2.5: La regla de la cadena

Preguntas Motivadoras

• ¿Qué es una función compuesta y cómo reconocemos su estructura algebraicamente?
• Dada una función compuesta\(C(x) = f(g(x))\) que se construye a partir de funciones diferenciables\(f\) y\(g\text{,}\) cómo calculamos\(C'(x)\) en términos de\(f\text{,}\)\(g\text{,}\)\(f'\text{,}\) y\(g'\text{?}\) ¿Cuál es la afirmación de la Regla de Cadena?

Además de aprender a diferenciar una variedad de funciones básicas, también hemos ido desarrollando nuestra capacidad de usar reglas para diferenciar ciertas combinaciones algebraicas de ellas.

Ejemplo 2.5.1

Declarar la (s) regla (s) para encontrar la derivada de cada una de las siguientes combinaciones de\(f(x) = \sin(x)\) y\(g(x) = x^2\text{:}\)

\[ s(x) = 3x^2 - 5\sin(x)\text{,} \nonumber \]

\[ p(x) = x^2 \sin(x), \text{and} \nonumber \]

\[ q(x) = \dfrac{\sin(x)}{x^2}\text{.} \nonumber \]

Contestar

Encontrar\(s'\) usa la suma y las reglas múltiples constantes, porque\(s(x) = 3g(x) - 5f(x)\text{.}\) Determinar\(p'\) requiere la regla del producto, porque\(p(x) = g(x) \cdot f(x)\text{.}\) Para calcular\(q'\) usamos la regla del cociente, porque\(q(x) =\frac{f(x)}{g(x)}\text{.}\)

Hay una forma más natural de combinar funciones básicas algebraicamente, y es componiéndolas. Por ejemplo, consideremos la función

\[ C(x) = \sin(x^2)\text{,} \nonumber \]

y observar que cualquier entrada\(x\) pasa a través de una cadena de funciones. En el proceso que define la función\(C(x)\text{,}\)\(x\) es primero al cuadrado, y luego se toma el seno del resultado. Usando un diagrama de flechas,

\[ x \longrightarrow x^2 \longrightarrow \sin(x^2)\text{.} \nonumber \]

En cuanto a las funciones elementales\(f\) y\(g\text{,}\) observamos que\(x\) es la entrada para la función\(g\text{,}\) y el resultado se usa como entrada para\(f\text{.}\) Escribimos

\[ C(x) = f(g(x)) = \sin(x^2) \nonumber \]

y decir que\(C\) es la composición de\(f\) y\(g\text{.}\) Nos referiremos a\(g\text{,}\) la función a la que primero se aplica\(x\text{,}\) como la función interna, mientras que\(f\text{,}\) la función que se aplica al resultado, es la función externa.

Dada una función compuesta\(C(x) = f(g(x))\) que se construye a partir de funciones diferenciables\(f\) y\(g\text{,}\) cómo calculamos\(C'(x)\) en términos de\(f\text{,}\)\(g\text{,}\)\(f'\text{,}\) y\(g'\text{?}\) De la misma manera que la tasa de cambio de un producto de dos funciones,\(p(x) = f(x) \cdot g(x)\text{,}\) depende del comportamiento de ambos\(f\) y\(g\text{,}\) tiene sentido intuitivamente que la tasa de cambio de una función compuesta también\(C(x) = f(g(x))\) dependerá de alguna combinación de\(f\) y\(g\) y sus derivados. La regla que describe cómo calcular\(C'\) en términos de\(f\) y\(g\) y sus derivadas se llama regla de cadena.

Pero antes de que podamos aprender qué dice la regla de la cadena y por qué funciona, primero necesitamos estar cómodos descomponiendo funciones compuestas para que podamos identificar correctamente las funciones internas y externas, como hicimos en el ejemplo anterior con\(C(x) = \sin(x^2)\text{.}\)

Vista previa de la actividad 2.5.1

Para cada función dada a continuación, identificar su estructura algebraica fundamental. En particular, ¿la función dada es una suma, producto, cociente o composición de funciones básicas? Si la función es una composición de funciones básicas, indique una fórmula para la función interna\(g\) y la función\(f\) externa para que la función compuesta general pueda escribirse en la forma\(f(g(x))\text{.}\) Si la función es una suma, producto o cociente de funciones básicas, use la regla apropiada para determinar su derivada.

1. \(\displaystyle h(x) = \tan(2^x)\)
2. \(\displaystyle p(x) = 2^x \tan(x)\)
3. \(\displaystyle r(x) = (\tan(x))^2\)
4. \(\displaystyle m(x) = e^{\tan(x)}\)
5. \(\displaystyle w(x) = \sqrt{x} + \tan(x)\)
6. \(\displaystyle z(x) = \sqrt{\tan(x)}\)

2.5.1 La regla de la cadena

A menudo, una función compuesta no se puede escribir en una forma algebraica alternativa. Por ejemplo, la función\(C(x) = \sin(x^2)\) no se puede expandir ni reescribir de otra manera, por lo que no presenta enfoques alternativos para tomar la derivada. Pero algunas funciones compuestas pueden expandirse o simplificarse, y estas proporcionan una manera de explorar cómo funciona la regla de la cadena.

Ejemplo 2.5.2

Dejar\(f(x) = -4x + 7\) y\(g(x) = 3x - 5\text{.}\) Determinar una fórmula para\(C(x) = f(g(x))\) y calcular\(C'(x)\text{.}\) ¿Cómo se\(C'\) relaciona con\(f\) y\(g\) y sus derivados?

Contestar

Por las reglas dadas para\(f\) y\(g\text{,}\)

\ begin {align*} C (x) =\ mathstrut & f (g (x))\\ [4pt] =\ mathstrut & f (3x-5)\\ [4pt] =\ mathstrut & -4 (3x-5) + 7\\ [4pt] =\ mathstrut & -12x + 20 + 7\\ [4pt] =\ mathstrut & -12x + 27\ text {.} \ end {alinear*}

Así,\(C'(x) = -12\text{.}\) Observando que\(f'(x) = -4\) y\(g'(x) = 3\text{,}\) observamos que\(C'\) parece ser producto de\(f'\) y\(g'\text{.}\)

Puede parecer que el Ejemplo 2.5.2 es demasiado elemental para ilustrar cómo diferenciar una función compuesta. Las funciones lineales son la más simple de todas las funciones, y componer funciones lineales produce otra función lineal. Si bien este ejemplo no ilustra la complejidad completa de una composición de funciones no lineales, al mismo tiempo recordamos que cualquier función diferenciable es localmente lineal, y así cualquier función con una derivada se comporta como una línea cuando se ve de cerca. El hecho de que las derivadas de las funciones lineales\(f\) y\(g\) se multipliquen para encontrar la derivada de su composición resulta ser una visión clave.

Consideramos ahora una composición que involucra una función no lineal.

Ejemplo 2.5.3

Let\(C(x) = \sin(2x)\text{.}\) Use la identidad de doble ángulo para reescribir\(C\) como producto de funciones básicas, y use la regla del producto para encontrar\(C'\text{.}\) Rewrite\(C'\) en la forma más simple posible.

Contestar

Usando la identidad de doble ángulo para la función sinusoidal, escribimos

\[ C(x) = \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\text{.} \nonumber \]

Aplicando la regla del producto y simplificando, encontramos

\[ C'(x) = 2\sin(x)(-\sin(x)) + \cos(x)(2\cos(x)) = 2(\cos^2(x) - \sin^2(x))\text{.} \nonumber \]

A continuación, recordamos que la identidad de doble ángulo para el coseno,

\[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\text{.} \nonumber \]

Sustituyendo este resultado en nuestra expresión\(C'(x)\text{,}\) porque ahora tenemos que

\[ C'(x) = 2 \cos(2x)\text{.} \nonumber \]

En el Ejemplo 2.5.3, si dejamos\(g(x) = 2x\) y\(f(x) = \sin(x)\text{,}\) observamos que\(C(x) = f(g(x))\text{.}\) Ahora,\(g'(x) = 2\) y\(f'(x) = \cos(x)\text{,}\) así podemos ver la estructura de\(C'(x)\) como

\[ C'(x) = 2\cos(2x) = g'(x) f'(g(x))\text{.} \nonumber \]

En este ejemplo, como en el ejemplo que involucra funciones lineales, vemos que la derivada de la función compuesta\(C(x) = f(g(x))\) se encuentra multiplicando las derivadas de\(f\) y\(g\text{,}\) pero con\(f'\) evaluadas en\(g(x)\text{.}\)

Tiene sentido intuitivamente que estas dos cantidades estén involucradas en la tasa de cambio de una función compuesta: si preguntamos qué tan rápido\(C\) está cambiando a un\(x\) valor dado, claramente importa qué tan rápido\(g\) está cambiando en así\(x\text{,}\) como qué tan rápido\(f\) está cambiando al valor de \(g(x)\text{.}\)Resulta que esta estructura sostiene para todas las funciones diferenciables ¹ como se establece en la Regla de la Cadena.

Al igual que otras reglas de diferenciación, la Regla de Cadena puede probarse formalmente utilizando la definición límite de la derivada.

Regla de Cadena

Si\(g\) es diferenciable en\(x\) y\(f\) es diferenciable en\(g(x)\text{,}\) entonces la función compuesta\(C\) definida por\(C(x) = f(g(x))\) es diferenciable en\(x\) y

\[ C'(x) = f'(g(x)) g'(x)\text{.} \nonumber \]

Al igual que con las reglas de producto y cociente, a menudo es útil pensar verbalmente sobre lo que dice la regla de la cadena: “Si\(C\) es una función compuesta definida por una función externa\(f\) y una función interna\(g\text{,}\) entonces\(C'\) viene dada por la derivada de la función externa evaluada en el interior función, veces la derivada de la función interna.”

Es útil identificar claramente la función interna\(g\) y la función externa\(f\text{,}\) computar sus derivadas individualmente, y luego juntar todas las piezas por la regla de la cadena.

Ejemplo 2.5.4

Determinar la derivada de la función

\[ r(x) = (\tan(x))^2\text{.} \nonumber \]

Contestar

La función\(r\) es compuesta, con función interna\(g(x) = \tan(x)\) y función externa\(f(x) = x^2\text{.}\) Organizando la información clave que involucra\(f\text{,}\)\(g\text{,}\) y sus derivadas, tenemos

\(f(x) = x^2\)		\(g(x) = \tan(x)\)
\(f'(x) = 2x\)		\(g'(x) = \sec^2(x)\)
\(f'(g(x)) = 2\tan(x)\)

Aplicando la regla de la cadena, encontramos que

\[ r'(x) = f'(g(x))g'(x) = 2\tan(x) \sec^2(x)\text{.} \nonumber \]

Como nota al margen, remarcamos que generalmente\(r(x)\) se escribe como\(\tan^2(x)\text{.}\) Esta es una notación común para potencias de funciones trigonométricas:\(\cos^4(x)\text{,}\)\(\sin^5(x)\text{,}\) y\(\sec^2(x)\) son todas funciones compuestas, con la función externa una función de potencia y la función interna una trigonométrica.

Actividad 2.5.2

Para cada función dada a continuación, identifique una función interna\(g\) y una función externa\(f\) para escribir la función en la forma\(f(g(x))\text{.}\) Determinar\(f'(x)\text{,}\)\(g'(x)\text{,}\)\(f'(g(x))\text{,}\) y luego aplicar la regla de cadena para determinar la derivada de la función dada.

1. \(\displaystyle h(x) = \cos(x^4)\)
2. \(\displaystyle p(x) = \sqrt{ \tan(x) }\)
3. \(\displaystyle s(x) = 2^{\sin(x)}\)
4. \(\displaystyle z(x) = \cot^5(x)\)
5. \(\displaystyle m(x) = (\sec(x) + e^x)^9\)

2.5.2 Usar múltiples reglas simultáneamente

La regla de la cadena ahora une las reglas de suma, múltiplo constante, producto y cociente en nuestra colección de técnicas para encontrar la derivada de una función a través de la comprensión de su estructura algebraica y las funciones básicas que la constituyen. Se necesita práctica para sentirse cómodo aplicando múltiples reglas para diferenciar una sola función, pero usar la notación adecuada y dar algunos pasos adicionales ayudará.

Ejemplo 2.5.5

Encuentra una fórmula para el derivado de\(h(t) = 3^{t^2 + 2t}\sec^4(t)\text{.}\)

Contestar

Primero observamos que\(h\) es producto de dos funciones:\(h(t) = a(t) \cdot b(t)\text{,}\) dónde\(a(t) = 3^{t^2 + 2t}\) y\(b(t) = \sec^4(t)\text{.}\) Necesitaremos usar la regla del producto para diferenciar\(h\text{.}\) Y porque\(a\) y\(b\) son funciones compuestas, necesitaremos la regla de cadena. Por lo tanto, comenzamos por la computación\(a'(t)\) y\(b'(t)\text{.}\)

Escribir\(a(t) = f(g(t)) = 3^{t^2 + 2t}\text{,}\) y encontrar los derivados de\(f\) y\(g\text{,}\) tenemos

\(f(t) = 3^t\)		\(g(t) = t^2 + 2t\)
\(f'(t) = 3^t \ln(3)\)		\(g'(t) = 2t+2\)
\(f'(g(t)) = 3^{t^2 + 2t}\ln(3)\)

Así, por la regla de la cadena, se deduce que\(a'(t) = f'(g(t))g'(t) = 3^{t^2 + 2t}\ln(3) (2t+2)\text{.}\)

Volviendo al lado\(b\text{,}\) escribimos\(b(t) = r(s(t)) = \sec^4(t)\) y encontramos las derivadas de\(r\) y\(s\text{.}\)

\(r(t) = t^4\)		\(s(t) = \sec(t)\)
\(r'(t) = 4t^3\)		\(s'(t) = \sec(t)\tan(t)\)
\(r'(s(t)) = 4\sec^3(t)\)

Por la regla de la cadena,

\[ b'(t) = r'(s(t))s'(t) = 4\sec^3(t)\sec(t)\tan(t) = 4 \sec^4(t) \tan(t)\text{.} \nonumber \]

Ahora finalmente estamos listos para computar la derivada de la función\(h\text{.}\) Recordando que\(h(t) = 3^{t^2 + 2t}\sec^4(t)\text{,}\) por la regla del producto tenemos

\[ h'(t) = 3^{t^2 + 2t} \frac{d}{dt}[\sec^4(t)] + \sec^4(t) \frac{d}{dt}[3^{t^2 + 2t}]\text{.} \nonumber \]

De nuestro trabajo anterior con\(a\) y\(b\text{,}\) conocemos los derivados de\(3^{t^2 + 2t}\) y\(\sec^4(t)\text{,}\) y por lo tanto

\[ h'(t) = 3^{t^2 + 2t} 4\sec^4(t) \tan(t) + \sec^4(t) 3^{t^2 + 2t}\ln(3) (2t+2)\text{.} \nonumber \]

Actividad 2.5.3

Para cada una de las siguientes funciones, encuentre la derivada de la función. Exponga las reglas que usa, etiquete los derivados relevantes de manera apropiada y asegúrese de identificar claramente su respuesta general.

1. \(\displaystyle p(r) = 4\sqrt{r^6 + 2e^r}\)
2. \(\displaystyle m(v) = \sin(v^2) \cos(v^3)\)
3. \(\displaystyle h(y) = \frac{\cos(10y)}{e^{4y}+1}\)
4. \(\displaystyle s(z) = 2^{z^2 \sec (z)}\)
5. \(\displaystyle c(x) = \sin(e^{x^2})\)

La regla de la cadena ahora se suma sustancialmente a nuestra capacidad para calcular derivados. Ya sea que estemos encontrando la ecuación de la línea tangente a una curva, la velocidad instantánea de una partícula en movimiento, o la velocidad instantánea de cambio de cierta cantidad, si la función en consideración es una composición, la regla de la cadena es indispensable.

Actividad 2.5.4

Utilice reglas derivadas conocidas, incluida la regla de cadena, según sea necesario para responder a cada una de las siguientes preguntas.

1. Encuentre una ecuación para la línea tangente a la curva\(y= \sqrt{e^x + 3}\) en el punto donde\(x=0\text{.}\)
2. Si\(\displaystyle s(t) = \frac{1}{(t^2+1)^3}\) representa la función de posición de una partícula que se mueve horizontalmente a lo largo de un eje en el tiempo\(t\) (donde\(s\) se mide\(t\) en pulgadas y en segundos), encuentre la velocidad instantánea de la partícula en\(t=1\text{.}\) ¿La partícula se mueve hacia la izquierda o hacia la derecha en ese instante?
3. A nivel del mar, la presión del aire es de 30 pulgadas de mercurio. A una altitud de\(h\) pies sobre el nivel del mar, la presión del aire,\(P\text{,}\) en pulgadas de mercurio, viene dada por la función\(P = 30 e^{-0.0000323 h}\text{.}\) Calcula\(dP/dh\) y explica lo que esta función derivada te dice sobre la presión del aire, incluyendo una discusión de las unidades\(dP/dh\text{.}\) en Además, determinar cómo rápido la presión del aire está cambiando para un piloto de un avión pequeño que pasa a través de una altitud de\(1000\) pies.
4. Supongamos que\(f(x)\) y\(g(x)\) son funciones diferenciables y que se conoce la siguiente información sobre ellas:

   Cuadro 2.5.6. Datos para funciones\(f\) y\(g\text{.}\)

   \(x\)	\(f(x)\)	\(f'(x)\)	\(g(x)\)	\(g'(x)\)
   \(-1\)	\(2\)	\(-5\)	\(-3\)	\(4\)
   \(2\)	\(-3\)	\(4\)	\(-1\)	\(2\)

   Si\(C(x)\) es una función dada por la fórmula\(f(g(x))\text{,}\) determinar\(C'(2)\text{.}\) Además, si\(D(x)\) es la función\(f(f(x))\text{,}\) encontrar\(D'(-1)\text{.}\)

2.5.3 La versión compuesta de las reglas básicas de función

A medida que obtengamos más experiencia con la diferencia, nos volveremos más cómodos al simplemente escribir el derivado sin dar múltiples pasos. Esto es particularmente sencillo cuando la función interna es lineal, ya que la derivada de una función lineal es una constante.

Ejemplo 2.5.7

Utilice la regla de cadena para diferenciar cada una de las siguientes funciones compuestas cuya función interna es lineal:

\[ \frac{d}{dx} \left[ (5x+7)^{10} \right] = 10(5x+7)^9 \cdot 5\text{,} \nonumber \]

\[ \frac{d}{dx} \left[ \tan(17x) \right] = 17\sec^2(17x), \ \text{and} \nonumber \]

\[ \frac{d}{dx} \left[ e^{-3x} \right] = -3e^{-3x}\text{.} \nonumber \]

De manera más general, seguir es un excelente ejercicio para sentirse cómodo con las reglas derivadas. Anote una lista de todas las funciones básicas cuyas derivadas conocemos, y enumere las derivadas. Luego escribe una función compuesta con la función interna siendo una función desconocida\(u(x)\) y la función externa siendo una función básica. Finalmente, escriba la regla de cadena para la función compuesta. El siguiente ejemplo ilustra esto para dos funciones diferentes.

Ejemplo 2.5.8

Determinar

\[ \frac{d}{dx}[\sin(u(x))]\text{,} \nonumber \]

donde\(u\) es una función diferenciable de\(x\text{,}\) usamos la regla de cadena con la función sinusoidal como la función externa. Aplicando la regla de la cadena, encontramos que

\[ \frac{d}{dx}[\sin(u(x))] = \cos(u(x)) \cdot u'(x)\text{.} \nonumber \]

Esta regla es análoga a la regla derivada básica que\(\frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)\text{.}\)

Del mismo modo, ya\(\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln(a)\text{,}\) que se sigue por la regla de la cadena que

\[ \frac{d}{dx}[a^{u(x)}] = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)\text{.} \nonumber \]

Esta regla es análoga a la regla derivada básica que\(\frac{d}{dx}[a^{x}] = a^{x} \ln(a)\text{.}\)

2.5.4 Resumen

• Una función compuesta es aquella en la que la variable de entrada\(x\) primero pasa a través de una función, y luego la salida resultante pasa a través de otra. Por ejemplo, la función\(h(x) = 2^{\sin(x)}\) es compuesta ya que\(x \longrightarrow \sin(x) \longrightarrow 2^{\sin(x)}\text{.}\)
• Dada una función compuesta\(C(x) = f(g(x))\) donde\(f\) y\(g\) son funciones diferenciables, la regla de la cadena nos dice que
  \[ C'(x) = f'(g(x)) g'(x)\text{.} \nonumber \]