1.2: La noción de límite

Preguntas Motivadoras

• ¿Cuál es la noción matemática de límite y qué papel juegan los límites en el estudio de las funciones?
• Cuál es el significado de la notación\(\lim_{x \to a} f(x) = L\text{?}\)
• ¿Cómo vamos para determinar el valor del límite de una función en un punto?
• ¿Cómo manipulamos la velocidad promedio para calcular la velocidad instantánea?

En la Sección 1.1 utilizamos una función,\(s(t)\text{,}\) para modelar la ubicación de un objeto en movimiento en un momento dado. Las funciones pueden modelar otros fenómenos interesantes, como la velocidad a la que un automóvil consume gasolina a una velocidad determinada, o la reacción de un paciente a una dosis dada de un medicamento. Podemos usar cálculo para estudiar cómo cambia el valor de una función en respuesta a cambios en la variable de entrada.

Piense en la bola que cae cuya función de posición viene dada por\(s(t) = 64 - 16t^2\text{.}\) Su velocidad promedio en el intervalo\([1,x]\) viene dada por

\[ AV_{[1,x]} = \frac{s(x) - s(1)}{x-1} = \frac{(64-16x^2) - (64-16)}{x-1} = \frac{16 - 16x^2}{x-1}\text{.} \nonumber \]

Tenga en cuenta que la velocidad promedio es una función de Es\(x\text{.}\) decir, la función nos\(g(x) = \frac{16 - 16x^2}{x-1}\) dice la velocidad promedio de la pelota en el intervalo de\(t = 1\)\(t = x\text{.}\) a Para encontrar la velocidad instantánea de la pelota cuando\(t = 1\text{,}\) necesitamos saber qué sucede a\(g(x)\) medida que\(x\) se pone más y más cerca de\(1\text{.}\) Pero también fíjense que no\(g(1)\) está definido, porque lleva al cociente\(0/0\text{.}\)

Aquí es donde entra en juego la noción de límite. Mediante el uso de un límite, podemos investigar el comportamiento de\(g(x)\) como\(x\) se acerca arbitrariamente, pero no igual, a Primero\(1\text{.}\) usamos la gráfica de una función para explorar puntos donde ocurre un comportamiento interesante.

Vista previa Actividad 1.2.1.

Supongamos que\(g\) es la función dada por la gráfica de abajo. Utilice la gráfica de la Figura 1.2.1 para responder a cada una de las siguientes preguntas.

1. Determinar los valores\(g(-2)\text{,}\)\(g(-1)\text{,}\)\(g(0)\text{,}\)\(g(1)\text{,}\) y\(g(2)\text{,}\) si se definen. Si el valor de la función no está definido, explica qué característica de la gráfica te dice esto.
2. Para cada uno de los valores\(a = -1\text{,}\)\(a = 0\text{,}\) y\(a = 2\text{,}\) completar la siguiente frase: “A medida que\(x\) se acerca cada vez más (pero no igual)\(a\text{,}\)\(g(x)\) se acerca lo más cerca que queremos”.
3. ¿Qué sucede a medida que\(x\) se acerca cada vez más (pero no igual) a\(a = 1\text{?}\) ¿La función\(g(x)\) se acerca tanto como nos gustaría a un solo valor?

Figura 1.2.1. Gráfica de\(y = g(x)\) para Vista previa de la Actividad 1.2.1.

1.2.1. Noción de límite

Los límites nos permiten identificar una tendencia en los valores de una función a medida que su variable de entrada se acerca a un valor particular de interés. Necesitamos una comprensión precisa de lo que significa decir “una función\(f\) tiene límite\(L\) como\(x\) enfoques\(a\text{.}\)” Para comenzar, piense en un ejemplo reciente.

En Preview Activity 1.2.1, vimos que a medida que\(x\) se acerca cada vez más (pero no igual) a 0,\(g(x)\) se acerca lo más cerca que queramos al valor 4. Al principio, esto puede parecer contradictorio, porque el valor de\(1\text{,}\) no\(g(0)\) es\(4\text{.}\) Pero los límites describen el comportamiento de una función arbitrariamente cerca de una entrada fija, y el valor de la función en la entrada fija no importa. De manera más formal, ¹ decimos lo siguiente.

Lo que sigue aquí no es lo que los matemáticos consideran la definición formal de un límite. Para ser completamente precisos, es necesario cuantificar tanto lo que significa decir “lo más cerca que nos gusta”\(L\) como “suficientemente cerca de\(a\text{.}\)” Eso se puede lograr a través de lo que tradicionalmente se llama la definición épsilon-delta de límites. La definición que aquí se presenta es suficiente para los efectos del presente texto.

Definición 1.2.2

Dada una función\(f\text{,}\) una entrada fija\(x = a\text{,}\) y un número real\(L\text{,}\) decimos que \(f\)tiene límite\(L\) como\(x\) enfoques\(a\), y escribimos

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \nonumber \]

siempre que podamos hacer\(f(x)\) lo más cerca que queramos tomando\(x\) suficientemente cerca (pero no igual) a\(a\text{.}\) Si no podemos hacer\(f(x)\) lo más cerca de un solo valor como nos gustaría como\(x\) enfoques\(a\text{,}\) entonces decimos que \(f\)sí\(L\) no tener un límite como\(x\) enfoques\(a\text{.}\)

Ejemplo 1.2.3

Para la función\(g\) representada en la Figura 1.2.1, hacemos las siguientes observaciones:

\[ \lim_{x \to -1} g(x) = 3, \ \lim_{x \to 0} g(x) = 4, \ \text{and} \ \lim_{x \to 2} g(x) = 1\text{.} \nonumber \]

Cuando se trabaja a partir de una gráfica, basta con preguntar si la función se acerca a un solo valor desde cada lado de la entrada fija. El valor de la función en la entrada fija es irrelevante. Este razonamiento explica los valores de los tres límites señalados anteriormente.

Sin embargo,\(g\) no tiene límite ya que\(x \to 1\text{.}\) hay un salto en la gráfica en\(x = 1\text{.}\) Si nos acercamos\(x = 1\) desde la izquierda, los valores de la función tienden a acercarse a 3, pero si nos acercamos\(x = 1\) desde la derecha, los valores de la función se acercan a 2. No hay un solo número al que se acerquen todos estos valores de función. Es por ello que el límite de\(g\) no existe en\(x = 1\text{.}\)

Para cualquier función normalmente\(f\text{,}\) hay tres formas de responder a la pregunta “\(f\)tiene un límite en\(x = a\text{,}\) y si es así, ¿cuál es el límite?” El primero es razonar gráficamente como acabamos de hacer con el ejemplo de Preview Activity 1.2.1. Si tenemos una fórmula para\(f(x)\text{,}\) hay dos posibilidades adicionales:

1. Evaluar la función en una secuencia de entradas que se acercan a cada\(a\) lado (normalmente usando algún tipo de tecnología informática), y pregunte si la secuencia de salidas parece acercarse a un solo valor.
2. Usar la forma algebraica de la función para entender la tendencia en sus valores de salida a medida que se acercan los valores de entrada\(a\text{.}\)

El primer enfoque produce sólo una aproximación del valor del límite, mientras que este último a menudo se puede utilizar para determinar exactamente el límite.

Ejemplo 1.2.4. Límites de dos funciones

Para cada una de las siguientes funciones, nos gustaría saber si la función tiene o no un límite en los\(a\) valores establecidos. Utilizar enfoques tanto numéricos como algebraicos para investigar y, de ser posible, estimar o determinar el valor del límite. Comparar los resultados con una gráfica cuidadosa de la función en un intervalo que contenga los puntos de interés.

1. \(f(x) = \frac{4-x^2}{x+2}\text{;}\)\(a = -1\text{,}\)\(a = -2\)
2. \(g(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)\text{;}\)\(a = 3\text{,}\)\(a = 0\)

Contestar

a. Primero construimos una gráfica de\(f\) junto con tablas de valores cercanos\(a = -1\) y\(a = -2\text{.}\)

Cuadro 1.2.5. Tabla de\(f\) valores cercanos\(x=-1\text{.}\)

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">\(-0.9\)	\ (f (x)\) ">\(2.9\)
\ (x\) ">\(-0.99\)	\ (f (x)\) ">\(2.99\)
\ (x\) ">\(-0.999\)	\ (f (x)\) ">\(2.999\)
\ (x\) ">\(-0.9999\)	\ (f (x)\) ">\(2.9999\)
\ (x\) ">\(-1.1\)	\ (f (x)\) ">\(3.1\)
\ (x\) ">\(-1.01\)	\ (f (x)\) ">\(3.01\)
\ (x\) ">\(-1.001\)	\ (f (x)\) ">\(3.001\)
\ (x\) ">\(-1.0001\)	\ (f (x)\) ">\(3.0001\)

Cuadro 1.2.6. Tabla de\(f\) valores cercanos\(x=-2\text{.}\)

\(x\)	\(f(x)\)
\ (x\) ">\(-1.9\)	\ (f (x)\) ">\(3.9\)
\ (x\) ">\(-1.99\)	\ (f (x)\) ">\(3.99\)
\ (x\) ">\(-1.999\)	\ (f (x)\) ">\(3.999\)
\ (x\) ">\(-1.9999\)	\ (f (x)\) ">\(3.9999\)
\ (x\) ">\(-2.1\)	\ (f (x)\) ">\(4.1\)
\ (x\) ">\(-2.01\)	\ (f (x)\) ">\(4.01\)
\ (x\) ">\(-2.001\)	\ (f (x)\) ">\(4.001\)
\ (x\) ">\(-2.0001\)	\ (f (x)\) ">\(4.0001\)

Figura 1.2.7. Parcela de\(f(x)\) on\([-4,2]\text{.}\)

De la Tabla 1.2.5, parece que podemos hacer\(f\) lo más cerca que queramos a 3 tomando\(x\) lo suficientemente cerca de lo\(-1\text{,}\) que sugiere que\(\lim_{x \to -1} f(x) = 3\text{.}\) Esto también es consistente con la gráfica de\(f\text{.}\) Para ver esto un poco más rigurosamente y desde un punto de vista algebraico, considere la fórmula para\(f\text{:}\)\(f(x) = \frac{4-x^2}{x+2}\text{.}\) As\(x \to -1\text{,}\)\((4-x^2) \to (4 - (-1)^2) = 3\text{,}\) y\((x+2) \to (-1 + 2) = 1\text{,}\) así como\(x \to -1\text{,}\) el numerador de\(f\) tiende a 3 y el denominador tiende a 1, por lo tanto\(\lim_{x \to -1} f(x) = \frac{3}{1} = 3\text{.}\)

La situación es más complicada cuando\(x \to -2\text{,}\) porque no\(f(-2)\) está definida. Si tratamos de usar un argumento algebraico similar respecto al numerador y denominador, observamos que como\(x \to -2\text{,}\)\((4-x^2) \to (4 - (-2)^2) = 0\text{,}\) y\((x+2) \to (-2 + 2) = 0\text{,}\) así como\(x \to -2\text{,}\) el numerador y denominador de\(f\) ambos tienden a 0. Llamamos a\(0/0\) una forma indeterminada. Esto nos dice que de alguna manera hay más trabajo por hacer. De la Tabla 1.2.6 y la Figura 1.2.7, se desprende que\(f\) debe tener un límite\(4\) de\(x = -2\text{.}\)

Para ver algebraicamente por qué es así, observe que

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a -2} f (x) = &\ lim_ {x\ a -2}\ frac {4-x^2} {x+2}\\ [4pt] = &\ lim_ {x\ a -2}\ frac {(2-x) (2+x)} {x+2}\ texto {.} \ end {align*}

Es importante observar que, ya que estamos tomando el límite ya que\(x \to -2\text{,}\) estamos considerando\(x\) valores que están cerca, pero no iguales, a\(-2\text{.}\) Porque en realidad nunca permitimos\(x\) igualar\(-2\text{,}\) el cociente\(\frac{2+x}{x+2}\) tiene valor 1 por cada valor posible de\(x\text{.}\) Así, nosotros puede simplificar la expresión más reciente anterior, y encontrar que

\[ \lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} 2-x\text{.} \nonumber \]

Este límite es ahora fácil de determinar, y su valor claramente es\(4\text{.}\) Así, desde varios puntos de vista hemos visto que\(\lim_{x \to -2} f(x) = 4\text{.}\)

b. A continuación pasamos a la función\(g\text{,}\) y construimos dos tablas y una gráfica.

Cuadro 1.2.8. Tabla de\(g\) valores cercanos\(x=3\text{.}\)

\(x\)	\(g(x)\)
\ (x\) ">\(2.9\)	\ (g (x)\) ">\(0.84864\)
\ (x\) ">\(2.99\)	\ (g (x)\) ">\(0.86428\)
\ (x\) ">\(2.999\)	\ (g (x)\) ">\(0.86585\)
\ (x\) ">\(2.9999\)	\ (g (x)\) ">\(0.86601\)
\ (x\) ">\(3.1\)	\ (g (x)\) ">\(0.88351\)
\ (x\) ">\(3.01\)	\ (g (x)\) ">\(0.86777\)
\ (x\) ">\(3.001\)	\ (g (x)\) ">\(0.86620\)
\ (x\) ">\(3.0001\)	\ (g (x)\) ">\(0.86604\)

Cuadro 1.2.9. Tabla de\(g\) valores cercanos\(x=0\text{.}\)

\(x\)	\(g(x)\)
\ (x\) ">\(-0.1\)	\ (g (x)\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(-0.01\)	\ (g (x)\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(-0.001\)	\ (g (x)\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(-0.0001\)	\ (g (x)\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(0.1\)	\ (g (x)\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(0.01\)	\ (g (x)\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(0.001\)	\ (g (x)\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(0.0001\)	\ (g (x)\) ">\(0\)

Figura 1.2.10. Parcela de\(g(x)\) on\([-4,4]\text{.}\)

Primero, como\(x \to 3\text{,}\) aparece de los valores de la tabla que la función se está acercando a un número entre\(0.86601\) y\(0.86604\text{.}\) De la gráfica aparece que\(g(x) \to g(3)\) como\(x \to 3\text{.}\) El valor exacto de\(g(3) = \sin(\frac{\pi}{3})\) es\(\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}\) que es aproximadamente 0.8660254038. Esto es una prueba convincente de que

\[ \lim_{x \to 3} g(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}\text{.} \nonumber \]

Como\(x \to 0\text{,}\) observamos eso\(\frac{\pi}{x}\) no se comporta de manera elemental. Cuando\(x\) es positivo y se acerca a cero, estamos dividiendo por valores positivos cada vez más pequeños, y\(\frac{\pi}{x}\) aumenta sin límite. Cuando\(x\) es negativo y se acerca a cero,\(\frac{\pi}{x}\) disminuye sin límite. En este sentido, a medida que nos acercamos a\(x = 0\text{,}\) las entradas a la función sinusoidal van creciendo rápidamente, y esto nos lleva a oscilaciones cada vez más rápidas en la gráfica de\(g\) betweem\(1\) y\(-1\text{.}\) si trazamos la función\(g(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right)\) con una utilidad gráfica y luego\(x = 0\text{,}\) acercamos vemos que la función nunca se establece en un solo valor cerca del origen, lo que sugiere que\(g\) no tiene límite en\(x = 0\text{.}\)

¿Cómo conciliamos la gráfica con la tabla de la derecha anterior, lo que parece sugerir que el límite de\(g\) como\(x\) enfoques de hecho\(0\) puede ser\(0\text{?}\) Los datos nos engañan por la naturaleza especial de la secuencia de valores de entrada\(\{0.1, 0.01, 0.001, \ldots\}\text{.}\) Cuando\(g(10^{-k})\text{,}\) evaluamos obtenemos \(g(10^{-k}) = \sin\left(\frac{\pi}{10^{-k}}\right) = \sin(10^k \pi) = 0\)para cada valor entero positivo de\(k\text{.}\) Pero si tomamos una secuencia diferente de valores acercándose a cero, digamos\(\{0.3, 0.03, 0.003, \ldots\}\text{,}\) entonces encontramos que

\[ g(3 \cdot 10^{-k}) = \sin\left(\frac{\pi}{3 \cdot 10^{-k}}\right) = \sin\left(\frac{10^k \pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866025\text{.} \nonumber \]

Esa secuencia de valores de función sugiere que el valor del límite es\(\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}\) Claramente la función no puede tener dos valores diferentes para el límite, por lo que no\(g\) tiene límite como\(x \to 0\text{.}\)

Una lección importante a tomar del Ejemplo 1.2.4 es que las tablas pueden ser engañosas a la hora de determinar el valor de un límite. Si bien una tabla de valores es útil para investigar el posible valor de un límite, también debemos usar otras herramientas para confirmar el valor.

Actividad 1.2.2

Estimar el valor de cada uno de los siguientes límites construyendo tablas de valores apropiadas. Luego determine el valor exacto del límite mediante el uso de álgebra para simplificar la función. Finalmente, traza cada función en un intervalo apropiado para verificar tu resultado visualmente.

1. \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x-1}\)
2. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(2+x)^3 - 8}{x}\)
3. \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x}\)

Recordemos que nuestra principal motivación para considerar límites de funciones proviene de nuestro interés por estudiar la tasa de cambio de una función. Para ello, cerramos esta sección revisitando nuestro trabajo anterior con velocidad media e instantánea y resaltando el papel que juegan los límites.

Velocidad instantánea

Supongamos que tenemos un objeto en movimiento cuya posición en el tiempo\(t\) viene dada por una función\(s\text{.}\) Sabemos que la velocidad promedio del objeto en el intervalo de tiempo\([a,b]\) es\(AV_{[a,b]} = \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.}\) Definimos la velocidad instantánea\(a\) a ser el límite de la velocidad promedio como \(b\)enfoques\(a\text{.}\) Tenga en cuenta particularmente que a medida que\(b \to a\text{,}\) la duración del intervalo de tiempo se acorta cada vez más (mientras que siempre se incluye\(a\)). Vamos a escribir\(IV_{t=a}\) para la velocidad instantánea en\(t = a\text{,}\) y por lo tanto

\[ IV_{t=a} = \lim_{b \to a} AV_{[a,b]} = \lim_{b \to a} \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.} \nonumber \]

Equivalentemente, si pensamos que el valor\(b\) cambiante\(h\) es de la forma\(b = a + h\text{,}\) donde hay algún número pequeño, entonces podemos escribir

\[ IV_{t=a} = \lim_{h \to 0} AV_{[a,a+h]} = \lim_{h \to 0} \frac{s(a+h)-s(a)}{h}\text{.} \nonumber \]

Nuevamente, la idea más importante aquí es que para calcular la velocidad instantánea, tomamos un límite de velocidades promedio a medida que el intervalo de tiempo se reduce.

Actividad 1.2.3

Considere un objeto en movimiento cuya función de posición viene dada por\(s(t) = t^2\text{,}\) donde\(s\) se mide en metros y\(t\) se mide en minutos.

1. Determinar la expresión más simplificada para la velocidad promedio del objeto en el intervalo\([3, 3+h]\text{,}\) donde\(h \gt 0\text{.}\)
2. Determine la velocidad promedio del objeto en el intervalo\([3,3.2]\text{.}\) Incluya unidades en su respuesta.
3. Determine la velocidad instantánea del objeto cuando\(t = 3\text{.}\) Incluya unidades en su respuesta.

La actividad de cierre de esta sección te pide hacer algunas conexiones entre la velocidad promedio, la velocidad instantánea y las pendientes de ciertas líneas.

Actividad 1.2.4

Para el objeto en movimiento cuya posición\(s\) en el momento\(t\) viene dada por la gráfica de la Figura 1.2.11, responda a cada una de las siguientes preguntas. Supongamos que\(s\) se mide en pies y\(t\) se mide en segundos.

Figura 1.2.11. Trama de la función de posición\(y = s(t)\) en la Actividad 1.2.4.

a. Utilice la gráfica para estimar la velocidad promedio del objeto en cada uno de los siguientes intervalos:\([0.5,1]\text{,}\)\([1.5,2.5]\text{,}\)\([0,5]\text{.}\) Dibuje cada línea cuya pendiente represente la velocidad promedio que busca.

b. ¿Cómo podrías usar velocidades promedio o pendientes de líneas para estimar la velocidad instantánea del objeto en un tiempo fijo?

c. Usa la gráfica para estimar la velocidad instantánea del objeto cuando ¿\(t = 2\text{.}\)Debería esta velocidad instantánea a\(t = 2\) ser mayor o menor que la velocidad promedio en la\([1.5,2.5]\) que computó en (a)? ¿Por qué?

1.2.3. Resumen

• Los límites nos permiten examinar tendencias en el comportamiento de la función cerca de un punto específico. En particular, tomar un límite en un punto dado pregunta si los valores de función cercanos tienden a acercarse a un valor fijo particular.
• Leemos\(\lim_{x \to a} f(x) = L\text{,}\) como “el límite de\(f\) lo que\(a\) se\(x\) acerca\(L\text{,}\)” lo que significa que podemos hacer que el valor de\(f(x)\) lo más cerca que queramos tomando\(x\) lo suficientemente cerca (pero no igual) de\(L\)\(a\text{.}\)
• Para encontrar\(\lim_{x \to a} f(x)\) para un valor dado de\(a\) y una función conocida\(f\text{,}\) podemos estimar este valor a partir de la gráfica de\(f\text{,}\) o podemos hacer una tabla de valores de función para\(x\) -valores que están cada vez más cerca de\(a\text{.}\) Si queremos el valor exacto del límite, podemos trabajar con el función algebraica para entender como diferentes partes de la fórmula para el\(f\) cambio como\(x \to a\text{.}\)
• Encontramos la velocidad instantánea de un objeto en movimiento en un tiempo fijo tomando el límite de velocidades promedio del objeto en intervalos de tiempo cada vez más cortos que contienen el tiempo de interés.