10.5: Ejercicios de revisión del Capítulo 10

¿Verdadero o Falso? En los ejercicios 1 - 4, justifica tu respuesta con una prueba o un contraejemplo.

1) Si el radio de convergencia para una serie de potencia$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ es$5$, entonces el radio de convergencia para la serie también$\displaystyle \sum_{n=1}^∞na_nx^{n−1}$ lo es$5$.

Contestar

Cierto

2) La serie Power se puede utilizar para demostrar que la derivada de$e^x$ es$e^x$. (Pista: Recordemos eso$\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^∞\frac{1}{n!}x^n.$)

3) Para valores pequeños de$x,$$\sin x ≈ x.$

Contestar

Cierto

4) El radio de convergencia para la serie Maclaurin de$f(x)=3^x$ es$3$.

En los ejercicios 5 - 8, encuentra el radio de convergencia y el intervalo de convergencia para la serie dada.

5)$\displaystyle \sum_{n=0}^∞n^2(x−1)^n$

Contestar

ROC:$1$; COI:$(0,2)$

6)$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{x^n}{n^n}$

7)$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{3nx^n}{12^n}$

Contestar

ROC:$12;$ COI:$(−16,8)$

8)$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{2^n}{e^n}(x−e)^n$

En los ejercicios 9 - 10, encuentra la representación de series de poder para la función dada. Determinar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia para esa serie.

9)$f(x)=\dfrac{x^2}{x+3}$

Contestar

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{3^{n+1}}x^n;$ROC:$3$; COI:$(−3,3)$

10)$f(x)=\dfrac{8x+2}{2x^2−3x+1}$

En los ejercicios 11 a 12, encuentra la serie de potencias para la función dada usando diferenciación o integración término por término.

11)$f(x)=\tan^{−1}(2x)$

Contestar

integración:$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{2n+1}(2x)^{2n+1}$

12)$f(x)=\dfrac{x}{(2+x^2)^2}$

En los ejercicios 13 - 14, evaluar la expansión de la serie Taylor del grado cuatro para la función dada en el punto especificado. ¿Cuál es el error en la aproximación?

13)$f(x)=x^3−2x^2+4, \quad a=−3$

Contestar

$p_4(x)=(x+3)^3−11(x+3)^2+39(x+3)−41;$exacta

14)$f(x)=e^{1/(4x)}, \quad a=4$

En los ejercicios 15 - 16, encuentra la serie Maclaurin para la función dada.

15)$f(x)=\cos(3x)$

Contestar

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n(3x)^{2n}}{2n!}$

16)$f(x)=\ln(x+1)$

En los ejercicios 17 - 18, encuentra la serie Taylor en el valor dado.

17)$f(x)=\sin x, \quad a=\frac{π}{2}$

Contestar

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{(2n)!}\left(x−\frac{π}{2}\right)^{2n}$

18)$f(x)=\dfrac{3}{x},\quad a=1$

En los ejercicios 19 - 20, encuentra la serie Maclaurin para la función dada.

19)$f(x)=e^{−x^2}−1$

Contestar

$\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^n}{n!}x^{2n}$

20)$f(x)=\cos x−x\sin x$

En los ejercicios 21 - 23, encuentra la serie Maclaurin para$F(x)=∫^x_0f(t)dt$ integrando la serie Maclaurin de$f(x)$ término por término.

21)$f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$

Contestar

$\displaystyle F(x)=\sum_{n=0}^∞\frac{(−1)^n}{(2n+1)(2n+1)!}x^{2n+1}$

22)$f(x)=1−e^x$

23) Use series de potencia para probar la fórmula de Euler:$e^{ix}=cosx+isinx$

Contestar

Las respuestas pueden variar.

Los ejercicios 24 - 26 consideran problemas de pagos de anualidades.

24) Para anualidades con un valor presente de$$1$ millones, calcular los pagos anuales otorgados a lo largo de los$25$ años asumiendo tasas de interés de$1\%,5\%$, y$10\%.$

25) Un ganador de lotería tiene una anualidad que tiene un valor actual de$$10$ millones. ¿Qué tasa de interés necesitarían para vivir de pagos anuales perpetuos de$$250,000$?

Contestar

$2.5\%$

26) Calcular el valor presente necesario de una anualidad con el fin de apoyar los pagos anuales de los$$15,000$ dados a lo largo de los$25$ años asumiendo tasas de interés de$1\%,5\%$, y$10\%.$