6.10: Capítulo 6 Ejercicios de revisión

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¿Verdadero o Falso? Justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1) La cantidad de trabajo para bombear el agua de un cilindro medio lleno es la mitad de la cantidad de trabajo para bombear el agua fuera del cilindro lleno.

Contestar: Falso

2) Si la fuerza es constante, la cantidad de trabajo para mover un objeto de$x=a$ a$x=b$ es$F(b−a)$.

3) El método de disco se puede utilizar en cualquier situación en la que el método de la lavadora tenga éxito en encontrar el volumen de un sólido de revolución.

Contestar: Falso

4) Si la vida media de$seaborgium-266$ es$360$ ms, entonces$k=\dfrac{\ln 2}{360}.$

Para los ejercicios 5 - 8, utilice el método solicitado para determinar el volumen del sólido.

5) El volumen que tiene una base de la elipse$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$ y secciones transversales de un triángulo equilátero perpendicular al$y$ eje. Usa el método de rebanar.

Contestar: $V = 32\sqrt{3}\, \text{units}^3$

6)$y=x^2−x$, de$x=1$ a$x=4$, girado alrededor del$y$ eje usando el método de la arandela

7)$x=y^2$ y$x=3y$ girado alrededor del$y$ eje usando el método de la arandela

Contestar: $V = \frac{162π}{5}\, \text{units}^3$

8)$x=2y^2−y^3,\; x=0$, y$y=0$ girado alrededor del$x$ eje usando carcasas cilíndricas

Para los ejercicios 9 - 14, encuentre

a. la zona de la región,

b.el volumen del sólido cuando se gira alrededor del$x$ eje -y

c. el volumen del sólido cuando se gira alrededor del$y$ eje. Usa el método que te parezca más apropiado.

9)$y=x^3,x=0,y=0$, y$x=2$

Contestar: a.$A = 4$ unidades ²
b.$V = \frac{128π}{7}$ unidades ³
c.$V = \frac{64π}{5}$ unidades ³

10)$y=x^2−x$ y$x=0$

11) [T]$y=\ln(x)+2$ y$y=x$

Contestar: a.$A \approx 1.949$ unidades ²
b.$V \approx 21.952$ unidades ³
c.$V = \approx 17.099$ unidades ³

12)$y=x^2$ y$y=\sqrt{x}$

13)$y=5+x, y=x^2, x=0$, y$x=1$

Contestar: a.$A = \frac{31}{6}$ unidades ²
b.$V = \frac{452π}{15}$ unidades ³
c.$V = \frac{31π}{6}$ unidades ³

14) Abajo$x^2+y^2=1$ y arriba$y=1−x$

15) Encuentra la masa de$ρ=e^{−x}$ en un disco centrado en el origen con radio$4$.

Contestar: $m \approx 245.282$

16) Encuentra el centro de masa para$ρ=\tan^2x$ el$x\in (−\frac{π}{4},\frac{π}{4})$.

17) Encontrar la masa y el centro de masa de$ρ=1$ sobre la región delimitada por$y=x^5$ y$y=\sqrt{x}$.

Contestar: Masa:$\frac{1}{2},$
Centro de masa:$(\frac{18}{35},\frac{9}{11})$

Para los ejercicios 18 - 19, encuentre las longitudes de arco solicitadas.

18) La longitud de$x$ para$y=\cosh(x)$ de$x=0$ a$x=2$.

19) La longitud de$y$ para$x=3−\sqrt{y}$ de$y=0$ a$y=4$

Contestar: $s = \big[\sqrt{17}+\frac{1}{8}\ln(33+8\sqrt{17})\big]$unidades

Para los ejercicios 20 - 21, busque el área de superficie y el volumen cuando las curvas dadas giran alrededor del eje especificado.

20) La forma creada al girar la región entre$y=4+x, \;y=3−x, \;x=0,$ y$x=2$ girada alrededor del$y$ eje.

21) El altavoz creado al girar$y=\dfrac{1}{x}$ de$x=1$ a$x=4$ alrededor del$x$ eje.

Contestar: Volumen:$V = \frac{3π}{4}$ unidades ³
Superficie:$A = π\left(\sqrt{2}−\sinh^{−1}(1)+\sinh^{−1}(16)−\frac{\sqrt{257}}{16}\right)$ unidades ²

Para el ejercicio 22, considere la presa Karun-3 en Irán. Su forma puede aproximarse como un triángulo isósceles con altura$205$ m y ancho$388$ m. Supongamos que la profundidad actual del agua es$180$ m. La densidad del agua es$1000$ kg/m ³.

22) Encontrar la fuerza total en la pared de la presa.

23) Eres un investigador de la escena del crimen que intenta determinar la hora de muerte de una víctima. Es mediodía y$45$ °F afuera y la temperatura del cuerpo es$78$ °F Usted sabe que la constante de enfriamiento es$k=0.00824$ °F/min. ¿Cuándo murió la víctima, asumiendo que la temperatura de un humano es$98$ °F?

Contestar: 11:02 a.m.

Para el siguiente ejercicio, considere la caída bursátil en 1929 en Estados Unidos. En la tabla se enumera el promedio industrial de Dow Jones por año previo al desplome.

Año después de 1920	Valor ($)
1	63.90
3	100
5	110
7	160
9	381.17

Origen: http:/stockcharts.com/freecharts/hi...a19201940.html

24) [T] La curva exponencial que mejor se ajusta a estos datos viene dada por$y=40.71+1.224^x$. ¿Por qué crees que las ganancias del mercado fueron insostenibles? Utiliza primero y segundo derivados para ayudar a justificar tu respuesta. ¿Qué predeciría este modelo que sería el promedio industrial de Dow Jones en 2014?

Para los ejercicios 25 - 26, considere el catenoide, el único sólido de revolución que tiene una superficie mínima, o curvatura media cero. Se puede encontrar un catenoide en la naturaleza al estirar el jabón entre dos anillos.

25) Encuentra el volumen del catenoide$y=\cosh(x)$ desde$x=−1$ hasta$x=1$ que se crea girando esta curva alrededor del $x$eje -como se muestra aquí.

$Esta figura es una imagen de un catenoide. Se ha formado rotando una curva catenaria alrededor de un eje vertical.$

Contestar: $V = π\big(1+\sinh(1)\cosh(1)\big)$unidades ³

26) Encontrar el área de superficie del catenoide$y=\cosh(x)$ desde$x=−1$ hasta$x=1$ que se crea girando esta curva alrededor del $x$eje -eje.

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