3.3: Optimización global

Preguntas Motivadoras

• ¿Cuáles son las diferencias entre encontrar valores extremos relativos y valores extremos globales de una función?
• ¿En qué se diferencia el proceso de encontrar el máximo o mínimo global de una función en todo el dominio de la función de determinar el máximo o mínimo global en un dominio restringido?
• Para una función que se garantiza que tenga tanto un máximo global como un mínimo global en un intervalo cerrado y delimitado, ¿cuáles son los posibles puntos en los que ocurren estos valores extremos?

Hemos visto que podemos usar la primera derivada de una función para determinar dónde está aumentando o disminuyendo la función, y la segunda derivada para saber dónde la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Esta información nos ayuda a determinar la forma general y el comportamiento de la gráfica, así como si la función tiene extremos relativos.

Recuerde la diferencia entre un máximo relativo y un máximo global: hay un máximo relativo de\(f\) at\(x = p\) if\(f(p) \ge f(x)\) for all\(x\) near\(p\text{,}\) while hay un máximo global at\(p\) if\(f(p) \ge f(x)\) for all \(x\)en el dominio de\(f\text{.}\)

Por ejemplo, en la Figura 3.3.1, vemos una función\(f\) que tiene un máximo global at\(x = c\) y un máximo relativo en\(x = a\text{,}\) ya que\(f(c)\) es mayor que\(f(x)\) para cada valor de\(x\text{,}\) while\(f(a)\) es solo mayor que el valor de\(f(x)\) for\(x\) near\(a\text{.}\) Dado que la función parece disminuir sin límite, no\(f\) tiene mínimo global, aunque claramente\(f\) tiene un mínimo relativo en\(x = b\text{.}\)

Figura 3.3.1. Una función\(f\) con un máximo global, pero sin mínimo global.

Nuestro énfasis en esta sección está en encontrar los valores extremos globales de una función (si existen), ya sea en todo su dominio o en alguna porción restringida.

Vista previa de la actividad 3.3.1

Let\(f(x) = 2 + \frac{3}{1+(x+1)^2}\text{.}\)

1. Determinar todos los números críticos de\(f\text{.}\)
2. Construya una primera gráfica de signos derivada para\(f\) y así determinar todos los intervalos en los que\(f\) está aumentando o disminuyendo.
3. ¿\(f\)Tiene un máximo global? Si es así, ¿por qué, y cuál es su valor y dónde se alcanza el máximo? Si no, explica por qué.
4. Determinar\(\lim_{x \to \infty} f(x)\) y\(\lim_{x \to -\infty} f(x)\text{.}\)
5. Explicar por qué\(f(x) \gt 2\) para cada valor de\(x\text{.}\)
6. ¿\(f\)Tiene un mínimo global? Si es así, ¿por qué, y cuál es su valor y dónde se alcanza el mínimo? Si no, explica por qué.

3.3.1 Optimización Global

En la Figura 3.3.1 y Vista previa de la Actividad 3.3.1, nos interesó encontrar el mínimo global y el máximo global para\(f\) en todo su dominio. En otras ocasiones, podríamos enfocarnos en alguna restricción del dominio.

Por ejemplo, en lugar de considerar\(f(x) = 2 + \frac{3}{1+(x+1)^2}\) por cada valor de\(x\text{,}\) quizás en cambio solo nos interesan aquellos\(x\) para los cuales\(0 \le x \le 4\text{,}\) y nos gustaría saber qué valores de\(x\) en el intervalo\([0,4]\) producen los valores más grandes posibles y los más pequeños posibles de \(f\text{.}\)Estamos acostumbrados a que los números críticos jueguen un papel clave en la determinación de la ubicación de valores extremos de una función; ahora, al restringir el dominio a un intervalo, tiene sentido que los puntos finales del intervalo también sean importantes a considerar, como vemos en la siguiente actividad. Al limitarnos a un intervalo particular, a menudo nos referiremos al valor máximo o mínimo absoluto, en lugar del máximo o mínimo global.

Actividad 3.3.2

Let\(g(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x + 2\text{.}\)

1. Encuentra todos los números críticos de\(g\) esa mentira en el intervalo\(-2 \le x \le 3\text{.}\)
2. Utilice una utilidad gráfica para construir la gráfica de\(g\) en el intervalo\(-2 \le x \le 3\text{.}\)
3. A partir de la gráfica, determine los\(x\) -valores en los que\(g\) ocurren el mínimo absoluto y el máximo absoluto en el intervalo\([-2,3]\text{.}\)
4. ¿Cómo cambian sus respuestas si consideramos el intervalo?\(-2 \le x \le 2\text{?}\)
5. ¿Qué pasa si en cambio consideramos el intervalo\(-2 \le x \le 1\text{?}\)

En la Actividad 3.3.2, vimos cómo el máximo absoluto y el mínimo absoluto de una función en un intervalo cerrado y delimitado\([a,b]\text{,}\) dependen no solo de los números críticos de la función, sino también de los valores de\(a\) y\(b\text{.}\) Estas observaciones demuestran varios hechos importantes que sostienen más en general. Primero, declaramos un resultado importante llamado Teorema del Valor Extremo.

El Teorema del Valor Extremo

Si\(f\) es una función continua en un intervalo cerrado\([a,b]\text{,}\) entonces\(f\) alcanza tanto un mínimo absoluto como un máximo absoluto en Es\([a,b]\text{.}\) decir, para algún valor\(x_m\) tal que\(a \le x_m \le b\text{,}\) se deduce que\(f(x_m) \le f(x)\) para todos\(x\) en\([a,b]\text{.}\) Similarmente, hay un valor \(x_M\)en\([a,b]\) tal que\(f(x_M) \ge f(x)\) para todos\(x\) en\([a,b]\text{.}\) Dejar\(m = f(x_m)\) y\(M = f(x_M)\text{,}\) se deduce que\(m \le f(x) \le M\) para todos\(x\) en\([a,b]\text{.}\)

El Teorema del Valor Extremo nos dice que en cualquier intervalo cerrado\([a,b]\text{,}\) una función continua tiene que lograr tanto un mínimo absoluto como un máximo absoluto. El teorema no nos dice dónde ocurren estos valores extremos, sino más bien que deben existir. Como vimos en la Actividad 3.3.2, las únicas ubicaciones posibles para los extremos relativos están en los puntos finales del intervalo o en un número crítico.

Nota 3.3.2

Así, tenemos el siguiente enfoque para encontrar el máximo y mínimo absoluto de una función continua\(f\) en el intervalo\([a,b]\text{:}\)

• encontrar todos los números críticos de\(f\) que se encuentran en el intervalo;
• evaluar la función\(f\) en cada número crítico en el intervalo y en cada punto final del intervalo;
• de entre esos valores de función, el más pequeño es el mínimo absoluto de\(f\) en el intervalo, mientras que el mayor es el máximo absoluto.

Actividad 3.3.3

Encuentra el máximo y mínimo absoluto exacto de cada función en el intervalo indicado.

1. \(h(x) = xe^{-x}\text{,}\)\([0,3]\)
2. \(p(t) = \sin(t) + \cos(t)\text{,}\)\([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)
3. \(q(x) = \frac{x^2}{x-2}\text{,}\)\([3,7]\)
4. \(f(x) = 4 - e^{-(x-2)^2}\text{,}\)\((-\infty, \infty)\)
5. \(h(x) = xe^{-ax}\text{,}\)\([0, \frac{2}{a}]\)(\(a \gt 0\))
6. \(f(x) = b - e^{-(x-a)^2}\text{,}\)\((-\infty, \infty)\text{,}\)\(a, b \gt 0\)

El intervalo que elegimos tiene casi la misma influencia en valores extremos que la función bajo consideración. Consideremos, por ejemplo, la función que se muestra en la Figura 3.3.3.

Figura 3.3.3. Una función\(g\) considerada en tres intervalos diferentes.

En secuencia, de izquierda a derecha, el intervalo considerado se cambia de\([-2,3]\)\([-2,2]\) a\([-2,1]\text{.}\)

• En el intervalo\([-2,3]\text{,}\) hay dos números críticos, con el mínimo absoluto en un número crítico y el máximo absoluto en el punto final correcto.
• En el intervalo\([-2,2]\text{,}\) ambos números críticos están en el intervalo, con el mínimo absoluto y el máximo en los dos números críticos.
• En el intervalo\([-2,1]\text{,}\) solo se encuentra un número crítico en el intervalo, con el máximo absoluto en un número crítico y el mínimo absoluto en un punto final.

Recuerde considerar solo los números críticos que se encuentran dentro del intervalo.

3.3.2 Avanzar hacia las aplicaciones

Concluimos esta sección con un ejemplo de un problema de optimización aplicada. Destaca el papel que un dominio cerrado y acotado puede desempeñar en la búsqueda de extremos absolutos.

Ejemplo 3.3.4

Un trozo de alambre de 20 cm se corta en dos trozos. Una pieza se utiliza para formar un cuadrado y la otra para formar un triángulo equilátero. ¿Cómo se debe cortar el alambre para maximizar el área total encerrada por el cuadrado y el triángulo? para minimizar el área?

Contestar

Comenzamos dibujando un cuadro que ilustre la situación. La variable en el problema es donde decidimos cortar el alambre. Por lo tanto, etiquetamos el punto de corte a una\(x\) distancia de un extremo del cable, y notamos que la porción restante del cable entonces tiene longitud\(20-x\)

Como se muestra en la Figura 3.3.5, vemos que el\(x\) cm de alambre que se utiliza para formar el triángulo equilátero con tres lados de longitud\(\frac{x}{3}\text{.}\) Para los\(20-x\) cm restantes de alambre, el cuadrado que resulte tendrá cada lado de longitud\(\frac{20-x}{4}\text{.}\)

Figura 3.3.5. Un trozo de alambre de 20 cm cortado en dos trozos, uno de los cuales forma un triángulo equilátero, el otro que produce un cuadrado.

En este punto, observamos que existen restricciones obvias sobre\(x\text{:}\) lo particular,\(0 \le x \le 20\text{.}\) En los casos extremos, todo el alambre se está utilizando para hacer una sola figura. Por ejemplo, si\(x = 0\text{,}\) entonces todos los 20 cm de alambre se utilizan para hacer un cuadrado que es\(5 \times 5\text{.}\)

Ahora, nuestro objetivo general es encontrar las áreas mínimas y máximas que se puedan encerrar. Debido a que la altura de un triángulo equilátero\(\sqrt{3}\) es por la mitad de la longitud de la base, el área del triángulo es

\[ A_{\Delta} = \frac{1}{2} bh = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{x\sqrt{3}}{6}\text{.} \nonumber \]

El área del cuadrado es\(A_{\Box} = s^2 = \left( \frac{20-x}{4} \right)^2\text{.}\) Por lo tanto, la función de área total es

\[ A(x) = \frac{\sqrt{3}x^2}{36} + \left( \frac{20-x}{4} \right)^2\text{.} \nonumber \]

Recuerda que estamos considerando esta función solo en el dominio restringido\([0,20]\text{.}\)

Diferenciando\(A(x)\text{,}\) tenemos

\[ A'(x) = \frac{\sqrt{3}x}{18} + 2\left( \frac{20-x}{4} \right)\left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{18} x + \frac{1}{8}x - \frac{5}{2}\text{.} \nonumber \]

Cuando\(A'(x) = 0\text{,}\) establecemos encontramos que\(x = \frac{180}{4\sqrt{3}+9} \approx 11.3007\) es el único número crítico de\(A\) en el intervalo\([0,20]\text{.}\)

Evaluando\(A\) en el número crítico y los puntos finales, vemos que

\(\displaystyle A\left(\frac{180}{4\sqrt{3}+9}\right) = \frac{\sqrt{3}(\frac{180}{4\sqrt{3}+9})^2}{4} + \left( \frac{20-\frac{180}{4\sqrt{3}+9}}{4} \right)^2 \approx 10.8741\)\(\displaystyle A(0) = 25\)\(\displaystyle A(20) = \frac{\sqrt{3}}{36}(400) = \frac{100}{9} \sqrt{3} \approx 19.2450\)

Así, el mínimo absoluto ocurre cuando\(x \approx 11.3007\) y resulta en el área mínima de aproximadamente centímetros\(10.8741\) cuadrados. El máximo absoluto ocurre cuando invertimos todo el alambre en el cuadrado (y ninguno en el triángulo), resultando en 25 centímetros cuadrados de área. Estos resultados son confirmados por una gráfica de\(y = A(x)\) en el intervalo\([0,20]\text{,}\) como se muestra en la Figura 3.3.6.

Figura 3.3.6. Una gráfica de la función de área del Ejemplo 3.3.4.

Actividad 3.3.4

Un trozo de cartón que es\(10 \times 15\) (cada uno medido en pulgadas) se está convirtiendo en una caja sin tapa. Para ello, se cortan cuadrados de cada esquina de la caja y los lados restantes se pliegan hacia arriba. Si la caja necesita tener al menos 1 pulgada de profundidad y no más de 3 pulgadas de profundidad, ¿cuál es el volumen máximo posible de la caja? ¿Cuál es el volumen mínimo? Justifica tus respuestas usando cálculo.

1. Dibuja un diagrama etiquetado que muestre la información dada. ¿Qué variable debemos introducir para representar la elección que hacemos al crear la caja? Etiquete el diagrama apropiadamente con la variable y escriba una oración para indicar lo que representa la variable.
2. Determinar una fórmula para la función\(V\) (que depende de la variable en (a)) que nos dice el volumen de la caja.
3. Cuál es el dominio de la función Es\(V\text{?}\) decir, ¿qué valores tienen\(x\) sentido para la entrada? ¿Se proporcionan restricciones adicionales en el problema?
4. Determinar todos los números críticos de la función\(V\text{.}\)
5. Evaluar\(V\) en cada uno de los puntos finales del dominio y en cualquier número crítico que se encuentre en el dominio.
6. ¿Cuál es el volumen máximo posible de la caja? el mínimo?

Ejemplo 3.3.4 y Actividad 3.3.4 ilustran los pasos estándar que emprendemos en casi todos los problemas de optimización aplicada: dibujamos una imagen para demostrar la situación, introducimos una o más variables para representar cantidades que están cambiando, encontramos una función que modele la cantidad a optimizar, y luego decidir sobre un dominio apropiado para esa función. Una vez hecho esto, nos encontramos en la situación familiar de encontrar el mínimo y máximo absoluto de una función sobre un dominio particular, por lo que aplicamos las ideas de cálculo que hemos estado estudiando hasta este punto en el Capítulo 3.

3.3.3 Resumen

• Para encontrar valores extremos relativos de una función, utilizamos un primer gráfico de signo derivado y clasificamos todos los números críticos de la función. Si en cambio nos interesan los valores extremos absolutos, primero decidimos si estamos considerando todo el dominio de la función o un intervalo particular.
• En el caso de encontrar extremos globales sobre todo el dominio de la función, nuevamente usamos un primer o segundo gráfico de signos derivados. Si estamos trabajando para encontrar extremos absolutos en un intervalo restringido, entonces primero identificamos todos los números críticos de la función que se encuentran en el intervalo.
• Para una función continua en un intervalo cerrado y delimitado, los únicos puntos posibles en los que ocurren valores extremos absolutos son los números críticos y los puntos finales. Así, simplemente evaluamos la función en cada punto final y cada número crítico en el intervalo, y comparamos los resultados para decidir cuál es el mayor (el máximo absoluto) y cuál es el más pequeño (el mínimo absoluto).