10.0: Preludio a la serie Power

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Al ganar una lotería, a veces un individuo tiene la opción de recibir ganancias en un pago de suma global o recibir pagos más pequeños en intervalos de tiempo fijos. Por ejemplo, podrías tener la opción de recibir 20 millones de dólares hoy o recibir 1.5 millones de dólares cada año durante los próximos 20 años. ¿Cuál es el mejor trato? Ciertamente 1.5 millones de dólares a lo largo de 20 años equivale a 30 millones de dólares. No obstante, recibir los 20 millones de dólares hoy permitiría invertir el dinero.

Una fotografía muestra una superficie plana cubierta con billetes de $100. — Figura$\PageIndex{1}$: Si ganas una lotería, ¿obtienes más dinero aceptando un pago de suma global o aceptando pagos fijos a lo largo del tiempo? (crédito: modificación de obra de Robert Huffstutter, Flickr)

Alternativamente, ¿qué pasaría si se le garantizara recibir 1 millón de dólares cada año indefinidamente (extendiéndose a sus herederos) o recibir 20 millones de dólares hoy. ¿Cuál sería el mejor trato? Para responder a estas preguntas, es necesario saber cómo utilizar series infinitas para calcular el valor de los pagos periódicos a lo largo del tiempo en términos de dólares actuales.

Una serie infinita de la forma

\[\sum_{n=0}^∞c_nx^n \nonumber \]

se conoce como una serie de potencia. Dado que los términos contienen la variable$x$, la serie de potencia se puede utilizar para definir funciones. Se pueden usar para representar funciones dadas, pero también son importantes porque nos permiten escribir funciones que no pueden expresarse de otra manera que no sea como “polinomios infinitos”. Además, las series de potencia se pueden diferenciar e integrar fácilmente, siendo así útiles para resolver ecuaciones diferenciales e integrar funciones complicadas. También se puede trunca una serie infinita, dando como resultado un polinomio finito que podemos usar para aproximar valores funcionales. Las series Power tienen aplicaciones en una variedad de campos, incluyendo física, química, biología y economía. Como veremos en este capítulo, representar funciones usando series de potencia nos permite resolver problemas matemáticos que no pueden resolverse con otras técnicas.

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