2.3: Las reglas de producto y cociente

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo nos guía la estructura algebraica de una función en la computación de su derivada usando reglas de acceso directo?
• ¿Cómo calculamos la derivada de un producto de dos funciones básicas en términos de las derivadas de las funciones básicas?
• ¿Cómo calculamos la derivada de un cociente de dos funciones básicas en términos de las derivadas de las funciones básicas?
• ¿Cómo se combinan las reglas de producto y cociente con la suma y las reglas múltiples constantes para expandir la biblioteca de funciones que podemos diferenciar rápidamente?

Hasta ahora, podemos diferenciar las funciones de potencia (\(x^n\)), las funciones exponenciales (\(a^x\)) y las dos funciones trigonométricas fundamentales (\(\sin(x)\)y\(\cos(x)\)). Con la regla de suma y las reglas múltiples constantes, también podemos calcular la derivada de funciones combinadas.

Ejemplo 2.3.1

Diferenciar

\[ f(x) = 7x^{11} - 4 \cdot 9^x + \pi \sin(x) - \sqrt{3}\cos(x) \nonumber \]

Porque\(f\) es una suma de funciones básicas, ahora podemos decir rápidamente que\(f'(x) = 77x^{10} - 4 \cdot 9^x \ln(9) + \pi \cos(x) + \sqrt{3} \sin(x)\text{.}\)

¿Qué pasa con un producto o cociente de dos funciones básicas, como

\[ p(z) = z^3 \cos(z)\text{,} \nonumber \]

o

\[ q(t) = \frac{\sin(t)}{2^t}\text{?} \nonumber \]

Si bien la derivada de una suma es la suma de los derivados, resulta que las reglas para computar derivados de productos y cocientes son más complicadas.

Vista previa de la actividad 2.3.1

Dejar\(f\) y\(g\) ser las funciones definidas por\(f(t) = 2t^2\) y\(g(t) = t^3 + 4t\text{.}\)

1. Determinar\(f'(t)\) y\(g'(t)\text{.}\)
2. Que\(p(t) = 2t^2 (t^3 + 4t)\) y observe eso\(p(t) = f(t) \cdot g(t)\text{.}\) Reescribir la fórmula para\(p\) distribuyendo el\(2t^2\) término. Luego, computa\(p'(t)\) usando la suma y las reglas múltiples constantes.
3. Verdadero o falso:\(p'(t) = f'(t) \cdot g'(t)\text{.}\)
4. Deja\(q(t) = \frac{t^3 + 4t}{2t^2}\) y observa que\(q(t) = \frac{g(t)}{f(t)}\text{.}\) Reescribe la fórmula para\(q\) dividiendo cada término en el numerador por el denominador y simplificarlo para escribir\(q\) como una suma de múltiplos constantes de potencias de\(t\text{.}\) Entonces, computa\(q'(t)\) usando la suma y las reglas múltiples constantes.
5. Verdadero o falso:\(q'(t) = \frac{g'(t)}{f'(t)}\text{.}\)

2.3.1 La regla del producto

Como muestra la parte (b) de Vista previa Actividad 2.3.1, no es cierto en general que la derivada de un producto de dos funciones sea producto de las derivadas de esas funciones. Para ver por qué es así, consideramos un ejemplo que involucra funciones significativas.

Decir que un inversionista compra acciones regularmente en una empresa en particular. Let\(N(t)\) representa el número de acciones propiedad el día\(t\text{,}\) donde\(t = 0\) representa el primer día en el que se compraron las acciones. Dejar\(S(t)\) dar el valor de una acción de la acción en el día\(t\text{;}\) tenga en cuenta que las unidades en\(S(t)\) son dólares por acción. Para calcular el valor total del stock el día\(t\text{,}\) que tomamos el producto

\[ V(t) = N(t) \, \text{shares} \cdot S(t) \, \text{dollars per share}\text{.} \nonumber \]

Observe que con el tiempo, tanto el número de acciones como el valor de una determinada acción variarán. El derivado\(N'(t)\) mide la tasa a la que cambia el número de acciones, mientras que\(S'(t)\) mide la tasa a la que cambia el valor por acción. ¿Cómo afectan estas respectivas tasas de cambio a la tasa de cambio de la función de valor total?

Para ayudarnos a entender la relación entre los cambios en\(N\text{,}\)\(S\text{,}\) y\(V\text{,}\) consideremos algunos datos específicos.

• Supongamos que el día 100, el inversionista posee 520 acciones y el valor actual de la acción es de 27.50 dólares por acción. Esto nos dice que\(N(100) = 520\) y\(S(100) = 27.50\text{.}\)
• En el día 100, el inversionista compra 12 acciones adicionales (por lo que el número de acciones mantenidas está aumentando a una tasa de 12 acciones por día).
• Ese mismo día el precio de la acción está subiendo a una tasa de 0.75 dólares por acción por día.

En notación de cálculo, estos dos últimos hechos nos dicen que\(N'(100) = 12\) (acciones por día) y\(S'(100) = 0.75\) (dólares por acción por día). ¿A qué tasa cambia el valor de las tenencias totales del inversionista en el día 100?

Observe que el incremento del valor total proviene de dos fuentes: el creciente número de acciones, y el aumento del valor de cada acción. Si sólo aumenta el número de acciones (y el valor de cada acción es constante), la tasa a la que subiría el valor total es producto del valor actual de las acciones y de la tasa a la que cambia el número de acciones. Es decir, la tasa a la que el valor total cambiaría viene dada por

\[ S(100) \cdot N'(100) = 27.50 \, \frac{\text{dollars} }{\text{share} } \cdot 12 \, \frac{\text{shares} }{\text{day} } = 330 \, \frac{\text{dollars} }{\text{day} }\text{.} \nonumber \]

Obsérvese particularmente cómo las unidades tienen sentido y muestran la tasa a la que\(V\) está cambiando el valor total, medido en dólares por día.

Si en cambio el número de acciones es constante, pero el valor de cada acción va en alza, la tasa a la que subiría el valor total es producto del número de acciones y la tasa de cambio del valor de las acciones. El valor total está subiendo a una tasa de

\[ N(100) \cdot S'(100) = 520 \, \text{shares} \cdot 0.75 \, \frac{\text{dollars per share} }{\text{day} } = 390 \, \frac{\text{dollars} }{\text{day} }\text{.} \nonumber \]

Por supuesto, cuando tanto el número de acciones como el valor de cada acción están cambiando, tenemos que incluir ambas fuentes. En ese caso la tasa a la que el valor total está subiendo es

\[ V'(100) = S(100) \cdot N'(100) + N(100) \cdot S'(100) = 330 + 390 = 720 \, \frac{\text{dollars} }{\text{day} }\text{.} \nonumber \]

Esperamos que el valor total de las participaciones del inversionista suba alrededor de 720 dólares al día 100. ¹

Si bien este ejemplo destaca por qué la regla del producto es cierta, hay algunas cuestiones sutiles que reconocer. Por un lado, si el valor de las acciones realmente sube exactamente $0.75 el día 100, y el número de acciones realmente sube en 12 el día 100, entonces esperaríamos que\(V(101) = N(101) \cdot S(101) = 532 \cdot 28.25 = 15029\text{.}\) Si, como se señaló anteriormente, esperamos que el valor total suba en $720, entonces con\(V(100) = N(100) \cdot S(100) = 520 \cdot 27.50 = 14300\text{,}\) entonces parece que deberíamos encontrar eso\(V(101) = V(100) + 720 = 15020\text{.}\) ¿Por qué los dos los resultados difieren en 9? Una manera de entender por qué ocurre esta diferencia es reconocer que\(N'(100) = 12\) representa una tasa instantánea de cambio, mientras que nuestra discusión (informal) también ha pensado en este número como el cambio total en el número de acciones en el transcurso de un solo día. La prueba formal de la regla del producto concilia este problema tomando el límite ya que el cambio en la entrada tiende a cero.

A continuación, ampliamos nuestra perspectiva desde el ejemplo específico anterior a la ambientación más general y abstracta de un producto\(p\) de dos funciones diferenciables,\(f\) y\(g\text{.}\) Si\(P(x) = f(x) \cdot g(x)\text{,}\) nuestro trabajo anterior sugiere que\(P'(x) = f(x) g'(x) + g(x) f'(x)\text{.}\) Efectivamente, una prueba formal usando la definición límite de la derivada se puede dar para demostrar que la siguiente regla, llamada la regla del producto, se mantiene en general.

Regla del producto

Si\(f\) y\(g\) son funciones diferenciables, entonces su producto\(P(x) = f(x) \cdot g(x)\) es también una función diferenciable, y

\[ P'(x) = f(x) g'(x) + g(x) f'(x)\text{.} \nonumber \]

A la luz del ejemplo anterior que involucra acciones de acciones, la regla del producto también tiene sentido intuitivamente: la tasa de cambio de\(P\) debe tener en cuenta tanto qué tan rápido\(f\) como\(g\) están cambiando, así como cuán grandes\(f\) y\(g\) están en el punto de interés. En palabras la regla del producto dice: si\(P\) es producto de dos funciones\(f\) (la primera función) y\(g\) (la segunda), entonces “la derivada de\(P\) es la primera vez la derivada de la segunda, más la segunda veces la derivada de la primera”. A menudo es un ejercicio mental útil decir este fraseo en voz alta al ejecutar la regla del producto.

Ejemplo 2.3.2

Si\(P(z) = z^3 \cdot \cos(z)\text{,}\) podemos usar la regla del producto para diferenciar\(P\text{.}\) La primera función es\(z^3\) y la segunda función es\(\cos(z)\text{.}\) Por la regla del producto,\(P'\) estará dada por la primera,\(z^3\text{,}\) veces la derivada de la segunda,\(-\sin(z)\text{,}\) más la segunda,\(\cos(z)\text{,}\) multiplicada por la derivado de la primera, es\(3z^2\text{.}\) decir,

\[ P'(z) = z^3(-\sin(z)) + \cos(z) 3z^2 = -z^3 \sin(z) + 3z^2 \cos(z)\text{.} \nonumber \]

Actividad 2.3.2

Utilice la regla del producto para responder a cada una de las preguntas a continuación. En todo momento, asegúrese de etiquetar cuidadosamente cualquier derivado que encuentre por su nombre. No es necesario simplificar algebraicamente ninguna de las derivadas que computas.

1. Let\(m(w)=3w^{17} 4^w\text{.}\) Find\(m'(w)\text{.}\)
2. Let\(h(t) = (\sin(t) + \cos(t))t^4\text{.}\) Find\(h'(t)\text{.}\)
3. Determinar la pendiente de la línea tangente a la curva\(y = f(x)\) en el punto donde\(a = 1\) si\(f\) viene dada por la regla\(f(x) = e^x \sin(x)\text{.}\)
4. Encuentra la aproximación de la línea tangente\(L(x)\) a la función\(y = g(x)\) en el punto donde\(a = -1\) si\(g\) viene dada por la regla\(g(x) = (x^2 + x) 2^x\text{.}\)

2.3.2 La regla del cociente

Debido a que los cocientes y productos están estrechamente vinculados, podemos usar la regla del producto para entender cómo tomar la derivada de un cociente. Dejar\(Q(x)\) definirse por\(Q(x) = f(x)/g(x)\text{,}\) donde\(f\) y\(g\) son ambas funciones diferenciables. Resulta que\(Q\) es diferenciable en todas partes que\(g(x) \ne 0\text{.}\) nos gustaría una fórmula para\(Q'\) en términos de\(f\text{,}\)\(g\text{,}\)\(f'\text{,}\) y\(g'\text{.}\) Multiplicando ambos lados de la fórmula\(Q = f/g\) por\(g\text{,}\) observamos que

\[ f(x) = Q(x) \cdot g(x)\text{.} \nonumber \]

Ahora podemos usar la regla del producto para diferenciar\(f\text{.}\)

\[ f'(x) = Q(x) g'(x) + g(x) Q'(x)\text{.} \nonumber \]

Queremos conocer una fórmula para\(Q'\text{,}\) así resolvemos esta ecuación para\(Q'(x)\text{.}\)

\[ Q'(x) g(x) = f'(x) - Q(x) g'(x) \nonumber \]

y dividiendo ambos lados por\(g(x)\text{,}\) tenemos

\[ Q'(x) = \frac{f'(x) - Q(x) g'(x)}{g(x)}\text{.} \nonumber \]

Por último, recordamos que\(Q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\text{.}\) Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior, tenemos

\ begin {alinear*} Q' (x) =\ mathstrut &\ frac {f' (x) -\ frac {f (x)} {g (x)} g' (x)} {g (x)}\\ [4pt] =\ mathstrut &\ frac {f' (x) -\ frac {f (x)} {g (x)} g' (x)} {g (x)}\ cdot\ frac {g (x)} {g (x)}\\ [4pt] =\ mathstrut &\ frac {g (x) f' (x) - f (x) g' (x)} {g (x) ^2}\ text {.} \ end {alinear*}

Este cálculo nos da la regla del cociente.

Regla del cociente

Si\(f\) y\(g\) son funciones diferenciables, entonces su cociente\(Q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\) es también una función diferenciable para todos\(x\) donde\(g(x) \ne 0\) y

\[ Q'(x) = \dfrac{g(x) f'(x) - f(x) g'(x)}{g(x)^2}\text{.} \nonumber \]

Al igual que con la regla del producto, puede ser útil pensar verbalmente en la regla del cociente. Si una función\(Q\) es el cociente de una función superior\(f\) y una función inferior,\(g\text{,}\) entonces\(Q'\) viene dada por “la parte inferior multiplicada por la derivada de la parte superior, menos la parte superior por la derivada de la parte inferior, por todo el cuadrado inferior”.

Ejemplo 2.3.3

Si\(Q(t) = \sin(t)/2^t\text{,}\) llamamos a\(\sin(t)\) la función top y\(2^t\) a la función bottom. Por la regla del cociente,\(Q'\) viene dada por la parte inferior,\(2^t\text{,}\) veces la derivada de la parte superior,\(\cos(t)\text{,}\) menos la superior,\(\sin(t)\text{,}\) veces la derivada de la parte inferior, por\(2^t \ln(2)\text{,}\) toda la parte inferior cuadrada, es\((2^t)^2\text{.}\) decir,

\[ Q'(t) = \frac{2^t \cos(t) - \sin(t) 2^t \ln(2)}{(2^t)^2}\text{.} \nonumber \]

En este ejemplo particular, es posible simplificar\(Q'(t)\) eliminando un factor tanto\(2^t\) del numerador como del denominador, de manera que

\[ Q'(t) = \frac{\cos(t) - \sin(t) \ln(2)}{2^t}\text{.} \nonumber \]

En general, debemos tener cuidado al hacer tal simplificación, ya que no queremos ejecutar correctamente la regla del cociente sino luego cometer un error de álgebra.

Actividad 2.3.3

Utilice la regla del cociente para responder a cada una de las preguntas a continuación. En todo momento, asegúrese de etiquetar cuidadosamente cualquier derivado que encuentre por su nombre. Es decir, si te dan una fórmula para etiquetar\(f(x)\text{,}\) claramente la fórmula que encuentras para No es\(f'(x)\text{.}\) necesario simplificar algebraicamente ninguna de las derivadas que computas.

1. Let\(r(z)=\frac{3^z}{z^4 + 1}\text{.}\) Find\(r'(z)\text{.}\)
2. Let\(v(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t) + t^2}\text{.}\) Find\(v'(t)\text{.}\)
3. Determinar la pendiente de la línea tangente a la curva\(\displaystyle R(x) = \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9}\) en el punto donde\(x = 0\text{.}\)
4. Cuando una cámara parpadea, la intensidad\(I\) de la luz vista por el ojo viene dada por la función
   \[ I(t) = \frac{100t}{e^t}\text{,} \nonumber \]

   donde\(I\) se mide en velas y\(t\) se mide en milisegundos. Calcular\(I'(0.5)\text{,}\)\(I'(2)\text{,}\) e\(I'(5)\text{;}\) incluir unidades apropiadas en cada valor; y discutir el significado de cada uno.

2.3.3 Combinar reglas

Para aplicar correctamente las reglas de acceso directo derivadas debemos reconocer la estructura fundamental de una función.

Ejemplo 2.3.4

Determinar la derivada de la función

\[ f(x) = x\sin(x) + \frac{x^2}{\cos(x) + 2}\text{.} \nonumber \]

¿Cómo decidimos qué reglas aplicar? Nuestra primera tarea es reconocer la estructura de la función. Esta función\(f\) es una suma de dos funciones un poco menos complicadas, por lo que podemos aplicar la regla de suma ² para obtener

\ begin {align*} f' (x) =\ mathstrut &\ frac {d} {dx}\ izquierda [x\ sin (x) +\ frac {x^2} {\ cos (x) + 2}\ derecha]\\ [4pt] =\ mathstrut &\ frac {d} {dx}\ izquierda [x\ sin (x)\ derecha] +\ frac {d} {dx}\ izquierda [\ frac {x^2} {\ cos (x) + 2}\ derecha]\ final {alinear*}

Al tomar una derivada que implica el uso de múltiples reglas derivadas, a menudo es útil usar la notación\(\frac{d}{dx} \left[ ~~\right]\) para esperar a aplicar reglas posteriores. Esto se demuestra en cada uno de los dos ejemplos aquí presentados.

Ahora bien, el término de la izquierda anterior es un producto, por lo que allí se necesita la regla del producto, mientras que el término de la derecha es un cociente, por lo que se requiere la regla del cociente. Aplicando estas reglas respectivamente, encontramos que

\ begin {align*} f' (x) =\ mathstrut &\ izquierda (x\ cos (x) +\ sin (x)\ derecha) +\ frac {(\ cos (x) + 2) 2x - x^2 (-\ sin (x))} {(\ cos (x) + 2) ^2}\\ [4pt] =\ mathstrut & x\ cos (x) +\ sin (x) +\ frac {2x\ cos (x) + 4x + x^2\ sin (x)} {(\ cos (x) + 2) ^2}\ text {.} \ end {alinear*}

Ejemplo 2.3.5

Diferenciar

\[ s(y) = \frac{y \cdot 7^y}{y^2 + 1}\text{.} \nonumber \]

La función\(s\) es un cociente de dos funciones más simples, por lo que se necesitará la regla del cociente. Para comenzar, configuramos la regla del cociente y usamos la notación\(\frac{d}{dy}\) para indicar las derivadas del numerador y denominador. Por lo tanto,

\[ s'(y) = \frac{(y^2 + 1) \cdot \frac{d}{dy}\left[ y \cdot 7^y \right] - y \cdot 7^y \cdot \frac{d}{dy}\left[y^2 + 1 \right]}{(y^2 + 1)^2}\text{.} \nonumber \]

Ahora, quedan dos derivadas por calcular. El primero,\(\frac{d}{dy}\left[ y \cdot 7^y \right]\) exige el uso de la regla del producto, mientras que el segundo, solo\(\frac{d}{dy}\left[y^2 + 1 \right]\) necesita la regla de la suma. Aplicando estas reglas, ahora tenemos

\[ s'(y) = \frac{(y^2 + 1) [y \cdot 7^y \ln(7) + 7^y \cdot 1] - y \cdot 7^y [2y]}{(y^2 + 1)^2}\text{.} \nonumber \]

Si bien es posible alguna simplificación, nos conformamos con dejar\(s'(y)\) en su forma actual.

El éxito en la aplicación de reglas derivadas comienza con el reconocimiento de la estructura de la función, seguido de la aplicación cuidadosa y diligente de las reglas derivadas pertinentes. La mejor manera de dominar este proceso es hacer una gran cantidad de ejemplos.

Actividad 2.3.4

Utilice reglas derivadas relevantes para responder a cada una de las preguntas a continuación. A lo largo de todo, asegúrese de usar la notación adecuada y etiquetar cuidadosamente cualquier derivado que encuentre por su nombre.

1. Let\(f(r) = (5r^3 + \sin(r))(4^r - 2\cos(r))\text{.}\) Find\(f'(r)\text{.}\)
2. Let\(\displaystyle p(t) = \frac{\cos(t)}{t^6 \cdot 6^t}\text{.}\) Find\(p'(t)\text{.}\)
3. Let\(g(z) = 3z^7 e^z - 2z^2 \sin(z) + \frac{z}{z^2 + 1}\text{.}\) Find\(g'(z)\text{.}\)
4. Una partícula en movimiento tiene su posición en pies a la vez\(t\) en segundos dada por la función\(s(t) = \frac{3\cos(t) - \sin(t)}{e^t}\text{.}\) Encontrar la velocidad instantánea de la partícula en este momento\(t = 1\text{.}\)
5. Supongamos que\(f(x)\) y\(g(x)\) son funciones diferenciables y se sabe que\(f(3) = -2\text{,}\)\(f'(3) = 7\text{,}\)\(g(3) = 4\text{,}\) y\(g'(3) = -1\text{.}\) si\(p(x) = f(x) \cdot g(x)\) y\(\displaystyle q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\text{,}\) calcular\(p'(3)\) y\(q'(3)\text{.}\)

A medida que la complejidad algebraica de las funciones que somos capaces de diferenciar sigue aumentando, es importante recordar que todo el significado de la derivada continúa manteniéndose. Independientemente de la estructura de la función\(f\text{,}\) el valor de nos\(f'(a)\) dice la tasa instantánea de cambio de\(f\) con respecto\(x\) al momento así\(x = a\text{,}\) como la pendiente de la línea tangente a\(y = f(x)\) en el punto\((a,f(a))\text{.}\)

2.3.4 Resumen

• Si una función es una suma, producto o cociente de funciones más simples, entonces podemos usar las reglas de suma, producto o cociente para diferenciarla en términos de las funciones más simples y sus derivadas.
• La regla del producto nos dice que si\(P\) es producto de funciones diferenciables\(f\) y de\(g\) acuerdo a la regla\(P(x) = f(x) g(x)\text{,}\) entonces
  \[ P'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)\text{.} \nonumber \]
• La regla del cociente nos dice que si\(Q\) es un cociente de funciones diferenciables\(f\) y de\(g\) acuerdo a la regla\(Q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\text{,}\) entonces
  \[ Q'(x) = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}\text{.} \nonumber \]
• Junto con las reglas constantes de múltiplo y suma, las reglas de producto y cociente nos permiten calcular la derivada de cualquier función que consiste en sumas, múltiplos constantes, productos y cocientes de funciones básicas. Por ejemplo, si\(F\) tiene la forma
  \[ F(x) = \frac{2a(x) - 5b(x)}{c(x) \cdot d(x)}\text{,} \nonumber \]

  entonces\(F\) es un cociente, en el que el numerador es una suma de múltiplos constantes y el denominador es un producto. Esto, la derivada de se\(F\) puede encontrar aplicando la regla del cociente y luego usando la suma y las reglas múltiples constantes para diferenciar el numerador y la regla de producto para diferenciar el denominador.