1.5: Interpretación, Estimación y Uso de la Derivada

Preguntas Motivadoras

• En contextos distintos a la posición de un objeto en movimiento, ¿qué mide la derivada de una función?
• Cuáles son las unidades en la función derivada\(f'\text{,}\) y cómo se relacionan con las unidades de la función original\(f\text{?}\)
• ¿Cuál es una diferencia central y cómo se puede usar para estimar el valor de la derivada en un punto a partir de datos de función dados?
• Dado el valor de la derivada de una función en un punto, ¿qué podemos inferir sobre cómo cambia el valor de la función cerca?

Es una característica poderosa de las matemáticas que se pueda estudiar tanto como disciplina abstracta como aplicada. Por ejemplo, el cálculo puede desarrollarse casi en su totalidad como una colección abstracta de ideas que se centran en las propiedades de las funciones. Al mismo tiempo, si consideramos funciones que representan procesos significativos, el cálculo puede describir nuestra experiencia de la realidad física. Ya hemos visto que para la función\(y = s(t)\) de posición de una pelota que se lanza hacia arriba en el aire, la derivada de la función de posición,\(v(t) = s'(t)\text{,}\) da la velocidad de la pelota en el momento\(t\text{.}\)

En esta sección, investigamos varias funciones con significado físico específico, y consideramos cómo las unidades en la variable independiente, variable dependiente y la función derivada añaden a nuestra comprensión. Para comenzar, consideramos el problema familiar de una función de posición de un objeto en movimiento.

Vista previa de la actividad 1.5.1

Uno de los tramos más largos de carretera recta (y plana) de América del Norte se encuentra en las Grandes Llanuras del estado de Dakota del Norte en la carretera estatal 46, que se encuentra justo al sur de la carretera interestatal I-94 y atraviesa la localidad de Gackle. Un automóvil sale del pueblo (a la vez\(t = 0\)) y se dirige hacia el este por la carretera 46; su posición en millas de Gackle\(t\) en el momento en minutos viene dada por la gráfica de la función en la Figura 1.5.1. Tres puntos importantes están etiquetados en la gráfica; donde la curva se ve lineal, supongamos que efectivamente es una línea recta.

Figura 1.5.1. El gráfico de\(y = s(t)\text{,}\) la posición del automóvil a lo largo de la carretera 46, que indica su distancia en millas de Gackle, ND, a tiempo\(t\) en minutos.

1. En el lenguaje cotidiano, describa el comportamiento del automóvil en el intervalo de tiempo proporcionado. En particular, discutir lo que está sucediendo en los intervalos de tiempo\([57,68]\) y\([68,104]\text{.}\)
2. Encuentra la pendiente de la línea entre los puntos\((57,63.8)\) y\((104,106.8)\text{.}\) ¿Cuáles son las unidades en esta pendiente? ¿Qué representa la pendiente?
3. Encuentra la tasa promedio de cambio de la posición del auto en el intervalo\([68,104]\text{.}\) Incluye unidades en tu respuesta.
4. Estima la tasa instantánea de cambio de la posición del auto en este momento\(t = 80\text{.}\) Escribe una oración para explicar tu razonamiento y el significado de este valor.

1.5.1 Unidades de la función derivada

Como ahora sabemos, la derivada de la función\(f\) a un valor fijo\(x\) viene dada por

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{,} \nonumber \]

y este valor tiene varias interpretaciones diferentes. Si establecemos\(x = a\text{,}\) un significado de\(f'(a)\) es la pendiente de la línea tangente en el punto\((a,f(a))\text{.}\)

También a veces escribimos\(\frac{df}{dx}\) o\(\frac{dy}{dx}\) en lugar de\(f'(x)\text{,}\) y estas notaciones alternas nos ayudan a ver las unidades (y así el significado) de la derivada como la tasa instantánea de cambio de\(f\) con respecto a\(x\). Las unidades en la pendiente de la línea secante,\(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{,}\) son “unidades de\(y\) por unidad de\(x\text{,}\)” y cuando tomamos el límite como\(h\) va a cero, la derivada\(f'(x)\) tiene las mismas unidades: unidades de\(y\) por unidad de\(x\text{.}\) Es útil recordar que las unidades en el función derivada son “unidades de salida por unidad de entrada”, para las variables de la función original.

Por ejemplo, supongamos que la función\(y = P(t)\) mide la población de una ciudad (en miles) al inicio del año\(t\) (donde\(t = 0\) corresponde a 2010 AD). Nos dicen que\(P'(2) = 21.37\text{.}\) ¿Cuál es el significado de este valor? Bueno, ya que\(P\) se mide en miles y\(t\) se mide en años, podemos decir que la tasa instantánea de cambio de la población de la ciudad con respecto al tiempo al inicio de 2012 es de 21.37 mil personas al año. Por lo tanto, esperamos que en el próximo año, se sumen alrededor de 21 mil 370 personas a la población de la ciudad.

1.5.2 Hacia estimaciones derivadas más precisas

Recordemos que para estimar el valor de\(f'(x)\) a un dado\(x\text{,}\) calculamos un cociente de diferencia\(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) con un valor relativamente pequeño de\(h\text{.}\) Debemos usar valores tanto positivos como negativos de\(h\) para dar cuenta del comportamiento de la función en ambos lados de la punto de interés. Para ello, se introduce la noción de diferencia central y su papel en la estimación de derivados.

Ejemplo 1.5.2

Supongamos que\(y = f(x)\) es una función para la que se conocen tres valores:\(f(1) = 2.5\text{,}\)\(f(2) = 3.25\text{,}\) y\(f(3) = 3.625\text{.}\) Estimar\(f'(2)\text{.}\)

Contestar

Sabemos eso\(f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}\text{.}\) Pero como no tenemos una gráfica o una fórmula para la función, no podemos bosquejar una línea tangente ni evaluar el límite algebraicamente. Ni siquiera podemos usar valores cada vez más pequeños de\(h\) para estimar el límite. En cambio, solo tenemos dos opciones: usar\(h = -1\) o\(h = 1\text{,}\) dependiendo del punto con el que nos emparejamos\((2,3.25)\text{.}\)

Entonces, una estimación es

\[ f'(2) \approx \frac{f(1)-f(2)}{1-2} = \frac{2.5-3.25}{-1} = 0.75\text{.} \nonumber \]

El otro es

\[ f'(2) \approx \frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{3.625-3.25}{1} = 0.375\text{.} \nonumber \]

Debido a que la primera aproximación mira hacia atrás desde el punto\((2,3.25)\) y la segunda aproximación mira hacia adelante, tiene sentido promediar estas dos estimaciones para dar cuenta del comportamiento en ambos lados de\(x=2\text{.}\) Hacerlo, encontramos que

\[ f'(2) \approx \frac{0.75 + 0.375}{2} = 0.5625\text{.} \nonumber \]

El enfoque intuitivo para promediar las dos estimaciones que se encuentran en el Ejemplo 1.5.2 es, de hecho, la mejor manera posible de estimar a una derivada cuando tenemos solo dos valores de función para\(f\) en lados opuestos del punto de interés.

Figura 1.5.3. A la izquierda, la gráfica de\(y = f(x)\) junto con la línea secante a través\((1,2.5)\) y\((2,3.25)\text{,}\) la línea secante a través\((2, 3.25)\) y así\((3,3.625)\text{,}\) como la línea tangente. A la derecha, la misma gráfica junto con la línea secante a través\((1,2.5)\) y\((3,3.625)\text{,}\) más la línea tangente.

Para ver por qué, pensamos en el diagrama de la Figura 1.5.3. A la izquierda, vemos las dos líneas secantes con pendientes que provienen de calcular la diferencia hacia atrás\(\frac{f(1)-f(2)}{1-2} = 0.75\) y de la diferencia hacia adelante\(\frac{f(3)-f(2)}{3-2} = 0.375\text{.}\) Observe cómo la primera pendiente sobreestima la pendiente de la línea tangente en\((2,f(2))\text{,}\) mientras que la segunda pendiente subestima \(f'(2)\text{.}\)A la derecha, vemos la línea secante cuya pendiente viene dada por la diferencia central

\[ \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{3.625-2.5}{2} = \frac{1.125}{2} = 0.5625\text{.} \nonumber \]

Tenga en cuenta que esta diferencia central tiene el mismo valor que el promedio de las diferencias hacia adelante y hacia atrás (y es sencillo explicar por qué esto siempre se mantiene). La diferencia central produce una muy buena aproximación al valor de la derivada, ya que produce una línea más cercana a ser paralela a la línea tangente.

La aproximación de diferencia central al valor de la primera derivada viene dada por

\[ f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}\text{.} \nonumber \]

Esta cantidad mide la pendiente de la línea secante a\(y = f(x)\) través de los puntos\((a-h, f(a-h))\) y\((a+h, f(a+h))\text{.}\)

Actividad 1.5.2

Se coloca una papa en un horno, y se toma la temperatura de la papa\(F\) (en grados Fahrenheit) en varios puntos del tiempo y se registra en la siguiente tabla. \(t\)El tiempo se mide en minutos.

Cuadro 1.5.4. Datos de temperatura en grados Fahrenheit.

\(t\)	\(0\)	\(15\)	\(30\)	\(45\)	\(60\)	\(75\)	\(90\)
\(F(t)\)	\(70\)	\(180.5\)	\(251\)	\(296\)	\(324.5\)	\(342.8\)	\(354.5\)

1. Usa una diferencia central para estimar la tasa instantánea de cambio de la temperatura de la papa en\(t= 30\text{.}\) Incluir unidades en tu respuesta.
2. Usa una diferencia central para estimar la tasa instantánea de cambio de la temperatura de la papa en\(t= 60\text{.}\) Incluir unidades en tu respuesta.
3. Sin hacer ningún cálculo, cuál esperas que sea mayor:\(F'(75)\) o\(F'(90)\text{?}\) ¿Por qué?
4. Supongamos que se da eso\(F(64) = 330.28\) y\(F'(64) = 1.341\text{.}\) ¿Cuáles son las unidades en estas dos cantidades? ¿Cuál esperas que sea la temperatura de la papa cuando\(t = 65\text{?}\) cuando\(t = 66\text{?}\) ¿Por qué?
5. Escribir un par de oraciones cuidadosas que describan el comportamiento de la temperatura de la papa en el intervalo de tiempo así\([0,90]\text{,}\) como el comportamiento de la tasa instantánea de cambio de la temperatura de la papa en el mismo intervalo de tiempo.

Actividad 1.5.3

Una empresa fabrica cuerdas, y el costo total de producir\(r\) pies de cuerda es de\(C(r)\) dólares.

1. ¿Qué significa decir que\(C(2000) = 800\text{?}\)
2. ¿Cuáles son las unidades de\(C'(r)\text{?}\)
3. Supongamos eso\(C(2000) = 800\)\(C(2100)\text{,}\) y\(C'(2000) = 0.35\text{.}\) Estima y justifica tu estimación escribiendo al menos una frase que explique tu pensamiento.
4. ¿Crees que\(C'(2000)\) es menor que, igual o mayor que\(C'(3000)\text{?}\) ¿Por qué?
5. Supongamos que alguien afirma que\(C'(5000) = -0.1\text{.}\) ¿Cuál le diría el significado práctico de este valor derivado sobre el costo aproximado del siguiente pie de cuerda? ¿Esto es posible? ¿Por qué o por qué no?

Actividad 1.5.4

Investigadores de una importante compañía automovilística han encontrado una función que relaciona el consumo de gasolina con la velocidad para un modelo particular de automóvil. En particular, han determinado que el consumo\(C\text{,}\) en litros por kilómetro, a una velocidad\(s\text{,}\) dada viene dado por una función\(C = f(s)\text{,}\) donde\(s\) está la velocidad del automóvil en kilómetros por hora.

1. Datos proporcionados por la compañía automovilística nos dicen que\(f(80) = 0.015\text{,}\)\(f(90) = 0.02\text{,}\) y\(f(100) = 0.027\text{.}\) Use esta información para estimar la tasa instantánea de cambio del consumo de combustible con respecto a la velocidad en\(s = 90\text{.}\) Sea lo más preciso posible, use la notación adecuada e incluya unidades en su respuesta.
2. Al escribir una oración completa, interprete el significado (en el contexto del consumo de combustible) de “\(f(80) = 0.015\text{.}\)”
3. Escribe al menos una oración completa que interprete el significado del valor del\(f'(90)\) que estimaste en (a).

En la Sección 1.4, aprendimos cómo usar a la gráfica de una función dada\(f\) para trazar la gráfica de su derivada,\(f'\text{.}\) Es importante recordar que cuando lo hacemos, la escala y las unidades en el eje vertical muchas veces tienen que cambiar\(f'\text{.}\) para representar Por ejemplo, supongamos que eso nos\(P(t) = 400-330e^{-0.03t}\) dice la temperatura en grados Fahrenheit de una papa en un horno a la vez\(t\) en minutos. En la Figura 1.5.5, esbozamos la gráfica\(P\) de a la izquierda y la gráfica\(P'\) de la derecha.

Figura 1.5.5. Trama de\(P(t) = 400-330e^{-0.03t}\) a la izquierda, y su derivada\(P'(t)\) a la derecha.

Observe que las escalas verticales son diferentes en tamaño y diferentes en unidades, ya que las unidades de\(P\) son\(^\circ\) F, mientras que las de\(P'\) son\(^\circ\) F/min.

1.5.3 Resumen

• La derivada de una función dada\(y=f(x)\) mide la tasa instantánea de cambio de la variable de salida con respecto a la variable de entrada.
• Las unidades en la función derivada\(y = f'(x)\) son unidades\(y\) por unidad de\(x\text{.}\) Again, esto mide qué tan rápido cambia la salida de la función cuando\(f\) cambia la entrada de la función.
• La aproximación de diferencia central al valor de la primera derivada viene dada por
  \[ f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}\text{.} \nonumber \]

  Esta cantidad mide la pendiente de la línea secante a\(y = f(x)\) través de los puntos\((a-h, f(a-h))\) y\((a+h, f(a+h))\text{.}\) La diferencia central genera una buena aproximación del valor de la derivada.