12.5: La regla de la cadena multivariable

La Regla de la Cadena, tal como se aprendió en la Sección 2.5, establece que$\frac{d}{dx}\Big(f\big(g(x)\big)\Big) = f'\big(g(x)\big)g'(x)$. Si$t=g(x)$, podemos expresar la Regla de Cadena como
$$\frac{df}{dx} = \frac{df}{dt}\frac{dt}{dx}.$$
En esta sección extendemos la Regla de Cadena a funciones de más de una variable.

teorema 107 Regla de Cadena Multivariable, Parte I

Dejar$z=f(x,y)$,$x=g(t)$ y$y=h(t)$, dónde$f$,$g$ y$h$ son funciones diferenciables. Entonces$z = f(x,y) = f\big(g(t),h(t)\big)$ es una función de$t$, y
\ [\ begin {align*}
\ frac {dz} {dt} =\ frac {df} {dt} &= f_x (x, y)\ frac {dx} {dt} +f_y (x, y)\ frac {dy} {dt}\\ [4pt]
&=\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}\ frac {dx} {dt} +\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}\ frac {dy} {dt}.
\ end {alinear*}\]

Es bueno entender cuál es la situación de$z=f(x,y)$,$x=g(t)$ y$y=h(t)$ describe. Sabemos que$z=f(x,y)$ describe una superficie; también lo reconocemos$x=g(t)$ y$y=h(t)$ son ecuaciones paramétricas para una curva en el$y$ plano$x$ -. Combinando estos juntos, estamos describiendo una curva que se encuentra en la superficie descrita por$f$. Las ecuaciones paramétricas para esta curva son$x=g(t)$,$y=h(t)$ y$z=f\big(g(t),h(t)\big)$.

Considere la Figura 12.14 en la que se dibuja una superficie, junto con una curva discontinua en el$y$ plano$x$ -. $f$Restringir solo los puntos de este círculo da la curva que se muestra en la superficie. La derivada$\frac{df}{dt}$ da la tasa instantánea de cambio de$f$ con respecto a$t$. Si consideramos un objeto viajando por este camino,$\frac{df}{dt}$ da la velocidad a la que el objeto se eleva/baja.

Figura 12.14: Comprensión de la aplicación de la Regla de Cadena Multivariable.

Ahora practicamos la aplicación de la Regla de Cadena Multivariable.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Using the Multivariable Chain Rule

Vamos$z=x^2y+x$, dónde$x=\sin t$ y$y=e^{5t}$. Encuentra$\frac{dz}{dt}$ usando la regla de la cadena.

Solución
Siguiendo el teorema 107, encontramos
$$f_x(x,y) = 2xy+1,\qquad f_y(x,y) = x^2,\qquad \frac{dx}{dt} = \cos t,\qquad \frac{dy}{dt}= 5e^{5t}.$$
Aplicando el teorema, tenemos
$$\frac{dz}{dt} = (2xy+1)\cos t+ 5x^2e^{5t}.$$
Esto puede parecer extraño, ya que parece que$\frac{dz}{dt}$ es una función de$x$,$y$ y$t$. Dado que$x$ y$y$ son funciones de$t$,$\frac{dz}{dt}$ es realmente solo una función de$t$, y podemos reemplazar$x$ con$\sin t$ y$y$ con$e^{5t}$:
$$\frac{dz}{dt} = (2xy+1)\cos t+ 5x^2e^{5t} = (2\sin (t)e^{5t}+1)\cos t+5e^{5t}\sin^2t.$$

El ejemplo anterior puede hacernos preguntarnos: si sustituimos$x$ y$y$ al final para demostrar que$\frac{dz}{dt}$ es realmente solo una función de$t$, ¿por qué no sustituir antes de diferenciar, mostrando claramente que$z$ es una función de$t$?

Es decir,$z = x^2y+x = (\sin t)^2e^{5t}+\sin t.$ Aplicando las Reglas de Cadena y Producto, tenemos
$$\frac{dz}{dt} = 2\sin t\cos t\, e^{5t}+ 5\sin^2t\,e^{5t}+\cos t,$$
cuál coincide con el resultado del ejemplo.

Esto ahora puede hacer que uno se pregunte “¿Cuál es el punto? Si ya pudiéramos encontrar el derivado, ¿por qué aprender otra forma de encontrarlo?” En algunos casos, aplicar esta regla hace que derivar sea más sencillo, pero éste no es apenas el poder de la Regla en Cadena. Más bien, en el caso donde$z=f(x,y)$,$x=g(t)$ y$y=h(t)$, la Regla de la Cadena es extremadamente poderosa cuando no sabemos qué$f$,$g$ y/o$h$ somos. Puede ser difícil de creer, pero a menudo en “el mundo real” conocemos la tasa de cambio de información (es decir, información sobre derivados) sin conocer explícitamente las funciones subyacentes. La Regla de la Cadena nos permite combinar varias tasas de cambio para encontrar otra tasa de cambio. La Regla de la Cadena también tiene un uso teórico, dándonos una idea del comportamiento de ciertas construcciones (como veremos en la siguiente sección).

Esto lo demostramos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Applying the Multivarible Chain Rule

Un objeto viaja a lo largo de una trayectoria en una superficie. No se conocen el camino y la superficie exactos, pero en el momento$t=t_0$ se sabe que:
$$\frac{\partial z}{\partial x} = 5,\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-2,\qquad \frac{dx}{dt}=3\qquad \text{and}\qquad \frac{dy}{dt}=7.$$
Encontrar$\frac{dz}{dt}$ a la vez$t_0$.

Solución
La regla de cadena multivariable establece que
\ [\ begin {align*}
\ frac {dz} {dt} &=\ frac {\ partial z} {\ partial x}\ frac {dx} {dt} +\ frac {\ partial z} {\ partial y}\ frac {dy} {dt}\\
&= 5 (3) + (-2) (7)\\
&=1.
\ end {align*}\]
Al conocer ciertas tasas de cambio de información sobre la superficie y sobre la trayectoria de la partícula en el$x$$y$ plano, podemos determinar la rapidez con la que el objeto sube o baja.

A continuación aplicamos la Regla de Cadena para resolver un problema máximo/mínimo.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Applying the Multivariable Chain Rule

Considera la superficie$z=x^2+y^2-xy$, un paraboloide, sobre el cual una partícula se mueve con$x$ y$y$ coordina dada por$x=\cos t$ y$y=\sin t$. Encuentra$\frac{dz}{dt}$ cuándo$t=0$ y dónde alcanza la partícula sus$z$ valores máximo/mínimos.

Solución
Es sencillo calcular
$$f_x(x,y) = 2x-y,\qquad f_y(x,y) = 2y-x,\qquad \frac{dx}{dt} = -\sin t,\qquad \frac{dy}{dt} = \cos t.$$
Combinando estos de acuerdo con la Regla de Cadena da:
$$\frac{dz}{dt} = -(2x-y)\sin t + (2y-x)\cos t.$$

Figura 12.15: Trazando la trayectoria de una partícula sobre una superficie en el Ejemplo 12.3.5

Cuándo$t=0$,$x=1$ y$y=0$. Así$\frac{dz}{dt} = -(2)(0)+ (-1)(1) = -1$. Cuando$t=0$, la partícula se mueve hacia abajo, como se muestra en la Figura 12.15.

Para encontrar dónde se maximiza/minimiza$z$ -value en la ruta de la partícula, establecemos$\frac{dz}{dt}=0$ y resolvemos para$t$:
\ [\ begin {align*}
\ frac {dz} {dt} =0 &= - (2x-y)\ sin t + (2y-x)\ cos t\\
0&= - (2\ cos t-\ sin t)\ sin t+ (2\ sin t-\ cos t)\ cos t\\
0&=\ sin^2t-\ cos^2t\
\ cos^2t &=\ sin^2t\\
t&= n\ frac {\ pi} 4\ quad\ text {(para impar$n$)}
\ end {align*}\]
Podemos usar la Prueba de Primera Derivada para encontrar que on$[0,2\pi]$,$z$ ha alcanzado su mínimo absoluto en$t=\pi/4$ y$5\pi/4$; alcanza su máximo absoluto en$t=3\pi/4$ y$7\pi/4$, como se muestra en la Figura 12.15.

Podemos extender la Regla de Cadena para incluir la situación donde$z$ es una función de más de una variable, y cada una de estas variables es también una función de más de una variable. El caso básico de esto es donde$z=f(x,y)$, y$x$ y$y$ son funciones de dos variables, digamos$s$ y$t$.

TEOREMA 108 Regla de Cadena Multivariable, Parte II

1. Dejar$z=f(x,y)$,$x=g(s,t)$ y$y=h(s,t)$, dónde$f$,$g$ y$h$ son funciones diferenciables. Entonces$z$ es una función de$s$ y$t$, y
   -$\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$, y
   -$\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.$
   
2. Dejar$z = f(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ ser una función diferenciable de$m$ variables, donde cada una de las$x_i$ es una función diferenciable de las variables$t_1,t_2,\ldots,t_n$. Entonces$z$ es una función de la$t_i$, y
   $$\frac{\partial z}{\partial t_i} = \frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial t_i} + \frac{\partial f}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial t_i} + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_m}\frac{\partial x_m}{\partial t_i}.$$

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Using the Multivarible Chain Rule, Part II

Vamos$z=x^2y+x$,$x=s^2+3t$ y$y=2s-t$. Encontrar$\frac{\partial z}{\partial s}$ y$\frac{\partial z}{\partial t}$, y evaluar cada uno cuando$s=1$ y$t=2$.

Solución
Siguiendo el Teorema 108, calculamos las siguientes derivadas parciales:
$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy+1\qquad\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2,$$
$$\frac{\partial x}{\partial s} = 2s \qquad\qquad \frac{\partial x}{\partial t} = 3\qquad\qquad \frac{\partial y}{\partial s} = 2 \qquad\qquad \frac{\partial y}{\partial t} = -1.$$
Así
$$\frac{\partial z}{\partial s} = (2xy+1)(2s) + (x^2)(2) = 4xys+2s + 2x^2,\quad \text{and}$$
$$\frac{\partial z}{\partial t} = (2xy+1)(3) + (x^2)(-1) = 6xy-x^2+3.$$
Cuando$s=1$ y$t=2$,$x= 7$ y$y= 0$, entonces
$$\frac{\partial z}{\partial s} = 100\qquad \text{and}\qquad \frac{\partial z}{\partial t} = -46.$$

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Using the Multivarible Chain Rule, Part II

Vamos$w = xy+z^2$, dónde$x= t^2e^s$,$y= t\cos s$, y$z=s\sin t$. Encuentra$\frac{\partial w}{\partial t}$ cuándo$s=0$ y$t=\pi$.

Solución
Siguiendo el Teorema 108, calculamos las siguientes derivadas parciales:
$$\frac{\partial f}{\partial x} = y\qquad\qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x\qquad\qquad \frac{\partial f}{\partial z} = 2z,$$
$$\frac{\partial x}{\partial t} = 2te^s\qquad\qquad \frac{\partial y}{\partial t} = \cos s\qquad\qquad \frac{\partial z}{\partial t} = s\cos t.$$
Así $$\frac{\partial w}{\partial t} = y(2te^s) + x(\cos s) + 2z(s\cos t).$$
Cuando$s=0$ y$t=\pi$, tenemos$x=\pi^2$, $y=\pi$y$z=0$. Así
$$\frac{\partial w}{\partial t} = \pi(2\pi) + \pi^2 = 3\pi^2.$$

Diferenciación implícita

Estudiamos encontrar$\frac{dy}{dx}$ cuándo$y$ se da como una función implícita de$x$ en detalle en la Sección 2.6. Encontramos aquí que la Regla de Cadena Multivariable da un método más sencillo de encontrar$\frac{dy}{dx}$.

Por ejemplo, considere la función implícita$x^2y-xy^3=3.$ Aprendimos a usar los siguientes pasos para encontrar$\frac{dy}{dx}$:
\ [\ begin {align}
\ frac {d} {dx}\ Big (x^2y-xy^3\ big) &=\ frac {d} {dx}\ Big (3\ Big)\ notag\\
2xy + x^2\ frac {dy} {dx} -y^3-3xy^2\ frac {dy} {dx} &= 0\ noetiqueta\\
\ frac {dy} {dx} = -\ frac {2xy-y^3} {x^2-3xy^2}. \ label {eq:mchain2}
\ end {align}\]

En lugar de utilizar este método, considere$z=x^2y-xy^3$. La función implícita anterior describe la curva de nivel$z=3$. Considerando$x$ y$y$ como funciones de$x$, la Regla de Cadena Multivariable establece que
$$\frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dx}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dx}.\label{eq:mchain1}$$
$z$ Since es constante (en nuestro ejemplo,$z=3$),$\frac{dz}{dx} = 0$. También sabemos$\frac{dx}{dx} = 1$. Ecuación\ ref {eq:mchain1} se convierte en
\ [\ begin {align*}
0 &=\ frac {\ parcial z} {\ parcial x} (1) +\ frac {\ parcial z} {\ parcial y}\ frac {dy} {dx}\ quad\ Rightarrow
\\ frac {dy} {dx} &= -\ frac {\ parcial z} {parcial x}\ Big/\ frac {\ parcial z} {\ parcial y}\\
&= -\ frac {\, f_x\,} {f_y}.
\ end {alinear*}\]

Observe cómo nuestra solución para$\frac{dy}{dx}$ en la Ecuación\ ref {eq:mchain2} es solo la derivada parcial de$z$ con respecto a$x$, dividida por la derivada parcial de$z$ con respecto a$y$.

Declaramos lo anterior como teorema.

TEOREMA 109 Diferenciación implícita

Dejar$f$ ser una función diferenciable de$x$ y$y$, donde$f(x,y)=c$ define$y$ como una función implícita de$x$, para alguna constante$c$. Entonces
$$\frac{dy}{dx} = - \frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}.$$

Practicamos el uso del Teorema 109 aplicándolo a un problema de la Sección 2.6.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Implicit Differentiation

Dada la función implícitamente definida$\sin(x^2y^2)+y^3=x+y$, find$y'$. Nota: este es el mismo problema que se da en el Ejemplo 2.6.4 de la Sección 2.6, donde la solución tomó aproximadamente una página completa para encontrar.

Solución
Let$f(x,y) = \sin(x^2y^2)+y^3-x-y$; la función implícitamente definida arriba es equivalente a$f(x,y)=0$. Encontramos$\frac{dy}{dx}$ aplicando el Teorema 109. Encontramos
$$f_x(x,y) = 2xy^2\cos(x^2y^2)-1\qquad \text{and}\qquad f_y(x,y) = 2x^2y\cos(x^2y^2)+3y^2-1,$$
así
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2xy^2\cos(x^2y^2)-1}{2x^2y\cos(x^2y^2)+3y^2-1},$$
cuál coincide con nuestra solución del Ejemplo 2.6.4.