12.3: Derivadas Parciales

Dejar$y$ ser una función de$x$. Hemos estudiado con gran detalle la derivada de$y$ con respecto a$x$, es decir$\frac{dy}{dx}$, que mide la tasa a la que$y$ cambia con respecto a$x$. Consideremos ahora$z=f(x,y)$. Tiene sentido querer saber cómo$z$ cambia con respecto a$x$ y/o$y$. Esta sección inicia nuestra investigación sobre estas tasas de cambio.

Considera la función$z=f(x,y) = x^2+2y^2$, tal como se representa en la Figura 12.11 (a). Al fijar$y=2$, enfocamos nuestra atención en todos los puntos de la superficie donde el$y$ -valor es 2, mostrado en ambas partes (a) y (b) de la figura. Estos puntos forman una curva en el espacio:$z = f(x,2) = x^2+8$ que es función de una sola variable. Podemos tomar la derivada de$z$ respecto a$x$ lo largo de esta curva y encontrar ecuaciones de líneas tangentes, etc.

Figura 12.11: Al fijar y=2, la superficie$f(x,y)=x^2+2y^2$ es una curva en el espacio.

La noción clave a extraer de este ejemplo es: al tratar$y$ como constante (no varía) podemos considerar cómo$z$ cambia con respecto a$x$. De manera similar, podemos mantener$x$ constantes y considerar cómo$z$ cambia con respecto a$y$. Este es el principio subyacente de las derivadas parciales. Declaramos primero la definición formal basada en límites, luego mostramos cómo calcular estas derivadas parciales sin tomar límites directamente.

Definición 83 Derivada parcial

Dejar$z=f(x,y)$ ser una función continua en un conjunto abierto$S$ en$\mathbb{R}^2$.

1. La derivada parcial de$f$ con respecto a$x$ es: $$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y) - f(x,y)}h.$$
2. La derivada parcial de$f$ con respecto a$y$ es: $$f_y(x,y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x,y+h) - f(x,y)}h.$$

Nota: Las notaciones alternativas para$f_x(x,y)$ incluir:

$$\frac{\partial}{\partial x}f(x,y),\,\frac{\partial f}{\partial x},\, \frac{\partial z}{\partial x},\ \ \text{and}\ z_x,$$

con notaciones similares para$f_y(x,y).$ Para facilitar la notación, a menudo$f_x(x,y)$ se abrevia$f_x$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Computing partial derivatives with the limit definition

Vamos$f(x,y) = x^2y + 2x+y^3$. Encuentra$f_x(x,y)$ usando la definición de límite.

Solución

Usando la Definición 83, tenemos:

\ [\ begin {alinear*}
f_x (x, y) &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {f (x+h, y) - f (x, y)} {h}\\
&=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {(x+h) ^2y+2 (x+h) +y^3 - (x^2y+2x+y^3)} {h}\\
&=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {(x^2y+2xhy+h^2y+2x+2h+y^3- (x^2y+2x+y^3)} {h}\\
&=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {2xhy+h^ 2y+2h} {h}\\
&=\ lim_ {h\ a 0} 2xy+hy+2\\
&= 2xy+2.
\ end {alinear*}\]

Hemos encontrado$f_x(x,y) = 2xy+2$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$ encontró una derivada parcial usando la definición formal basada en límites. Sin embargo, el uso de límites no es necesario, ya que podemos confiar en nuestro conocimiento previo de derivados para calcular fácilmente derivadas parciales. Al computar$f_x(x,y)$, mantenemos$y$ fijos — no varía. Por lo tanto, podemos calcular la derivada con respecto a$x$ tratándola$y$ como una constante o coeficiente.

Así como$\frac{d}{dx}\big(5x^2\big) = 10x$, calculamos$\frac{\partial}{\partial x}\big(x^2y\big) = 2xy$. Aquí estamos tratando$y$ como un coeficiente.

Así como$\frac{d}{dx}\big(5^3\big) = 0$, calculamos$\frac{\partial}{\partial x}\big(y^3\big) = 0.$ Aquí estamos tratando$y$ como una constante. Más ejemplos ayudarán a dejar esto claro.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Finding partial derivatives

Encuentra$f_x(x,y)$ y$f_y(x,y)$ en cada una de las siguientes.

1. $f(x,y) = x^3y^2+ 5y^2-x+7$
2. $f(x,y) = \cos(xy^2)+\sin x$
3. $f(x,y) = e^{x^2y^3}\sqrt{x^2+1}$

Solución

1. Tenemos$f(x,y) = x^3y^2+ 5y^2-x+7$. Empezar con$f_x(x,y)$. Mantente$y$ fijo, tratándolo como una constante o coeficiente, según corresponda: $$f_x(x,y) = 3x^2y^2-1.$$ Observe cómo los$7$ términos$5y^2$ y van a cero. Para calcular$f_y(x,y)$, mantenemos$x$ fijo: $$f_y(x,y) = 2x^3y+10y.$$ Observe cómo los$7$ términos$-x$ y van a cero.
   
2. Tenemos$f(x,y) = \cos(xy^2)+\sin x$.
   Empezar con$f_x(x,y)$. Necesitamos aplicar la Regla de Cadena con el término coseno;$y^2$ es el coeficiente del$x$ término dentro de la función coseno. $$f_x(x,y) = -\sin(xy^2)(y^2)+\cos x = -y^2\sin(xy^2)+\cos x.$$ Para encontrar$f_y(x,y)$, tenga en cuenta que$x$ es el coeficiente del$y^2$ término dentro del término coseno; también tenga en cuenta que ya que$x$$\sin x$ es fijo, también es fijo, y lo tratamos como una constante. $$f_y(x,y) = -\sin(xy^2)(2xy) = -2xy\sin(xy^2).$$
   
3. Tenemos$f(x,y) = e^{x^2y^3}\sqrt{x^2+1}$.
   Empezando$f_x(x,y)$ por, anote cómo necesitamos aplicar la Regla de Producto. $$\begin{align*}f_x(x,y) &= e^{x^2y^3}(2xy^3)\sqrt{x^2+1} + e^{x^2y^3}\frac12\big(x^2+1\big)^{-1/2}(2x) \\&= 2xy^3e^{x^2y^3}\sqrt{x^2+1}+\frac{xe^{x^2y^3}}{\sqrt{x^2+1}}.\end{align*}$$ Tenga en cuenta que al encontrar no$f_y(x,y)$ tenemos que aplicar la Regla del Producto; ya que$\sqrt{x^2+1}$ no contiene$y$, la tratamos como fija y de ahí se convierte en un coeficiente del$e^{x^2y^3}$ término. $$f_y(x,y) = e^{x^2y^3}(3x^2y^2)\sqrt{x^2+1} = 3x^2y^2e^{x^2y^3}\sqrt{x^2+1}.$$

Hemos mostrado cómo calcular una derivada parcial, pero aún puede que no quede claro qué significa una derivada parcial. Dado$z=f(x,y)$,$f_x(x,y)$ mide la tasa a la que$z$ cambia ya que solo$x$ varía:$y$ se mantiene constante.

Imagínese pararse en una pradera ondulada, luego comenzando a caminar hacia el este. Dependiendo de tu ubicación, podrías subir, bajar bruscamente o tal vez no cambiar de elevación en absoluto. Esto es similar a medir$z_x$: se está moviendo solo hacia el este (en la dirección "$x$“-dirección) y no del norte/sur en absoluto. Volviendo a tu ubicación original, imagina ahora caminando hacia el norte (en la dirección "$y$“-dirección). Quizás caminar por el norte no cambia en absoluto tu elevación. Esto es análogo a$z_y=0$:$z$ no cambia con respecto a$y$. Eso podemos ver$z_x$ y$z_y$ no tiene que ser lo mismo, ni siquiera similar, ya que es fácil imaginar circunstancias donde caminar hacia el este significa caminar cuesta abajo, aunque caminar hacia el norte te hace caminar cuesta arriba.

El siguiente ejemplo nos ayuda a visualizar esto más.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Evaluating partial derivatives

Vamos$z=f(x,y)=-x^2-\frac12y^2+xy+10$. Encontrar$f_x(2,1)$$f_y(2,1)$ e interpretar su significado.

Solución

Comenzamos por la computación$f_x(x,y) = -2x+y$ y$f_y(x,y) = -y+x$. Así

$$f_x(2,1) = -3 \quad \text{and}\quad f_y(2,1) = 1.$$

También es útil señalar que$f(2,1) = 7.5$. ¿Qué significa cada uno de estos números?

Considere$f_x(2,1)=-3$, junto con la Figura 12.12 (a). Si uno “se para” sobre la superficie en el punto$(2,1,7.5)$ y se mueve paralelo al$x$ eje -( es decir, solo cambia el$x$ -valor, no el$y$ -valor), entonces la tasa instantánea de cambio es$-3$. Al aumentar el$x$ valor -se disminuirá el$z$ valor -valor; al disminuir el$x$ valor -se incrementará el$z$ valor -valor.

Figura 12.12: Ilustrando el significado de las derivadas parciales.

Consideremos ahora$f_y(2,1)=1$, ilustrado en la Figura 12.12 (b). Al moverse a lo largo de la curva dibujada en la superficie, es decir, paralela al$y$ eje$x$ -y no cambiar los valores$z$ -, aumenta el -valor instantáneamente a una velocidad de 1. Incrementar el$y$ valor -en 1 aumentaría el$z$ valor -en aproximadamente 1.

Dado que la magnitud de$f_x$ es mayor que la magnitud de$f_y$ at$(2,1)$, es “más pronunciada” en la$x$ dirección -que en la$y$ dirección -dirección.

Segunda Derivadas Parciales

Vamos$z=f(x,y)$. Hemos aprendido a encontrar las derivadas parciales$f_x(x,y)$ y$f_y(x,y)$, que son cada una funciones de$x$ y$y$. Por lo tanto podemos tomar derivados parciales de ellos, cada uno con respecto a$x$ y$y$. Definimos estos “segundos parciales” junto con la notación, damos ejemplos, luego discutimos su significado.

Definición 84 Segunda derivada parcial y derivada parcial mixta

Dejar$z=f(x,y)$ ser continuo en un juego abierto$S$.

1. La segunda derivada parcial de$f$ con respecto a$x$ entonces$x$ es $$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \big(\,f_x\,\big)_x = f_{xx}$$
   
2. La segunda derivada parcial de$f$ con respecto a$x$ entonces$y$ es $$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x} = \big(\,f_x\,\big)_y = f_{xy}$$

Definiciones similares se mantienen para$\frac{\partial^2f}{\partial y^2} = f_{yy}$ y$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = f_{yx}$.

Las segundas derivadas parciales$f_{xy}$ y$f_{yx}$ son derivadas parciales mixtas.

La notación de segundas derivadas parciales da cierta idea de la notación de la segunda derivada de una función de una sola variable. Si$y=f(x)$, entonces$f''(x) = \frac{d^2 y}{dx^2}$. La "$d^2y$" porción significa “tomar la derivada de$y$ dos veces”, mientras que$dx^2$ "" significa “con respecto a$x$ ambas veces”. Cuando sólo conocemos funciones de una sola variable, esta última frase parece tonta: sólo hay una variable a la que tomar la derivada respecto. Ahora que entendemos funciones de múltiples variables, vemos la importancia de especificar a qué variables nos estamos refiriendo.

Nota: Los términos de la Definición 84 dependen todos de los límites, por lo que cada definición viene con la advertencia “donde existe el límite”.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Second partial derivatives

Para cada una de las siguientes, encuentra las seis primera y segunda derivadas parciales. Es decir, encontrar
$$f_x,\quad f_y,\quad f_{xx},\quad f_{yy},\quad f_{xy}\quad \text{and}\quad f_{yx}\,.$$

1. $f(x,y) = x^3y^2 + 2xy^3+\cos x$
2. $f(x,y) = \frac{x^3}{y^2}$
3. $f(x,y)=e^{x}\sin(x^2y)$

Solución

En cada uno, damos$f_x$ e$f_y$ inmediatamente y luego dedicamos tiempo derivando las segundas derivadas parciales.

1. $f(x,y) = x^3y^2+2xy^3+\cos x$
   $f_x(x,y) = 3x^2y^2+2y^3-\sin x$
   $f_y(x,y) = 2x^3y+6xy^2$
   $f_{xx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial x}\big(3x^2y^2+2y^3-\sin x\big) = 6xy^2-\cos x$
   $f_{yy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(f_y\big) = \frac{\partial}{\partial y}\big(2x^3y+6xy^2\big) = 2x^3+12xy$
   $f_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial y}\big(3x^2y^2+2y^3-\sin x\big) = 6x^2y+6y^2$
   $f_{yx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial x}\big(2x^3y+6xy^2\big) = 6x^2y+6y^2$
   
2. $f(x,y) = \frac{x^3}{y^2} = x^3y^{-2}$
   $f_x(x,y) = \frac{3x^2}{y^2}$
   $f_y(x,y) = -\frac{2x^3}{y^3}$
   $f_{xx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial x}\big(\frac{3x^2}{y^2}\big) = \frac{6x}{y^2}$
   $f_{yy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(f_y\big) = \frac{\partial}{\partial y}\big(-\frac{2x^3}{y^3}\big) = \frac{6x^3}{y^4}$
   $f_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial y}\big(\frac{3x^2}{y^2}\big) = -\frac{6x^2}{y^3}$
   $f_{yx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\big(f_x\big) = \frac{\partial}{\partial x}\big(-\frac{2x^3}{y^3}\big) = -\frac{6x^2}{y^3}$
   
3. $f(x,y) = e^x\sin(x^2y)$
   Debido a que las siguientes derivadas parciales se vuelven bastante largas, omitimos la notación extra y solo damos los resultados. En varios casos, serán necesarias múltiples aplicaciones de las Reglas de Producto y Cadena, seguidas de alguna combinación básica de términos similares.
   $f_x(x,y) = e^x\sin(x^2y) + 2xye^x\cos(x^2y)$
   $f_y(x,y) = x^2e^x\cos(x^2y)$
   $f_{xx}(x,y) = e^x\sin(x^2y)+4xye^x\cos(x^2y)+2ye^x\cos(x^2y)-4x^2y^2e^x\sin(x^2y)$
   $f_{yy}(x,y) = -x^4e^x\sin(x^2y)$
   $f_{xy}(x,y) = x^2e^x\cos(x^2y)+2xe^x\cos(x^2y)-2x^3ye^x\sin(x^2y)$
   $f_{yx}(x,y) = x^2e^x\cos(x^2y)+2xe^x\cos(x^2y)-2x^3ye^x\sin(x^2y)$

Observe cómo en cada una de las tres funciones del Ejemplo 12.3.4,$f_{xy} = f_{yx}$. Debido a la complejidad de los ejemplos, esto probablemente no sea una coincidencia. El siguiente teorema afirma que no lo es.

teorema 103 Derivadas parciales mixtas

Dejar que$f$ se definan de tal manera que$f_{xy}$ y$f_{yx}$ son continuos en un conjunto abierto$S$. Entonces para cada punto$(x,y)$ en$S$,$f_{xy}(x,y) = f_{yx}(x,y)$.

Encontrar$f_{xy}$ e$f_{yx}$ independientemente y comparar los resultados proporciona una manera conveniente de verificar nuestro trabajo.

Comprensión de las segundas derivadas parciales

Ahora que sabemos encontrar segundos parciales, investigamos lo que nos dicen.

Nuevamente nos referimos a una función$y=f(x)$ de una sola variable. La segunda derivada de$f$ es “la derivada de la derivada”, o “la tasa de cambio de la tasa de cambio”. La segunda derivada mide cuánto está cambiando la derivada. Si$f''(x)<0$, entonces la derivada es cada vez más pequeña (así la gráfica de$f$ es cóncava hacia abajo); si$f''(x)>0$, entonces la derivada está creciendo, haciendo la gráfica de$f$ cóncava hacia arriba.

Ahora considere$z=f(x,y)$. Se pueden hacer declaraciones similares sobre$f_{xx}$ y$f_{yy}$ como se podría hacer sobre$f''(x)$ lo anterior. Al tomar derivados con respecto a$x$ dos veces, medimos la cantidad de$f_x$ cambios con respecto a$x$. Si$f_{xx}(x,y)<0$, significa que a medida que$x$ aumenta,$f_x$ disminuye, y la gráfica de$f$ será cóncava hacia abajo en la dirección$x$ -. Utilizando la analogía de estar parado en la pradera ondulada utilizada anteriormente en esta sección,$f_{xx}$ mide si el camino de uno es cóncavo arriba/abajo al caminar hacia el este.

De igual manera,$f_{yy}$ mide la concavidad en la$y$ dirección -dirección. Si$f_{yy}(x,y)>0$, entonces$f_y$ va aumentando con respecto a$y$ y la gráfica de$f$ será cóncava hacia arriba en la$y$ dirección -dirección. Apelando nuevamente a la analogía de pradera ondulada,$f_{yy}$ mide si el camino de uno es cóncavo arriba/abajo al caminar hacia el norte.

Consideramos ahora los parciales mixtos$f_{xy}$ y$f_{yx}$. El parcial mixto$f_{xy}$ mide cuánto$f_x$ cambia con respecto a$y$. Una vez más usando la analogía del prado rodante,$f_{x}$ mide la pendiente si uno camina hacia el este. Mirando hacia el este, comience a caminar hacia el norte (de lado). ¿El camino hacia el este es cada vez más empinado? Si es así,$f_{xy}>0$. ¿El camino hacia el oriente no está cambiando en pendiente? Si es así, entonces$f_{xy}=0$. Algo similar se puede decir sobre$f_{yx}$: considere la pendiente de los caminos que se dirigen hacia el norte mientras de lado, escalonando hacia el este.

El siguiente ejemplo examina estas ideas con números y gráficos concretos.

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Understanding second partial derivatives

Vamos$z=x^2-y^2+xy$. Evaluar las 6 derivadas parciales primera y segunda en$(-1/2,1/2)$ e interpretar lo que significan cada uno de estos números.

Solución

Encontramos que:

$f_x(x,y) = 2x+y$,\ quad$f_y(x,y) = -2y+x$,\ quad$f_{xx}(x,y) = 2$,\ quad$f_{yy}(x,y) = -2$ y$f_{xy}(x,y) = f_{yx}(x,y) = 1$. Así en$(-1/2,1/2)$ tenemos $$f_x(-1/2,1/2) = -1/2,\qquad f_y(-1/2,1/2) = -3/2.$$ La pendiente de la línea tangente$(-1/2, 1/2, -1/4)$ en la dirección de$x$ es$-1/2$: si uno se mueve desde ese punto paralelo al$x$ eje -eje, la tasa instantánea de cambio será$-1/2$. La pendiente de la línea tangente en este punto en la dirección de$y$ es$-3/2$: si uno se mueve desde este punto paralelo al$y$ eje -eje, la tasa instantánea de cambio será$-3/2$. Estas líneas tangentes se grafican en la Figura 12.13 (a) y (b), respectivamente, donde las líneas tangentes se dibujan en una línea continua.

Figura 12.13: Comprensión de las segundas derivadas parciales en el Ejemplo 12.3.5.

Ahora considere sólo la Figura 12.13 (a). Se dibujan tres líneas tangentes dirigidas (dos son discontinuas), cada una en la dirección de$x$; es decir, cada una tiene una pendiente determinada por$f_x$. Observe cómo a medida que$y$ aumenta, la pendiente de estas líneas se acerca a$0$. Dado que las pendientes son todas negativas, acercarnos a 0 significa que las pendientes van en aumento. Las pendientes que dan$f_x$ van aumentando a medida que$y$ aumenta, el significado$f_{xy}$ debe ser positivo.

Ya que$f_{xy}=f_{yx}$, también esperamos aumentar$f_y$ a medida que$x$ aumenta. Consideremos la Figura 12.13 (b) donde nuevamente se dibujan tres líneas tangentes dirigidas, esta vez cada una en la dirección de$y$ con pendientes determinadas por$f_y$. A medida que$x$ aumenta, las pendientes se vuelven menos empinadas (más cerca de 0). Al tratarse de pendientes negativas, esto significa que las pendientes van en aumento.

Hasta ahora tenemos una comprensión visual de$f_x$,$f_y$, y$f_{xy}=f_{yx}$. Ahora interpretamos$f_{xx}$ y$f_{yy}$. En la Figura 12.13 (a), vemos una curva dibujada donde$x$ se mantiene constante en$x=-1/2$: solo$y$ varía. Esta curva es claramente cóncava hacia abajo, lo que corresponde al hecho de que$f_{yy}<0$. En la parte (b) de la figura, vemos una curva similar donde$y$ es constante y solo$x$ varía. Esta curva es cóncava hacia arriba, correspondiente al hecho de que$f_{xx}>0$.

Derivadas parciales y funciones de tres variables

Los conceptos subyacentes a las derivadas parciales pueden extenderse fácilmente a más de dos variables. Damos algunas definiciones y ejemplos en el caso de tres variables y confiamos en que el lector pueda extender estas definiciones a más variables si es necesario.

Definición 85 Derivadas parciales con tres variables

Dejar$w=f(x,y,z)$ ser una función continua en un conjunto abierto$S$ en$\mathbb{R}^3$.

La derivada parcial de$f$ con respecto a$x$ es:

$$f_x(x,y,z) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.$$

Definiciones similares se mantienen para$f_y(x,y,z)$ y$f_z(x,y,z)$.

Al tomar derivadas parciales de derivadas parciales, podemos encontrar segundas derivadas parciales de$f$ con respecto a$z$ entonces$y$, por ejemplo, igual que antes.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Partial derivatives of functions of three variables

Para cada una de las siguientes, encontrar$f_x$,$f_y$,$f_z$,$f_{xz}$,$f_{yz}$, y$f_{zz}$.

1. $f(x,y,z) = x^2y^3z^4+x^2y^2+x^3z^3+y^4z^4$
2. $f(x,y,z) = x\sin (yz)$

Solución

1. $f_x = 2xy^3z^4+2xy^2+3x^2z^3;\quad f_y = 3x^2y^2z^4+2x^2y+4y^3z^4$;
   $f_z = 4x^2y^3z^3+3x^3z^2+4y^4z^3;\quad f_{xz} = 8xy^3z^3+9x^2z^2$;
   $f_{yz} = 12x^2y^2z^3+16y^3z^3;\quad f_{zz} = 12x^2y^3z^2+6x^3z+12y^4z^2$
   
2. $f_x = \sin(yz);\quad f_y = xz\cos(yz);\quad f_z = xy\cos(yz)$;
   $f_{xz} = y\cos(yz);\quad f_{yz} = x\cos(yz) - xyz\sin(yz);\quad f_{zz} = -xy^2\sin(xy)$

Derivadas parciales de orden superior

Podemos seguir tomando derivados parciales de derivados parciales de derivados parciales de...; no tenemos que parar con segundas derivadas parciales. Estas derivadas parciales de orden superior no tienen una interpretación gráfica ordenada; sin embargo, no son difíciles de calcular y dignas de alguna práctica. No definimos formalmente cada derivado de orden superior, sino que damos solo algunos ejemplos de la notación.

$$f_{xyx}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right) \quad \text{and}$$

$$f_{xyz}(x,y,z) =\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right) .$$

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Higher order partial derivatives

1. Vamos$f(x,y) = x^2y^2+\sin(xy)$. Encontrar$f_{xxy}$ y$f_{yxx}$.
2. Vamos$f(x,y,z) = x^3e^{xy}+\cos(z)$. Encontrar$f_{xyz}$.

Solución

1. Para encontrar$f_{xxy}$, primero encontramos$f_x$, luego$f_{xx}$, luego$f_{xxy}$: $$\begin{align*}f_x &= 2xy^2+y\cos(xy) \quad\quad f_{xx} = 2y^2-y^2\sin(xy)\\f_{xxy} &= 4y-2y\sin(xy) - xy^2\cos(xy).\end{align*}$$ Para encontrar$f_{yxx}$, primero encontramos$f_y$, luego$f_{yx}$, luego$f_{yxx}$: $$\begin{align*}f_y &= 2x^2y+x\cos(xy) \quad \quad f_{yx} = 4xy + \cos(xy) - xy\sin(xy)\\f_{yxx} &= 4y-y\sin(xy) - \big(y\sin(xy) + xy^2\cos(xy)\big)\\ &= 4y-2y\sin(xy)-xy^2\cos(xy).\end{align*}$$ Observe cómo$f_{xxy} = f_{yxx}$.
   
2. Para encontrar$f_{xyz}$, encontramos$f_x$, entonces$f_{xy}$, entonces$f_{xyz}$:
   $$\begin{align*}f_x &= 3x^2e^{xy}+ x^3ye^{xy} \quad \quad f_{xy} = 3x^3e^{xy}+x^3e^{xy}+x^4ye^{xy} = 4x^3e^{xy}+x^4ye^{xy}\\ f_{xyz} &= 0.\end{align*}$$

En el ejemplo anterior lo vimos$f_{xxy} = f_{yxx}$; esto no es una coincidencia. Si bien no declaramos esto como un teorema formal, siempre y cuando cada derivada parcial sea continua, no importa el orden en que se tomen las derivadas parciales. Por ejemplo,$f_{xxy} = f_{xyx} = f_{yxx}$.

Esto puede ser útil a veces. Si hubiéramos sabido esto, la segunda parte del Ejemplo$\PageIndex{7}$ habría sido mucho más sencilla de calcular. En lugar de computar$f_{xyz}$ en el$x$,$y$ luego$z$ órdenes, podríamos haber aplicado el$z$,$x$ luego$y$ ordenar (as$f_{xyz} = f_{zxy}$). Es fácil ver eso$f_z = -\sin z$; entonces$f_{zx}$ y$f_{zxy}$ son claramente 0 ya que$f_z$ no contiene una$x$ o$y$.

Una breve revisión de esta sección: las derivadas parciales miden la tasa instantánea de cambio de una función multivariable con respecto a una variable. Con$z=f(x,y)$, las derivadas parciales$f_x$ y$f_y$ medir la tasa instantánea de cambio de$z$ cuando se mueve paralelo a los$y$ ejes$x$ - y -respectivamente. ¿Cómo medimos la tasa de cambio en un punto en el que no nos movemos paralelos a uno de estos ejes? ¿Y si nos movemos en la dirección dada por el vector$\langle 2,1\rangle$? ¿Podemos medir esa tasa de cambio? La respuesta es, por supuesto, sí, podemos. Este es el tema de la Sección 12.6. Primero, necesitamos definir lo que significa que una función de dos variables sea diferenciable.