9.3: Cálculo y ecuaciones paramétricas

La sección anterior definía curvas basadas en ecuaciones paramétricas. En esta sección emplearemos las técnicas de cálculo para estudiar estas curvas. Todavía nos interesan las líneas tangentes a puntos en una curva. Describen cómo los$y$ -valores están cambiando con respecto a los$x$ -valores, son útiles para hacer aproximaciones e indican la dirección instantánea de desplazamiento.

La pendiente de la línea tangente sigue siendo todavía$\frac{dy}{dx}$, y la Regla de Cadena nos permite calcularla en el contexto de ecuaciones paramétricas. Si$x=f(t)$ y$y=g(t)$, la Regla de la Cadena establece que

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.$$

Resolviendo para$\frac{dy}{dx}$, obtenemos

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}\Bigg/\frac{dx}{dt} = \frac{g^\prime (t)}{f^\prime (t)},$$

siempre que$f^\prime (t)\neq 0$. Esto es importante así que lo etiquetamos como una Idea Clave.

idea clave 37 Encontrar$\frac{dy}{dx}$ with Parametric Equations.

Let$x=f(t)$ y$y=g(t)$, donde$f$ y$g$ son diferenciables en algún intervalo abierto$I$ y$f^\prime (t)\neq 0$ encendido$I$. Entonces

$$\frac{dy}{dx} = \frac{g^\prime (t)}{f^\prime (t)}.$$

Utilizamos esto para definir la línea tangente.

Definición 47 Líneas tangentes y normales

Dejar que una curva$C$ sea parametrizada por$x=f(t)$ y$y=g(t)$, donde$f$ y$g$ son funciones diferenciables en algún intervalo$I$ que contiene$t=t_0$. La línea tangente a$C$ at$t=t_0$ es la línea a través$\big(f(t_0),g(t_0)\big)$ con pendiente$m=g^\prime (t_0)/f^\prime (t_0)$, siempre$f^\prime (t_0)\neq 0$.

La línea normal a$C$ at$t=t_0$ es la línea a través$\big(f(t_0),g(t_0)\big)$ con pendiente$m=-f^\prime (t_0)/g^\prime (t_0)$, siempre y cuando sea$g^\prime (t_0)\neq 0$.

La definición deja dos casos especiales a considerar. Cuando la línea tangente es horizontal, la línea normal no está definida por la definición anterior como$g^\prime (t_0)=0$. Asimismo, cuando la línea normal es horizontal, la línea tangente es indefinida. Parece razonable que estas líneas se definan (se puede dibujar una línea tangente al “lado derecho” de un círculo, por ejemplo), por lo que agregamos lo siguiente a la definición anterior.

1. Si la línea tangente at$t=t_0$ tiene una pendiente de 0, la línea normal a$C$ at$t=t_0$ es la línea$x=f(t_0)$.
2. Si la línea normal at$t=t_0$ tiene una pendiente de 0, la línea tangente a$C$ at$t=t_0$ es la línea$x=f(t_0)$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Tangent and Normal Lines to Curves

Dejar$x=5t^2-6t+4$ y$y=t^2+6t-1$, y dejar$C$ ser la curva definida por estas ecuaciones.

1. Encuentra las ecuaciones de las líneas tangentes y normales a$C$ at$t=3$.
2. Encuentra dónde$C$ tiene líneas tangentes verticales y horizontales.

Solución

1. Empezamos por la computación$f^\prime (t) = 10t-6$ y$g^\prime (t) =2t+6$. Así $$\frac{dy}{dx} = \frac{2t+6}{10t-6}.$$
   toma nota de algo que podría parecer inusual:$\frac{dy}{dx}$ es una función de$t$, no$x$. Así como los puntos en la curva se encuentran en términos de$t$, también lo son las pendientes de las líneas tangentes.
   
   El punto en$C$ at$t=3$ es$(31,26)$. La pendiente de la línea tangente es$m=1/2$ y la pendiente de la línea normal es$m=-2$. Así,
   
   $\bullet$ la ecuación de la línea tangente es$y=\frac12(x-31)+26$, y
   $\bullet$ la ecuación de la línea normal es$y=-2(x-31)+26$.
   
   Esto se ilustra en la Figura 9.29.
   
2. Para encontrar dónde$C$ tiene una línea tangente horizontal, establecemos$\frac{dy}{dx}=0$ y resolvemos para$t$. En este caso, esto equivale a establecer$g^\prime (t)=0$ y resolver$t$ (y asegurarse de que$f^\prime (t)\neq 0$).
   $$g^\prime (t)=0 \quad \Rightarrow \quad 2t+6=0 \quad \Rightarrow \quad t=-3.$$
   El punto en$C$ correspondiente a$t=-3$ es$(67,-10)$; la línea tangente en ese punto es horizontal (de ahí con ecuación$y=-10$).
   
   Para encontrar dónde$C$ tiene una línea tangente vertical, encontramos donde tiene una línea normal horizontal, y establecer$-\frac{f^\prime (t)}{g^\prime (t)}=0$. Esto equivale a establecer$f^\prime (t)=0$ y resolver$t$ (y asegurarse de que$g^\prime (t)\neq 0$).
   $$f^\prime (t)=0 \quad \Rightarrow \quad 10t-6=0 \quad \Rightarrow \quad t=0.6.$$
   
   El punto sobre$C$ correspondiente a$t=0.6$ es$(2.2,2.96)$. La línea tangente en ese punto es$x=2.2$.
   
   Los puntos donde las líneas tangentes son verticales y horizontales se indican en la gráfica de la Figura 9.29.

Figura 9.29: Graficando líneas tangentes y normales en el Ejemplo 9.3.1

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Tangent and Normal Lines to a Circle

1. Encuentra donde el círculo unitario, definido por$x=\cos t$ y$y=\sin t$ encendido$[0,2\pi]$, tiene líneas tangentes verticales y horizontales.
2. Encuentra la ecuación de la línea normal en$t=t_0$.

Solución

1. Calculamos la derivada siguiente Idea Clave 37:
   $$\frac{dy}{dx} = \frac{g^\prime (t)}{f^\prime (t)} = -\frac{\cos t}{\sin t}.$$
   La derivada es$0$ cuándo$\cos t= 0$; es decir, cuándo$t=\pi/2,\ 3\pi/2$. Estos son los puntos$(0,1)$ y$(0,-1)$ en el círculo.
   
   La línea normal es horizontal (y por lo tanto, la línea tangente es vertical) cuando$\sin t=0$; es decir, cuándo$t= 0,\ \pi,\ 2\pi$, correspondiente a los puntos$(-1,0)$ y$(0,1)$ en el círculo. Estos resultados deben tener sentido intuitivo.
2. La pendiente de la línea normal en$t=t_0$ es$m=\frac{\sin t_0}{\cos t_0} = \tan t_0$. Esta línea normal pasa por el punto$(\cos t_0,\sin t_0)$, dando la línea $$\begin{align*}y &=\frac{\sin t_0}{\cos t_0}(x-\cos t_0) + \sin t_0\\ &= (\tan t_0)x,\end{align*}$$
   siempre y cuando$\cos t_0\neq 0$. Es un hecho importante reconocer que las líneas normales a un círculo pasan por su centro, como se ilustra en la Figura 9.30. Dicho de otra manera, cualquier línea que pase por el centro de un círculo cruza el círculo en ángulo recto.

Figura 9.30: Ilustrando cómo las líneas normales de un círculo pasan por su centro.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Tangent lines when $\frac{dy}{dx}$ is not defined

Encuentra la ecuación de la línea tangente al astroide$x=\cos^3 t$,$y=\sin^3t$ at$t=0$, que se muestra en la Figura 9.31.

Solución
Comenzamos por encontrar$x^\prime (t)$ y$y^\prime (t)$:
$$x^\prime (t) = -3\sin t\cos^2t, \qquad y^\prime (t) = 3\cos t\sin^2t.$$
Tenga en cuenta que ambos son 0 en$t=0$; la curva no es lisa al$t=0$ formar una cúspide en la gráfica. Evaluando$\frac{dy}{dx}$ en este punto devuelve la forma indeterminada de “0/0".

Podemos, sin embargo, examinar las pendientes de las líneas tangentes cercanas$t=0$, y tomar el límite como$t\to 0$.
\ [\ begin {align*}
\ lim\ limits_ {t\ to0}\ frac {y^\ prime (t)} {x^\ prime (t)} &=\ lim\ limits_ {t\ to0}\ frac {3\ cos t\ sin^2t} {-3\ sin t\ cos^2t}\ quad\ text {(Podemos cancelar como$t\neq 0$.)} \\
&=\ lim\ límites_ {t\ to0} -\ frac {\ sin t} {\ cos t}\\
&= 0.
\ end {align*}\]
Hemos logrado algo significativo. Cuando la derivada$\frac{dy}{dx}$ devuelve una forma indeterminada en$t=t_0$, podemos definir su valor estableciendo que sea$\lim\limits_{t\to t_0} \frac{dy}{dx}$, si ese límite existe. Esto nos permite encontrar pendientes de líneas tangentes en las cúspides, lo que puede ser muy beneficioso.

Figura 9.31: Gráfica de un astroide.

Encontramos que la pendiente de la línea tangente es 0; por lo tanto, la línea tangente es$y=0$, el eje$x$ -.$t=0$

Concavidad

Seguimos analizando curvas en el plano considerando su concavidad; es decir, nos interesa$\frac{d^2y}{dx^2}$, “la segunda derivada de$y$ con respecto a”$x$. Para encontrar esto, necesitamos encontrar la derivada de$\frac{dy}{dx}$ con respecto a$x$; es decir, $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left[\frac{dy}{dx}\right],$$ pero recordemos que$\frac{dy}{dx}$ es una función de$t$, no$x$, hacer que este cálculo no sea sencillo.

Para simplificar un poco la siguiente notación, vamos$h(t) = \frac{dy}{dx}$. Nosotros queremos$\frac{d}{dx}[h(t)]$; es decir, queremos$\frac{dh}{dx}$. Nuevamente apelamos a la Regla de la Cadena. Nota:
$$\frac{dh}{dt} = \frac{dh}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} \quad \Rightarrow \quad \frac{dh}{dx} = \frac{dh}{dt}\Bigg/\frac{dx}{dt}.$$

En palabras, para encontrar$\frac{d^2y}{dx^2}$, primero tomamos la derivada de$\frac{dy}{dx}$ con respecto a$t$, luego dividimos por$x^\prime (t)$. Replantamos esto como una Idea Clave.

idea clave 38 Encontrar$\frac{d^2y}{dx^2}$ with Parametric Equations

Dejar$x=f(t)$ y$y=g(t)$ ser dos veces funciones diferenciables en un intervalo abierto$I$, donde$f^\prime (t)\neq 0$ encendido$I$. Entonces
$$\frac{d^2y}{dx^2}\quad = \quad\frac{d}{dt}\left[\frac{dy}{dx}\right]\Bigg/\frac{dx}{dt} \quad=\quad \frac{d}{dt}\left[\frac{dy}{dx}\right]\Bigg/f^\prime (t).$$

Los ejemplos nos ayudarán a entender esta Idea Clave.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Concavity of Plane Curves

Dejar$x=5t^2-6t+4$ y$y=t^2+6t-1$ como en el Ejemplo 9.3.1. Determinar los intervalos$t$ - en los que la gráfica es cóncava arriba/abajo.

Solución La
concavidad está determinada por la segunda derivada de$y$ con respecto a$x$,$\frac{d^2y}{dx^2}$, así que calculamos eso aquí siguiendo la Idea Clave 38.

En el Ejemplo 9.3.1, encontramos$\frac{dy}{dx} = \frac{2t+6}{10t-6}$ y$f^\prime (t) = 10t-6$. Entonces:
\ [\ begin {align*}
\ frac {d^2y} {dx^2} &=\ frac {d} {dt}\ left [\ frac {2t+6} {10t-6}\ derecha]\ Bigg/ (10t-6)\\
&= -\ frac {72} {(10t-6) ^2}\ Bigg/ (10t-6)\
&= -\ frac {72} {(10t-6) ^3}\\ &= -\ frac {9} {(5t-3) ^3}
\ end {alinear*}\]

Figura 9.32: Graficando las ecuaciones paramétricas en el Ejemplo 9.3.4 para demostrar la concavidad.

La gráfica de las funciones paramétricas es cóncava hacia arriba cuando$\frac{d^2y}{dx^2} > 0$ y cóncava hacia abajo cuando$\frac{d^2y}{dx^2} <0$. Determinamos los intervalos cuando la segunda derivada es mayor/menor que 0 encontrando primero cuando es 0 o indefinida.

Como el numerador de nunca$-\frac{9}{(5t-3)^3}$ es 0,$\frac{d^2y}{dx^2} \neq 0$ para todos$t$. No está definido cuándo$5t-3=0$; es decir, cuándo$t= 3/5$. Siguiendo el trabajo establecido en la Sección 3.4, observamos valores de$t$ mayor/menor que$3/5$ en una recta numérica:

Revisando el Ejemplo 9.3.1, vemos que cuando$t=3/5=0.6$, la gráfica de las ecuaciones paramétricas tiene una línea tangente vertical. Este punto es también un punto de inflexión para la gráfica, ilustrada en la Figura 9.32.

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Concavity of Plane Curves

Encuentra los puntos de inflexión de la gráfica de las ecuaciones paramétricas$x=\sqrt{t}$,$y=\sin t$, para$0\leq t\leq 16$.

Solución
Necesitamos computar$\frac{dy}{dx}$ y$\frac{d^2y}{dx^2}$.

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y^\prime (t)}{x^\prime (t)} = \frac{\cos t}{1/(2\sqrt{t})} = 2\sqrt{t}\cos t.$$

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left[\frac{dy}{dx}\right]}{x^\prime (t)} = \frac{\cos t/\sqrt{t}-2\sqrt{t}\sin t}{1/(2\sqrt{t})}=2\cos t-4t\sin t.$$

Los puntos de inflexión se encuentran por ajuste$\frac{d^2y}{dx^2}=0$. Esto no es trivial, ya que las ecuaciones que mezclan polinomios y funciones trigonométricas generalmente no tienen soluciones “agradables”.

En la Figura 9.33 (a) vemos una gráfica de la segunda derivada. Demuestra que tiene ceros a aproximadamente$t=0.5,\ 3.5,\ 6.5,\ 9.5,\ 12.5$ y$16$. Estas aproximaciones no son muy buenas, hechas sólo mirando la gráfica. El Método de Newton proporciona aproximaciones más precisas. Precisa a 2 decimales, tenemos:
$$t=0.65,\ 3.29,\ 6.36,\ 9.48,\ 12.61\ \text{and}\ 15.74.$$
Los puntos correspondientes se han trazado en la gráfica de las ecuaciones paramétricas de la Figura 9.33 (b). Observe cómo ocurre la mayoría cerca del eje$x$ -, pero no exactamente en el eje.

Figura 9.33: En (a), una gráfica de$\frac{d^2y}{dx^2}$, mostrando donde es aproximadamente 0. En (b), gráfica de las ecuaciones paramétricas del Ejemplo 9.3.5 junto con los puntos de inflexión.

Longitud del arco

Continuamos nuestro estudio de las características de las gráficas de ecuaciones paramétricas calculando su longitud de arco. Recordemos en la Sección 7.4 encontramos la longitud del arco de la gráfica de una función, de$x=a$ a$x=b$, ser

$$L = \int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\ dx.$$

Podemos usar esta ecuación y convertirla al contexto de ecuación paramétrica. Dejar$x=f(t)$ y$y=g(t)$, eso lo sabemos$\frac{dy}{dx} = g^\prime (t)/f^\prime (t)$. También será útil calcular el diferencial de$x$:

$$dx = f^\prime (t)dt \qquad \Rightarrow \qquad dt = \frac{1}{f^\prime (t)}\cdot dx.$$

Comenzando con la fórmula de longitud de arco anterior, considere:

\ [\ begin {align*}
L &=\ int_a^b\ sqrt {1+\ left (\ frac {dy} {dx}\ derecha) ^2}\ dx\\
&=\ int_a^b\ sqrt {1+\ frac {g^\ prime (t) ^2} {f^\ prime (t) ^2}}\ dx. \\
\ text {Factorizar el$f^\prime (t)^2$:} &\\
&=\ int_a^b\ sqrt {f^\ prime (t) ^2+g^\ prime (t) ^2}\ cdot\ underbrackets {\ frac1 {f^\ prime (t)}\ dx} _ {=dt}\\
&=\ int_ {t_1} ^ {t_2}\ sqrt {f^\ prime (t) ^2+g^\ prime (t) ^2}\ dt. \\
\ final {alinear*}\]

Tenga en cuenta los nuevos límites (ya no$x$ "" límites, sino "$t$"” límites). Se encuentran encontrando$t_1$ y$t_2$ tal que$a= f(t_1)$ y$b=f(t_2)$. Esta fórmula es importante, por lo que la reafirmamos como teorema.

teorema 82 longitud de arco de curvas paramétricas

Dejar$x=f(t)$ y$y=g(t)$ ser ecuaciones paramétricas con$f^\prime$ y$g^\prime$ continuas en algún intervalo abierto$I$ que contenga$t_1$ y$t_2$ sobre el que la gráfica se rastrea solo una vez. La longitud del arco de la gráfica, de$t=t_1$ a$t=t_2$, es
$$L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{f^\prime (t)^2+g^\prime (t)^2}\ dt.$$

Como antes, estas integrales a menudo no son fáciles de calcular. Comenzamos con un ejemplo sencillo, luego damos otro donde aproximamos la solución.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Arc Length of a Circle

Encuentra la longitud del arco del círculo parametrizado por$x=3\cos t$,$y=3\sin t$ on$[0,3\pi/2]$.

Solución
Por aplicación directa del Teorema 82, tenemos

\ [\ begin {align*}
L &=\ int_0^ {3\ pi/2}\ sqrt {(-3\ sin t) ^2 + (3\ cos t) ^2}\ dt. \\
\ text {Aplica el Teorema de Pitágoras.} &\\
&=\ int_0^ {3\ pi/2} 3\ dt\\
&= 3t\ Big|_0^ {3\ pi/2} = 9\ pi/2.
\ end {alinear*}\]

Esto debería tener sentido; sabemos por geometría que la circunferencia de un círculo con radio 3 es$6\pi$; ya que estamos encontrando la longitud de arco$3/4$ de un círculo, la longitud del arco es$3/4\cdot 6\pi = 9\pi/2$.

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Arc Length of a Parametric Curve

La gráfica de las ecuaciones paramétricas$x=t(t^2-1)$, se$y=t^2-1$ cruza a sí misma como se muestra en la Figura 9.34, formando una “lágrima”. Encuentra la longitud del arco de la lágrima.

Solución
Podemos ver por las parametrizaciones de$x$ y$y$ que cuando$t=\pm 1$,$x=0$ y$y=0$. Esto significa que integraremos de$t=-1$ a$t=1$. Aplicando el Teorema 82, tenemos
\ [\ begin {align*}
L &=\ int_ {-1} ^1\ sqrt {(3t^2-1) ^2+ (2t) ^2}\ dt\\
&=\ int_ {-1} ^1\ sqrt {9t^4-2t^2+1}\ dt.
\ end {align*}\]
Desafortunadamente, el integrando no tiene un antiderivado expresable por funciones elementales. Pasamos a la integración numérica para aproximar su valor. Usando 4 subintervalos, la Regla de Simpson aproxima el valor de la integral como$2.65051$. Al usar una computadora, más subintervalos son fáciles de emplear, y$n=20$ da un valor de$2.71559$. $n$El aumento muestra que este valor es estable y una buena aproximación del valor real.

Figura 9.34: Gráfica de las ecuaciones paramétricas del Ejemplo 9.3.7, donde se calcula la longitud del arco de la lágrima.

Superficie de un Sólido de Revolución

Relacionado con la fórmula para encontrar la longitud del arco es la fórmula para encontrar el área de superficie. Podemos adaptar la fórmula que se encuentra en la Idea Clave 28 de la Sección 7.4 de manera similar a la hecha para producir la fórmula para la longitud del arco hecha anteriormente.

key idea 39 Superficie de un Sólido de Revolución

Considera la gráfica de las ecuaciones paramétricas$x=f(t)$ y$y=g(t)$, donde$f^\prime$ y$g^\prime$ son continuas en un intervalo abierto$I$ que contiene$t_1$ y$t_2$ sobre el que la gráfica no se cruza.

1. El área superficial del sólido formado al girar la gráfica alrededor del eje$x$ - es (dónde$g(t)\geq~0$ está$[t_1,t_2]$):
   $$\text{Surface Area} = 2\pi\int_{t_1}^{t_2} g(t)\sqrt{f^\prime (t)^2+g^\prime (t)^2}\ dt.$$
2. El área superficial del sólido formado al girar la gráfica alrededor del eje$y$ - es (dónde$f(t)\geq~0$ está$[t_1,t_2]$):
   $$\text{Surface Area} = 2\pi\int_{t_1}^{t_2} f(t)\sqrt{f^\prime (t)^2+g^\prime (t)^2}\ dt.$$

Ejemplo$\PageIndex{8}$: Surface Area of a Solid of Revolution

Considere la forma de lágrima formada por las ecuaciones paramétricas$x=t(t^2-1)$,$y=t^2-1$ como se ve en el Ejemplo 9.3.7. Encuentre el área de superficie si esta forma se gira alrededor del eje$x$ -, como se muestra en la Figura 9.3.8.

Figura 9.35: Rotación de una forma de lágrima alrededor del eje x en el Ejemplo 9.3.8

Solución

La forma de lágrima se forma entre$t=-1$ y$t=1$. Usando Key Idea 39, vemos que necesitamos$g(t)\geq 0$ on$[-1,1]$, y este no es el caso. Para solucionar esto, simplificamos reemplazar$g(t)$ con$-g(t)$, que voltea toda la gráfica alrededor del eje$x$ - (y no cambia la superficie del sólido resultante). La superficie es:

\ [\ begin {align*}
\ text {Área}\ S &= 2\ pi\ int_ {-1} ^1 (1-t^2)\ sqrt {(3t^2-1) ^2+ (2t) ^2}\ dt\\
&= 2\ pi\ int_ {-1} ^1 (1-t^2)\ sqrt {9t^4-2t^2+1}\ dt.
\ end {alinear*}\]

Una vez más llegamos a una integral que no podemos calcular en términos de funciones elementales. Usando la regla de Simpson con$n=20$, encontramos el área para ser$S=9.44$. Usando valores más grandes de$n$ shows esto es exacto a 2 lugares después del decimal.

Después de definir una nueva forma de crear curvas en el plano, en esta sección hemos aplicado técnicas de cálculo a la ecuación paramétrica definiendo estas curvas para estudiar sus propiedades. En la siguiente sección, definimos otra forma de formar curvas en el plano. Para ello, creamos un nuevo sistema de coordenadas, denominado coordenadas polares, que identifica puntos en el plano de una manera diferente a la medición de distancias desde los ejes$y$$x$ - y -.

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