1.3: La derivada de una función en un punto

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo se define la tasa promedio de cambio de una función en un intervalo dado y qué mide esta cantidad?
• ¿Cómo se define la tasa instantánea de cambio de una función en un punto determinado? ¿Cómo se vincula la tasa instantánea de cambio con la tasa de cambio promedio?
• ¿Cuál es la derivada de una función en un punto dado? ¿Qué mide este valor derivado? ¿Cómo interpretamos gráficamente el valor derivado?
• ¿Cómo se utilizan formalmente los límites en el cómputo de derivados?

La tasa instantánea de cambio de una función es una idea que se asienta en la base del cálculo. Se trata de una generalización de la noción de velocidad instantánea y mide qué tan rápido está cambiando una función particular en un punto dado. Si la función original representa la posición de un objeto en movimiento, esta tasa instantánea de cambio es precisamente la velocidad del objeto. En otros contextos, la tasa instantánea de cambio podría medir el número de células agregadas a un cultivo de bacterias por día, el número de galones adicionales de gasolina consumidos al aumentar la velocidad de un automóvil una milla por hora, o el número de dólares agregados a un pago hipotecario por cada aumento de punto porcentual en tasa de interés. La tasa instantánea de cambio también se puede interpretar geométricamente en la gráfica de la función, y esta conexión es fundamental para muchas de las ideas principales del cálculo.

Recordemos que para un objeto en movimiento con función de posición\(s\text{,}\) su velocidad promedio en el intervalo de tiempo\(t = a\) a\(t = a+h\) viene dada por el cociente

\[ AV_{[a,a+h]} = \frac{s(a+h)-s(a)}{h}\text{.} \nonumber \]

De manera similar, hacemos la siguiente definición para una función arbitraria\(y = f(x)\text{.}\)

Definición 1.3.1: Tasa promedio de cambio

Para una función\(f\text{,}\) la tasa promedio de cambio de\(f\) en el intervalo\([a,a+h]\) viene dada por el valor

\[ AV_{[a,a+h]} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{.} \nonumber \]

Equivalentemente, si queremos considerar la tasa promedio de cambio de\(f\) on\([a,b]\text{,}\) calculamos

\[ AV_{[a,b]} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{.} \nonumber \]

Es fundamental que entiendas cómo la tasa promedio de cambio de\(f\) en un intervalo está conectada a su gráfica.

Vista previa de la actividad 1.3.1

Supongamos que\(f\) es la función dada por la gráfica de abajo y que\(a\) y\(a+h\) son los valores de entrada como etiquetados en el\(x\) eje -axis. Utilice la gráfica de la Figura 1.3.2 para responder a las siguientes preguntas.

Figura 1.3.2. Parcela de\(y = f(x)\) para Vista previa Actividad 1.3.1.

1. Localizar y etiquetar los puntos\((a,f(a))\) y\((a+h, f(a+h))\) en la gráfica.
2. Construir un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento de línea de\((a,f(a))\) a\((a+h,f(a+h))\text{.}\) ¿Cuáles son las longitudes de las respectivas patas de este triángulo?
3. ¿Cuál es la pendiente de la línea que conecta los puntos\((a,f(a))\) y\((a+h, f(a+h))\text{?}\)
4. Escriba una oración significativa que explique cómo se conectan la tasa promedio de cambio de la función en un intervalo dado y la pendiente de una línea relacionada.

1.3.1 La derivada de una función en un punto

Así como definimos la velocidad instantánea en términos de velocidad promedio, ahora definimos la velocidad instantánea de cambio de una función en un punto en términos de la tasa promedio de cambio de la función\(f\) en intervalos relacionados. Esta tasa instantánea de cambio de\(f\) at\(a\) se llama “la derivada de\(f\) at\(a\text{,}\)” y se denota por\(f'(a)\text{.}\)

Definición 1.3.3: Derivada

Dejar\(f\) ser una función y\(x = a\) un valor en el dominio de la función. Definimos la derivada de\(f\) con respecto a\(x\) evaluada at\(x = a\), denotada\(f'(a)\text{,}\) por la fórmula

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{,} \nonumber \]

siempre que este límite exista.

En voz alta, leemos el símbolo\(f'(a)\) como “\(f\)-prime at\(a\)” o “el derivado de\(f\) evaluado en\(x = a\text{.}\)” Gran parte de los siguientes capítulos se dedicarán a comprender, computar, aplicar e interpretar derivados. Por ahora, observamos las siguientes cosas importantes.

Nota 1.3.4

• La derivada de\(f\) al valor\(x = a\) se define como el límite de la tasa promedio de cambio de\(f\) en el intervalo\([a,a+h]\) como\(h \to 0\text{.}\) Este límite puede no existir, por lo que no todas las funciones tienen una derivada en cada punto.
• Decimos que una función es diferenciable en\(x = a\) si tiene un derivado en\(x = a\text{.}\)
• La derivada es una generalización de la velocidad instantánea de una función de posición: si\(y = s(t)\) es una función de posición de un cuerpo en movimiento, nos\(s'(a)\) dice la velocidad instantánea del cuerpo en el momento\(t=a\text{.}\)
• Debido a que las unidades en\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) son “unidades de\(f(x)\) por unidad de\(x\text{,}\)” el derivado tiene estas mismas unidades. Por ejemplo, si\(s\) mide la posición en pies y\(t\) mide el tiempo en segundos, las unidades\(s'(a)\) encendidas son pies por segundo.
• Debido a que la cantidad\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) representa la pendiente de la línea a través\((a,f(a))\) y\((a+h, f(a+h))\text{,}\) cuando calculamos la derivada estamos tomando el límite de una colección de pendientes de líneas. Así, la derivada en sí representa la pendiente de una línea particularmente importante.

Primero consideramos la derivada en un valor dado como la pendiente de una determinada línea.

Cuando calculamos una tasa instantánea de cambio, permitimos que el intervalo\([a,a+h]\) se encoja ya que\(h \to 0\text{.}\) podemos pensar en un punto final del intervalo como “deslizándose hacia” el otro. En particular, siempre que\(f\) tenga un derivado en\((a,f(a))\text{,}\) el punto\((a+h,f(a+h))\) se acercará\((a,f(a))\) como\(h \to 0\text{.}\) Debido a que el proceso de tomar un límite es dinámico, puede ser útil utilizar la tecnología informática para visualizarlo. Una opción es un applet java en el que el usuario es capaz de controlar el punto que se está moviendo. Para una útil colección de ejemplos, considere el trabajo de David Austin de la Universidad Estatal de Grand Valley, y este ejemplo particularmente relevante. Para los applets que se han construido en Geogebra ¹, consulte la biblioteca de Marc Renault a través de la Universidad de Shippensburg, siendo este ejemplo especialmente apropiado para nuestro trabajo en esta sección.

Incluso puedes considerar construir tus propios ejemplos; el fantástico programa Geogebra está disponible para descarga gratuita y es fácil de aprender y usar.

La Figura 1.3.5 muestra una secuencia de figuras con varias líneas diferentes a través de los puntos\((a, f(a))\) y\((a+h,f(a+h))\text{,}\) generadas por diferentes valores de\(h\text{.}\) Estas líneas (mostradas en las tres primeras figuras en magenta), a menudo se denominan líneas secantes a la curva\(y = f(x)\text{.}\) Una línea secante a una curva es simplemente una línea que pasa por dos puntos en la curva. Para cada una de esas líneas, la pendiente de la línea secante es\(m = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\text{,}\) donde el valor de\(h\) depende de la ubicación del punto que elijamos. Podemos ver en el diagrama cómo, a medida\(h \to 0\text{,}\) que las líneas secantes comienzan a acercarse a una sola línea que pasa por el punto\((a,f(a))\text{.}\) Si existe el límite de las pendientes de las líneas secantes, decimos que el valor resultante es la pendiente de la línea tangente a la curva. Esta línea tangente (mostrada en la figura más a la derecha en verde) a la gráfica de\(y = f(x)\) en el punto\((a,f(a))\) tiene pendiente\(m = f'(a)\text{.}\)

Figura 1.3.5. Una secuencia de líneas secantes que se aproximan a la línea tangente\(f\) a\((a,f(a))\text{.}\)

Si la línea tangente en\(x = a\) existe, la gráfica de\(f\) parece una línea recta cuando se ve de cerca\((a,f(a))\text{.}\) en En la Figura 1.3.6 combinamos las cuatro gráficas de la Figura 1.3.5 en la única de la izquierda, y acercamos el cuadro\((a,f(a))\) centrado a la derecha. Observe cómo la línea tangente se asienta en relación con la curva\(y = f(x)\) en\((a,f(a))\) y qué tan cerca se parece a la curva cercana\(x = a\text{.}\)

Figura 1.3.6. Una secuencia de líneas secantes que se aproximan a la línea tangente a\(f\)\((a,f(a))\text{.}\) A la derecha, ampliamos el punto\((a,f(a))\text{.}\) La pendiente de la línea tangente (en verde) a\(f\) at\((a,f(a))\) viene dada por\(f'(a)\text{.}\)

Nota 1.3.7

La tasa instantánea de cambio\(f\) con respecto a\(x\) at\(x = a\text{,}\)\(f'(a)\text{,}\) también mide la pendiente de la línea tangente a la curva\(y = f(x)\) en\((a,f(a))\text{.}\)

El siguiente ejemplo demuestra varias ideas clave que involucran la derivada de una función.

Ejemplo 1.3.8

Para la función\(f(x) = x - x^2\text{,}\) usa la definición límite de la derivada para calcular\(f'(2)\text{.}\) Además, discute el significado de este valor y dibuja una gráfica etiquetada que apoye tu explicación.

Contestar

A partir de la definición de límite, sabemos que

\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}\text{.} \nonumber \]

Ahora usamos la regla para\(f\text{,}\) y observamos eso\(f(2) = 2 - 2^2 = -2\) y\(f(2+h) = (2+h) - (2+h)^2\text{.}\) Sustituyendo estos valores en la definición límite, tenemos que

\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h) - (2+h)^2 - (-2)}{h}\text{.} \nonumber \]

Para dejar\(h \to 0\text{,}\) debemos simplificar el cociente. Ampliando y distribuyendo en el numerador,

\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{2+h - 4 - 4h - h^2 + 2}{h}\text{.} \nonumber \]

Combinando términos similares, tenemos

\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{ -3h - h^2}{h}\text{.} \nonumber \]

A continuación, eliminamos un factor común tanto\(h\) en el numerador como en el denominador y encontramos que

\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} (-3-h)\text{.} \nonumber \]

Por último, somos capaces de tomar el límite como\(h \to 0\text{,}\) y así concluir que\(f'(2) = -3\text{.}\) Observamos que\(f'(2)\) es la tasa instantánea de cambio de\(f\) en el punto\((2,-2)\text{.}\) También es la pendiente de la línea tangente a la gráfica de\(y = x - x^2\) en el punto\((2,-2)\text{.}\) Figura 1.3.9 muestra tanto la función y la línea a través\((2,-2)\) con pendiente\(m = f'(2) = -3\text{.}\)

Figura 1.3.9. La línea tangente a\(y=x - x^2\) en el punto\((2,-2)\).

Las siguientes actividades te ayudarán a explorar una variedad de ideas clave relacionadas con los derivados.

Actividad 1.3.2

Considera la función\(f\) cuya fórmula es\(\displaystyle f(x) = 3 - 2x\text{.}\)

1. Qué tipo familiar de función es\(f\text{?}\) ¿Qué se puede decir sobre la pendiente de\(f\) a cada valor de\(x\text{?}\)
2. Calcule la tasa promedio de cambio de\(f\) en los intervalos\([1,4]\text{,}\)\([3,7]\text{,}\) y\([5,5+h]\text{;}\) simplifique cada resultado tanto como sea posible. ¿Qué notas sobre estas cantidades?
3. Utilice la definición límite de la derivada para calcular la tasa instantánea exacta de cambio de\(f\) con respecto\(x\) al valor Es\(a = 1\text{.}\) decir, computar\(f'(1)\) usando la definición límite. Muestra tu trabajo. ¿Tu resultado es sorprendente?
4. Sin hacer cálculos adicionales, ¿cuáles son los valores de\(f'(2)\text{,}\)\(f'(\pi)\text{,}\) y\(f'(-\sqrt{2})\text{?}\) por qué?

Actividad 1.3.3

Un globo de agua se arroja verticalmente al aire desde una ventana. La altura del globo en pies a la vez\(t\) en segundos después de ser lanzado viene dada por\(s(t) = -16t^2 + 16t + 32\text{.}\) Use esta función para responder a cada una de las siguientes preguntas.

a. Esboce una gráfica precisa y etiquetada de\(s\) los ejes proporcionados en la Figura 1.3.10. Deberías poder hacer esto sin usar tecnología informática.

Figura 1.3.10. Ejes para graficar\(y = s(t)\) en Actividad 1.3.3.

b. Calcule la tasa promedio de cambio de\(s\) en el intervalo de tiempo\([1,2]\text{.}\) Incluya unidades en su respuesta y escriba una frase para explicar el significado del valor que encontró.

c. Usa la definición de límite para calcular la tasa instantánea de cambio\(s\) con respecto al tiempo,\(t\text{,}\) al instante\(a = 1\text{.}\) Muestra tu trabajo usando la notación adecuada, incluye unidades en tu respuesta y escribe una oración para explicar el significado del valor que encontraste.

d. en su gráfica en (a), dibuje dos líneas: una cuya pendiente representa la tasa promedio de cambio de\(s\) en\([1,2]\text{,}\) la otra cuya pendiente representa la tasa instantánea de cambio de\(s\) al instante\(a=1\text{.}\) Etiquete cada línea con claridad.

e. ¿Para qué valores de\(a\) esperas\(s'(a)\) que sean positivos? ¿Por qué? Responda las mismas preguntas cuando “positivo” se sustituye por “negativo” y “cero”.

Actividad 1.3.4

Una ciudad de rápido crecimiento en Arizona tiene su población\(P\) en el momento\(t\text{,}\) donde\(t\) está el número de décadas después del año 2010, modelada por la fórmula\(P(t) = 25000 e^{t/5}\text{.}\) Utilice esta función para responder a las siguientes preguntas.

a. Esboce una gráfica precisa de\(P\) para\(t = 0\) a\(t = 5\) sobre los ejes proporcionados en la Figura 1.3.11. Etiquete cuidadosamente la báscula en los ejes.

Figura 1.3.11. Ejes para graficar\(y = P(t)\) en Actividad 1.3.4.

b. Calcular la tasa promedio de cambio\(P\) entre 2030 y 2050. Incluye unidades en tu respuesta y escribe una frase para explicar el significado (en lenguaje cotidiano) del valor que encontraste.

c. Utilizar la definición de límite para escribir una expresión para la tasa instantánea de cambio de\(P\) respecto al tiempo,\(t\text{,}\) al instante\(a = 2\text{.}\) Explique por qué este límite es difícil de evaluar exactamente.

d. Estimar el límite en (c) para la tasa instantánea de cambio de\(P\) al instante\(a = 2\) utilizando varios\(h\) valores pequeños. Una vez que haya determinado una estimación precisa de\(P'(2)\text{,}\) incluir unidades en su respuesta, y escriba una oración (usando el lenguaje cotidiano) para explicar el significado del valor que encontró.

e. En su gráfica anterior, dibuje dos líneas: una cuya pendiente representa la tasa promedio de cambio de\(P\) en\([2,4]\text{,}\) la otra cuya pendiente representa la tasa instantánea de cambio de\(P\) al instante\(a=2\text{.}\)

f. en una oración bien redactada, describir el comportamiento de\(P'(a)\) como\(a\) incrementos de valor. Qué refleja esto sobre el comportamiento de la función dada\(P\text{?}\)

1.3.2 Resumen

• La tasa promedio de cambio de una función\(f\) en el intervalo\([a,b]\) es\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{.}\) Las unidades en la tasa promedio de cambio son unidades de\(f(x)\) por unidad de\(x\text{,}\) y el valor numérico de la tasa promedio de cambio representa la pendiente de la línea secante entre los puntos\((a,f(a))\) y \((b,f(b))\)en la gráfica de\(y = f(x)\text{.}\) Si vemos el intervalo como siendo\([a,a+h]\) en lugar de que\([a,b]\text{,}\) el significado sigue siendo el mismo, pero la tasa promedio de cambio ahora se calcula por\(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{.}\)
• La tasa instantánea de cambio con respecto a\(x\) una función\(f\) en un valor\(x = a\) se denota\(f'(a)\) (léase “la derivada de\(f\) evaluada a\(a\)” o “\(f\)-prime at\(a\)”) y se define por la fórmula
  \[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{,} \nonumber \]
  siempre que exista el límite. Obsérvese particularmente que la tasa instantánea de cambio en\(x = a\) es el límite de la tasa promedio de cambio en\([a,a+h]\)\(h \to 0\text{.}\)
• Siempre que\(f'(a)\) exista la derivada, su valor nos dice la velocidad instantánea de cambio de\(f\) con respecto a\(x\) a la\(x = a\text{,}\) que geométricamente se encuentra la pendiente de la línea tangente a la curva\(y = f(x)\) en el punto Incluso\((a,f(a))\text{.}\) decimos que\(f'(a)\) es la “pendiente de la curva” en el punto\((a,f(a))\text{.}\)
• Los límites nos permiten pasar de la tasa de cambio en un intervalo a la tasa de cambio en un solo punto.