9.3: Cálculo y ecuaciones paramétricas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
La sección anterior definía curvas basadas en ecuaciones paramétricas. En esta sección emplearemos las técnicas de cálculo para estudiar estas curvas. Todavía nos interesan las líneas tangentes a puntos en una curva. Describen cómo losy -valores están cambiando con respecto a losx -valores, son útiles para hacer aproximaciones e indican la dirección instantánea de desplazamiento.
La pendiente de la línea tangente sigue siendo todavíadydx, y la Regla de Cadena nos permite calcularla en el contexto de ecuaciones paramétricas. Six=f(t) yy=g(t), la Regla de la Cadena establece que
dydt=dydx⋅dxdt.
Resolviendo paradydx, obtenemos
dydx=dydt/dxdt=g′(t)f′(t),
siempre quef′(t)≠0. Esto es importante así que lo etiquetamos como una Idea Clave.
idea clave 37 Encontrardydx with Parametric Equations.
Letx=f(t) yy=g(t), dondef yg son diferenciables en algún intervalo abiertoI yf′(t)≠0 encendidoI. Entonces
dydx=g′(t)f′(t).
Utilizamos esto para definir la línea tangente.
Definición 47 Líneas tangentes y normales
Dejar que una curvaC sea parametrizada porx=f(t) yy=g(t), dondef yg son funciones diferenciables en algún intervaloI que contienet=t0. La línea tangente aC att=t0 es la línea a través(f(t0),g(t0)) con pendientem=g′(t0)/f′(t0), siempref′(t0)≠0.
La línea normal aC att=t0 es la línea a través(f(t0),g(t0)) con pendientem=−f′(t0)/g′(t0), siempre y cuando seag′(t0)≠0.
La definición deja dos casos especiales a considerar. Cuando la línea tangente es horizontal, la línea normal no está definida por la definición anterior comog′(t0)=0. Asimismo, cuando la línea normal es horizontal, la línea tangente es indefinida. Parece razonable que estas líneas se definan (se puede dibujar una línea tangente al “lado derecho” de un círculo, por ejemplo), por lo que agregamos lo siguiente a la definición anterior.
- Si la línea tangente att=t0 tiene una pendiente de 0, la línea normal aC att=t0 es la líneax=f(t0).
- Si la línea normal att=t0 tiene una pendiente de 0, la línea tangente aC att=t0 es la líneax=f(t0).
Ejemplo9.3.1: Tangent and Normal Lines to Curves
Dejarx=5t2−6t+4 yy=t2+6t−1, y dejarC ser la curva definida por estas ecuaciones.
- Encuentra las ecuaciones de las líneas tangentes y normales aC att=3.
- Encuentra dóndeC tiene líneas tangentes verticales y horizontales.
Solución
- Empezamos por la computaciónf′(t)=10t−6 yg′(t)=2t+6. Asídydx=2t+610t−6.
toma nota de algo que podría parecer inusual:dydx es una función det, nox. Así como los puntos en la curva se encuentran en términos det, también lo son las pendientes de las líneas tangentes.
El punto enC att=3 es(31,26). La pendiente de la línea tangente esm=1/2 y la pendiente de la línea normal esm=−2. Así,
∙ la ecuación de la línea tangente esy=12(x−31)+26, y
∙ la ecuación de la línea normal esy=−2(x−31)+26.
Esto se ilustra en la Figura 9.29.
- Para encontrar dóndeC tiene una línea tangente horizontal, establecemosdydx=0 y resolvemos parat. En este caso, esto equivale a establecerg′(t)=0 y resolvert (y asegurarse de quef′(t)≠0).
g′(t)=0⇒2t+6=0⇒t=−3.
El punto enC correspondiente at=−3 es(67,−10); la línea tangente en ese punto es horizontal (de ahí con ecuacióny=−10).
Para encontrar dóndeC tiene una línea tangente vertical, encontramos donde tiene una línea normal horizontal, y establecer−f′(t)g′(t)=0. Esto equivale a establecerf′(t)=0 y resolvert (y asegurarse de queg′(t)≠0).
f′(t)=0⇒10t−6=0⇒t=0.6.
El punto sobreC correspondiente at=0.6 es(2.2,2.96). La línea tangente en ese punto esx=2.2.
Los puntos donde las líneas tangentes son verticales y horizontales se indican en la gráfica de la Figura 9.29.
Ejemplo9.3.2: Tangent and Normal Lines to a Circle
- Encuentra donde el círculo unitario, definido porx=cost yy=sint encendido[0,2π], tiene líneas tangentes verticales y horizontales.
- Encuentra la ecuación de la línea normal ent=t0.
Solución
- Calculamos la derivada siguiente Idea Clave 37:
dydx=g′(t)f′(t)=−costsint.
La derivada es0 cuándocost=0; es decir, cuándot=π/2, 3π/2. Estos son los puntos(0,1) y(0,−1) en el círculo.
La línea normal es horizontal (y por lo tanto, la línea tangente es vertical) cuandosint=0; es decir, cuándot=0, π, 2π, correspondiente a los puntos(−1,0) y(0,1) en el círculo. Estos resultados deben tener sentido intuitivo. - La pendiente de la línea normal ent=t0 esm=sint0cost0=tant0. Esta línea normal pasa por el punto(cost0,sint0), dando la líneay=sint0cost0(x−cost0)+sint0=(tant0)x,
siempre y cuandocost0≠0. Es un hecho importante reconocer que las líneas normales a un círculo pasan por su centro, como se ilustra en la Figura 9.30. Dicho de otra manera, cualquier línea que pase por el centro de un círculo cruza el círculo en ángulo recto.
Ejemplo9.3.3: Tangent lines when dydx is not defined
Encuentra la ecuación de la línea tangente al astroidex=cos3t,y=sin3t att=0, que se muestra en la Figura 9.31.
Solución
Comenzamos por encontrarx′(t) yy′(t):
x′(t)=−3sintcos2t,y′(t)=3costsin2t.
Tenga en cuenta que ambos son 0 ent=0; la curva no es lisa alt=0 formar una cúspide en la gráfica. Evaluandodydx en este punto devuelve la forma indeterminada de “0/0".
Podemos, sin embargo, examinar las pendientes de las líneas tangentes cercanast=0, y tomar el límite comot→0.
\ [\ begin {align*}
\ lim\ limits_ {t\ to0}\ frac {y^\ prime (t)} {x^\ prime (t)} &=\ lim\ limits_ {t\ to0}\ frac {3\ cos t\ sin^2t} {-3\ sin t\ cos^2t}\ quad\ text {(Podemos cancelar comot≠0.)} \\
&=\ lim\ límites_ {t\ to0} -\ frac {\ sin t} {\ cos t}\\
&= 0.
\ end {align*}\]
Hemos logrado algo significativo. Cuando la derivadadydx devuelve una forma indeterminada ent=t0, podemos definir su valor estableciendo que sealim, si ese límite existe. Esto nos permite encontrar pendientes de líneas tangentes en las cúspides, lo que puede ser muy beneficioso.
Figura 9.31: Gráfica de un astroide.
Encontramos que la pendiente de la línea tangente es 0; por lo tanto, la línea tangente esy=0, el ejex -.t=0
Concavidad
Seguimos analizando curvas en el plano considerando su concavidad; es decir, nos interesa\frac{d^2y}{dx^2}, “la segunda derivada dey con respecto a”x. Para encontrar esto, necesitamos encontrar la derivada de\frac{dy}{dx} con respecto ax; es decir,\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left[\frac{dy}{dx}\right], pero recordemos que\frac{dy}{dx} es una función det, nox, hacer que este cálculo no sea sencillo.
Para simplificar un poco la siguiente notación, vamosh(t) = \frac{dy}{dx}. Nosotros queremos\frac{d}{dx}[h(t)]; es decir, queremos\frac{dh}{dx}. Nuevamente apelamos a la Regla de la Cadena. Nota:
\frac{dh}{dt} = \frac{dh}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} \quad \Rightarrow \quad \frac{dh}{dx} = \frac{dh}{dt}\Bigg/\frac{dx}{dt}.
En palabras, para encontrar\frac{d^2y}{dx^2}, primero tomamos la derivada de\frac{dy}{dx} con respecto at, luego dividimos porx^\prime (t). Replantamos esto como una Idea Clave.
idea clave 38 Encontrar\frac{d^2y}{dx^2} with Parametric Equations
Dejarx=f(t) yy=g(t) ser dos veces funciones diferenciables en un intervalo abiertoI, dondef^\prime (t)\neq 0 encendidoI. Entonces
\frac{d^2y}{dx^2}\quad = \quad\frac{d}{dt}\left[\frac{dy}{dx}\right]\Bigg/\frac{dx}{dt} \quad=\quad \frac{d}{dt}\left[\frac{dy}{dx}\right]\Bigg/f^\prime (t).
Los ejemplos nos ayudarán a entender esta Idea Clave.
Ejemplo\PageIndex{4}: Concavity of Plane Curves
Dejarx=5t^2-6t+4 yy=t^2+6t-1 como en el Ejemplo 9.3.1. Determinar los intervalost - en los que la gráfica es cóncava arriba/abajo.
Solución La
concavidad está determinada por la segunda derivada dey con respecto ax,\frac{d^2y}{dx^2}, así que calculamos eso aquí siguiendo la Idea Clave 38.
En el Ejemplo 9.3.1, encontramos\frac{dy}{dx} = \frac{2t+6}{10t-6} yf^\prime (t) = 10t-6. Entonces:
\ [\ begin {align*}
\ frac {d^2y} {dx^2} &=\ frac {d} {dt}\ left [\ frac {2t+6} {10t-6}\ derecha]\ Bigg/ (10t-6)\\
&= -\ frac {72} {(10t-6) ^2}\ Bigg/ (10t-6)\
&= -\ frac {72} {(10t-6) ^3}\\ &= -\ frac {9} {(5t-3) ^3}
\ end {alinear*}\]
La gráfica de las funciones paramétricas es cóncava hacia arriba cuando\frac{d^2y}{dx^2} > 0 y cóncava hacia abajo cuando\frac{d^2y}{dx^2} <0. Determinamos los intervalos cuando la segunda derivada es mayor/menor que 0 encontrando primero cuando es 0 o indefinida.
Como el numerador de nunca -\frac{9}{(5t-3)^3} es 0,\frac{d^2y}{dx^2} \neq 0 para todost. No está definido cuándo5t-3=0; es decir, cuándot= 3/5. Siguiendo el trabajo establecido en la Sección 3.4, observamos valores det mayor/menor que3/5 en una recta numérica:
Revisando el Ejemplo 9.3.1, vemos que cuandot=3/5=0.6, la gráfica de las ecuaciones paramétricas tiene una línea tangente vertical. Este punto es también un punto de inflexión para la gráfica, ilustrada en la Figura 9.32.
Ejemplo\PageIndex{5}: Concavity of Plane Curves
Encuentra los puntos de inflexión de la gráfica de las ecuaciones paramétricasx=\sqrt{t},y=\sin t, para0\leq t\leq 16.
Solución
Necesitamos computar\frac{dy}{dx} y\frac{d^2y}{dx^2}.
\frac{dy}{dx} = \frac{y^\prime (t)}{x^\prime (t)} = \frac{\cos t}{1/(2\sqrt{t})} = 2\sqrt{t}\cos t.
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left[\frac{dy}{dx}\right]}{x^\prime (t)} = \frac{\cos t/\sqrt{t}-2\sqrt{t}\sin t}{1/(2\sqrt{t})}=2\cos t-4t\sin t.
Los puntos de inflexión se encuentran por ajuste\frac{d^2y}{dx^2}=0. Esto no es trivial, ya que las ecuaciones que mezclan polinomios y funciones trigonométricas generalmente no tienen soluciones “agradables”.
En la Figura 9.33 (a) vemos una gráfica de la segunda derivada. Demuestra que tiene ceros a aproximadamentet=0.5,\ 3.5,\ 6.5,\ 9.5,\ 12.5 y16. Estas aproximaciones no son muy buenas, hechas sólo mirando la gráfica. El Método de Newton proporciona aproximaciones más precisas. Precisa a 2 decimales, tenemos:
t=0.65,\ 3.29,\ 6.36,\ 9.48,\ 12.61\ \text{and}\ 15.74.
Los puntos correspondientes se han trazado en la gráfica de las ecuaciones paramétricas de la Figura 9.33 (b). Observe cómo ocurre la mayoría cerca del ejex -, pero no exactamente en el eje.
Longitud del arco
Continuamos nuestro estudio de las características de las gráficas de ecuaciones paramétricas calculando su longitud de arco. Recordemos en la Sección 7.4 encontramos la longitud del arco de la gráfica de una función, dex=a ax=b, ser
L = \int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\ dx.
Podemos usar esta ecuación y convertirla al contexto de ecuación paramétrica. Dejarx=f(t) yy=g(t), eso lo sabemos\frac{dy}{dx} = g^\prime (t)/f^\prime (t). También será útil calcular el diferencial dex:
dx = f^\prime (t)dt \qquad \Rightarrow \qquad dt = \frac{1}{f^\prime (t)}\cdot dx.
Comenzando con la fórmula de longitud de arco anterior, considere:
\ [\ begin {align*}
L &=\ int_a^b\ sqrt {1+\ left (\ frac {dy} {dx}\ derecha) ^2}\ dx\\
&=\ int_a^b\ sqrt {1+\ frac {g^\ prime (t) ^2} {f^\ prime (t) ^2}}\ dx. \\
\ text {Factorizar elf^\prime (t)^2:} &\\
&=\ int_a^b\ sqrt {f^\ prime (t) ^2+g^\ prime (t) ^2}\ cdot\ underbrackets {\ frac1 {f^\ prime (t)}\ dx} _ {=dt}\\
&=\ int_ {t_1} ^ {t_2}\ sqrt {f^\ prime (t) ^2+g^\ prime (t) ^2}\ dt. \\
\ final {alinear*}\]
Tenga en cuenta los nuevos límites (ya nox "" límites, sino "t"” límites). Se encuentran encontrandot_1 yt_2 tal quea= f(t_1) yb=f(t_2). Esta fórmula es importante, por lo que la reafirmamos como teorema.
teorema 82 longitud de arco de curvas paramétricas
Dejarx=f(t) yy=g(t) ser ecuaciones paramétricas conf^\prime yg^\prime continuas en algún intervalo abiertoI que contengat_1 yt_2 sobre el que la gráfica se rastrea solo una vez. La longitud del arco de la gráfica, det=t_1 at=t_2, es
L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{f^\prime (t)^2+g^\prime (t)^2}\ dt.
Como antes, estas integrales a menudo no son fáciles de calcular. Comenzamos con un ejemplo sencillo, luego damos otro donde aproximamos la solución.
Ejemplo\PageIndex{6}: Arc Length of a Circle
Encuentra la longitud del arco del círculo parametrizado porx=3\cos t,y=3\sin t on[0,3\pi/2].
Solución
Por aplicación directa del Teorema 82, tenemos
\ [\ begin {align*}
L &=\ int_0^ {3\ pi/2}\ sqrt {(-3\ sin t) ^2 + (3\ cos t) ^2}\ dt. \\
\ text {Aplica el Teorema de Pitágoras.} &\\
&=\ int_0^ {3\ pi/2} 3\ dt\\
&= 3t\ Big|_0^ {3\ pi/2} = 9\ pi/2.
\ end {alinear*}\]
Esto debería tener sentido; sabemos por geometría que la circunferencia de un círculo con radio 3 es6\pi; ya que estamos encontrando la longitud de arco3/4 de un círculo, la longitud del arco es3/4\cdot 6\pi = 9\pi/2.
Ejemplo\PageIndex{7}: Arc Length of a Parametric Curve
La gráfica de las ecuaciones paramétricasx=t(t^2-1), sey=t^2-1 cruza a sí misma como se muestra en la Figura 9.34, formando una “lágrima”. Encuentra la longitud del arco de la lágrima.
Solución
Podemos ver por las parametrizaciones dex yy que cuandot=\pm 1,x=0 yy=0. Esto significa que integraremos det=-1 at=1. Aplicando el Teorema 82, tenemos
\ [\ begin {align*}
L &=\ int_ {-1} ^1\ sqrt {(3t^2-1) ^2+ (2t) ^2}\ dt\\
&=\ int_ {-1} ^1\ sqrt {9t^4-2t^2+1}\ dt.
\ end {align*}\]
Desafortunadamente, el integrando no tiene un antiderivado expresable por funciones elementales. Pasamos a la integración numérica para aproximar su valor. Usando 4 subintervalos, la Regla de Simpson aproxima el valor de la integral como2.65051. Al usar una computadora, más subintervalos son fáciles de emplear, yn=20 da un valor de2.71559. nEl aumento muestra que este valor es estable y una buena aproximación del valor real.
Superficie de un Sólido de Revolución
Relacionado con la fórmula para encontrar la longitud del arco es la fórmula para encontrar el área de superficie. Podemos adaptar la fórmula que se encuentra en la Idea Clave 28 de la Sección 7.4 de manera similar a la hecha para producir la fórmula para la longitud del arco hecha anteriormente.
key idea 39 Superficie de un Sólido de Revolución
Considera la gráfica de las ecuaciones paramétricasx=f(t) yy=g(t), dondef^\prime yg^\prime son continuas en un intervalo abiertoI que contienet_1 yt_2 sobre el que la gráfica no se cruza.
- El área superficial del sólido formado al girar la gráfica alrededor del ejex - es (dóndeg(t)\geq~0 está[t_1,t_2]):
\text{Surface Area} = 2\pi\int_{t_1}^{t_2} g(t)\sqrt{f^\prime (t)^2+g^\prime (t)^2}\ dt. - El área superficial del sólido formado al girar la gráfica alrededor del ejey - es (dóndef(t)\geq~0 está[t_1,t_2]):
\text{Surface Area} = 2\pi\int_{t_1}^{t_2} f(t)\sqrt{f^\prime (t)^2+g^\prime (t)^2}\ dt.
Ejemplo\PageIndex{8}: Surface Area of a Solid of Revolution
Considere la forma de lágrima formada por las ecuaciones paramétricasx=t(t^2-1),y=t^2-1 como se ve en el Ejemplo 9.3.7. Encuentre el área de superficie si esta forma se gira alrededor del ejex -, como se muestra en la Figura 9.3.8.
Solución
La forma de lágrima se forma entret=-1 yt=1. Usando Key Idea 39, vemos que necesitamosg(t)\geq 0 on[-1,1], y este no es el caso. Para solucionar esto, simplificamos reemplazarg(t) con-g(t), que voltea toda la gráfica alrededor del ejex - (y no cambia la superficie del sólido resultante). La superficie es:
\ [\ begin {align*}
\ text {Área}\ S &= 2\ pi\ int_ {-1} ^1 (1-t^2)\ sqrt {(3t^2-1) ^2+ (2t) ^2}\ dt\\
&= 2\ pi\ int_ {-1} ^1 (1-t^2)\ sqrt {9t^4-2t^2+1}\ dt.
\ end {alinear*}\]
Una vez más llegamos a una integral que no podemos calcular en términos de funciones elementales. Usando la regla de Simpson conn=20, encontramos el área para serS=9.44. Usando valores más grandes den shows esto es exacto a 2 lugares después del decimal.
Después de definir una nueva forma de crear curvas en el plano, en esta sección hemos aplicado técnicas de cálculo a la ecuación paramétrica definiendo estas curvas para estudiar sus propiedades. En la siguiente sección, definimos otra forma de formar curvas en el plano. Para ello, creamos un nuevo sistema de coordenadas, denominado coordenadas polares, que identifica puntos en el plano de una manera diferente a la medición de distancias desde los ejesyx - y -.