12.E: Aplicaciones de Funciones de Varias Variables (Ejercicios)

12.1: Introducción a las Funciones Multivariables

Términos y Conceptos

1. Dar dos ejemplos (distintos de los que se dan en el texto) de funciones del “mundo real” que requieren más de una entrada.

2. La gráfica de una función de dos variables es un _______.

3. La mayoría de las personas están familiarizadas con el concepto de curvas de nivel en el contexto de ______ mapas.

4. T/F: A lo largo de una curva de nivel, la salida de una función no cambia.

5. El análogo de una curva de nivel para funciones de tres variables es un nivel _______.

6. ¿Qué significa cuando las curvas de nivel están muy juntas? ¿Lejos?

Problemas

En los Ejercicios 7-14, dar el dominio y rango de la función multivariable.

7. \(f(x,y) = x^2+y^2+2\)

8. \(f(x,y) = x+2y\)

9. \(f(x,y) = x-2y\)

10. \(f(x,y) = \frac{1}{x+2y}\)

11. \(f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}\)

12. \(f(x,y) = \sin x \cos y\)

13. \(f(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}\)

14. \(f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2-9}}\)

En los Ejercicios 15-22, describa con palabras y esboce las curvas de nivel para la función y los valores c dados.

15. \(f(x,y)=3x-2y; \, c=-2,0,2\)

16. \(f(x,y)=x^2-y^2; \, c=-1,0,1\)

17. \(f(x,y)=x-y^2; \, c=-2,0,2\)

18. \(f(x,y)=\frac{1-x^2-y^2}{2y-2x}; \, c=-2,0,2\)

19. \(f(x,y)=\frac{2x-2y}{x^2+y^2+1}; \, c=-1,0,1\)

20. \(f(x,y)=\frac{y-x^3-1}{x}; \, c=-3,-1,0,1,3\)

21. \(f(x,y)=\sqrt{x^2+4y^2}; \, c=1,2,3,4\)

22. \(f(x,y)= x^2+4y^2; \, c=1,2,3,4\)

En los Ejercicios 23-26, dar el dominio y rango de las funciones de tres variables.

23. \(f(x,y,z)=\frac{x}{x+2y-4z}\)

24. \(f(x,y,z)=\frac{1}{1-x^2-y^2-z^2}\)

25. \(f(x,y,z)=\sqrt{z-x^2+y^2}\)

26. \(f(x,y,z) = z^2 \sin x \cos y\)

En los Ejercicios 27-30, describa las superficies niveladas de las funciones dadas de tres variables.

27. \(f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2\)

28. \(f(x,y,z) = z-x^2+y^2\)

29. \(f(x,y,z) = \frac{x^2+y^2}{z}\)

30. \(f(x,y,z) = \frac{z}{x-y}\)

31. Compara las curvas de nivel de los Ejercicios 21 y 22. ¿Cómo son similares y en qué se diferencian? Cada superficie es una superficie cuádrica; describa cómo las curvas de nivel son consistentes con lo que sabemos de cada superficie.

12.2: Límites y continuidad de las funciones multivariables

Términos y Conceptos

1. Describa con sus propias palabras la diferencia entre límite y punto interior de un conjunto.

2. Usa tus propias palabras para describir (informalmente) lo que\(\lim\limits_{(x,y)\to (1,2)}f(x,y)=17\) significa.

3. Dé un ejemplo de un conjunto cerrado y acotado.

4. Dé un ejemplo de un conjunto cerrado e inacotado.

5. Dé un ejemplo de un conjunto abierto y acotado.

6. Dé un ejemplo de un conjunto abierto, sin límites.

Problemas

En Ejercicios 7-10, se da un conjunto S.
a) Dar un punto límite y un punto interior, cuando sea posible, de S.
(b) Estado si S es abierto, cerrado, o ninguno de ellos.
c) Indicar si S es acotado o no limitado.

7. \(S=\left \{(x,y) \Big | \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{(y-3)^2}{9} \le 1 \right \}\)

8. \(S=\left \{(x,y) \Big | y \ne x^2 \right \}\)

9. \(S=\left \{(x,y) \Big | x^2+y^2=1 \right \}\)

10. \(S=\left \{(x,y) \Big | y >\sin x \right \}\)

En Ejercicios 11-14: a
) Encontrar el dominio D de la función dada.
b) Indicar si D es de conjunto abierto o cerrado.
c) Indicar si D es acotada o no delimitada.

11. \(f(x,y) =\sqrt{9-x^2-y^2}\)

12. \(f(x,y) =\sqrt{y-x^2}\)

13. \(f(x,y) =\frac{1}{\sqrt{y-x^2}}\)

14. \(f(x,y) =\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)

En Ejercicios 15-20, se da un límite. Evaluar el límite a lo largo de los caminos dados, luego indicar por qué estos resultados muestran que el límite dado no existe.

15. \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
a) A lo largo del camino\(y=0\).
b) A lo largo del camino\(x=0\).

16. \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x+y}{x-y}\)
a) A lo largo del camino\(y=mx\).

17. \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy-y^2}{y^2+x}\)
a) A lo largo del camino\(y=mx\).
b) A lo largo del camino\(x=0\).

18. \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin (x^2)}{y}\)
a) A lo largo del camino\(y=mx\).
b) A lo largo del camino\(y=x^2\).

19. \(\lim\limits_{(x,y)\to (1,2)}\frac{x+y-3}{x^2-1}\)
a) A lo largo del camino\(y=2\).
b) A lo largo del camino\(y=x+1\).

20. \(\lim\limits_{(x,y)\to (\pi ,\pi/2)}\frac{\sin x}{\cos y}\)
a) A lo largo del camino\(x=\pi\).
b) A lo largo del camino\(y=x-\pi/2\).

12.3: Derivadas parciales

Términos y Conceptos

1. ¿Cuál es la diferencia entre una constante y un coeficiente?

2. Dada una función\(z=f(x,y)\), explica en tus propias palabras cómo calcular\(f_x\).

3. En la fracción parcial mixta\(f_{xy}\), que se calcula primero,\(f_x\) o\(f_y\)?

4. En la fracción parcial mixta\(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\), que se calcula primero,\(f_x\) o\(f_y\).

Problemas

En Ejercicios 5-8, evaluar\(f_x(x,y)\) y\(f_y (x,y)\) en el punto indicado.

5. \(f(x,y)=x^2y-x+2y+3 \text{ at }(1,2)\)

6. \(f(x,y)=x^3-3x+y^2-6y \text{ at }(-1,3)\)

7. \(f(x,y)=\sin y\cos x \text{ at }(\pi/3,\pi/3)\)

8. \(f(x,y)=\ln (xy) \text{ at }(-2,-3)\)

En Ejercicios 9-26, encuentra\(f_x,f_y,f_{xx},f_{yy},f_{xy}\text{ and }f_{yx}\).

9. \(f(x,y) =x^2y+3x^2+4y-5\)

10. \(f(x,y) =y^3+3xy^2+3x^2y+x^3\)

11. \(f(x,y) =\frac{x}{y}\)

12. \(f(x,y) =\frac{4}{xy}\)

13. \(f(x,y) =e^{x^2+y^2}\)

14. \(f(x,y) =e^{x+2y}\)

15. \(f(x,y) =\sin x \cos y\)

16. \(f(x,y) =(x+y)^3\)

17. \(f(x,y) =\cos (5xy^3)\)

18. \(f(x,y) = \sin (5x^2+2y^3)\)

19. \(f(x,y) = \sqrt{4xy^2+1}\)

20. \(f(x,y) = (2x+5y)\sqrt{y}\)

21. \(f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2+1}\)

22. \(f(x,y) = 5x-17y\)

23. \(f(x,y) = 3x^2+1\)

24. \(f(x,y) =\ln (x^2+y)\)

25. \(f(x,y) = \frac{\ln x}{4y}\)

26. \(f(x,y) = 5e^x \sin y +9\)

En los Ejercicios 27-30, forman una función\(z=f(x,y)\) tal que\(f_x\) y\(f_y\) coincidan con los dados.

27. \(f_x =\sin y+1,\quad f_y=x\cos y\)

28. \(f_x = x+y,\quad f_y=x+y\)

29. \(f_x = 6xy-4y^2,\quad f_y=3x^2-8xy+2\)

30. \(f_x = \frac{2x}{x^2+y^2},\quad f_y=\frac{2y}{x^2+y^2}\)

En Ejercicios 31-34, encontrar\(f_x, f_y, f_z, f_{yz}\) y\(f_{zy}\).

31. \(f(x,y,z)=x^2 e^{2y-3z}\)

32. \(f(x,y,z)=x^3y^2 +x^3z+y^2z\)

33. \(f(x,y,z)=\frac{3x}{7y^2z}\)

34. \(f(x,y,z)=\ln (xyz)\)

12.4: Diferenciabilidad y Diferencial Total

Términos y Conceptos

1. T/F: Si\(f(x,y)\) es diferenciable en S, el\(f\) es continuo en S.

2. T/F: Si\(f_x\) y\(f_y\) son continuos en S, entonces\(f\) es diferenciable en S.

3. T/F: Si\(z=f(x,y)\) es diferenciable, entonces el cambio en z sobre pequeños cambios\(dx\) y\(dy\) en x e y es aproximadamente dz.

4. Termina la frase: “El nuevo valor z es aproximadamente el antiguo valor z más el ______ aproximado”.

Problemas

En Ejercicios 5-8, encuentra el diferencial total dz.

5. \(z=x\sin y +x^2\)

6. \(z= (2x^2 +3y)^2\)

7. \(z=5x-7y\)

8. \(z=xe^{x+y}\)

En los Ejercicios 9-12,\(z=f(x,y)\) se da una función. Dar la aproximación indicada utilizando el diferencial total.

9. \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y}\). \(f(2,95, 7.1)\)Conocimientos aproximados\(f(3,7)=4\).

10. \(f(x,y)=\sin x \cos y\). \(f(0.1,-0.1)\)Conocimientos aproximados\(f(0,0)=0\).

11. \(f(x,y)=x^2y-xy^2\). \(f(2.04,3.06)\)Conocimientos aproximados\(f(2,3)=-6\).

12. \(f(x,y)=\ln (x-y)\). \(f(5.1, 3.98)\)Conocimientos aproximados\(f(5,4)=0\).

Los ejercicios 13-16 hacen una variedad de preguntas que tratan de aproximar el error y el análisis de sensibilidad.

13. Un tanque de almacenamiento cilíndrico debe tener 2 pies de alto con un radio de 1 pie. ¿El volumen del tanque es más sensible a los cambios en el radio o la altura?

14. Movimiento del proyectil: El valor x de un objeto que se mueve bajo los principios del movimiento del proyectil es\(x(\theta ,v_o, t)=(v_o\cos \theta)t\). Un proyectil particular se dispara con una velocidad inicial de\(v_o=250\) pies/s y un ángulo de elevación de\(\theta =60^\circ\). Se desplaza una distancia de 375 pies en 3 segundos. ¿El proyectil es más sensible a errores en la velocidad inicial o ángulo de elevaciones?

15. Se debe aproximar la longitud\(l\) de un muro largo. El ángulo\(\theta\), como se muestra en el diagrama (no a escala), se mide para ser 85\(^\circ\), y la distancia x se mide para ser\(30'\). Supongamos que el triángulo formado es un triángulo rectángulo.

Es la medida de la longitud de\(l\) más sensible a errores en la medición de x o\(\ln \theta\).

16. Es “sentido común” que es mucho mejor medir una larga distancia con una cinta métrica larga en lugar de una corta. Una distancia medida D se puede ver como el producto de la longitud\(l\) de una cinta métrica por el número n de veces que se usó. Por ejemplo, usar una cinta 3' 10 veces da una longitud de\(30'\). Para medir la misma distancia con una\(12'\) cinta, usaríamos la cinta 2.5 veces. (es decir,\(30=12 \times 2.5\).) Así\(D=nl\).

Supongamos que cada vez que se toma una medición con la cinta de la distancia registrada dentro\(1/16''\) de la distancia real, (es decir,\(dl=1/16'' \approx 0.005\) pies). Usando diferenciales, muestran por qué el sentido común resulta correcto ya que es mejor usar una cinta larga para medir largas distancias.

En Ejercicios 17-18, encuentra el diferencial total\(dw\).

17. \(w=x^2yz^3\)

18. \(w=e^x\sin y \ln z\)

En los Ejercicios 19-22, utilizar la información proporcionada y el diferencial total para hacer la aproximación dada.

19. \(f(3,1)=7,\,f_x(3,1)=9,\,f_y(3,1)=-2.\)Aproximado\(f(3.05, 0.9)\).

20. \(f(-4,2)=13,\,f_x(-4,2)=2.6,\,f_y(-4,2)=5.1.\)Aproximado\(f(-4.12,2.07)\).

21. \(f(2,4,5)=-1,\,f_x(2,4,5)=2,\,f_y(2,4,5)=-3,\, f_z(2,4,5)=3.7\)Aproximado\(f(2.5, 4.1,4.8)\).

22. \(f(3,3,3)=5,\,f_x(3,3,3)=2,\,f_y(3,3,3)=0,\,f_z(3,3,3)=-2\)Aproximado\(f(3.1,3.1,3.1)\).

12.5: La regla de la cadena multivariable

Términos y Conceptos

1. Deje que una curva de nivel de\(z=f(x,y)\) ser descrita por\(x=g(t), \, y=h(t)\). Explique por qué\(\frac{dz}{dt}=0\).

2. Rellene el espacio en blanco: La regla de cadena de variable única establece\(\frac{d}{dx}\left ( f\left (g(x)\right )\right )=f' \left ( g(x)\right )\cdot \) _________.

3. Rellene el espacio en blanco: La Regla de Cadena Multivariable establece\(\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \) _________ + __________\(\cdot \frac{dy}{dt}\).

4. Si\(z=f(x,y)\), donde\(x=g(t)\) y\(y=h(t)\), podemos sustituir y escribir z como una función explícita de t.
T/F: Usar la Regla de Cadena Multivariable para encontrar a veces\(\frac{dz}{dt}\) es más fácil que primero sustituir y luego tomar la derivada.

5. T/F: La regla de cadena multivariable solo es útil cuando todas las funciones relacionadas se conocen explícitamente.

6. La Regla de Cadena Multivariable nos permite calcular fácilmente derivados implícitos simplemente calculando dos derivados ______.

Problemas

En Ejercicios 7-12,\(y=h(t)\) se dan funciones\(z=f(x,y),\,x=g(t)\) y.
(a) Utilice la Regla de Cadena Multivariable para calcular\(\frac{dz}{dt}\).
b) Evaluar\(\frac{dz}{dt}\) al valor t indicado.

7. \(z=3x+4y,\quad x=t^2,\quad y=2t;\quad t=1\)

8. \(z=x^2-y^2,\quad x=t,\quad y=t^2-1;\quad t=1\)

9. \(z=5x+2y,\quad x=2\cos t +1,\quad y=\sin t-3;\quad t=\pi/4\)

10. \(z=\frac{x}{y^2+1},\quad x=\cos t,\quad y=\sin t;\quad t=\pi/2\)

11. \(z=x^2+2y^2,\quad x=\sin t,\quad y=3\sin t;\quad t=\pi/4\)

12. \(z=\cos x \sin y,\quad x=\pi t,\quad y=2\pi t +\pi/2;\quad t=3\)

En los Ejercicios 13-18,\(y=h(t)\) se dan funciones\(z=f(x,y),\,x=g(t)\) y. Encuentra los valores de t donde\(\frac{dz}{dt}=0\). Nota: estas son las mismas superficies/curvas que se encuentran en los Ejercicios 7-12.

13. \(z=3x+4y,\quad x=t^2,\quad y=2t\)

14. \(z=x^2-y^2,\quad x=t,\quad y=t^2-1\)

15. \(z=5x+2y,\quad x=2\cos t +1,\quad y=\sin t-3\)

16. \(z=\frac{x}{y^2+1},\quad x=\cos t,\quad y=\sin t\)

17. \(z=x^2+2y^2,\quad x=\sin t,\quad y=3\sin t\)

18. \(z=\cos x \sin y,\quad x=\pi t,\quad y=2\pi t +\pi/2\)

En Ejercicios 19-22,\(y=h(s,t)\) se dan funciones\(z=f(x,y),x=g(s,t) \) y.
(a) Utilice la regla de cadena multivariable para calcular\(\frac{\partial z}{\partial s}\) y\(\ frac {\ partial z} {\ partial t}\).
b) Evaluar\(\frac{\partial z}{\partial s}\) y\(\frac{\partial z}{\partial t}\) en los valores s y t indicados.

19. \(z=x^2y,\quad x=s-t,\quad y=2s+4t;\quad s=1,t=0\)

20. \(z=\cos \left (\pi x +\frac{\pi}{2}y\right ),\quad x=st^2,\quad y=s^2 t;\quad s=1,t=1\)

21. \(z=x^2+y^2,\quad x=s\cos t,\quad y=s\sin t;\quad s=2,t=\pi/4\)

22. \(z=e^{-(x^2+y^2)},\quad x=t,\quad y=st^2;\quad s=1,t=1\)

En los Ejercicios 23-26, encuentra\(\frac{dy}{dx}\) usando Diferenciación Implícita y Teorema 109.

23. \(x^2\tan y=50\)

24. \((3x^2+2y^3)^4=2\)

25. \(\frac{x^2+y}{x+y^2}=17\)

26. \(\ln (x^2+xy +y^2)=1\)

En los Ejercicios 27-30, encuentre\(\frac{dz}{dt}\), o\(\frac{\partial z}{\partial s}\) y\(\frac{\partial z}{\partial t}\), utilizando la información suministrada.

27. \(\frac{\partial z}{\partial x}=2,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=1,\quad \frac{dx}{dt}=4,\quad \frac{dy}{dt}=-5\)

28. \(\frac{\partial z}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-3,\quad \frac{dx}{dt}=6,\quad \frac{dy}{dt}=2\)

29. \(\frac{\partial z}{\partial x}=-4,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=9,\quad \frac{\partial x}{\partial s}=5,\quad \frac{\partial x}{\partial t}=7, \quad \frac{\partial y}{\partial s}=-2,\quad \frac{\partial y}{\partial t}=6\)

30. \(\frac{\partial z}{\partial x}=2,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=1,\quad \frac{\partial x}{\partial s}=-2,\quad \frac{\partial x}{\partial t}=3, \quad \frac{\partial y}{\partial s}=2,\quad \frac{\partial y}{\partial t}=-1\)

12.6: Derivados direccionales

Términos y Conceptos

1. ¿Cuál es la diferencia entre una derivada direccional y una derivada parcial?

2. ¿Para qué\(\vec{u}\) es\(D_{\vec{u}}f=f_x\)?

3. ¿Para qué\(\vec{u}\) es\(D_{\vec{u}}f=f_y\)?

4. El gradiente es _______ a curvas de nivel.

5. Los puntos de gradiente en la dirección de _______ aumentan.

6. Generalmente es más informativo ver la derivada direccional no como resultado de un límite, sino como resultado de un producto ________.

Problemas

En los Ejercicios 7-12,\(z=f(x,y)\) se da una función. Encontrar\(\nabla f\).

7. \(f(x,y)=-x^2y+xy^2+xy\)

8. \(f(x,y)=\sin x \cos y\)

9. \(f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1}\)

10. \(f(x,y)=-4x+3y\)

11. \(f(x,y)=x^2+2y^3-xy-7x\)

12. \(f(x,y)=x^2y^3-2x\)

En los Ejercicios 13-18 se dan una función\(z=f(x,y)\) y un punto P. Encuentra la derivada direccional de f en las direcciones indicadas. Nota: estas son las mismas funciones que en los Ejercicios 7-12.

13. \(f(x,y)=-x^2y+xy^2+xy,\,P=(2,1)\)
a) En la dirección de\(\vec{v} =\langle 3,4 \rangle \)
(b) En la dirección hacia el punto\(Q=(-1,1)\)

14. \(f(x,y)=\sin x \cos y,\,P=(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3})\)
a) En la dirección de\(\vec{v} =\langle 1,1 \rangle \)
(b) En la dirección hacia el punto\(Q=(0,0)\)

15. \(f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1},\,P=(1,1)\)
a) En la dirección de\(\vec{v} =\langle 1,-1 \rangle \)
(b) En la dirección hacia el punto\(Q=(-2,-2)\)

16. \(f(x,y)=-4x+3y,\,P=(5,2)\)
a) En la dirección de\(\vec{v} =\langle 3,1 \rangle \)
(b) En la dirección hacia el punto\(Q=(2,7)\)

17. \(f(x,y)=x^2+2y^2-xy-7x,\,P=(4,1)\)
a) En la dirección de\(\vec{v} =\langle -2,5 \rangle \)
(b) En la dirección hacia el punto\(Q=(4,0)\)

18. \(f(x,y)=x^2y^3-2x,\,P=(1,1)\)
a) En la dirección de\(\vec{v} =\langle 3,3 \rangle \)
(b) En la dirección hacia el punto\(Q=(1,2)\)

En los Ejercicios 19-24, se dan una función\(z=f(x,y)\) y un punto P.
(a) Encontrar la dirección de incremento máximo de\(f\) at\(P\).
b) ¿Cuál es el valor máximo de\(D_\vec{u}f\) at\(P\)?
(c) Encontrar la dirección de incremento mínimo de\(f\) at\(P\).
(d) Dar una dirección\(\vec{u}\) tal que\(D_\vec{u}f=0\) al\(P\).
Nota: estas son las mismas funciones y puntos que en los Ejercicios 13 al 18.

19. \(f(x,y)=-x^2y+xy^2+xy,\,P=(2,1)\)

20. \(f(x,y)=\sin x \cos y,\,P=(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3})\)

21. \(f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1},\,P=(1,1)\)

22. \(f(x,y)=-4x+3y,\,P=(5,4)\)

23. \(f(x,y)=x^2+2y^2-xy-7x,\,P=(4,1)\)

24. \(f(x,y)=x^2y^3-2x,\,P=(1,1)\)

En los Ejercicios 25-28 se dan una función\(w=F(x,y,z)\), un vector\(\vec{v}\) y un punto P.
(a) Encontrar\(\nabla F(x,y,z)\).
(b) Encontrar\(D_\vec{u}F\) en P.

25. \(f(x,y)=3x^2z^3+4xy-3z^2,\,\vec{v}=\langle 1,1,1 \rangle,\, P=(3,2,1)\)

26. \(f(x,y)=\sin (x) \cos (y)e^z,\,\vec{v}=\langle 2,2,1 \rangle,\, P=(0,0,0)\)

27. \(f(x,y)=x^2y^2-y^2z^2,\,\vec{v}=\langle -1,7,3 \rangle,\, P=(1,0,-1)\)

28. \(f(x,y)=\frac{2}{x^2+y^2+z^2},\,\vec{v}=\langle 1,1,-2 \rangle,\, P=(1,1,1)\)

12.7: Líneas tangentes, líneas normales y planos tangentes

Términos y Conceptos

1. Explicar cómo se\(\vec{v}=\langle 1,0,3\rangle \) puede pensar que el vector tiene una “pendiente” de 3.

2. Explique cómo se\(\vec{v}=\langle 0.6,0.8,-2 \rangle\) puede pensar que el vector tiene una “pendiente” de -2.

3. T/F: Dejar\(z=f(x,y)\) ser diferenciable en P. Si\(\vec{n}\) es vector normal al plano tangente de\(f\) at\(P\), entonces\(\vec{n}\) es ortogonal a\(f_x\) y\(f_y\) en P.

4. Explique con sus propias palabras por qué no nos referimos a la línea tangente a una superficie en un punto, sino más bien a las líneas tangentes direccionales a una superficie en un punto.

Problemas

En los Ejercicios 5-8 se dan una función\(z=f(x,y)\), un vector\(\vec{v}\) y un punto P. Dar las ecuaciones paramétricas de las siguientes líneas tangentes direccionales a\(f\) at\(P\):
(a)\(l_x (t)\)
(b)\(l_y (t)\)
(c)\(l_\vec{u}\), donde \(\vec{u}\)es el vector unitario en la dirección de\(\vec{v}\).

5. \(f(x,y)=2x^y-4xy^2,\,\vec{v}=\langle 1,3 \rangle,\,P=(2,3)\).

6. \(f(x,y)=3\cos x\sin y ,\,\vec{v}=\langle 1,2 \rangle,\,P=(\pi/3,\pi/6)\).

7. \(f(x,y)=3x-5y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(4,2)\).

8. \(f(x,y)=x^2-2x-y^2+4y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(1,2)\).

En los Ejercicios 9-12 se dan una función\(z=f(x,y)\) y un punto P. Encuentra la ecuación de la línea normal a\(f\) at\(P\). Nota: estas son las mismas funciones que en los Ejercicios 5-8.

9. \(f(x,y)=2x^y-4xy^2,\,\vec{v}=\langle 1,3 \rangle,\,P=(2,3)\).

10. \(f(x,y)=3\cos x\sin y ,\,\vec{v}=\langle 1,2 \rangle,\,P=(\pi/3,\pi/6)\).

11. \(f(x,y)=3x-5y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(4,2)\).

12. \(f(x,y)=x^2-2x-y^2+4y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(1,2)\).

En los Ejercicios 13-16 se dan una función\(z=f(x,y)\) y un punto P. Encuentra los dos puntos que están a 2 unidades de la superficie\(f\) en\(P\). Nota: estas son las mismas funciones que en los Ejercicios 5-8.

13. \(f(x,y)=2x^y-4xy^2,\,\vec{v}=\langle 1,3 \rangle,\,P=(2,3)\).

14. \(f(x,y)=3\cos x\sin y ,\,\vec{v}=\langle 1,2 \rangle,\,P=(\pi/3,\pi/6)\).

15. \(f(x,y)=3x-5y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(4,2)\).

16. \(f(x,y)=x^2-2x-y^2+4y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(1,2)\).

En los Ejercicios 17-20,\(P\) se dan una función\(z=f(x,y)\) y un punto. Encuentra la ecuación del plano tangente a\(f\) at\(P\). Nota: estas son las mismas funciones que en los Ejercicios 5-8.

17. \(f(x,y)=2x^y-4xy^2,\,\vec{v}=\langle 1,3 \rangle,\,P=(2,3)\).

18. \(f(x,y)=3\cos x\sin y ,\,\vec{v}=\langle 1,2 \rangle,\,P=(\pi/3,\pi/6)\).

19. \(f(x,y)=3x-5y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(4,2)\).

20. \(f(x,y)=x^2-2x-y^2+4y,\,\vec{v}=\langle 1,1 \rangle,\,P=(1,2)\).

En los Ejercicios 21-24, se da una función implícitamente definida de\(x,\,y\) y\(z\) se da junto con un punto\(P\) que se encuentra en la superficie. Usa el gradiente\(\nabla F\) para:
(a) encontrar la ecuación de la línea normal a la superficie en P, y
(b) encontrar la ecuación del plano tangente a la superficie en P.

21. \(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16}=1,\text{ at }P =(1,\sqrt{2},\sqrt{6})\)

22. \(z^2-\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=0,\text{ at }P =(4,-3,\sqrt{5})\)

23. \(xy^2-xz^2=0,\text{ at }P=(2,1,-1)\)

24. \(\sin (xy) +\cos )yz) =0,\text{ at }P=(2,\pi/12,4)\)

12.8: Valores extremos

Términos y Conceptos

1. T/F: Teorema 114 establece que si\(f\) tiene un punto crítico en\(P\), entonces\(f\) tiene un extremo relativo en\(P\).

2. T/F: Un punto\(P\) es un punto crítico de\(f\) si\(f_x\) y ambos\(f_y\) son 0 en\(P\).

3. T/F: Un punto\(P\) es un punto crítico de\(f\) si\(f_x\) o\(f_y\) están indefinidos en\(P\).

4. Explicar lo que significa “resolver un problema de optimización restringida”.

Problemas

Ejercicios 5-14, encontrar los puntos críticos de la función dada. Utilice la Prueba de Segunda Derivada para determinar si cada punto crítico corresponde a un máximo relativo, mínimo o punto de sillín.

5. \(f(x,y)=\frac{1}{2}x^2+2y^2-8y+4x\)

6. \(f(x,y)=x^2+4x+y^2-9y+3xy\)

7. \(f(x,y)= x^2+3y^2-6y+4xy\)

8. \(f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1}\)

9. \(f(x,y)=x^2+y^3-3y+1\)

10. \(f(x,y)=\frac{1}{3}x^3-x+\frac{1}{3}y^3-4y\)

11. \(f(x,y)=x^2y^2\)

12. \(f(x,y)=x^4-2x^2+y^3-27y-15\)

13. \(f(x,y)=\sqrt{16-(x-3)^2-y^2}\)

14. \(f(x,y)= \sqrt{x^2+y^2}\)

En los Ejercicios 15-18, encuentra el máximo y mínimo absoluto de la función sujeta a la restricción dada.

15. \(f(x,y)=x^2+y^2+y=1\), restringido a los triángulos con vértices\(0,1),(-1,1),\text{ and }(1,-1)\).

16. \(f(x,y)=5x-7y\), restringido a la región delimitada por\(y=x^2 \text{ and }y=1\).

17. \(f(x,y)=x^2+2x+y^2+2y\), restringido a la región delimitada por el círculo\(x^2+y^2=4\).

18. \(f(x,y)=3y-2x^2\), limitado a la región delimitada por la parábola\(y=x^2+x-1\) y la línea\(y=x\).