3.2: Uso de Derivadas para Describir Familias de Funciones

Preguntas Motivadoras

• Dada una familia de funciones que depende de uno o más parámetros, ¿cómo depende la forma de la gráfica de una función típica de la familia del valor de los parámetros?
• ¿Cómo podemos construir primero y segundo gráficos de signos derivados de funciones que dependen de uno o más parámetros al tiempo que permiten que esos parámetros permanezcan constantes arbitrarias?

Los matemáticos suelen estar interesados en hacer observaciones generales, digamos describiendo patrones que se mantienen en un gran número de casos. Piensa en el Teorema de Pitágoras: no nos dice algo sobre un solo triángulo rectángulo, sino más bien un hecho sobre cada triángulo rectángulo. En la siguiente parte de nuestros estudios, utilizamos el cálculo para hacer observaciones generales sobre familias de funciones que dependen de uno o más parámetros. Las personas que utilizan las matemáticas aplicadas, como ingenieros y economistas, suelen encontrarse con los mismos tipos de funciones donde solo ocurren pequeños cambios en ciertas constantes. Estas constantes se llaman parámetros.

Figura 3.2.1. El gráfico de\(f(t) = a \sin(b(t-c)) + d\) basado en parámetros\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\) y\(d\text{.}\)

Ya estás familiarizado con ciertas familias de funciones. Por ejemplo,\(f(t) = a \sin(b(t-c)) + d\) es una versión estirada y desplazada de la función sinusoidal con desplazamiento de\(\frac{2\pi}{b}\text{,}\) fase de\(a\text{,}\) periodo de amplitud\(c\text{,}\) y desplazamiento vertical\(d\text{.}\) Sabemos que\(a\) afecta el tamaño de\(b\) la oscilación, la rapidez de la oscilación, y\(c\) donde el la oscilación comienza, como se muestra en la Figura 3.2.1, mientras que\(d\) afecta el posicionamiento vertical de la gráfica.

Como otro ejemplo, cada función de la forma\(y = mx + b\) es una línea con pendiente\(m\) e\(y\) -intercepción\((0,b)\text{.}\) El valor de\(m\) afecta la inclinación de la línea, y el valor de\(b\) sitúa la línea verticalmente en los ejes de coordenadas. Estos dos parámetros describen todas las posibles líneas no verticales.

Para otras familias de funciones menos familiares, podemos usar el cálculo para descubrir dónde ocurre el comportamiento clave: dónde los miembros de la familia están aumentando o disminuyendo, cóncavos hacia arriba o cóncavos hacia abajo, dónde ocurren los extremos relativos, y más, todo en términos de los parámetros involucrados. Para comenzar, revisamos una colección común de funciones para ver cómo el cálculo confirma cosas que ya conocemos.

Vista previa de la actividad 3.2.1

Dejar\(a\text{,}\)\(h\text{,}\) y\(k\) ser arbitrarios números reales con\(a \ne 0\text{,}\) y dejar\(f\) ser la función dada por la regla\(f(x) = a(x-h)^2 + k\text{.}\)

1. ¿Qué tipo familiar de función es ¿\(f\text{?}\)Qué información conoces con\(f\) solo mirar su forma? (Piense en los roles de\(a\text{,}\)\(h\text{,}\) y\(k\text{.}\))
2. A continuación utilizamos algunos cálculos para desarrollar ideas familiares desde una perspectiva diferente. Para iniciar, tratar\(a\text{,}\)\(h\text{,}\) y\(k\) como constantes y calcular\(f'(x)\text{.}\)
3. Encuentra todos los números críticos de\(f\text{.}\) (Estos dependerán de al menos uno de\(a\text{,}\)\(h\text{,}\) y\(k\text{.}\))
4. Supongamos que\(a \lt 0\text{.}\) Construir un primer gráfico de signo derivado para\(f\text{.}\)
5. Con base en la información que has encontrado anteriormente, clasifica los valores críticos de\(f\) como máximos o mínimos.

3.2.1 Describir familias de funciones en términos de parámetros

Nuestro objetivo es describir las características clave del comportamiento general de cada miembro de una familia de funciones en términos de sus parámetros. Al encontrar la primera y segunda derivada y construir gráficos de signos (cada uno de los cuales puede depender de uno o más de los parámetros), a menudo podemos sacar conclusiones amplias sobre cómo aparecerá cada miembro de la familia.

Ejemplo 3.2.2

Considere la familia de funciones de dos parámetros dada por\(g(x) = axe^{-bx}\text{,}\) where\(a\) y\(b\) son números reales positivos. Describir completamente el comportamiento de un miembro típico de la familia en términos\(a\) e\(b\text{,}\) incluyendo la ubicación de todos los números críticos, donde\(g\) está aumentando, disminuyendo, cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, y el comportamiento a largo plazo de\(g\text{.}\)

Responder

Comenzamos por la computación\(g'(x)\text{.}\) Por la regla del producto,

\[ g'(x) = ax \frac{d}{dx}\left[e^{-bx}\right] + e^{-bx} \frac{d}{dx}[ax]\text{.} \nonumber \]

Al aplicar la regla de la cadena y la regla múltiple constante, encontramos que

\[ g'(x) = axe^{-bx}(-b) + e^{-bx}(a)\text{.} \nonumber \]

Para encontrar los números críticos de\(g\text{,}\) resolvemos la ecuación\(g'(x) = 0\text{.}\) Al factorizar\(g'(x)\text{,}\) encontramos

\[ 0 = ae^{-bx}(-bx + 1)\text{.} \nonumber \]

Ya que se nos da eso\(a \ne 0\) y sabemos que\(e^{-bx} \ne 0\) para todos los valores de\(x\text{,}\) la única manera esta ecuación puede sostenerse es cuando\(-bx + 1 = 0\text{.}\) Resolver para\(x\text{,}\) encontramos\(x = \frac{1}{b}\text{,}\) y este es por lo tanto el único número crítico de\(g\text{.}\)

Construimos el primer gráfico de signos derivados para\(g\) eso se muestra en la Figura 3.2.3.

Figura 3.2.3. El primer gráfico de signos derivados para\(g(x) = axe^{-bx}\text{.}\)

Debido a que el factor\(ae^{-bx}\) es siempre positivo, el signo de\(g'\) depende del factor lineal\((1-bx)\text{,}\) que es positivo para\(x \lt \frac{1}{b}\) y negativo para\(x \gt \frac{1}{b}\text{.}\) De ahí que no solo podamos concluir que siempre\(g\) está aumentando para\(x \lt \frac{1}{b}\) y disminuyendo para\(x \gt \frac{1}{b}\text{,}\) sino también que \(g\)tiene un máximo global en\((\frac{1}{b}, g(\frac{1}{b}))\) y ningún mínimo local.

Pasamos a continuación a analizar la concavidad de\(g\text{.}\) Con\(g'(x) = -abxe^{-bx} + ae^{-bx}\text{,}\) nos diferenciamos para encontrar que

\[ g''(x) = -abxe^{-bx}(-b) + e^{-bx}(-ab) + ae^{-bx}(-b)\text{.} \nonumber \]

Combinando términos similares y factoring, ahora tenemos

\[ g''(x) = ab^2xe^{-bx} - 2abe^{-bx} = abe^{-bx}(bx - 2)\text{.} \nonumber \]

Figura 3.2.4. El gráfico de la segunda señal derivada para\(g(x) = axe^{-bx}\text{.}\)

Observamos que siempre\(abe^{-bx}\) es positivo, y así el signo de\(g''\) depende de\((bx-2)\text{,}\) cuyo signo sea cero cuando\(x = \frac{2}{b}\text{.}\) Since\(b\) es positivo, el valor de\((bx-2)\) es negativo para\(x \lt \frac{2}{b}\) y positivo para\(x \gt \frac{2}{b}\text{.}\) El gráfico de signos para\(g''\) se muestra en la Figura 3.2. 4. Por lo tanto,\(g\) es cóncava hacia abajo para todos\(x \lt \frac{2}{b}\) y cóncava hacia arriba para todos\(x \gt \frac{2}{b}\text{.}\)

Finalmente, analizamos el comportamiento a largo plazo\(g\) de considerando dos límites. Primero, observamos que

\[ \lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} axe^{-bx} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax}{e^{bx}}\text{.} \nonumber \]

Este límite tiene forma indeterminada\(\frac{\infty}{\infty}\text{,}\) por lo que aplicamos la Regla de L'Hôpital y encontramos que\(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0\text{.}\) En la otra dirección,

\[ \lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} axe^{-bx} = -\infty\text{,} \nonumber \]

porque\(ax \to -\infty\) y\(e^{-bx} \to \infty\) como\(x \to -\infty\text{.}\) De ahí, a medida que nos movemos a la izquierda en su gráfica,\(g\) disminuye sin ataduras, mientras que a medida que nos movemos hacia la derecha\(g(x) \to 0\text{.}\)

Toda esta información nos ayuda ahora a producir la gráfica de un miembro típico de esta familia de funciones sin utilizar una utilidad gráfica (y sin elegir valores particulares para\(a\) y\(b\)), como se muestra en la Figura 3.2.5.

Figura 3.2.5. La gráfica de\(g(x) = axe^{-bx}\text{.}\)

Tenga en cuenta que el valor de\(b\) controla la ubicación horizontal del máximo global y el punto de inflexión, ya que ninguno depende de\(a\text{.}\) El valor de\(a\) afecta el estiramiento vertical de la gráfica. Por ejemplo, el máximo global ocurre en el punto\((\frac{1}{b}, g(\frac{1}{b})) = (\frac{1}{b}, \frac{a}{b}e^{-1})\text{,}\) por lo que cuanto mayor sea\(a\text{,}\) el valor, mayor será el valor del máximo global.

El trabajo que hemos completado en el Ejemplo 3.2.2 a menudo se puede replicar para otras familias de funciones que dependen de parámetros. Normalmente estamos más interesados en determinar todos los números críticos, un gráfico de primer signo derivado, un gráfico de segundo signo derivado, y el límite de la función como\(x \to \infty\text{.}\) A lo largo, preferimos trabajar con los parámetros como constantes arbitrarias. Además, podemos experimentar con algunos valores particulares de los parámetros presentes para reducir la complejidad algebraica de nuestro trabajo. Las siguientes actividades ofrecen varios ejemplos clave donde vemos que los valores de los parámetros afectan sustancialmente el comportamiento de las funciones individuales dentro de una familia dada.

Actividad 3.2.2

Considerar la familia de funciones definida por\(p(x) = x^3 - ax\text{,}\) donde\(a \ne 0\) es una constante arbitraria.

1. Encuentra\(p'(x)\) y determina los números críticos de\(p\text{.}\) ¿Cuántos números críticos\(p\) tiene?
2. Construye un primer gráfico de signos derivados para\(p\text{.}\) ¿Qué puedes decir sobre el comportamiento general de\(p\) si la constante\(a\) es positiva? ¿Por qué? ¿Y si la constante\(a\) es negativa? En cada caso, describa los extremos relativos de\(p\text{.}\)
3. Buscar\(p''(x)\) y construir una segunda tabla de signos derivados para\(p\text{.}\) ¿Qué le dice esto sobre la concavidad de\(p\text{?}\) Qué papel\(a\) juega en la determinación de la concavidad de\(p\text{?}\)
4. Sin utilizar una utilidad gráfica, bosquejar y etiquetar gráficas típicas de\(p(x)\) para los casos donde\(a\gt 0\) y\(a \lt 0\text{.}\) Etiquetar todos los puntos de inflexión y extremos locales.
5. Finalmente, use una utilidad gráfica para probar sus observaciones anteriores ingresando y trazando la función\(p(x) = x^3 - ax\) para al menos cuatro valores diferentes de\(a\text{.}\) Escribe varias oraciones para describir tus conclusiones generales sobre cómo el comportamiento de\(p\) depende de\(a\text{.}\)

Actividad 3.2.3

Considere la familia de funciones de dos parámetros de la forma\(h(x) = a(1-e^{-bx})\text{,}\) donde\(a\) y\(b\) son números reales positivos.

1. Encuentra la primera derivada y los números críticos de\(h\text{.}\) Úsalos para construir un gráfico de signos de primera derivada y determinar para qué valores de\(x\) la función\(h\) está aumentando y disminuyendo.
2. Encuentra la segunda derivada y construye un gráfico de signos de segunda derivada. ¿Para qué valores de\(x\) es una función en esta familia cóncava hacia arriba? cóncavo hacia abajo?
3. Cuál es el valor de\(\lim_{x \to \infty} a(1-e^{-bx})\text{?}\)\(\lim_{x \to -\infty} a(1-e^{-bx})\text{?}\)
4. ¿Cómo\(b\) afecta cambiar el valor de la forma de la curva?
5. Sin utilizar una utilidad gráfica, dibuja la gráfica de un miembro típico de esta familia. Escribe varias oraciones para describir el comportamiento general de una función típica\(h\) y cómo este comportamiento depende de\(a\) y\(b\text{.}\)

Actividad 3.2.4

Dejemos\(L(t) = \frac{A}{1+ce^{-kt}}\text{,}\) dónde\(A\text{,}\)\(c\text{,}\) y\(k\) son todos los números reales positivos.

1. Observe que podemos escribir equivalentemente\(L(t) = A(1+ce^{-kt})^{-1}\text{.}\) Find\(L'(t)\) y explicar por qué no\(L\) tiene números críticos. ¿\(L\)Siempre está aumentando o siempre decreciendo? ¿Por qué?
2. Dado el hecho de que
   \[ L''(t) = Ack^2e^{-kt} \frac{ce^{-kt}-1}{(1+ce^{-kt})^3}\text{,} \nonumber \]

   encontrar todos los valores de\(t\) tal que\(L''(t) = 0\) y por lo tanto construir un segundo gráfico de signo derivado. ¿Para qué valores de\(t\) es una función en esta familia cóncava hacia arriba? cóncavo hacia abajo?

3. Cuál es el valor de\(\lim_{t \to \infty} \frac{A}{1+ce^{-kt}}\text{?}\)\(\lim_{t \to -\infty} \frac{A}{1+ce^{-kt}}\text{?}\)
4. Encuentra el valor de\(L(x)\) en el punto de inflexión que se encuentra en (b).
5. Sin utilizar una utilidad gráfica, dibuja la gráfica de un miembro típico de esta familia. Escribe varias oraciones para describir el comportamiento general de una función típica\(L\) y cómo este comportamiento depende\(A\text{,}\)\(c\text{,}\) y\(k\) número.
6. Explicar por qué es razonable pensar que la función\(L(t)\) modela el crecimiento de una población a lo largo del tiempo en un entorno donde la mayor población posible que el entorno circundante puede soportar es\(A\text{.}\)

3.2.2 Resumen

• Dada una familia de funciones que depende de uno o más parámetros, al investigar cómo los números críticos y las ubicaciones donde la segunda derivada es cero dependen de los valores de estos parámetros, a menudo podemos describir con precisión la forma de la función en términos de los parámetros.
• En particular, así como podemos crear primero y segundo gráficos de signos derivados para una sola función, a menudo podemos hacerlo para familias enteras de funciones donde los números críticos y los posibles puntos de inflexión dependen de constantes arbitrarias. Estas tablas de signos revelan entonces dónde los miembros de la familia están aumentando o disminuyendo, cóncavos hacia arriba o cóncavos hacia abajo, y nos ayudan a identificar extremos relativos y puntos de inflexión.