1: Entendiendo la Derivada
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- 1.1: ¿Cómo medimos la velocidad?
- La velocidad promedio en [a, b] puede verse geométricamente como la pendiente de la línea entre los puntos (a, s (a)) y (b, s (b)) en la gráfica de y=s (t). La velocidad instantánea de un objeto en movimiento en un tiempo fijo se estima considerando velocidades promedio en intervalos de tiempo cada vez más cortos que contienen el instante de interés
- 1.2: La noción de límite
- Los límites nos permiten examinar tendencias en el comportamiento de la función cerca de un punto específico. En particular, tomar un límite en un punto dado pregunta si los valores de función cercanos tienden a acercarse a un valor fijo particular.
- 1.3: La derivada de una función en un punto
- Una idea que se asienta en los cimientos del cálculo es la velocidad instantánea de cambio de una función. Esta tasa de cambio siempre se considera con respecto al cambio en la variable de entrada, a menudo a un valor de entrada fijo particular. Esta es una generalización de la noción de velocidad instantánea y esencialmente nos permite considerar la pregunta “¿cómo medimos qué tan rápido está cambiando una función en particular en un punto dado?”
- 1.4: La Función Derivada
- La definición límite de la derivada produce un valor por cada x en el que se define la derivada, y esto conduce a una nueva función cuya fórmula es y = f' (x). De ahí que hablemos tanto de una función dada f como de su derivada f'. Es especialmente importante señalar que tomar la derivada es un proceso que comienza con una función dada (f) y produce una nueva función relacionada (f').
- 1.5: Interpretación, Estimación y Uso de la Derivada
- Independientemente del contexto de una función dada\(y = f (x)\), la derivada siempre mide la tasa instantánea de cambio de la variable de salida con respecto a la variable de entrada. Las unidades en la función derivada\(y = f'(x)\) son unidades\(f\) por unidad de\(x\). Nuevamente, esto mide qué tan rápido cambia la salida de la función cuando\(f\) cambia la entrada de la función.
- 1.6: La Segunda Derivada
- Una función diferenciable f está aumentando en un punto o en un intervalo siempre que su primera derivada sea positiva, y decreciente siempre que su primera derivada sea negativa. Al tomar la derivada de la derivada de una función f', llegamos a la segunda derivada, f”. La segunda derivada mide la tasa instantánea de cambio de la primera derivada, y así el signo de la segunda derivada nos indica si la pendiente de la línea tangente a f está aumentando o disminuyendo o no.
- 1.7: Límites, Continuidad y Diferenciabilidad
- Una función f tiene límite como x → a si y solo si f tiene un límite izquierdo en x = a, tiene un límite de la derecha en x = a, y los límites izquierdo y derecho son iguales. Una función f es continua en x = a siempre que se defina f (a), f tiene un límite como x → a, y el valor del límite y el valor de la función están de acuerdo. Esto garantiza que no hay un agujero o salto en la gráfica de f en x = a. una función f es diferenciable en x = a siempre que f' (a) exista.
- 1.8: La aproximación de la línea tangente
- El principio de linealidad local nos dice que si nos acercamos a un punto donde una función y = f (x) es diferenciable, la función debería volverse indistinguible de su línea tangente. Es decir, una función diferenciable se ve lineal cuando se ve de cerca.
- 1.E: Comprensión de la Derivada (Ejercicios)
- Estos son ejercicios de tarea para acompañar al Capítulo 1 de Boelkins et al. Mapa de texto “Cálculo activo”.