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# 9: Curvas en el Plano

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Hemos explorado de$$y = f(x)$$ cerca las funciones de la forma a lo largo de este texto. Hemos explorado sus límites, sus derivados y sus antiderivados; hemos aprendido a identificar características clave de sus gráficas, como máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión y asíntotas; hemos encontrado ecuaciones de sus líneas tangentes, las áreas entre porciones de sus gráficas y el eje x, y los volúmenes de sólidos generados por partes giratorias de sus gráficas alrededor de un eje horizontal o vertical.

A pesar de todo esto, las gráficas creadas por funciones de la forma$$y = f(x)$$ son limitadas. Dado que cada valor x puede corresponder solo a 1 valor y, las formas comunes como los círculos no pueden ser completamente descritas por una función en esta forma. Apropiadamente, la “prueba de línea vertical” excluye las líneas verticales de ser funciones de x, aunque estas líneas son importantes en matemáticas.

En este capítulo exploraremos nuevas formas de dibujar curvas en el plano. Seguimos trabajando dentro del marco de funciones, ya que una entrada seguirá correspondiendo solo a una salida. Sin embargo, nuestras nuevas técnicas de dibujo de curvas harán que la prueba de línea vertical no tenga sentido, y nos permitirá crear nuevas curvas importantes y hermosas. Una vez definidas estas curvas, les aplicaremos los conceptos de cálculo, continuando encontrando ecuaciones de líneas tangentes y las áreas de regiones cerradas.

• 9.1: Secciones Cónicas
Los antiguos griegos reconocieron que se pueden formar formas interesantes cruzando un plano con un cono doble siesto (es decir, dos conos idénticos colocados de punta a punta como se muestra en las siguientes figuras). Como estas formas se forman como secciones de cónicas, se han ganado el nombre oficial de “secciones cónicas”.
• 9.2: Ecuaciones paramétricas
La ecuación rectangular y=f (x) y=f (x) funciona bien para algunas formas como una parábola con un eje vertical de simetría, pero en la sección anterior encontramos varias formas que no se podían esbozar de esta manera. (Para trazar una elipse usando el procedimiento anterior, necesitamos trazar la “parte superior” y la “parte inferior” por separado). En esta sección introducimos un nuevo procedimiento de boceto.
• 9.3: Cálculo y ecuaciones paramétricas
La sección anterior definía curvas basadas en ecuaciones paramétricas. En esta sección emplearemos las técnicas de cálculo para estudiar estas curvas. Todavía nos interesan las líneas tangentes a puntos en una curva. Describen cómo los valores y están cambiando con respecto a los valores x, son útiles para hacer aproximaciones e indican la dirección instantánea de desplazamiento.
• 9.4: Introducción a las coordenadas polares
Generalmente se nos introduce la idea de graficar curvas relacionando valores x con valores y a través de una función f. Las dos secciones anteriores introdujeron y estudiaron una nueva forma de trazar puntos en el plano x, y. Usando ecuaciones paramétricas, los valores x e y se computan independientemente y luego se trazan juntos. Este método nos permite graficar un extraordinario rango de curvas. Esta sección introduce otra forma más de trazar puntos en el plano: usando coordenadas polares.
• 9.5: Cálculo y funciones polares
En la sección anterior se definieron las coordenadas polares, dando lugar a funciones polares. Investigamos trazando estas funciones y resolviendo una pregunta fundamental sobre sus gráficas, a saber, ¿dónde se cruzan dos gráficas polares? Ahora volvemos nuestra atención a responder a otras preguntas, cuyas soluciones requieren el uso del cálculo. Una base para gran parte de lo que se hace en esta sección es la capacidad de convertir una función polar r=f (θ) en un conjunto de ecuaciones paramétricas.
• 9.E: Aplicaciones de Curvas en un Plano (Ejercicios)