9.1: Secciones Cónicas

Los antiguos griegos reconocieron que se pueden formar formas interesantes cruzando un plano con un cono doble siesto (es decir, dos conos idénticos colocados de punta a punta como se muestra en las siguientes figuras). Como estas formas se forman como secciones de cónicas, se han ganado el nombre oficial de “secciones cónicas”.

Las tres secciones cónicas “más interesantes” se dan en la fila superior de Figura$\PageIndex{1}$. Son la parábola, la elipse (que incluye círculos) y la hipérbola. En cada uno de estos casos, el plano no cruza las puntas de los conos (generalmente tomados como origen).

Figura$\PageIndex{1}$: Secciones cónicas

Cuando el plano contiene el origen, se pueden formar tres secciones degeneradas como se muestra en la fila inferior de la Figura$\PageIndex{1}$: un punto, una línea y líneas cruzadas. Nos enfocamos aquí en los casos no degenerados.

Si bien los constructos geométricos anteriores definen las cónicas de una manera intuitiva y visual, estos constructos no son muy útiles a la hora de intentar analizar las formas algebraicamente o considerarlas como la gráfica de una función. Se puede demostrar que todas las cónicas pueden ser definidas por la ecuación general de segundo grado

$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.$$

Si bien esta definición algebraica tiene sus usos, la mayoría encuentra otra perspectiva geométrica de las cónicas más beneficiosa. Cada cono no degenerado se puede definir como el locus, o conjunto, de puntos que satisfacen una cierta propiedad de distancia. Estas propiedades de distancia pueden ser utilizadas para generar una fórmula algebraica, permitiéndonos estudiar cada cónica como la gráfica de una función.

Parabolas Grandes

Definición 40: parábolas

Una parábola es el locus de todos los puntos equidistantes de un punto (llamado foco) y una línea (llamada directrix) que no contiene el foco.

Figura$\PageIndex{2}$: Ilustrando la definición de la parábola y estableciendo una fórmula algebraica.

La figura$\PageIndex{1}$ ilustra esta definición. El punto a medio camino entre el foco y la directrix es el vértice. La línea a través del foco, perpendicular a la directrix, es el eje de simetría, ya que la porción de la parábola en un lado de esta línea es el espejo—imagen de la porción en el lado opuesto.

La definición nos lleva a una fórmula algebraica para la parábola. $P=(x,y)$Sea un punto en una parábola cuyo enfoque está en$F=(0,p)$ y cuya directrix está en$y=-p$. (Asumiremos por ahora que el foco se encuentra en el eje$y$ -; al colocar las$p$ unidades de enfoque por encima del eje$x$ - y las$p$ unidades directrix debajo de este eje, el vértice estará en$(0,0)$.)

Utilizamos la Fórmula de Distancia para encontrar la distancia$d_1$ entre$F$ y$P$:

$$d_1=\sqrt{(x-0)^2+(y-p)^2}.$$

La distancia$d_2$ desde$P$ la directrix es más sencilla:

$$d_2=y-(-p) = y+p.$$

Estas dos distancias son iguales. Ajuste$d_1=d_2$, podemos resolver$y$ en términos de$x$:

\ [\ begin {alinear*}
d_1&= d_2\\
\ sqrt {x^2+ (y-p) ^2} &= y+p\\
\ text {Ahora cuadrar ambos lados.} &\\
x^2+ (y-p) ^2 &= (y+p) ^2\\
x^2+y^2-2yp+p^2 &= y^2+2yp+p^2\\
x^2 &=4yp\
y&=\ frac {1} {4p} x^2.
\ end {alinear*}\]

La definición geométrica de la parábola nos ha llevado a la familiar función cuadrática cuya gráfica es una parábola con vértice en el origen. Cuando permitimos que el vértice no esté en$(0,0)$, obtenemos la siguiente forma estándar de la parábola.

idea clave 33: ecuación general de una parábola

1. Eje vertical de simetría: La ecuación de la parábola con vértice en$(h,k)$ y directrix$y=k-p$ en forma estándar es $$y=\frac{1}{4p}(x-h)^2+k.$$ El foco está en$(h,k+p)$.
2. Eje horizontal de simetría: La ecuación de la parábola con vértice en$(h,k)$ y directrix$x=h-p$ en forma estándar es $$x=\frac{1}{4p}(y-k)^2+h.$$ El foco está en$(h+p,k)$.

Nota: no$p$ es necesariamente un número positivo.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Finding the equation of a parabola

Dar la ecuación de la parábola con enfoque en$(1,2)$ y directrix en$y=3$.

Solución

El vértice se encuentra a medio camino entre el foco y la directrix, entonces$(h,k) = (1,2.5)$. Esto da$p=-0.5$. Usando Key Idea 33 tenemos la ecuación de la parábola como

$$y=\frac{1}{4(-0.5)}(x-1)^2+2.5 = -\frac12(x-1)^2+2.5.$$

La parábola se esboza en la Figura$\PageIndex{3}$.

Figura$\PageIndex{3}$: La parábola descrita en el Ejemplo 9.1.1

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Finding the focus and directrix of a parabola

Encuentra el foco y directrix de la parábola$x=\frac18y^2-y+1$. El punto$(7,12)$ se encuentra en la gráfica de esta parábola; verificar que sea equidistante del foco y directrix.

Solución

Tenemos que poner la ecuación de la parábola en su forma general. Esto requiere que completemos la plaza:

\ [\ comenzar {alinear*}
x &=\ frac18y^2-y+1\\
&=\ frac18\ grande (y^2-8y+8\ grande)\\
&=\ frac18\ grande (y^2-8y+16 -16+8\ grande)\\
&=\ frac18\ grande ((y-4) ^2 - 8\ grande)\\
&=\ frac18 (y-4) ^2 -1.
\ end {alinear*}\]

De ahí que el vértice se ubica en$(-1,4)$. Tenemos$\frac18=\frac1{4p}$, entonces$p=2$. Se concluye que el foco se encuentra en$(1,4)$ y la directrix es$x=-3$. La parábola se grafica en Figura$\PageIndex{4}$, junto con su enfoque y directrix.

El punto$(7,12)$ se encuentra en la gráfica y es$7-(-3)=10$ unidades de la directrix. La distancia desde$(7,12)$ el foco es:

$$\sqrt{(7-1)^2 + (12-4)^2} = \sqrt{100}=10.$$

En efecto, el punto sobre la parábola es equidistante del foco y la directrix.

Figura$\PageIndex{4}$: La parábola descrita en Ejemplo$\PageIndex{2}$. Se dan las distancias desde un punto en la parábola hasta el foco y directrix.

Propiedad Reflectante

Una de las cosas fascinantes de las secciones cónicas no degeneradas son sus propiedades reflectantes. Las parábolas tienen la siguiente propiedad reflectante:

Cualquier rayo que emana del foco que intersecta la parábola se refleja a lo largo de una línea perpendicular a la directrix.

Esto se ilustra en la Figura$\PageIndex{5}$. El siguiente teorema lo afirma de manera más rigurosa.

Figura$\PageIndex{5}$: Ilustrando la propiedad reflectante de la parábola.

TEOREMA 79: PROPIEDAD REFLEXIVA DE LA PARÁB

Que$P$ sea un punto en una parábola. La línea tangente a la parábola$P$ hace ángulos iguales con las dos líneas siguientes:

1. La línea que contiene$P$ y el foco$F$, y
2. La línea perpendicular a la directrix a través$P$.

Debido a esta propiedad reflectante, los paraboloides (el análogo 3D de las parábolas) hacen que los reflectores de linterna sean útiles ya que la luz de la bombilla, idealmente ubicada en el foco, se refleja a lo largo de rayos paralelos. Las antenas parabólicas también tienen formas paraboloides. Las señales procedentes de satélites se acercan efectivamente al plato a lo largo de rayos paralelos. El plato luego enfoca estos rayos en el foco, donde se encuentra el sensor.

Elipses

Definición 41: elipse

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias desde dos puntos fijos, cada uno un foco de la elipse, es constante.

Una manera fácil de visualizar esta construcción de una elipse es anclar ambos extremos de una cuerda a una tabla. Los alfileres se convierten en los focos. Sostener un lápiz apretado contra la cuerda coloca el lápiz sobre la elipse; la suma de distancias desde el lápiz hasta los alfileres es constante: la longitud de la cuerda. Ver Figura$\PageIndex{6}$.

Figura$\PageIndex{6}$: Ilustrando la construcción de una elipse con alfileres, lápiz y cuerda.

Podemos encontrar nuevamente una ecuación algebraica para una elipse usando esta definición geométrica. Que los focos se localicen a lo largo del eje$x$ -,$c$ unidades desde el origen. Que estos focos sean etiquetados como$F_1 = (-c,0)$ y$F_2=(c,0)$. Dejar$P=(x,y)$ ser un punto en la elipse. La suma de distancias de$F_1$ a$P$ ($d_1$) y de$F_2$ a$P$ ($d_2$) es una constante$d$. Es decir,$d_1+d_2=d$. Usando la Fórmula de Distancia, tenemos

$$\sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2} = d.$$

El uso de una cantidad justa de álgebra puede producir la siguiente ecuación de una elipse (tenga en cuenta que la ecuación es una función definida implícitamente; tiene que ser, ya que una elipse falla en la Prueba de Línea Vertical):

$$\frac{x^2}{\left(\frac d2\right)^2} + \frac{y^2}{\left(\frac d2\right)^2-c^2} = 1.$$

Esto no es particularmente esclarecedor, sino haciendo la sustitución$a=d/2$ y$b=\sqrt{a^2-c^2}$, podemos reescribir la ecuación anterior como

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$$

Esta elección de$a$ y no$b$ es exenta de razón; como se muestra en la Figura$\PageIndex{7}$, los valores de$a$ y$b$ tienen significado geométrico en la gráfica de la elipse.

Figura$\PageIndex{7}$: Etiquetar las características significativas de una elipse.

En general, los dos focos de una elipse se encuentran en el eje mayor de la elipse, y el punto medio del segmento que une los dos focos es el centro. El eje mayor cruza la elipse en dos puntos, cada uno de los cuales es un vértice. El segmento de línea a través del centro y perpendicular al eje mayor es el eje menor. La “suma constante de distancias” que define la elipse es la longitud del eje mayor, es decir,$2a$.

Al permitir el desplazamiento de la elipse se obtienen las siguientes ecuaciones estándar.

idea clave 34: ecuación estándar de la elipse

La ecuación de una elipse centrada en el$(h,k)$ eje mayor de longitud$2a$ y el eje menor de longitud$2b$ en forma estándar es:

1. Eje mayor horizontal:$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.$
2. Eje mayor vertical:$\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1.$

Los focos se encuentran a lo largo del eje mayor,$c$ unidades desde el centro, donde$c^2=a^2-b^2$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Finding the equation of an ellipse

Encuentra la ecuación general de la elipse graficada en la Figura$\PageIndex{8}$.

Solución

El centro se encuentra en$(-3,1)$. La distancia desde el centro a un vértice es de 5 unidades, de ahí$a=5$. El eje menor parece tener longitud 4, entonces$b=2$. Así, la ecuación de la elipse es

$$\frac{(x+3)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{25} = 1.$$

Figura$\PageIndex{8}$: La elipse utilizada en Ejemplo$\PageIndex{3}$.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Graphing an ellipse

Grafica la elipse definida por$4x^2+9y^2-8x-36y=-4$.

Solución
Es sencillo graficar una elipse una vez que está en forma estándar. Para poner la ecuación dada en forma estándar, debemos completar el cuadrado tanto con$x$ los$y$ términos como. Primero reescribimos la ecuación reagrupando:

$$4x^2+9y^2-8x-36y=-4 \quad \Rightarrow \quad (4x^2-8x) + (9y^2-36y) = -4.$$

Ahora completamos los cuadrados.

\ [\ begin {alinear*}
(4x^2-8x) + (9y^2-36y) &= -4\\
4 (x^2-2x) + 9 (y^2-4y) &= -4\\
4 (x^2-2x +1 - 1) + 9 (y^2-4y+4-4) &= - 4\\
4\ grande ((x-1) ^2-1\ grande) + 9\ grande ((y-2) ^2-4\ grande) &= -4\\
4 (x-1) ^2 -4 + 9 (y-2) ^2-36 &= -4\\
4 (x-1) ^2 + 9 (y-2) ^2 &= 36\\
\ frac {(x-1) ^2} {9} +\ frac {(y-2) ^2} {4} &= 1.
\ end {alinear*}\]

Vemos que el centro de la elipse está en$(1,2)$. Tenemos$a=3$ y$b=2$; el eje mayor es horizontal, por lo que los vértices están ubicados en$(-2,2)$ y$(4,2)$. Encontramos$c=\sqrt{9-4} = \sqrt{5}\approx 2.24.$ Los focos se encuentran a lo largo del eje mayor, aproximadamente$2.24$ unidades del centro, a$(1\pm 2.24,2)$. Todo esto está graficado en la Figura$\PageIndex{9}$.

Figura$\PageIndex{9}$: Graficando la elipse en Ejemplo$\PageIndex{4}$.

Excentricidad

Cuando$a=b$, tenemos un círculo. La ecuación general se convierte en

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1 \quad \Rightarrow (x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2,$$

la ecuación familiar del círculo centrado en$(h,k)$ con radio$a$. Ya que$a=b$,$c = \sqrt{a^2-b^2}=0$. El círculo tiene “dos” focos, pero se encuentran en el mismo punto, el centro del círculo.

Considere Figura$\PageIndex{1}$, donde se graficaron varias elipses con$a=1$. En (a), tenemos$c=0$ y la elipse es un círculo. $c$A medida que crece, las elipses resultantes se ven cada vez menos circulares. Una medida de esta “no circularidad” es la excentricidad.

Figura$\PageIndex{10}$: Comprender la excentricidad de una elipse.

Definición 42: excentricidad de una elipse

La excentricidad$e$ de una elipse es$e=\frac{c}{a}$.

La excentricidad de un círculo es 0; es decir, un círculo no tiene “no circularidad”. A medida que$c$ se$a$$e$ aproxima, se acerca al 1, dando lugar a una elipse muy no circular, como se ve en la Figura$\PageIndex{10d}$.

Durante mucho tiempo se asumió que los planetas tenían órbitas circulares. Esto se sabe que es incorrecto; las órbitas son elípticas. La Tierra tiene una excentricidad de$0.0167$ — tiene una órbita casi circular. La órbita de Mercurio es la más excéntrica, con$e=0.2056$. (La excentricidad de Plutón es mayor, y$e=0.248$, el más grande de todos los planetas enanos actualmente conocidos). El planeta con la órbita más circular es Venus, con$e=0.0068$. La luna de la Tierra tiene una excentricidad de$e=0.0549$, también muy circular.

Propiedad Reflectante

La elipse también posee una interesante propiedad reflectante. Cualquier rayo que emana de un foco de una elipse se refleja en la elipse a lo largo de una línea a través del otro foco, como se ilustra en la Figura$\PageIndex{11}$. Esta propiedad se da formalmente en el siguiente teorema.

Figura$\PageIndex{11}$: Ilustrando la propiedad reflectante de una elipse.

teorema 80: propiedad reflexiva de una elipse

Dejar$P$ ser un punto en una elipse con focos$F_1$ y$F_2$. La línea tangente a la elipse$P$ hace ángulos iguales con las dos líneas siguientes:

1. La línea a través$F_1$ y$P$, y
2. La línea a través$F_2$ y$P$.

Esta propiedad reflexiva es útil en óptica y es la base de los fenómenos que se experimentan en las salas susurrantes.

Hipérbolas

La definición de una hipérbola es muy similar a la definición de elipse; esencialmente simplemente cambiamos la palabra “suma” por “diferencia”.

Definición 43: hipérbola

Una hipérbola es el locus de todos los puntos donde el valor absoluto de diferencia de distancias desde dos puntos fijos, cada uno un foco de la hipérbola, es constante.

No tenemos una manera conveniente de visualizar la construcción de una hipérbola como lo hicimos para la elipse. La definición geométrica sí nos permite encontrar una expresión algebraica que la describa. Será útil definir primero algunos términos.

Los dos focos se encuentran en el eje transversal de la hipérbola; el punto medio del segmento lineal que une los focos es el centro de la hipérbola. El eje transversal cruza la hipérbola en dos puntos, cada uno un vértice de la hipérbola. La línea a través del centro y perpendicular al eje transversal es el eje conjugado. Esto se ilustra en la Figura$\PageIndex{1}$. Es fácil demostrar que la diferencia constante de distancias utilizadas en la definición de la hipérbola es la distancia entre los vértices, es decir,$2a$.

Figura$\PageIndex{12}$: Etiquetado de las características significativas de una hipérbola.

idea clave 35 ecuación estándar de una hipérbola

La ecuación de una hipérbola centrada$(h,k)$ en forma estándar es:

1. Eje Transversal Horizontal:$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1.$
2. Eje transversal vertical:$\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2} = 1.$

Los vértices se ubican$a$ unidades desde el centro y los focos se ubican$c$ unidades del centro, donde$c^2 = a^2+b^2$.

Graficando Hipérbolas

Considera la hipérbola$\frac{x^2}9-\frac{y^2}1 = 1$. Resolviendo para$y$, encontramos$y=\pm\sqrt{x^2/9-1}$. $x$A medida que crece, la "$- 1$" parte de la ecuación para$y$ se vuelve menos significativa y$y\approx \pm\sqrt{x^2/9} = \pm x/3$. Es decir, a medida que$x$ se agranda, la gráfica de la hipérbola se parece mucho a las líneas$y=\pm x/3$. Estas líneas son asíntotas de la hipérbola, como se muestra en la Figura$\PageIndex{13}$.

Figura$\PageIndex{13}$: Graficando la hipérbola$\frac{x^2}9-\frac{y^2}1 = 1$ junto con sus asíntotas,$y=\pm x/3$.

Esta es una herramienta valiosa en el bosquejo. Dada la ecuación de una hipérbola en forma general, dibujar un rectángulo centrado en$(h,k)$ con lados de longitud$2a$ paralelos al eje transversal y lados de longitud$2b$ paralelos al eje conjugado. (Ver Figura$\PageIndex{14}$ para un ejemplo con un eje transversal horizontal.) Las diagonales del rectángulo se encuentran sobre las asíntotas.

Figura$\PageIndex{14}$: Uso de las asíntotas de una hipérbola como ayuda gráfica.

Estas líneas pasan a través$(h,k)$. Cuando el eje transversal es horizontal, las pendientes son$\pm b/a$; cuando el eje transversal es vertical, sus pendientes son$\pm a/b$. Esto da ecuaciones:

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Graphing a hyperbola

Dibuja la hipérbola dada por$\frac{(y-2)^2}{25}-\frac{(x-1)^2}{4}=1.$

Solución

La hipérbola está centrada en$(1,2)$;$a=5$ y$b=2$. En la Figura$\PageIndex{15}$ dibujamos el rectángulo prescrito centrado$(1,2)$ junto con las asíntotas definidas por sus diagonales. La hipérbola tiene un eje transversal vertical, por lo que los vértices se encuentran en$(1,7)$ y$(1,-3)$. Esto es suficiente para hacer un buen boceto.

Figura$\PageIndex{15}$: Graficando la hipérbola en el Ejemplo$\PageIndex{5}$.

También encontramos la ubicación de los focos: as$c^2= a^2+b^2$, tenemos$c=\sqrt{29}\approx 5.4$. Así los focos se localizan$(1,2\pm 5.4)$ como se muestra en la Figura$\PageIndex{15}$.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Graphing a hyperbola

Dibuja la hipérbola dada por$9x^2-y^2+2y=10.$

Solución

Debemos completar el cuadrado para poner la ecuación en forma general. (Reconocemos esto como una hipérbola ya que es una ecuación cuadrática general y los$y^2$ términos$x^2$ y tienen signos opuestos).

\ [\ begin {alinear*}
9x^2-y^2+2y &=10\\
9x^2- (y^2-2y) &= 10\\
9x^2 - (y^2-2y+1-1) &= 10\\
9x^2 -\ grande ((y-1) ^2-1\ grande) &= 10\
9x^2 - (y-1) ^2 &= 9\\
x^2 -\ frac {(y-1) ^2} {9} &=1
\ final {alinear*}\]

Figura$\PageIndex{16}$: Graficando la hipérbola en el Ejemplo$\PageIndex{6}$.

Vemos que la hipérbola está centrada en$(0,1)$, con un eje transversal horizontal, donde$a=1$ y$b=3$. El rectángulo apropiado se esboza en la Figura$\PageIndex{16}$ junto con las asíntotas de la hipérbola. Los vértices se encuentran en$(\pm 1,1)$. Tenemos$c=\sqrt{10}\approx 3.2$, por lo que los focos se localizan en$(\pm 3.2,1)$ como se muestra en la figura.

Excentricidad

Definición 44: EXCENTRICIDAD DE UNA HIPERBOLA

La excentricidad de una hipérbola es$e=\frac ca$.

Tenga en cuenta que esta es la definición de excentricidad como se usa para la elipse. Cuando$c$ está cerca en valor a$a$ (es decir,$e\approx 1$), la hipérbola es muy estrecha (pareciendo casi líneas cruzadas). La figura$\PageIndex{17}$ muestra hipérbolas centradas en el origen con$a=1$. La gráfica en (a) tiene$c=1.05$, dando una excentricidad de$e=1.05$, que es cercana a 1. $c$A medida que crece, la hipérbola se ensancha y comienza a parecerse a líneas paralelas, como se muestra en la Figura$\PageIndex{17d}$.

Figura$\PageIndex{17}$: Comprensión de la excentricidad de una hipérbola.

Propiedad Reflectante

Las hipérbolas comparten una propiedad reflectante similar con elipses. Sin embargo, en el caso de una hipérbola, un rayo que emana de un foco que cruza la hipérbola se refleja a lo largo de una línea que contiene el otro foco, pero alejándose de ese foco. Esto se ilustra en la Figura$\PageIndex{19}$. Los espejos hiperbólicos se utilizan comúnmente en telescopios debido a esta propiedad reflectante. Se afirma formalmente en el siguiente teorema.

TEOREMA 81: PROPIEDAD REFLEXIVANTE DE

Dejar$P$ ser un punto en una hipérbola con focos$F_1$ y$F_2$. La línea tangente a la hipérbola$P$ hace ángulos iguales con las dos líneas siguientes:

1. La línea a través$F_1$ y$P$, y
2. La línea a través$F_2$ y$P$.

Determinación de Ubicación

Determinar la ubicación de un evento conocido tiene muchos usos prácticos (ubicar el epicentro de un terremoto, un lugar de accidente aéreo, la posición de la persona que habla en una sala grande, etc.).

Para determinar la ubicación del epicentro de un sismo, los sismólogos utilizan la trilateración (que no debe confundirse con la triangulación). Un sismógrafo permite determinar qué tan lejos estaba el epicentro; usando tres lecturas separadas, se puede aproximar la ubicación del epicentro.

Una clave de este método es conocer las distancias. ¿Y si esta información no está disponible? Considera tres micrófonos en posiciones$A$,$B$ y$C$ que todos registran un ruido (la voz de una persona, una explosión, etc.) creado en un lugar desconocido$D$. El micrófono no “sabe” cuándo se creó el sonido, sólo cuando se detectó el sonido. ¿Cómo se puede determinar la ubicación en tal situación?

Figura$\PageIndex{19}$: Ilustrando la propiedad reflexiva de una hipérbola.

Si cada ubicación tiene un reloj ajustado a la misma hora, se pueden usar hipérbolas para determinar la ubicación. Supongamos que el micrófono en posición$A$ graba el sonido exactamente a las 12:00, la ubicación$B$ registra la hora exactamente 1 segundo después y la ubicación$C$ registra el ruido exactamente 2 segundos después de eso. Nos interesa la diferencia de tiempos. Dado que la velocidad del sonido es de aproximadamente 340 m/s, podemos concluir rápidamente que el sonido se creó 340 metros más cerca de la posición$A$ que de la posición$B$. Si$A$ y$B$ son una distancia conocida (como se muestra en la Figura$\PageIndex{1a}$), entonces podemos determinar una hipérbola sobre la que$D$ debe estar.

La “diferencia de distancias” es 340; esta es también la distancia entre vértices de la hipérbola. Entonces ya sabemos$2a= 340$. Se posiciona$A$ y se$B$ acuesta sobre los focos, así$2c=1000$. A partir de esto podemos encontrar$b\approx 470$ y podemos bosquejar la hipérbola, dada en la Figura$\PageIndex{19b}$. Solo nos importa el lado más cercano a$A$. (¿Por qué?)

También podemos encontrar la hipérbola definida por posiciones$B$ y$C$. En este caso,$2a = 680$ ya que el sonido viajó 2 segundos extra para llegar a$C$. Todavía tenemos$2c=1000$, centrando esta hipérbola en$(-500,500)$. Nos encontramos$b\approx 367$. Esta hipérbola se esboza en la Figura$\PageIndex{1c}$. El punto de intersección de las dos gráficas es la ubicación del sonido, aproximadamente$(188,-222.5)$.

Figura$\PageIndex{18}$: Uso de hipérbolas en la detección de ubicación.

Este capítulo explora las curvas en el plano, en particular las curvas que no pueden ser descritas por funciones de la forma$y=f(x)$. En esta sección, aprendimos de elipses e hipérbolas que se definen implícitamente, no explícitamente. En las siguientes secciones, aprenderemos formas completamente nuevas de describir curvas en el plano, utilizando ecuaciones paramétricas y coordenadas polares, luego estudiaremos estas curvas usando técnicas de cálculo.

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