1.6: La Segunda Derivada

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo nos dice la derivada de una función si la función está aumentando o disminuyendo en un intervalo?
• Qué podemos aprender tomando la derivada de la derivada (la segunda derivada) de una función\(f\text{?}\)
• ¿Qué significa decir que una función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo? ¿Cómo se conectan estas características a ciertas propiedades de la derivada de la función?
• ¿Cuáles son las unidades de la segunda derivada? ¿Cómo nos ayudan a entender la tasa de cambio de la tasa de cambio?

Dada una función diferenciable\(y= f(x)\text{,}\) sabemos que su derivada,\(y = f'(x)\text{,}\) es una función relacionada cuya salida en nos\(x=a\) dice la pendiente de la línea tangente a\(y = f(x)\) en el punto Es\((a,f(a))\text{.}\) decir, las alturas en la gráfica derivada nos dicen los valores de pendientes en la función original gráfico.

En un punto donde\(f'(x)\) es positivo, la pendiente de la línea tangente a\(f\) es positiva. Por lo tanto, en un intervalo donde\(f'(x)\) es positivo, la función\(f\) está aumentando (o subiendo). De igual manera, si\(f'(x)\) es negativo en un intervalo, la gráfica de\(f\) es decreciente (o bajando).

La derivada de nos\(f\) dice no sólo si la función\(f\) está aumentando o disminuyendo en un intervalo, sino también cómo la función\(f\) está aumentando o disminuyendo. Observa las dos líneas tangentes que se muestran en la Figura 1.6.1. Vemos que cerca\(A\) del punto el valor de\(f'(x)\) es positivo y relativamente cercano a cero, y cerca de ese punto la gráfica va subiendo lentamente. Por el contrario, cerca\(B\text{,}\) del punto la derivada es negativa y relativamente grande en valor absoluto, y\(f\) está disminuyendo rápidamente cerca\(B\text{.}\)

Figura 1.6.1. Dos líneas tangentes en una gráfica.

Además de preguntar si el valor de la función derivada es positivo o negativo y si es grande o pequeño, también podemos preguntar “¿cómo está cambiando la derivada?”

Debido a que la derivada,\(y = f'(x)\text{,}\) es en sí misma una función, podemos considerar tomar su derivada —la derivada de la derivada— y preguntar “¿qué nos dice la derivada de la derivada sobre cómo se comporta la función original?” Comenzamos con una investigación de un objeto en movimiento.

Vista previa de la actividad

La posición de un automóvil que circula por una carretera recta a tiempo\(t\) en minutos viene dada por la función\(y = s(t)\) que se muestra en la Figura 1.6.2. La función de posición del automóvil tiene unidades medidas en miles de pies. Por ejemplo, el punto\((2,4)\) en la gráfica indica que después de 2 minutos, el automóvil ha recorrido 4000 pies.

Figura 1.6.2. La gráfica de\(y = s(t)\text{,}\) la posición del automóvil (medida en miles de pies desde su ubicación de salida) a tiempo\(t\) en minutos.

1. En el lenguaje cotidiano, describa el comportamiento del automóvil en el intervalo de tiempo proporcionado. En particular, debe discutir cuidadosamente lo que está sucediendo en cada uno de los intervalos de tiempo\([0,1]\text{,}\)\([1,2]\text{,}\)\([2,3]\text{,}\)\([3,4]\text{,}\) y\([4,5]\text{,}\) además proporcionar comentarios generales sobre lo que está haciendo el automóvil en el intervalo\([0,12]\text{.}\)
2. En los ejes de la izquierda proporcionados en la Figura 1.6.3, bosquejar una gráfica cuidadosa y precisa de\(y = s'(t)\text{.}\)
3. ¿Cuál es el significado de la función\(y = s'(t)\) en el contexto del problema dado? ¿Qué podemos decir sobre el comportamiento del automóvil cuando\(s'(t)\) es positivo? cuando\(s'(t)\) es cero? ¿Cuándo\(s'(t)\) es negativo?
4. Renombrar la función que graficaste en (b) para llamarla\(y = v(t)\text{.}\) Describe el comportamiento de\(v\) en palabras, usando frases como “\(v\)está aumentando en el intervalo\(\ldots\)” y “\(v\)es constante en el intervalo\(\ldots\text{.}\)”
5. Esbozar una gráfica de la función\(y = v'(t)\) en los ejes de la derecha que se proporcionan en la Figura 1.6.3. Escribe al menos una oración para explicar cómo el comportamiento de\(v'(t)\) está conectado a la gráfica de\(y=v(t)\text{.}\)

Figura 1.6.3. Ejes para trazar\(y = v(t) = s'(t)\) y\(y = v'(t)\text{.}\)

1.6.1 Aumentando o disminuyendo

Hasta el momento, hemos utilizado las palabras aumentar y disminuir intuitivamente para describir la gráfica de una función. Aquí definimos estos términos de manera más formal.

Definición 1.6.4

Dada una función\(f(x)\) definida en el intervalo\((a,b)\text{,}\) decimos que \(f\)está aumentando en\((a,b)\) siempre que para todos\(x\text{,}\)\(y\) en el intervalo\((a,b)\text{,}\) si\(x \lt y\text{,}\) entonces\(f(x) \lt f(y)\text{.}\) Similarmente, decimos que \(f\)es decreciente en \((a,b)\)siempre que para todos\(x\text{,}\)\(y\) en el intervalo\((a,b)\text{,}\) si\(x \lt y\text{,}\) entonces\(f(x) \gt f(y)\text{.}\)

En pocas palabras, una función creciente es aquella que va subiendo a medida que nos movemos de izquierda a derecha a lo largo de la gráfica, y una función decreciente es aquella que cae a medida que aumenta el valor de la entrada. Si la función tiene una derivada, el signo de la derivada nos indica si la función está aumentando o disminuyendo.

Dejar\(f\) ser una función que es diferenciable en un intervalo\((a,b)\text{.}\) Es posible demostrar que si\(f'(x) > 0\) por cada uno de\(x\) tales que\(a \lt x \lt b\text{,}\) entonces\(f\) está aumentando de\((a,b)\text{;}\) manera similar, si\(f'(x) \lt 0\) en\((a,b)\text{,}\) entonces\(f\) está disminuyendo en\((a,b)\text{.}\)

Por ejemplo, la función que se muestra en la Figura 1.6.5 está aumentando en todo el intervalo\(-2 \lt x \lt 0\text{,}\) y disminuyendo en el intervalo\(0 \lt x \lt 2\text{.}\) Tenga en cuenta que el valor no\(x = 0\) está incluido en ninguno de los intervalos ya que en esta ubicación, la función está cambiando de aumentar a disminuir.

Figura 1.6.5. Una función que está disminuyendo en los intervalos\(-3 \lt x \lt -2\) y\(0 \lt x \lt 2\) y aumentando en\(-2 \lt x \lt 0\) y\(2 \lt x \lt 3\text{.}\)

1.6.2 La Segunda Derivada

Ahora estamos acostumbrados a investigar el comportamiento de una función examinando su derivada. La derivada de una función\(f\) es una nueva función dada por la regla

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{.} \nonumber \]

Debido a que\(f'\) es en sí misma una función, es perfectamente factible para nosotros considerar la derivada de la derivada, que es la nueva función\(y = [f'(x)]'\text{.}\) Llamamos a esta función resultante la segunda derivada de\(y = f(x)\text{,}\) y denotamos la segunda derivada por\(y = f''(x)\text{.}\) Consecuentemente, vamos a a veces llaman\(f'\) “la primera derivada” de\(f\text{,}\) en lugar de simplemente “la derivada” de\(f\text{.}\)

Definición 1.6.6

La segunda derivada se define por la definición límite de la derivada de la primera derivada. Es decir,

\[ f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h)-f'(x)}{h}\text{.} \nonumber \]

El significado de la función derivada aún se mantiene, así que cuando calculamos\(y = f''(x)\text{,}\) esta nueva función mide las pendientes de las líneas tangentes a la curva así\(y = f'(x)\text{,}\) como la tasa instantánea de cambio de\(y = f'(x)\text{.}\) En otras palabras, así como la primera derivada mide la velocidad a la que la función original cambios, la segunda derivada mide la tasa a la que cambia la primera derivada. La segunda derivada nos ayudará a entender cómo la tasa de cambio de la función original está cambiando en sí misma.

1.6.3 Concavidad

Además de preguntar si una función está aumentando o disminuyendo, también es natural indagar cómo una función está aumentando o disminuyendo. Hay tres comportamientos básicos que una función creciente puede demostrar en un intervalo, como se muestra en la Figura 1.6.7: la función puede aumentar cada vez más rápidamente, puede aumentar a la misma velocidad, o puede aumentar de una manera que se está desacelerando. Fundamentalmente, estamos empezando a pensar en cómo se dobla una curva particular, haciéndose la comparación natural con líneas, que no se doblan en absoluto. Más que esto, queremos entender cómo la curva en la gráfica de una función está ligada al comportamiento caracterizado por la primera derivada de la función.

Figura 1.6.7. Tres funciones que están aumentando, pero haciéndolo a un ritmo creciente, a un ritmo constante, y a un ritmo decreciente, respectivamente.

En la curva más a la izquierda de la Figura 1.6.7, dibuje una secuencia de líneas tangentes a la curva. A medida que nos movemos de izquierda a derecha, las pendientes de esas líneas tangentes aumentarán. Por lo tanto, la tasa de cambio de la función ilustrada está aumentando, y esto explica por qué decimos que esta función está aumentando a un ritmo creciente. Para la gráfica más a la derecha de la Figura 1.6.7, observe que a medida que\(x\) aumenta, la función aumenta, pero las pendientes de las líneas tangentes disminuyen. Esta función está aumentando a un ritmo decreciente.

Se mantienen opciones similares para saber cómo una función puede disminuir. Aquí debemos tener mucho cuidado con nuestro lenguaje, porque las funciones decrecientes implican pendientes negativas. Los números negativos presentan una interesante tensión entre el lenguaje común y el lenguaje matemático. Por ejemplo, puede ser tentador decir que “\(-100\)es más grande que\(-2\text{.}\)” Pero hay que recordar que “mayor que” describe cómo se encuentran los números en una recta numérica:\(x \gt y\) siempre que\(x\) se encuentre a la derecha de\(y\text{.}\) Así que por supuesto,\(-100\) es menor que\(-2\text{.}\) Informalmente, podría ser útil decir que “\(-100\)es más negativo que\(-2\text{.}\)” Cuando los valores de una función son negativos, y esos valores se hacen más negativos a medida que aumenta la entrada, la función debe estar disminuyendo.

Figura 1.6.8. De izquierda a derecha, tres funciones que están disminuyendo todas, pero haciéndolo de diferentes maneras.

Consideremos ahora las tres gráficas que se muestran en la Figura 1.6.8. Claramente, la gráfica media representa una función decreciente a una velocidad constante. Ahora, en la primera curva, dibuja una secuencia de líneas tangentes. Vemos que las pendientes de estas líneas se vuelven cada vez menos negativas a medida que nos movemos de izquierda a derecha. Eso quiere decir que los valores de la primera derivada, si bien todos negativos, van en aumento, y así decimos que la curva más a la izquierda está disminuyendo a un ritmo creciente.

Esto deja solo a considerar la curva más a la derecha en la Figura 1.6.8. Para esa función, las pendientes de las líneas tangentes son negativas a lo largo del intervalo representado, pero a medida que nos movemos de izquierda a derecha, las pendientes se hacen cada vez más negativas. De ahí que la pendiente de la curva sea decreciente, y decimos que la función está disminuyendo a un ritmo decreciente.

Ahora introducimos la noción de concavidad que proporciona un lenguaje más sencillo para describir estos comportamientos. Cuando una curva se abre hacia arriba en un intervalo dado, como la parábola\(y = x^2\) o la función de crecimiento exponencial\(y = e^x\text{,}\) decimos que la curva es cóncava hacia arriba en ese intervalo. Así mismo, cuando una curva se abre hacia abajo, como la parábola\(y = -x^2\) o lo contrario de la función exponencial\(y = -e^{x}\text{,}\) decimos que la función es cóncava hacia abajo. La concavidad está ligada tanto a la primera como a la segunda derivada de la función.

En la Figura 1.6.9, vemos dos funciones y una secuencia de líneas tangentes a cada una. En la gráfica izquierda, donde la función es cóncava hacia arriba, observamos que las líneas tangentes siempre se encuentran por debajo de la propia curva, y las pendientes de las líneas tangentes van aumentando a medida que avanzamos de izquierda a derecha. En otras palabras, la función\(f\) es cóncava hacia arriba en el intervalo mostrado porque su derivada,\(f'\text{,}\) va aumentando en ese intervalo. De igual manera, en la gráfica derecha de la Figura 1.6.9, donde la función mostrada es cóncava hacia abajo, vemos que las líneas tangentes siempre se encuentran por encima de la curva, y las pendientes de las líneas tangentes van disminuyendo a medida que nos movemos de izquierda a derecha. El hecho de que su derivada,\(f'\text{,}\) sea decreciente hace\(f\) cóncava hacia abajo en el intervalo.

Figura 1.6.9. A la izquierda, una función que es cóncava hacia arriba; a la derecha, una que es cóncava hacia abajo.

Afirmamos formalmente estas observaciones más recientes como las definiciones de los términos cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo.

Definición 1.6.10

Dejar\(f\) ser una función diferenciable en un intervalo\((a,b)\text{.}\) Entonces\(f\) es cóncavo hacia arriba en\((a,b)\) si y solo si\(f'\) está aumentando en\((a,b)\text{;}\)\(f\) es cóncavo hacia abajo en\((a,b)\) si y solo si\(f'\) es decreciente en\((a,b)\text{.}\)

Actividad 1.6.2

La posición de un automóvil que circula por una carretera recta a tiempo\(t\) en minutos viene dada por la función\(y = s(t)\) que se muestra en la Figura 1.6.11. La función de posición del automóvil tiene unidades medidas en miles de pies. Recuerda que trabajaste con esta función y esbozaste gráficos de\(y = v(t) = s'(t)\) y\(y = v'(t)\) en Vista previa de Actividad 1.6.1.

Figura 1.6.11. La gráfica de\(y = s(t)\text{,}\) la posición del automóvil (medida en miles de pies desde su ubicación de salida) a tiempo\(t\) en minutos.

1. ¿En qué intervalos\(y = s(t)\) aumenta la función de posición? decreciente? ¿Por qué?
2. ¿En qué intervalos\(y = v(t) = s'(t)\) aumenta la función de velocidad? decreciente? ¿tampoco? ¿Por qué?
3. La aceleración se define como la velocidad instantánea de cambio de velocidad, ya que la aceleración de un objeto mide la velocidad a la que cambia la velocidad del objeto. Digamos que la función de aceleración del automóvil se llama\(a(t)\text{.}\) Cómo se\(a(t)\) calcula a partir de\(v(t)\text{?}\) Cómo se\(a(t)\) calcula a partir de\(s(t)\text{?}\) Explicar.
4. ¿Qué se puede decir sobre\(s''\) cada vez que\(s'\) va en aumento? ¿Por qué?
5. Usando solo las palabras creciente, decreciente, constante, cóncava hacia arriba, cóncava hacia abajo y lineal, completa las siguientes oraciones. Para la función de posición\(s\) con velocidad\(v\) y aceleración\(a\text{,}\)
   • en un intervalo donde\(v\) es positivo,\(s\) es.
   • en un intervalo donde\(v\) es negativo,\(s\) es.
   • en un intervalo donde\(v\) es cero,\(s\) es.
   • en un intervalo donde\(a\) es positivo,\(v\) es.
   • en un intervalo donde\(a\) es negativo,\(v\) es.
   • en un intervalo donde\(a\) es cero,\(v\) es.
   • en un intervalo donde\(a\) es positivo,\(s\) es.
   • en un intervalo donde\(a\) es negativo,\(s\) es.
   • en un intervalo donde\(a\) es cero,\(s\) es.

Explorar el contexto de posición, velocidad y aceleración es una excelente manera de entender cómo una función, su primera derivada y su segunda derivada se relacionan entre sí. En la Actividad 1.6.2, podemos sustituir\(s\text{,}\)\(v\text{,}\) y\(a\) con una función arbitraria\(f\) y sus derivadas\(f'\) y\(f''\text{,}\) y esencialmente todas las mismas observaciones sostienen. En particular, señalar que los siguientes son equivalentes: en un intervalo donde la gráfica de\(f\) es cóncava hacia arriba,\(f'\) es creciente y\(f''\) es positiva. Asimismo, en un intervalo donde la gráfica de\(f\) es cóncava hacia abajo,\(f'\) es decreciente y\(f''\) es negativa.

Actividad 1.6.3

Se coloca una papa en un horno, y se toma la temperatura de la papa\(F\) (en grados Fahrenheit) en varios puntos del tiempo y se registra en la siguiente tabla. \(t\)El tiempo se mide en minutos. En la Actividad 1.5.2, calculamos aproximaciones\(F'(30)\) y\(F'(60)\) usando diferencias centrales. Esos valores y más se proporcionan en la segunda tabla a continuación, junto con varios otros calculados de la misma manera.

Cuadro 1.6.12. Seleccionar valores de\(F(t)\text{.}\)

\(t\)	\(F(t)\)
\(0\)	\(70\)
\(15\)	\(180.5\)
\(30\)	\(251\)
\(45\)	\(296\)
\(60\)	\(324.5\)
\(75\)	\(342.8\)
\(90\)	\(354.5\)

Cuadro 1.6.13. Seleccionar valores de\(F'(t)\text{.}\)

\(t\)	\(F'(t)\)
\(0\)	NA
\(15\)	\(6.03\)
\(30\)	\(3.85\)
\(45\)	\(2.45\)
\(60\)	\(1.56\)
\(75\)	\(1.00\)
\(90\)	NA

1. ¿Cuáles son las unidades sobre los valores de\(F'(t)\text{?}\)
2. Utilice una diferencia central para estimar el valor de\(F''(30)\text{.}\)
3. ¿Cuál es el significado del valor\(F''(30)\) que has calculado en (b) en términos de la temperatura de la papa? Escribir varias oraciones cuidadosas que discutan, con las unidades apropiadas, los valores de\(F(30)\text{,}\)\(F'(30)\text{,}\)\(F''(30)\text{,}\) y y expliquen el comportamiento general de la temperatura de la papa en este momento.
4. En general, ¿la temperatura de la papa está aumentando a un ritmo creciente, aumentando a un ritmo constante o aumentando a un ritmo decreciente? ¿Por qué?

Actividad 1.6.4

Esta actividad se basa en nuestra experiencia y comprensión de cómo esbozar la gráfica de\(f'\) dada la gráfica de\(f\text{.}\)

En la Figura 1.6.14, dadas las respectivas gráficas de dos funciones diferentes,\(f\text{,}\) bosquejan la gráfica correspondiente de\(f'\) en los primeros ejes de abajo, y luego bosquejar\(f''\) en el segundo conjunto de ejes. Además, para cada uno, escribir varias oraciones cuidadosas en el espíritu de las de la Actividad 1.6.2 que conectan los comportamientos de\(f\text{,}\)\(f'\text{,}\) y\(f''\text{.}\) Por ejemplo, escribir algo como

\(f'\)está en el intervalo, que está conectado al hecho de que\(f\) está en el mismo intervalo, y\(f''\) está en el intervalo.

pero claro con los espacios en blanco rellenados. En todo, vea la escala de la cuadrícula para la gráfica de\(f\) como siendo\(1 \times 1\text{,}\) y asuma que la escala horizontal de la cuadrícula para la gráfica de\(f'\) es idéntica a la de\(f\text{.}\) Si necesita ajustar la escala vertical en los ejes para la gráfica de\(f'\) o\(f''\text{,}\) debe etiquetar que en consecuencia.

Figura 1.6.14. Dos funciones dadas\(f\text{,}\) con ejes provistos para trazar\(f'\) y\(f''\) abajo.

1.6.4 Resumen

• Una función diferenciable\(f\) está aumentando en un intervalo cada vez que su primera derivada es positiva, y decreciente cuando su primera derivada es negativa.
• Al tomar la derivada de la derivada de una función\(f\text{,}\) llegamos a la segunda derivada,\(f''\text{.}\) La segunda derivada mide la tasa instantánea de cambio de la primera derivada. El signo de la segunda derivada nos indica si la pendiente de la línea tangente a\(f\) es creciente o decreciente.
• Una función diferenciable es cóncava hacia arriba cada vez que su primera derivada está aumentando (o equivalentemente cuando su segunda derivada es positiva), y cóncava hacia abajo cuando su primera derivada está disminuyendo (o equivalentemente cuando su segunda derivada es negativa). Ejemplos de funciones que están en todas partes cóncavas arriba son\(y = x^2\) y\(y = e^x\text{;}\) ejemplos de funciones que están en todas partes cóncavas abajo son\(y = -x^2\) y\(y = -e^x\text{.}\)
• Las unidades en la segunda derivada son “unidades de salida por unidad de entrada por unidad de entrada”. Nos dicen cómo está cambiando el valor de la función derivada en respuesta a los cambios en la entrada. En otras palabras, la segunda derivada nos dice la tasa de cambio de la tasa de cambio de la función original.