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# 10.5: Ejercicios de revisión del Capítulo 10

• Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
• OpenStax

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

¿Verdadero o Falso? En los ejercicios 1 - 4, justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1) Si el radio de convergencia para una serie de potencia$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$$ es$$5$$, entonces el radio de convergencia para la serie también$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞na_nx^{n−1}$$ lo es$$5$$.

Contestar
Cierto

2) La serie Power se puede utilizar para demostrar que la derivada de$$e^x$$ es$$e^x$$. (Pista: Recordemos eso$$\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^∞\frac{1}{n!}x^n.$$)

3) Para valores pequeños de$$x,$$$$\sin x ≈ x.$$

Contestar
Cierto

4) El radio de convergencia para la serie Maclaurin de$$f(x)=3^x$$ es$$3$$.

En los ejercicios 5 - 8, encuentra el radio de convergencia y el intervalo de convergencia para la serie dada.

5)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞n^2(x−1)^n$$

Contestar
ROC:$$1$$; COI:$$(0,2)$$

6)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{x^n}{n^n}$$

7)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{3nx^n}{12^n}$$

Contestar
ROC:$$12;$$ COI:$$(−16,8)$$

8)$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{2^n}{e^n}(x−e)^n$$

En los ejercicios 9 - 10, encuentra la representación de series de poder para la función dada. Determinar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia para esa serie.

9)$$f(x)=\dfrac{x^2}{x+3}$$

Contestar
$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{3^{n+1}}x^n;$$ROC:$$3$$; COI:$$(−3,3)$$

10)$$f(x)=\dfrac{8x+2}{2x^2−3x+1}$$

En los ejercicios 11 a 12, encuentra la serie de potencias para la función dada usando diferenciación o integración término por término.

11)$$f(x)=\tan^{−1}(2x)$$

Contestar
integración:$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{2n+1}(2x)^{2n+1}$$

12)$$f(x)=\dfrac{x}{(2+x^2)^2}$$

En los ejercicios 13 - 14, evaluar la expansión de la serie Taylor del grado cuatro para la función dada en el punto especificado. ¿Cuál es el error en la aproximación?

13)$$f(x)=x^3−2x^2+4, \quad a=−3$$

Contestar
$$p_4(x)=(x+3)^3−11(x+3)^2+39(x+3)−41;$$exacta

14)$$f(x)=e^{1/(4x)}, \quad a=4$$

En los ejercicios 15 - 16, encuentra la serie Maclaurin para la función dada.

15)$$f(x)=\cos(3x)$$

Contestar
$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n(3x)^{2n}}{2n!}$$

16)$$f(x)=\ln(x+1)$$

En los ejercicios 17 - 18, encuentra la serie Taylor en el valor dado.

17)$$f(x)=\sin x, \quad a=\frac{π}{2}$$

Contestar
$$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{(2n)!}\left(x−\frac{π}{2}\right)^{2n}$$

18)$$f(x)=\dfrac{3}{x},\quad a=1$$

En los ejercicios 19 - 20, encuentra la serie Maclaurin para la función dada.

19)$$f(x)=e^{−x^2}−1$$

Contestar
$$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n}{n!}x^{2n}$$

20)$$f(x)=\cos x−x\sin x$$

En los ejercicios 21 - 23, encuentra la serie Maclaurin para$$F(x)=∫^x_0f(t)dt$$ integrando la serie Maclaurin de$$f(x)$$ término por término.

21)$$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$$

Contestar
$$\displaystyle F(x)=\sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{(2n+1)(2n+1)!}x^{2n+1}$$

22)$$f(x)=1−e^x$$

23) Use series de potencia para probar la fórmula de Euler:$$e^{ix}=cosx+isinx$$

Contestar
Las respuestas pueden variar.

Los ejercicios 24 - 26 consideran problemas de pagos de anualidades.

24) Para anualidades con un valor presente de$$1$$ millones, calcular los pagos anuales otorgados a lo largo de los$$25$$ años asumiendo tasas de interés de$$1\%,5\%$$, y$$10\%.$$

25) Un ganador de lotería tiene una anualidad que tiene un valor actual de$$10$$ millones. ¿Qué tasa de interés necesitarían para vivir de pagos anuales perpetuos de$$250,000$$?

Contestar
$$2.5\%$$

26) Calcular el valor presente necesario de una anualidad con el fin de apoyar los pagos anuales de los$$15,000$$ dados a lo largo de los$$25$$ años asumiendo tasas de interés de$$1\%,5\%$$, y$$10\%.$$

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