10.2: Propiedades de la serie Power

Objetivos de aprendizaje

• Combine la serie de potencia por suma o resta.
• Crear una nueva serie de potencias multiplicando por una potencia de la variable o una constante, o por sustitución.
• Multiplica dos series de potencia juntas.
• Diferencie e integre series de potencia término por término.

En la sección anterior sobre series de potencia y funciones mostramos cómo representar ciertas funciones usando series de potencia. En esta sección discutimos cómo las series de potencia pueden combinarse, diferenciarse o integrarse para crear nuevas series de potencia. Esta capacidad es particularmente útil por un par de razones. Primero, nos permite encontrar representaciones de series de potencia para ciertas funciones elementales, escribiendo esas funciones en términos de funciones con series de potencia conocidas. Por ejemplo, dada la representación de la serie de potencia para$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$, podemos encontrar una representación de serie de potencia para$f′(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}$. Segundo, poder crear series de poder nos permite definir nuevas funciones que no se pueden escribir en términos de funciones elementales. Esta capacidad es particularmente útil para resolver ecuaciones diferenciales para las cuales no hay solución en términos de funciones elementales.

Combinando la serie Power

Si tenemos dos series de potencia con el mismo intervalo de convergencia, podemos sumar o restar las dos series para crear una nueva serie de potencia, también con el mismo intervalo de convergencia. De manera similar, podemos multiplicar una serie de potencias por una potencia de$x$ o evaluar una serie de potencias$x^m$ para un entero positivo$m$ para crear una nueva serie de potencias. Poder hacer esto nos permite encontrar representaciones de series de potencia para ciertas funciones mediante el uso de representaciones de series de potencia de otras funciones. Por ejemplo, dado que conocemos la representación de la serie de potencia para$f(x)=\frac{1}{1−x}$, podemos encontrar representaciones de series de potencia para funciones relacionadas, como

$$y=\dfrac{3x}{1−x^2} \nonumber$$

y

$$y=\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}. \nonumber$$

En Note$\PageIndex{1}$, se indican resultados con respecto a la suma o resta de series de potencia, composición de una serie de potencias y multiplicación de una serie de potencias por una potencia de la variable. Por simplicidad, exponemos el teorema para series de poder centradas en$x=0$. Se mantienen resultados similares para series de potencia centradas en$x=a$.

Nota:$\PageIndex{1}$: Combining Power Series

Supongamos que las dos series de potencia$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ y$\displaystyle\sum_{n=0}^∞d_nx^n$ convergen a las funciones$f$ y$g$, respectivamente, en un intervalo común$I$.

1. La serie de potencia$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n±d_nx^n)$ converge a$f±g$ encendido$I$.
2. Para cualquier número entero$m≥0$ y cualquier número real$b$, la serie power$\displaystyle \sum_{n=0}^∞bx^m_nx^n$ converge a$bx^mf(x)$ on$I$.
3. Para cualquier entero$m≥0$ y cualquier número real$b$, la serie$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(bx^m)^n$ converge a$f(bx^m)$ para todos los$x$ tales que$bx^m$ se encuentra en$I$.

Prueba

Demostramos$i$. en el caso de la serie$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)$. Supongamos que$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ y$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ convergen a las funciones$f$ y$g$, respectivamente, en el intervalo$I$. Dejar$x$ ser un punto adentro$I$ y dejar$S_N(x)$ y$T_N(x)$ denotar las Nésimas sumas parciales de la serie$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ y$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$, respectivamente. Entonces la secuencia${S_N(x)}$ converge a$f(x)$ y la secuencia${T_N(x)}$ converge a$g(x)$. Además, la N-ésima suma parcial de$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)$ es

$$\begin{align*} \sum_{n=0}^N(c_nx^n+d_nx^n) =\sum_{n=0}^Nc_nx^n+\sum_{n=0}^Nd_nx^n\\[4pt] =S_N(x)+T_N(x).\end{align*}$$

Porque

$$\begin{align*} \lim_{N→∞}(S_N(x)+T_N(x)) =\lim_{N→∞}S_N(x)+\lim_{N→∞}T_N(x)\\[4pt] =f(x)+g(x), \end{align*}$$

concluimos que la serie$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(c_nx^n+d_nx^n)$ converge a$f(x)+g(x).$

□

Examinamos productos de series de poder en un teorema posterior. Primero, mostramos varias aplicaciones de Note y cómo encontrar el intervalo de convergencia de una serie de potencias dado el intervalo de convergencia de una serie de potencias relacionadas.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Combining Power Series

Supongamos que$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ es una serie de potencias cuyo intervalo de convergencia es$(−1,1)$, y supongamos que$\displaystyle \sum_{n=0}^∞b_nx^n$ es una serie de potencias cuyo intervalo de convergencia es$(−2,2).$

1. Encuentra el intervalo de convergencia de la serie$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(a_nx^n+b_nx^n).$
2. Encuentra el intervalo de convergencia de la serie$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n3^nx^n.$

Solución

1. Dado que el intervalo$(−1,1)$ es un intervalo común de convergencia de la serie$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ y$\displaystyle \sum_{n=0}^∞b_nx^n$, el intervalo de convergencia de la serie$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(a_nx^n+b_nx^n)$ es$(−1,1)$.
2. Dado que$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ es una serie de potencias centrada en cero con radio de convergencia$1,$ converge para todos$x$ en el intervalo$(−1,1).$ Por Nota, la serie $$\sum_{n=0}^∞a_n3^nx^n=\sum_{n=0}^∞a_n(3x)^n \nonumber$$ converge si$3x$ está en el intervalo$(−1,1)$. Por lo tanto, la serie converge para todos$x$ en el intervalo$\left(−\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right).$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Supongamos que$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_nx^n$ tiene un intervalo de convergencia de$(−1,1)$. Encuentra el intervalo de convergencia de$\displaystyle \sum_{n=0}^∞a_n(\dfrac{x}{2})^n$.

Pista

Encuentra los valores de$x$ tal que$\dfrac{x}{2}$ está en el intervalo$(−1,1).$

Contestar

El intervalo de convergencia es$(−2,2).$

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo usar Note y la serie de potencia para una función f para construir series de potencia para funciones relacionadas con$f$. Específicamente, consideramos funciones relacionadas con la función$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ y utilizamos el hecho de que

$$\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots \nonumber$$

para$|x|<1.$

Ejemplo$\PageIndex{2}$: Constructing Power Series from Known Power Series

Utilice la representación de la serie de potencia para$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ combinar con Note para construir una serie de potencia para cada una de las siguientes funciones. Encuentra el intervalo de convergencia de la serie de potencia.

1. $f(x)=\dfrac{3x}{1+x^2}$
2. $f(x)=\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}$

Solución

a. Primero escribe$f(x)$ como

$$f(x)=3x\left(\dfrac{1}{1−(−x^2)}\right). \nonumber$$

Usando la representación de la serie de potencia para$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ y las partes ii. y iii. de Note, encontramos que una representación de la serie de potencia para$f$ viene dada por

$$\sum_{n=0}^∞3x(−x^2)^n=\sum_{n=0}^∞3(−1)^nx^{2n+1}. \nonumber$$

Dado que el intervalo de convergencia de la serie para$\dfrac{1}{1−x}$ es$(−1,1)$, el intervalo de convergencia para esta nueva serie es el conjunto de números reales$x$ tales que$∣x^2∣<1$. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es$(−1,1).$

b. Para encontrar la representación de la serie de potencias, utilice fracciones parciales para escribir$f(x)=\dfrac{1}{(x-1)(x−3)}$ como la suma de dos fracciones. Tenemos

$$\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}=\dfrac{−1/2}{x−1}+\dfrac{1/2}{x−3}=\dfrac{1/2}{1−x}−\dfrac{1/2}{3−x}=\dfrac{1/2}{1−x}−\dfrac{1/6}{1−\dfrac{x}{3}}. \nonumber$$

Primero, usando la parte ii. de Nota, obtenemos

$$\dfrac{1/2}{1−x}=\sum_{n=0}^∞\dfrac{1}{2}x^n \quad\text{for } |x|<1. \nonumber$$

Luego, usando las partes ii. y iii. de Note, tenemos

$$\dfrac{1/6}{1−x/3}=\sum_{n=0}^∞\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{x}{3}\right)^n \quad\text{for } |x|<3. \nonumber$$

Ya que estamos combinando estas dos series de potencias, el intervalo de convergencia de la diferencia debe ser el menor de estos dos intervalos. Usando este hecho y la parte i. de Note, tenemos

$$\dfrac{1}{(x−1)(x−3)}=\sum_{n=0}^∞\left(\dfrac{1}{2}−\dfrac{1}{6⋅3^n}\right)x^n \nonumber$$

donde está el intervalo de convergencia$(−1,1)$.

Ejercicio$\PageIndex{}2$

Utilice la serie para$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$ on$|x|<1$ para construir una serie para$\dfrac{1}{(1−x)(x−2)}.$ Determinar el intervalo de convergencia.

Pista

Use fracciones parciales para reescribir$\dfrac{1}{(1−x)(x−2)}$ como la diferencia de dos fracciones.

Contestar

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\left(−1+\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)x^n$. El intervalo de convergencia es$(−1,1)$.

En Ejemplo$\PageIndex{2}$, mostramos cómo encontrar series de potencia para ciertas funciones. En Ejemplo$\PageIndex{3}$ mostramos cómo hacer lo contrario: dada una serie de potencias, determinar qué función representa.

Ejemplo$\PageIndex{3}$: Finding the Function Represented by a Given Power Series

Considera la serie de potencia$\displaystyle \sum_{n=0}^∞2^nx^n.$ Encuentra la función f representada por esta serie. Determinar el intervalo de convergencia de la serie.

Solución

Escribiendo la serie dada como

$$\sum_{n=0}^∞2^nx^n=\sum_{n=0}^∞(2x)^n, \nonumber$$

podemos reconocer esta serie como la serie de potencia para

$$f(x)=\dfrac{1}{1−2x}. \nonumber$$

Dado que se trata de una serie geométrica, la serie converge si y solo si$|2x|<1.$ Por lo tanto, el intervalo de convergencia es$\left(−\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Encuentra la función representada por la serie power$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\dfrac{1}{3^n}x^n$.

Determinar su intervalo de convergencia.

Pista

Escribir$\dfrac{1}{3^n}x^n=\left(\dfrac{x}{3}\right)^n$.

Contestar

$f(x)=\dfrac{3}{3−x}.$El intervalo de convergencia es$(−3,3)$.

Recordemos las preguntas planteadas en el abridor de capítulos sobre cuál es la mejor manera de recibir pagos de las ganancias de la lotería. Ahora revisamos esas preguntas y mostramos cómo usar series para comparar los valores de los pagos a lo largo del tiempo con un pago de suma global hoy. Calcularemos cuánto valen los pagos futuros en términos de dólares de hoy, asumiendo que tenemos la capacidad de invertir ganancias y ganar intereses. El valor de los pagos futuros en términos de dólares actuales se conoce como el valor presente de esos pagos.

Ejemplo$\PageIndex{4}$: Present Value of Future Winnings

Supongamos que gana la lotería y se le dan las siguientes tres opciones:

• Recibir 20 millones de dólares hoy;
• Recibir 1.5 millones de dólares anuales durante los próximos 20 años; o
• Recibe 1 millón de dólares al año indefinidamente (pasando a tus herederos).

¿Cuál es la mejor oferta, suponiendo que la tasa de interés anual sea del 5%? Respondemos a esto trabajando a través de la siguiente secuencia de preguntas.

1. ¿Cuánto valen los 1.5 millones de dólares que se reciben anualmente en el transcurso de 20 años en términos de dólares actuales, asumiendo una tasa de interés anual del 5%?
2. Utilice la respuesta a la parte a. para encontrar una fórmula general para el valor actual de los pagos de$C$ dólares recibidos cada año durante los siguientes n años, asumiendo una tasa de interés promedio anual$r$.
3. Encuentre una fórmula para el valor presente si los pagos anuales de$C$ dólares continúan indefinidamente, asumiendo una tasa de interés promedio anual$r$.
4. Utilizar la respuesta a la parte c. para determinar el valor presente de 1 millón de dólares pagados anualmente indefinidamente.
5. Usa tus respuestas a las partes a. y d. para determinar cuál de las tres opciones es la mejor.

Figura$\PageIndex{1}$: (crédito: modificación de obra de Robert Huffstutter, Flickr)

Solución

a. Considerar el pago de 1.5 millones de dólares efectuado al cierre del primer año. Si pudieras recibir ese pago hoy en lugar de dentro de un año, podrías invertir ese dinero y ganar 5% de interés. Por lo tanto, el valor actual de ese dinero$P_1$ satisface$P_1(1+0.05)=1.5$ millones de dólares. Concluimos que

$P_1=\dfrac{1.5}{1.05}=$1.429$millones de dólares.

De igual manera, considere el pago de 1.5 millones de dólares realizado al cierre del segundo año. Si pudieras recibir ese pago hoy, podrías invertir ese dinero durante dos años, ganando 5% de interés, compuesto anualmente. Por lo tanto, el valor actual de ese dinero$P_2$ satisface$P_2(1+0.05)^2=1.5$ millones de dólares. Concluimos que

$P_2=1.5(1.05)^2=$1.361$millones de dólares.

El valor de los pagos futuros hoy es la suma de los valores actuales$P_1,P_2,…,P_{20}$ de cada uno de esos pagos anuales. El valor actual$P_k$ satisface

$P_k=\dfrac{1.5}{(1.05)^k}$.

Por lo tanto,

$P=\dfrac{1.5}{1.05}+\dfrac{1.5}{(1.05)^2}+\ldots+\dfrac{1.5}{(1.05)^{20}}=$18.693$millones de dólares.

b. Utilizando el resultado de la parte a. vemos que el valor actual P de C dólares pagados anualmente en el transcurso de n años, asumiendo una tasa de interés anual r, viene dado por

$P=\dfrac{C}{1+r}+\dfrac{C}{(1+r)^2}+\ldots+\dfrac{C}{(1+r)^n}$dólares.

c. Utilizando el resultado de la parte b. vemos que el valor presente de una anualidad que continúa indefinidamente viene dado por la serie infinita

$$P=\sum_{n=0}^∞\dfrac{C}{(1+r)^{n+1}}.\nonumber$$

Podemos ver el valor presente como una serie de potencia en$r$, que converge siempre y cuando$\Bigg|\dfrac{1}{1+r}\Bigg|<1$. Ya que$r>0$, esta serie converge. Reescribiendo la serie como

$$P=\dfrac{C}{(1+r)}\sum_{n=0}^∞\left(\dfrac{1}{1+r}\right)^n,\nonumber$$

reconocemos esta serie como la serie de potencia para

$f(r)=\dfrac{1}{1−\left(\dfrac{1}{1+r}\right)}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{r}{1+r}\right)}=\dfrac{1+r}{r}$.

Concluimos que el valor actual de esta anualidad es

$P=\dfrac{C}{1+r}⋅\dfrac{1+r}{r}=\dfrac{C}{r}.$

d. del resultado a la parte c. concluimos que el valor actual$P$ de$C=1$ millones de dólares pagados cada año indefinidamente, asumiendo una tasa de interés anual$r=0.05$, viene dado por

$P=\dfrac{1}{0.05}=20$millones de dólares.

e. de la parte a. vemos que recibir 1.5 millones de dólares en el transcurso de 20 años vale 18.693 millones de dólares en dólares actuales. De la parte d. vemos que recibir $1 millón de dólares al año indefinidamente vale 20 millones de dólares en dólares de hoy. Por lo tanto, ya sea recibir un pago de suma global de 20 millones de dólares hoy o recibir 1 millón de dólares indefinidamente tienen el mismo valor presente.

Multiplicación de la serie de potencia

También podemos crear nuevas series de potencia multiplicando las series de potencia. Ser capaz de multiplicar dos series de potencia proporciona otra forma de encontrar representaciones de series de potencia para funciones. La forma en que los multiplicamos es similar a cómo multiplicamos polinomios. Por ejemplo, supongamos que queremos multiplicar

$$\sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots \nonumber$$

y

$$\sum_{n=0}^∞d_nx^n=d_0+d+1x+d_2x^2+\ldots. \nonumber$$

Parece que el producto debe satisfacer

$$\left(\sum_{n=0}^∞c_nx^n\right)\left(\sum_{n=−0}^∞d_nx^n\right)=(c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots)⋅(d_0+d_1x+d_2x^2+\ldots)=c_0d^0+(c_1d^0+c_0d^1)x+(c_2d^0+c_1d^1+c_0d^2)x^2+\ldots. \nonumber$$

En Note, indicamos el resultado principal respecto a multiplicar series de potencia, mostrando que si$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ y$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ convergen en un intervalo común$I$, entonces podemos multiplicar la serie de esta manera, y la serie resultante también converge en el intervalo$I$.

Multiplicar la serie de potencia

Supongamos que la serie de potencia$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ y$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ convergen hacia$f$ y$g$, respectivamente, en un intervalo común$I$. Let

$$e_n=c_0d_n+c_1d_{n−1}+c_2d_{n−2}+\ldots+c_{n−1}d_1+c_nd_0=\sum_{k=0}^nc_kd_{n−k}. \nonumber$$

Entonces

$$\left(\sum_{n=0}^∞c_nx^n\right)\left(\sum_{n=0}^∞d_nx^n\right)=\sum_{n=0}^∞e_nx^n \nonumber$$

y

$$\sum_{n=0}^∞e_nx^n \text{ converges to }f(x)⋅g(x) \text{ on } I. \nonumber$$

La serie$\displaystyle \sum_{n=0}^∞e_nx^n$ es conocida como el producto Cauchy de la serie$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ y$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$.

Omitimos la prueba de este teorema, ya que está más allá del nivel de este texto y suele ser cubierto en un curso más avanzado. Ahora proporcionamos un ejemplo de este teorema al encontrar la representación de la serie de potencia para

$$f(x)=\dfrac{1}{(1−x)(1−x^2)} \nonumber$$

utilizando las representaciones de la serie de potencia para

$$y=\dfrac{1}{1−x} \text{ and } y=\dfrac{1}{1−x^2} \nonumber$$ .

Ejemplo$\PageIndex{5}$: Multiplying Power Series

Multiplica la representación de la serie de potencia

$$\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots \nonumber$$

para$|x|<1$ con la representación de la serie de potencia

$$\dfrac{1}{1−x^2}=\sum_{n=0}^∞\big(x^2\big)^n=1+x^2+x^4+x^6+\ldots \nonumber$$

para$|x|<1$ construir una serie de potencias para$f(x)=\dfrac{1}{(1−x)(1−x^2)}$ en el intervalo$(−1,1)$.

Solución

Tenemos que multiplicar

$$(1+x+x^2+x^3+\ldots)(1+x^2+x^4+x^6+\ldots).\nonumber$$

Al escribir los primeros términos varios, vemos que el producto viene dado por

$$(1+x^2+x^4+x^6+\ldots)+(x+x^3+x^5+x^7+\ldots)+(x^2+x^4+x^6+x^8+\ldots)+(x^3+x^5+x^7+x^9+\ldots)=1+x+(1+1)x^2+(1+1)x^3+(1+1+1)x^4+(1+1+1)x^5+\ldots=1+x+2x^2+2x^3+3x^4+3x^5+\ldots.\nonumber$$

Dado que las series para$y=\dfrac{1}{1−x}$ y$y=\dfrac{1}{1−x^2}$ ambas convergen en el intervalo$(−1,1)$, la serie para el producto también converge en el intervalo$(−1,1)$.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Multiplique la serie$\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n$ por sí misma para construir una serie para$\dfrac{1}{(1−x)(1−x)}.$

Pista

Multiplicar los primeros términos de$(1+x+x^2+x^3+\ldots)(1+x+x^2+x^3+\ldots)$

Contestar

$1+2x+3x^2+4x^3+\ldots$

Diferenciación e integración de la serie de potencia

Considera una serie de$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots$ potencias que converge en algún intervalo$I$, y deja$f$ ser la función definida por esta serie. Aquí abordamos dos preguntas sobre$f$.

• Es$f$ diferenciable, y si es así, ¿cómo determinamos la derivada$f′$?
• ¿Cómo evaluamos la integral indefinida$∫f(x)\,dx$?

Sabemos que, para un polinomio con un número finito de términos, podemos evaluar la derivada diferenciando cada término por separado. De igual manera, podemos evaluar la integral indefinida integrando cada término por separado. Aquí mostramos que podemos hacer lo mismo para las series convergentes de potencia. Es decir, si

$$f(x)=c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots \nonumber$$

converge en algún intervalo I, entonces

$$f′(x)=c_1+2c_2x+3c_3x^2+\ldots \nonumber$$

y

$$∫f(x)\,dx=C+c_0x+c_1\dfrac{x^2}{2}+c_2\dfrac{x^3}{3}+\ldots. \nonumber$$

La evaluación de la integral derivada e indefinida de esta manera se denomina diferenciación término por término de una serie de potencias e integración término por término de una serie de potencias, respectivamente. La capacidad de diferenciar e integrar series de potencia término por término también nos permite utilizar representaciones de series de potencia conocidas para encontrar representaciones de series de potencia para otras funciones. Por ejemplo, dada la serie de potencia para$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$, podemos diferenciar término por término para encontrar la serie de potencia para$f′(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}$. Del mismo modo, utilizando la serie de potencia para$g(x)=\dfrac{1}{1+x}$, podemos integrar término por término para encontrar la serie de potencia para$G(x)=\ln(1+x)$, un antiderivado de g. Mostramos cómo hacer esto en Ejemplo$\PageIndex{6}$ y Ejemplo$\PageIndex{7}$. En primer lugar, señalamos Note, que proporciona el principal resultado respecto a la diferenciación e integración de series de potencia.

Diferenciación e integración término por término para la serie Power

Supongamos que la serie de potencia$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ converge en el intervalo$(a−R,a+R)$ para algunos$R>0$. Sea f la función definida por la serie

$$f(x)=\sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=c_0+c_1(x−a)+c_2(x−a)^2+c_3(x−a)^3+\ldots \nonumber$$

para$|x−a|<R$. Entonces f es diferenciable en el intervalo$(a−R,a+R)$ y podemos encontrar$f′$ diferenciando la serie término por término:

$$f′(x)=\sum_{n=1}^∞ n c_n(x−a)^n−1=c_1+2c_2(x−a)+3c_3(x−a)^2+\ldots \nonumber$$

para$|x−a|<R.$ También, para encontrar$∫f(x)\,dx$, podemos integrar la serie término por término. La serie resultante converge$(a−R,a+R),$ y tenemos

$$∫f(x)\,dx=C+\sum_{n=0}^∞c_n\dfrac{(x−a)^{n+1}}{n+1}=C+c_0(x−a)+c_1\dfrac{(x−a)^2}{2}+c_2\dfrac{(x−a)^3}{3}+\ldots \nonumber$$

para$|x−a|<R.$

La prueba de este resultado está fuera del alcance del texto y se omite. Tenga en cuenta que aunque Note garantiza el mismo radio de convergencia cuando una serie de potencias es diferenciada o integrada término por término, no dice nada sobre lo que sucede en los puntos finales. Es posible que las series de potencia diferenciadas e integradas tengan un comportamiento diferente en los puntos finales que la serie original. Vemos este comportamiento en los siguientes ejemplos.

Ejemplo$\PageIndex{6}$: Differentiating Power Series

1. Utilice la representación de serie de potencia $$f(x)=\dfrac{1}{1−x}=\sum_{n=0}^∞x^n=1+x+x^2+x^3+\ldots \nonumber$$ $|x|<1$ para para encontrar una representación de serie de potencia para $$g(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2} \nonumber$$ en el intervalo$(−1,1).$ Determine si la serie resultante converge en los puntos finales.
2. Utilice el resultado de la parte a. para evaluar la suma de las series$\displaystyle \sum_{n=0}^∞\dfrac{n+1}{4^n}$.

Solución

a. ya que$g(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}$ es la derivada de$f(x)=\dfrac{1}{1−x}$, podemos encontrar una representación de serie de potencia para g diferenciando la serie de potencia para f término por término. El resultado es

$$g(x)=\dfrac{1}{(1−x)^2}=\dfrac{d}{\,dx}(\dfrac{1}{1−x})=\sum_{n=0}^∞\dfrac{d}{\,dx}(x^n)=\dfrac{d}{\,dx}(1+x+x^2+x^3+\ldots)=0+1+2x+3x^2+4x^3+\ldots=\sum_{n=0}^∞(n+1)x^n \nonumber$$

para$|x|<1.$

Note$\PageIndex{1}$ no garantiza nada sobre el comportamiento de esta serie en los puntos finales. Al probar los puntos finales mediante el uso de la prueba de divergencia, encontramos que la serie diverge en ambos puntos finales.$x=±1$ Tenga en cuenta que este es el mismo resultado que se encuentra en Ejemplo.

b. de la parte a. sabemos que

$$\sum_{n=0}^∞(n+1)x^n=\dfrac{1}{(1−x)^2}. \nonumber$$

Por lo tanto,

\ [\ begin {align*}\ sum_ {n=0} ^∞\ dfrac {n+1} {4^n} &=\ suma_ {n=0} ^∞ (n+1)\ izquierda (\ dfrac {1} {4}\ derecha) ^n\\ [4pt]
&=\ dfrac {1} {\ izquierda (1−\ dfrac {1} {4}\ derecha) ^2}\\ [4pt]
&=\ dfrac {1} {\ izquierda (\ dfrac {3} {4}\ derecha) ^2}\\ [4pt]
& =\ dfrac {16} {9}\ end {align*}\]

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Diferenciar la serie$\dfrac{1}{(1−x)^2}=\sum_{n=0}^∞(n+1)x^n$ término por término para encontrar una representación de serie de potencia$\dfrac{2}{(1−x)^3}$ en el intervalo$(−1,1)$.

Pista

Escribe los primeros términos y aplica la regla del poder.

Contestar

$\displaystyle \sum_{n=0}^∞(n+2)(n+1)x^n$

Ejemplo$\PageIndex{7}$: Integrating Power Series

Para cada una de las siguientes funciones f, encuentre una representación de serie de potencia para f integrando la serie de potencia para$f′$ y encuentre su intervalo de convergencia.

1. $f(x)=\ln(1+x)$
2. $f(x)=\tan^{−1}x$

Solución:

a. para$f(x)=\ln(1+x)$, el derivado es$f′(x)=\dfrac{1}{1+x}$. Sabemos que

$$\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1}{1−(−x)}=\sum_{n=0}^∞(−x)^n=1−x+x^2−x^3+\ldots\nonumber$$

para$|x|<1$. Para encontrar una serie de potencia para$f(x)=\ln(1+x)$, integramos la serie término por término.

$$∫f′(x)\,dx=∫(1−x+x^2−x^3+\ldots)\,dx=C+x−\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}−\dfrac{x^4}{4}+\ldots\nonumber$$

Ya que$f(x)=\ln(1+x)$ es un antiderivado de$\dfrac{1}{1+x}$, queda por resolver para la constante$C$. Ya que$\ln(1+0)=0$, tenemos$C=0$. Por lo tanto, una representación en serie de potencia para$f(x)=\ln(1+x)$

$$\ln(1+x)=x−\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}−\dfrac{x^4}{4}+\ldots=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n} \text{ for } |x|<1.\nonumber$$

Note$\PageIndex{1}$ no garantiza nada sobre el comportamiento de esta serie de potencia en los puntos finales. No obstante, comprobando los puntos finales, encontramos que en$x=1$ la serie se encuentra la serie armónica alterna, que converge. También, en$x=−1$, la serie es la serie armónica, que diverge. Es importante señalar que, a pesar de que esta serie converge en$x=1$, Note no garantiza que la serie realmente converja a$\ln(2)$. De hecho, la serie sí converge a$\ln(2)$, pero mostrar este hecho requiere técnicas más avanzadas. (El teorema de Abel, cubierto en textos más avanzados, trata de este punto más técnico.) El intervalo de convergencia es$(−1,1]$.

b. La derivada de$f(x)=\tan^{−1}x$ es$f′(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$. Sabemos que

$\displaystyle \dfrac{1}{1+x^2}=\dfrac{1}{1−(−x^2)}=\sum_{n=0}^∞(−x^2)^n=1−x^2+x^4−x^6+\ldots$

para$|x|<1$. Para encontrar una serie de potencia para$f(x)=\tan^{−1}x$, integramos esta serie término por término.

$$∫f′(x)\,dx=∫(1−x^2+x^4−x^6+\ldots)\,dx=C+x−\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}−\dfrac{x^7}{7}+\ldots \nonumber$$

Ya que$\tan^{−1}(0)=0$, tenemos$C=0$. Por lo tanto, una representación en serie de potencia para$f(x)=\tan^{−1}x$

$$\tan^{−1}x=x−\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}−\dfrac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^∞(−1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}\nonumber$$

para$|x|<1$. Nuevamente, Note$\PageIndex{1}$ no garantiza nada sobre la convergencia de esta serie en los puntos finales. Sin embargo, comprobando los puntos finales y utilizando la prueba de series alternas, encontramos que la serie converge en$x=1$ y$x=−1$. Como se discutió en la parte a., usando el teorema de Abel, se puede demostrar que la serie realmente converge hacia$\tan^{−1}(1)$ y$\tan^{−1}(−1)$ en$x=1$ y$x=−1$, respectivamente. Así, el intervalo de convergencia es$[−1,1]$.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Integrar la serie de potencia$\displaystyle \ln(1+x)=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}\dfrac{x^n}{n}$ término por término para evaluar$\displaystyle ∫\ln(1+x)\,dx.$

Pista

Utilizar el hecho de que$\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)n}$ es un antiderivado de$\dfrac{x^n}{n}$.

Contestar

$\displaystyle \sum_{n=2}^∞\dfrac{(−1)^nx^n}{n(n−1)}$

Hasta este punto, hemos mostrado varias técnicas para encontrar representaciones de series de potencia para funciones. No obstante, ¿cómo sabemos que estas series de potencia son únicas? Es decir, dada una función$f$ y una serie de potencia para$f$ at$a$, ¿es posible que haya una serie de potencia diferente para$f$ a una que podríamos haber encontrado si hubiéramos usado una técnica diferente? La respuesta a esta pregunta es no. Este hecho no debería parecer sorprendente si pensamos en las series de poder como polinomios con un número infinito de términos. Intuitivamente, si

$$c_0+c_1x+c_2x^2+\ldots=d_0+d_1x+d_2x^2+\ldots \nonumber$$

para todos los valores$x$ en algún intervalo abierto I sobre cero, entonces los coeficientes$c_n$ deben ser iguales$d_n$ para$n≥0$. Ahora declaramos este resultado de manera formal.

Unicidad de la serie Power

Dejar$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ y$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_n(x−a)^n$ ser dos series convergentes de potencia tal que

$$\sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=\sum_{n=0}^∞d_n(x−a)^n \nonumber$$

para todos x en un intervalo abierto que contiene$a$. Entonces$c_n=d_n$ para todos$n≥0$.

Prueba

Let

$$\begin{align*} f(x) =c_0+c_1(x−a)+c_2(x−a)^2+c_3(x−a)^3+\ldots \\ =d_0+d_1(x−a)+d_2(x−a)^2+d_3(x−a)^3+\ldots. \end{align*}$$

Entonces$f(a)=c_0=d_0.$ Por Nota, podemos diferenciar ambas series término por término. Por lo tanto,

$$\begin{align*}f′(x) =c_1+2c_2(x−a)+3c_3(x−a)^2+\ldots \\ =d_1+2d_2(x−a)+3d_3(x−a)^2+\ldots,\end{align*}$$

y por lo tanto,$f′(a)=c_1=d_1.$ De igual manera,

$$\begin{align*} f''(x) =2c_2+3⋅2c_3(x−a)+\ldots \\ =2d_2+3⋅2d_3(x−a)+\ldots\end{align*}$$

implica eso$f''(a)=2c_2=2d_2,$ y por lo tanto,$c_2=d_2$. Más generalmente, para cualquier entero$n≥0,f^{(n)} (a)=n!c_n=n!d_n,$ y consecuentemente,$c_n=d_n$ para todos$n≥0.$

□

En esta sección hemos mostrado cómo encontrar representaciones de series de potencia para ciertas funciones utilizando diversas operaciones algebraicas, diferenciación o integración. En este punto, sin embargo, todavía estamos limitados en cuanto a las funciones para las que podemos encontrar representaciones de series de poder. A continuación, mostramos cómo encontrar representaciones de series de poder para muchas más funciones mediante la introducción de la serie Taylor.

Conceptos clave

• Dadas dos series de potencia$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_nx^n$ y$\displaystyle \sum_{n=0}^∞d_nx^n$ que convergen en funciones$f$ y$g$ en un intervalo común$I$, la suma y diferencia de las dos series convergen a$f±g$, respectivamente, on$I$. Además, para cualquier número real$b$ y entero$m≥0$, la serie$\displaystyle \sum_{n=0}^∞bx^mc_nx^n$ converge a$bx^mf(x)$ y la serie$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(bx^m)^n$ converge a$f(bx^m)$ siempre que$bx^m$ esté en el intervalo$I$.
• Dadas dos series de potencia que convergen en un intervalo,$(−R,R),$ el producto Cauchy de las dos series de potencia converge en el intervalo$(−R,R)$.
• Dada una serie de potencias que converge a una función$f$ en un intervalo$(−R,R)$, la serie se puede diferenciar término por término y la serie resultante converge a$f′$ on$(−R,R)$. La serie también se puede integrar término por término y la serie resultante converge a$∫f(x)\,dx$ on$(−R,R)$.

Glosario

diferenciación término por término de una serie de potencias

una técnica para evaluar la derivada de una serie de potencias$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ mediante la evaluación de la derivada de cada término por separado para crear la nueva serie de potencia$\displaystyle \sum_{n=1}^∞nc_n(x−a)^{n−1}$

integración término por término de una serie de potencia

una técnica para integrar una serie de potencia$\displaystyle \sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n$ integrando cada término por separado para crear la nueva serie de potencia$\displaystyle C+\sum_{n=0}^∞c_n\dfrac{(x−a)^{n+1}}{n+1}$