$: hacemos una tabla de valores, trazamos puntos, luego conectamos estos puntos con una curva de aspecto “razonable”. La Figura 9.20 (a) muestra dicha tabla de valores; observe cómo tenemos 3 columnas.

Los puntos$(x,y)$ de la tabla se trazan en la Figura 9.20 (b). Los puntos se han conectado con una curva suave. Cada punto ha sido etiquetado con su correspondiente$t$ -valor. Estos valores, junto con las dos flechas a lo largo de la curva, se utilizan para indicar la orientación de la gráfica. Esta información nos ayuda a determinar la dirección en la que se “mueve” la gráfica.

Figura 9.20: Una tabla de valores de las ecuaciones paramétricas del Ejemplo 9.2.1 junto con un boceto de su gráfica.

A menudo usamos la letra$t$ como parámetro, ya que a menudo$t$ consideramos que representa el tiempo. Ciertamente hay muchos contextos en los que el parámetro no es tiempo, pero puede ser útil pensar en términos de tiempo como uno le da sentido a las parcelas paramétricas y su orientación (por ejemplo, “En$t=0$ el momento la posición es$(1,2)$ y en$t=3$ el momento la posición es$(5,1)$”).

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Plotting parametric functions

Dibuje la gráfica de las ecuaciones paramétricas$x=\cos^2t$,$y=\cos t+1$ para$t$ in$[0,\pi]$.

Solución Nuevamente
comenzamos haciendo una tabla de valores en la Figura 9.21 (a), luego graficamos los puntos$(x,y)$ en el plano cartesiano en la Figura 9.21 (b).

Figura 9.21: Una tabla de valores de las ecuaciones paramétricas del Ejemplo 9.2.2 junto con un boceto de su gráfica.

No es difícil demostrar que las curvas en los Ejemplos$\PageIndex{1}$ y$\PageIndex{2}$ son porciones de la misma parábola. Si bien la parábola es la misma, las curvas son diferentes. En Ejemplo$\PageIndex{1}$, si dejamos$t$ variar sobre todos los números reales, obtendríamos toda la parábola. En este ejemplo, dejar$t$ variar sobre todos los números reales seguiría produciendo la misma gráfica; esta porción de la parábola se trazaría, y se retraería, infinitamente. La orientación mostrada en la Figura 9.21 muestra la orientación sobre$[0,\pi]$, pero esta orientación se invierte$[\pi,2\pi]$.

Estos ejemplos comienzan a ilustrar la poderosa naturaleza de las ecuaciones paramétricas. Sus gráficas son mucho más diversas que las gráficas de funciones producidas por "$y=f(x)$" funciones.

Nota tecnológica: La mayoría de las utilidades gráficas pueden graficar funciones dadas en forma paramétrica. A menudo la palabra “paramétrico” se abrevia como “PAR” o “PARAM” en las opciones. El usuario generalmente necesita determinar la ventana gráfica (es decir, los$y$ valores mínimo y máximo$x$ - y -), junto con los valores de los$t$ que se van a trazar. A menudo se le pide al usuario que dé un$t$ mínimo, un$t$ máximo y un "$t$-paso” o "”$\Delta t$. Las utilidades gráficas trazan de manera efectiva las funciones paramétricas tal como se muestra aquí: trazan muchos puntos. Un$t$ paso más pequeño traza más puntos, lo que lo convierte en un gráfico más suave (pero puede llevar más tiempo). En la Figura 9.20, el$t$ -paso es 1; en la Figura 9.21, el$t$ -paso es$\pi/4$.

Una buena característica de las ecuaciones paramétricas es que sus gráficas son fáciles de cambiar. Si bien esto no es demasiado difícil en el contexto$y=f(x)$ ""”, la función resultante puede parecer bastante desordenada. (Además, para cambiar a la derecha por dos,$x$ reemplazamos por$x-2$, lo que es contrario a la intuición). El siguiente ejemplo demuestra esto.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Shifting the graph of parametric functions

Esbozar la gráfica de las ecuaciones paramétricas$x=t^2+t$,$y=t^2-t$. Encuentra nuevas ecuaciones paramétricas que desplazan esta gráfica a los 3 lugares correctos y hacia abajo 2.

Solución
La gráfica de las ecuaciones paramétricas se da en la Figura 9.22 (a). Es una parábola con un eje de simetría a lo largo de la línea$y=x$; el vértice está en$(0,0)$.

Para desplazar la gráfica a la derecha 3 unidades, necesitamos aumentar el$x$ -valor en 3 por cada punto. La forma sencilla de lograr esto es simplemente agregar 3 a la función que define$x$:$x = t^2+t+3$. Para desplazar la gráfica hacia abajo en 2 unidades, deseamos disminuir cada$y$ -valor en 2, así restamos 2 de la función definiendo$y$:$y = t^2-t-2$. Así nuestras ecuaciones paramétricas para la gráfica desplazada son$x=t^2+t+3$,$y=t^2-t-2$. Esto se grafica en la Figura 9.22 (b). Observe cómo está el vértice ahora en$(3,-2)$.

Figura 9.22: Ilustrando cómo desplazar gráficas en 9.2.3.

Debido a que los$y$ valores$x$ - y -de una gráfica se determinan de forma independiente, las gráficas de funciones paramétricas a menudo poseen características que no se ven en las gráficas de tipo$y=f(x)$ "”. El siguiente ejemplo demuestra cómo tales gráficas pueden llegar al mismo punto más de una vez.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Graphs that cross themselves

Trazar las funciones paramétricas$x=t^3-5t^2+3t+11$$y=t^2-2t+3$ y determinar los$t$ -valores donde se cruza la gráfica.

Solución
Utilizando los métodos desarrollados en esta sección, nuevamente trazamos puntos y graficamos las ecuaciones paramétricas como se muestra en la Figura 9.23. Parece que la gráfica se cruza a sí misma en el punto$(2,6)$, pero tendremos que determinarlo analíticamente.

Figura 9.23: Gráfica de las ecuaciones paramétricas del Ejemplo 9.2.4.

Buscamos dos valores diferentes, digamos,$s$ y$t$, dónde$x(s) = x(t)$ y$y(s) = y(t)$. Es decir, los$x$ valores -son los mismos precisamente cuando los$y$ -valores son los mismos. Esto nos da un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

\ [\ begin {array} {c} s^3-5s^2+3s+11 = t^3-5t^2+3t+11\\
s^2-2s+3 = t^2-2t+3
\ end {array}\]

Resolver este sistema no es trivial sino que implica sólo álgebra. Usando la fórmula cuadrática, uno puede resolver para$t$ en la segunda ecuación y encontrarla$t = 1\pm \sqrt{s^2-2s+1}$. Esto se puede sustituir en la primera ecuación, revelando que la gráfica se cruza a sí misma en$t=-1$ y$t=3$. Confirmamos nuestro resultado por computación$x(-1) = x(3)=2$ y$y(-1) = y(3) = 6$.

Conversión entre ecuaciones rectangulares y paramétricas

A veces es útil reescribir ecuaciones en forma rectangular (es decir,$y=f(x)$) en forma paramétrica, y viceversa. Convertir de rectangular a paramétrica puede ser muy simple: dadas$y=f(x)$, las ecuaciones paramétricas$x=t$,$y=f(t)$ producen la misma gráfica. Como ejemplo, dado$y=x^2$, las ecuaciones paramétricas$x=t$,$y=t^2$ producen la parábola familiar. Sin embargo, se pueden utilizar otras parametrizaciones. El siguiente ejemplo demuestra una posible alternativa.

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Converting from rectangular to parametric

Considerar$y=x^2$. Encuentra ecuaciones paramétricas$x=f(t)$,$y=g(t)$ para la parábola donde$t=\frac{dy}{dx}$. Es decir,$t=a$ corresponde al punto de la gráfica cuya línea tangente tiene pendiente$a$.

Solución

Empezamos por la computación$\frac{dy}{dx}$:$y^{\prime} = 2x$. Así nos fijamos$t=2x$. Podemos resolver$x$ y encontrar$x= t/2$. Sabiendo eso$y=x^2$, tenemos$y= t^2/4$. Así, las ecuaciones paramétricas para la parábola$y=x^2$ son

$$x=t/2 \quad y=t^2/4.$$

Para encontrar el punto donde la línea tangente tiene una pendiente de$-2$, establecemos$t=-2$. Esto da el punto$(-1, 1)$. Podemos verificar que la pendiente de la línea tangente a la curva en este punto efectivamente tiene una pendiente de$-2$.

A veces elegimos el parámetro para modelar con precisión el comportamiento físico.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Converting from rectangular to parametric

Un objeto se dispara desde una altura de 0 pies y aterriza 6 segundos después, a 192 pies de distancia. Asumiendo el movimiento ideal del proyectil, la altura, en pies, del objeto puede describirse por$h(x) = -x^2/64+3x$, donde$x$ esta la distancia en pies desde la ubicación inicial. (Así$h(0) = h(192) = 0$ ft.) Encuentra ecuaciones paramétricas$x=f(t)$,$y=g(t)$ para la trayectoria del proyectil donde$x$ está la distancia horizontal que el objeto ha recorrido en el tiempo$t$ (en segundos) y$y$ es la altura en el momento$t$.

Solución

La física nos dice que el movimiento horizontal del proyectil es lineal; es decir, la velocidad horizontal del proyectil es constante. Dado que el objeto viaja 192ft en 6s, deducimos que el objeto se mueve horizontalmente a una velocidad de 32ft/s, dando la ecuación$x=32t$. Como$y=-x^2/64+3x$, nos encontramos$y= -16t^2+96t$. Podemos verificar$y^{\prime\prime\prime}=-32$ rápidamente que pies/s$^2$, la aceleración por gravedad, y que el proyectil alcanza su máximo en$t=3$, a mitad de camino a lo largo de su trayectoria.

Estas ecuaciones paramétricas facilitan ciertas determinaciones sobre la ubicación del objeto: 2 segundos en el vuelo que el objeto está en el punto$\big(x(2),y(2)\big) = \big(64,128\big)$. Es decir, ha viajado horizontalmente 64ft y está a una altura de 128ft, como se muestra en la Figura 9.24.

Figura 9.24: Graficando el movimiento del proyectil en el Ejemplo 9.2.6

A veces es necesario convertir ecuaciones paramétricas dadas en forma rectangular. Esto puede ser decididamente más difícil, ya que algunas ecuaciones paramétricas de aspecto “simple” pueden tener ecuaciones rectangulares muy “complicadas”. Esta conversión a menudo se conoce como “eliminar el parámetro”, ya que estamos buscando una relación entre$x$ y$y$ que no implique el parámetro$t$.

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Eliminating the parameter

Encuentra una ecuación rectangular para la curva descrita por $$x= \frac{1}{t^2+1}\quad \text{and}\quad y=\frac{t^2}{t^2+1}.$$

Solución

No hay una forma establecida de eliminar un parámetro. Un método es resolver para$t$ en una ecuación y luego sustituir ese valor en la segunda. Usamos esa técnica aquí, luego mostramos un segundo método más simple.

Empezando con$x= 1/(t^2+1)$, resolver para$t$:$t = \pm\sqrt{1/x-1}$. Sustituya este valor$t$ en la ecuación por$y$:

\ [\ begin {alinear*}
y &=\ frac {t^2} {t^2 +1}\\
&=\ frac {1/x-1} {1/x-1+1}\\
&=\ frac {1/x - 1} {1/x}\\
&=\ izquierda (\ frac1x-1\ derecha)\ cdot x\\
&= 1-x.
\ end {alinear*}\]

Figura 9.25: Graficando ecuaciones paramétricas y rectangulares para una gráfica en el Ejemplo 9.2.7

Así$y=1-x$. Uno puede haber reconocido esto antes manipulando la ecuación para$y$:
$$y = \frac{t^2}{t^2+1} = 1-\frac{1}{t^2+1} = 1-x.$$
Este es un atajo que es muy específico de este problema; a veces existen atajos y vale la pena buscarlo.

Debemos tener cuidado de limitar el dominio de la función$y=1-x$. Las ecuaciones paramétricas$x$ se limitan a valores en$(0,1]$, así para producir la misma gráfica debemos limitar el dominio de$y=1-x$ a la misma.

Las gráficas de estas funciones se dan en la Figura 9.25. La porción de la gráfica definida por las ecuaciones paramétricas se da en una línea gruesa; la gráfica definida por$y=1-x$ con dominio no restringido se da en una línea delgada.

Ejemplo$\PageIndex{8}$: Eliminating the parameter

Eliminar el parámetro en$x=4\cos t+3$,$y= 2\sin t+1$

Solución

No debemos tratar de resolver para$t$ en esta situación ya que el álgebra/trigonometría resultante sería desordenado. Más bien, resolvemos para$\cos t$ y$\sin t$ en cada ecuación, respectivamente. Esto da $$\cos t = \frac{x-3}{4} \quad \text{and}\quad \sin t=\frac{y-1}{2}.$$
El Teorema de Pitágoras da$\cos^2t+\sin^2t=1$, así:
\ [\ begin {align*}
\ cos^2t+\ sin^2t &=1\
\\ izquierda (\ frac {x-3} {4}\ derecha) ^2 +\ izquierda (\ frac {y-1} {2}\ derecha) ^2 &=1\
\ frac {(x-3) ^2} {16} +\ frac ac {(y-1) ^2} {4} &=1
\ end {alinear*}\]

Figura 9.26: Graficando las ecuaciones paramétricas$x=4\cos t+3$,$y=2\sin t+1$ en el Ejemplo 9.2.8

Esta ecuación final debería parecer familiar — ¡es la ecuación de una elipse! La Figura 9.26 traza las ecuaciones paramétricas, demostrando que la gráfica es efectivamente de una elipse con un eje mayor horizontal y centro en$(3,1)$.

El Teorema de Pitágoras también se puede utilizar para identificar ecuaciones paramétricas para hipérbolas. Damos las ecuaciones paramétricas para elipses e hipérbolas en la siguiente Idea Clave.

IDEA CLAVE 36 Ecuaciones paramétricas de elipses e hipérbolas

• Las ecuaciones paramétricas
  $$x=a\cos t+h, \quad y=b\sin t+k$$
  definen una elipse con eje horizontal de longitud$2a$ y eje vertical de longitud$2b$, centrado en$(h,k)$.
• Las ecuaciones paramétricas
  $$x= a\tan t+h,\quad y=\pm b\sec t+k$$
  definen una hipérbola con eje transversal vertical centrado en$(h,k)$, y
  $$x=\pm a\sec t+h, \quad y=b\tan t + k$$
  define una hipérbola con eje transversal horizontal. Cada uno tiene asíntotas en$y=\pm b/a(x-h)+k$.

Curvas Especiales

La Figura 9.27 da una pequeña galería de curvas “interesantes” y “famosas” junto con ecuaciones paramétricas que las producen. Los lectores interesados pueden comenzar a aprender más sobre estas curvas a través de búsquedas en internet.

Uno podría notar una característica compartida por dos de estas gráficas: “esquinas afiladas” o cúspides. Hemos visto gráficas con cúspides antes y determinado que tales funciones no son diferenciables en estos puntos. Esto nos lleva a una definición.

Figura 9.27: Una galería de interesantes curvas planas.

Definición 46 SLOOTH

Una curva$C$ definida por$x=f(t)$,$y=g(t)$ es suave en un intervalo$I$ si$f^\prime$ y$g^{\prime}$ son continuas en$I$ y no simultáneamente 0 (excepto posiblemente en los puntos finales de$I$). Una curva es lisa por partes en$I$ si se$I$ puede dividir en subintervalos donde$C$ es suave en cada subintervalo.

Considera el astroide, dado por$x=\cos^3t$,$y=\sin^3t$. Tomando derivados, tenemos:

$$x^\prime = -3\cos^2t\sin t\quad \text{and}\quad y^{\prime} = 3\sin^2t\cos t.$$

Es claro que cada uno es 0 cuando$t=0,\ \pi/2,\ \pi,\ldots$. Así, el astroide no es liso en estos puntos, correspondientes a las cúspides que se ven en la figura. Esto lo demostramos una vez más.

Ejemplo$\PageIndex{9}$: Determine where a curve is not smooth

Dejar que una curva$C$ sea definida por las ecuaciones paramétricas$x=t^3-12t+17$ y$y=t^2-4t+8$. Determinar los puntos, si los hay, donde no sea suave.

Solución

Comenzamos por tomar derivados.

$$x^\prime = 3t^2-12,\quad y^{\prime} = 2t-4.$$

Establecemos cada uno igual a 0:

\ [\ begin {array} {l} x^\ prime = 0\ Rightarrow 3t^2-12=0\ Rightarrow t=\ pm 2\
y^ {\ prime} =0\ Rightarrow 2t-4 = 0\ Rightarrow t=2
\ end {array}
\]

Vemos en$t=2$ ambos$x^\prime$ y$y^{\prime}$ son 0; por lo tanto no$C$ es suave en$t=2$, correspondiente al punto$(1,4)$. La curva se grafica en la Figura 9.28, ilustrando la cúspide en$(1,4)$.

Figura 9.28: Graficando la curva en el Ejemplo 9.2.9; nótese que no es suave en$(1,4)$.

Si una curva no es suave en$t=t_0$, significa que$x^\prime(t_0)=y^{\prime}(t_0)=0$ como se define. Esto, a su vez, significa que la tasa de cambio de$x$ (y$y$) es 0; es decir, en ese instante, ni$x$ ni$y$ está cambiando. Si las ecuaciones paramétricas describen la trayectoria de algún objeto, esto significa que el objeto está en reposo en$t_0$. Un objeto en reposo puede hacer un cambio de dirección “agudo”, mientras que los objetos en movimiento tienden a cambiar de dirección de una manera “suave”.

Se debe tener cuidado al señalar que una “esquina afilada” no tiene que ocurrir cuando una curva no es suave. Por ejemplo, se puede verificar eso$x=t^3$,$y=t^6$ producir la$y=x^2$ parábola familiar. Sin embargo, en esta parametrización, la curva no es suave. Una partícula que viaja a lo largo de la parábola de acuerdo con las ecuaciones paramétricas dadas llega a descansar$t=0$, aunque no se crea un punto agudo. \\

Nuestra experiencia previa con cúspides nos enseñó que una función no era diferenciable en una cúspide. Esto puede llevarnos a preguntarnos sobre las derivadas en el contexto de las ecuaciones paramétricas y la aplicación de otros conceptos de cálculo. Dada una curva definida paramétricamente, ¿cómo encontramos las pendientes de las líneas tangentes? ¿Podemos determinar la concavidad? Exploramos estos conceptos y más en la siguiente sección.

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