3.1: Uso de Derivados para Identificar Valores Extremos

Preguntas Motivadoras

• ¿Cuáles son los números críticos de una función\(f\) y cómo están conectados con la identificación de los valores más extremos que logra la función?
• ¿Cómo revela la primera derivada de una función información importante sobre el comportamiento de la función, incluidos los valores extremos de la función?
• ¿Cómo se puede utilizar la segunda derivada de una función para ayudar a identificar valores extremos de la función?

En muchos escenarios diferentes, nos interesa saber dónde una función logra sus menores y mayores valores. Estos pueden ser importantes en aplicaciones —digamos para identificar un punto en el que se produce el máximo beneficio o costo mínimo— o en teoría para caracterizar el comportamiento de una función o una familia de funciones relacionadas.

Consideremos el ejemplo sencillo y familiar de una función parabólica como\(s(t) = -16t^2 + 32t + 48\) (mostrada a la izquierda en la Figura 3.1.2) que representa la altura de un objeto lanzado verticalmente: su valor máximo se produce en el vértice de la parábola y representa la mayor altura que alcanza el objeto. Este valor máximo es un punto especialmente importante en la gráfica, el punto en el que la curva cambia de aumentar a disminuir.

Definición 3.1.1

Dada una función\(f\text{,}\) decimos que\(f(c)\) es un máximo global o absoluto de\(f\) siempre que\(f(c) \ge f(x)\) para todos\(x\) en el dominio de\(f\text{,}\) y de manera similar llamamos\(f(c)\) un global o mínimo absoluto de\(f\) siempre\(f(c) \le f(x)\) para todos\(x\) en el dominio de\(f\text{.}\)

Por ejemplo, en la Figura 3.1.2,\(g\) tiene un máximo global de\(g(c)\text{,}\) pero\(g\) no parece tener un mínimo global, ya que la gráfica de\(g\) parece disminuir sin encuadernación. Obsérvese que el punto\((c,g(c))\) marca un cambio fundamental en el comportamiento de\(g\text{,}\) donde\(g\) cambia de aumentar a disminuir; cosas similares suceden en ambos\((a,g(a))\) y\((b,g(b))\text{,}\) aunque estos puntos no son mínimos o máximos globales.

Figura 3.1.2. A la izquierda,\(s(t) = -16t^2 + 24t + 32\) cuyo vértice está\((\frac{3}{4}, 41)\text{;}\) a la derecha, función\(g\) que demuestra varios puntos altos y bajos.

Definición 3.1.3

Decimos que\(f(c)\) es un máximo l ocal o máximo relativo de\(f\) siempre que\(f(c) \ge f(x)\) para todos\(x\) cerca\(c\text{,}\) y\(f(c)\) se llame un mínimo local o relativo de \(f\)siempre que\(f(c) \le f(x)\) para todos\(x\) cerca\(c\text{.}\)

Por ejemplo, en la Figura 3.1.2,\(g\) tiene un mínimo relativo de\(g(b)\) en el punto\((b,g(b))\) y un máximo relativo de\(g(a)\) a Ya\((a,g(a))\text{.}\) hemos identificado el máximo global de\(g\)\(g(c)\text{;}\) ya que también puede considerarse un máximo relativo. Cualquier máximo o mínimo también se puede llamar un valor extremo de\(f\text{.}\)

Nos gustaría usar ideas de cálculo para identificar y clasificar el comportamiento de las funciones clave, incluida la ubicación de los extremos relativos. Por supuesto, si se nos da una gráfica de una función, a menudo es sencillo localizar visualmente estos comportamientos importantes.

Vista previa de la actividad 3.1.1

Considere la función\(h\) dada por la gráfica en la Figura 3.1.4. Utilice la gráfica para responder a cada una de las siguientes preguntas.

Figura 3.1.4. La gráfica de una función\(h\) en el intervalo\([-3,3]\text{.}\)

1. Identificar todos los valores de\(c\) tal aquello\(-3 \lt c \lt 3\) para el cual\(h(c)\) es un máximo local de\(h\text{.}\)
2. Identificar todos los valores de\(c\) tal aquello\(-3 \lt c \lt 3\) para el cual\(h(c)\) es un mínimo local de\(h\text{.}\)
3. \(h\)Tiene un máximo global en el intervalo\([-3,3]\text{?}\) Si es así, ¿cuál es el valor de este máximo global?
4. \(h\)Tiene un mínimo global en el intervalo\([-3,3]\text{?}\) Si es así, ¿cuál es su valor?
5. Identificar todos los valores\(c\) para los cuales\(h'(c) = 0\text{.}\)
6. Identificar todos los valores de\(c\) para los cuales\(h'(c)\) no existe.
7. Verdadero o falso: cada máximo y mínimo relativo de\(h\) ocurre en un punto donde\(h'(c)\) es cero o no existe.
8. Verdadero o falso: en cada punto donde\(h'(c)\) es cero o no existe,\(h\) tiene un máximo o mínimo relativo.

3.1.1 Números críticos y prueba de la primera derivada

Figura 3.1.5. De izquierda a derecha, una función con un máximo relativo donde su derivada es cero; una función con un máximo relativo donde su derivada no está definida; una función sin un máximo ni un mínimo en un punto donde su derivada es cero; una función con un mínimo relativo donde su derivada es cero; y a con un mínimo relativo donde su derivada es indefinida.

Si una función continua tiene un máximo relativo en\(c\text{,}\) entonces es necesario y suficiente que la función cambie de estar aumentando justo antes\(c\) a disminuir justo después\(c\text{.}\) Una función continua tiene un mínimo relativo en\(c\) si y solo si la función cambia de disminuyendo a aumentar en\(c\text{.}\) (Ver Figura 3.1.5.) Solo hay dos formas posibles para que ocurran estos cambios en el comportamiento: cualquiera\(f'(c) = 0\) o\(f'(c)\) es indefinido. Debido a que estos valores de\(c\) son tan importantes, los llamamos números críticos.

Definición 3.1.6

Decimos que una función\(f\) tiene un número crítico en\(x = c\) siempre que\(c\) esté en el dominio de\(f\text{,}\) y\(f'(c) = 0\) o\(f'(c)\) sea indefinido.

Los números críticos son las únicas ubicaciones posibles donde la función\(f\) puede tener extremos relativos. Tenga en cuenta que no todos los números críticos producen un máximo o mínimo; en la gráfica media de la Figura 3.1.5, la función que se representa tiene una línea tangente horizontal en el punto señalado, pero la función está aumentando antes y aumentando después, por lo que el número crítico no arroja un máximo o mínimo.

Cuando\(c\) es un número crítico, decimos que\((c,f(c))\) es un punto crítico de la función, o que\(f(c)\) es un valor crítico. La prueba de la primera derivada resume cómo los cambios de signo en la primera derivada (que solo pueden ocurrir en números críticos) indican la presencia de un máximo o mínimo local para una función dada.

Prueba de Primera Derivada

Si\(p\) es un número crítico de una función continua\(f\) que es diferenciable cerca\(p\) (excepto posiblemente en\(x = p\)), entonces\(f\) tiene un máximo relativo en\(p\) si y solo ¹ si\(f'\) cambia signo de positivo a negativo en\(p\text{,}\) y \(f\)tiene un mínimo relativo en\(p\) si y solo si\(f'\) cambia signo de negativo a positivo en\(p\text{.}\)

Técnicamente, también tenemos que asumir que no\(f\) es constante por partes en ningún intervalo. Esto se debe a que cada punto de una línea horizontal es un máximo relativo (y un mínimo relativo) a pesar de que la derivada no cambia de signo en ningún punto a lo largo de la línea horizontal.

Ejemplo 3.1.7

Dejar\(f\) ser una función cuya derivada viene dada por la fórmula\(f'(x) = e^{-2x}(3-x)(x+1)^2\text{.}\) Determinar todos los números críticos de\(f\) y decidir si un máximo relativo, mínimo relativo, o ninguno ocurre en cada uno.

Responder

Como ya hemos\(f'(x)\) escrito en forma factorizada, es sencillo encontrar los números críticos de\(f\text{.}\) Porque\(f'(x)\) se define para todos los valores de solo\(x\text{,}\) necesitamos determinar dónde\(f'(x) = 0\text{.}\) De la ecuación

\[ e^{-2x}(3-x)(x+1)^2 = 0 \nonumber \]

y la propiedad cero del producto, se deduce que\(x = 3\) y\(x = -1\) son números críticos de\(f\text{.}\) (No hay valor de\(x\) que hace\(e^{-2x} = 0\text{.}\))

A continuación, para aplicar la primera prueba derivada, nos gustaría saber el signo de\(f'(x)\) at entradas cercanas a los números críticos. Debido a que los números críticos son las únicas ubicaciones en las que\(f'\) puede cambiar signo, se deduce que el signo de la derivada es el mismo en cada uno de los intervalos creados por los números críticos: por ejemplo, el signo de\(f'\) debe ser el mismo para cada\(x \lt -1\text{.}\) Creamos un primer signo derivado para resumir el signo de\(f'\) en los intervalos relevantes, junto con el comportamiento correspondiente de\(f\text{.}\)

Figura 3.1.8. El primer gráfico de signo derivado para una función\(f\) cuya derivada viene dada por la fórmula\(f'(x) = e^{-2x}(3-x)(x+1)^2\text{.}\)

Para producir el primer gráfico de signos derivados en la Figura 3.1.8 identificamos el signo de cada factor de\(f'(x)\) en un punto seleccionado en cada intervalo. Por ejemplo, pues\(x \lt -1\text{,}\) podríamos determinar el signo de\(e^{-2x}\text{,}\)\((3-x)\text{,}\) y\((x+1)^2\) al valor\(x = -2\text{.}\) Observamos que ambos\(e^{-2x}\) y\((x+1)^2\) son positivos independientemente del valor de\(x\text{,}\) while también\((3-x)\) es positivo en\(x = -2\text{.}\) Por lo tanto, cada uno de los tres términos en \(f'\)es positivo, lo que indicamos escribiendo “\(+++\text{.}\)” Tomando el producto de tres términos positivos da como resultado un valor positivo para el\(f'\text{,}\) cual denotamos por el “\(+\)” en el intervalo a la izquierda de\(x = -1\text{.}\) Y, ya que\(f'\) es positivo en ese intervalo, sabemos que \(f\)está aumentando, por lo que escribimos “INC” para representar el comportamiento de\(f\text{.}\) De manera similar, encontramos que\(f'\) es positivo y\(f\) está aumentando\(-1 \lt x \lt 3\text{,}\) y\(f'\) es negativo y\(f\) está disminuyendo para\(x \gt 3\text{.}\)

Ahora buscamos números críticos en los que se firman\(f'\) los cambios. En este ejemplo,\(f'\) los cambios firman solo en\(x = 3\text{,}\) de positivo a negativo, por lo que\(f\) tiene un máximo relativo a\(x = 3\text{.}\) Aunque\(f\) tiene un número crítico en\(x = -1\text{,}\) ya que\(f\) está aumentando tanto antes como después no\(x = -1\text{,}\)\(f\) tiene ni un mínimo ni un máximo en\(x = -1\text{.}\)

Actividad 3.1.2

Supongamos que\(g(x)\) es una función continua por cada valor de\(x \ne 2\) cuya primera derivada es\(g'(x) = \frac{(x+4)(x-1)^2}{x-2}\text{.}\) Además, supongamos que se sabe que\(g\) tiene una asíntota vertical en\(x = 2\text{.}\)

1. Determine todos los números críticos de\(g\text{.}\)
2. Al desarrollar un gráfico de primer signo derivado cuidadosamente etiquetado, decida si\(g\) tiene como máximo local, mínimo local, o ninguno en cada número crítico.
3. ¿\(g\)Tiene un máximo global? mínimo global? Justifica tus reclamos.
4. Cuál es el valor de\(\lim_{x \to \infty} g'(x)\text{?}\) ¿Qué le dice el valor de este límite sobre el comportamiento a largo plazo de\(g\text{?}\)
5. Esbozar una posible gráfica de\(y = g(x)\text{.}\)

3.1.2 La segunda prueba derivada

Recordemos que la segunda derivada de una función nos dice varias cosas importantes sobre el comportamiento de la función misma. Por ejemplo, si\(f''\) es positivo en un intervalo, entonces sabemos que va aumentando en ese\(f'\) intervalo y, en consecuencia, eso\(f\) es cóncavo hacia arriba, así que a lo largo de ese intervalo la línea tangente a\(y = f(x)\) se encuentra por debajo de la curva en cada punto. En un punto donde\(f'(p) = 0\text{,}\) el signo de la segunda derivada determina si\(f\) tiene un mínimo local o un máximo local en el número crítico\(p\text{.}\)

Figura 3.1.9. Cuatro posibles gráficas de una función\(f\) con una línea tangente horizontal en un punto crítico.

En la Figura 3.1.9, vemos las cuatro posibilidades para una función\(f\) que tiene un número crítico\(p\) en el que\(f'(p) = 0\text{,}\) proporcionado no\(f''(p)\) es cero en un intervalo que incluye\(p\) (excepto posiblemente at\(p\)). A ambos lados del número crítico,\(f''\) puede ser positivo o negativo, y por lo tanto\(f\) puede ser cóncavo hacia arriba o cóncavo hacia abajo. En las dos primeras gráficas,\(f\) no cambia la concavidad en\(p\text{,}\) y en esas situaciones,\(f\) tiene ya sea un mínimo local o máximo local. En particular, si\(f'(p) = 0\) y\(f''(p) \lt 0\text{,}\) luego\(f\) es cóncavo hacia abajo en\(p\) con una línea tangente horizontal, entonces\(f\) tiene un máximo local allí. Este hecho, junto con la declaración correspondiente para cuándo\(f''(p)\) es positivo, es la sustancia de la prueba de la segunda derivada.

Segunda Prueba Derivada

Si\(p\) es un número crítico de una función continua\(f\) tal que\(f'(p) = 0\) y\(f''(p) \ne 0\text{,}\) luego\(f\) tiene un máximo relativo en\(p\) si y solo si\(f''(p) \lt 0\text{,}\) y\(f\) tiene un mínimo relativo en\(p\) si y solo si\(f''(p) \gt 0\text{.}\)

En el caso de que\(f''(p) = 0\text{,}\) la prueba de la segunda derivada no sea concluyente. Es decir, la prueba no nos proporciona ninguna información. Esto se debe a que si\(f''(p) = 0\text{,}\) es posible eso\(f\) tiene un mínimo local, máximo local, o ninguno de los dos. ²

Considerar las funciones\(f(x) = x^4\text{,}\)\(g(x) = -x^4\text{,}\) y\(h(x) = x^3\) en el punto crítico\(p = 0\text{.}\)

Así como un primer gráfico de signos derivados revela todo el comportamiento creciente y decreciente de una función, podemos construir un segundo gráfico de signos derivados que demuestre toda la información importante que involucra la concavidad.

Ejemplo 3.1.10

Dejar\(f(x)\) ser una función cuya primera derivada es\(f'(x) = 3x^4 - 9x^2\text{.}\) Construir ambos gráficos de signos derivados primero y segundo para discutir\(f\text{,}\) completamente dónde\(f\) está aumentando y disminuyendo y cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, identificar todos los valores extremos relativos, y bosquejar un posible gráfico de\(f\text{.}\)

Responder

Como sabemos\(f'(x) = 3x^4 - 9x^2\text{,}\) podemos encontrar los números críticos de\(f\) resolviendo\(3x^4 - 9x^2 = 0\text{.}\) Factoring, observamos que

\[ 0 = 3x^2(x^2 - 3) = 3x^2(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\text{,} \nonumber \]

de manera que\(x = 0, \pm\sqrt{3}\) son los tres números críticos de\(f\text{.}\) La primera gráfica de signos derivada para\(f\) se da en la Figura 3.1.11.

Figura 3.1.11. El primer gráfico de signos derivados para\(f\) cuando\(f'(x) = 3x^4 - 9x^2 = 3x^2(x^2-3)\text{.}\)

Vemos que\(f\) está aumentando en los intervalos\((-\infty, -\sqrt{3})\) y\((\sqrt{3}, \infty)\text{,}\) y\(f\) está disminuyendo en\((-\sqrt{3},0)\) y\((0, \sqrt{3})\text{.}\) Por la primera prueba derivada, esta información nos dice que\(f\) tiene un máximo local en\(x = -\sqrt{3}\) y un mínimo local en\(x = \sqrt{3}\text{.}\) Aunque\(f\) también tiene un número crítico en\(x = 0\text{,}\) ni un máximo ni mínimo ocurre allí ya que\(f'\) no cambia signo en\(x = 0\text{.}\)

A continuación, pasamos a investigar la concavidad. Diferenciando\(f'(x) = 3x^4 - 9x^2\text{,}\) vemos que\(f''(x) = 12x^3 - 18x\text{.}\) Dado que nos interesa conocer los intervalos en los que\(f''\) es positivo y negativo, primero encontramos dónde\(f''(x) = 0\text{.}\) Observar que

\[ 0 = 12x^3 - 18x = 12x\left(x^2 - \frac{3}{2}\right) = 12x\left(x+\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\left(x-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\text{.} \nonumber \]

Esta ecuación tiene soluciones\(x = 0, \pm\sqrt{\frac{3}{2}}\text{.}\) Construyendo un gráfico de señales para\(f''\) exactamente de la misma manera que lo hacemos para\(f'\text{,}\) vemos el resultado que se muestra en la Figura 3.1.12.

Figura 3.1.12. El segundo gráfico de signos derivados para\(f\) cuando\(f''(x) = 12x^3-18x = 12x^2\left(x^2-\frac{3}{2} \right)\text{.}\)

Por lo tanto,\(f\) es cóncava hacia abajo en los intervalos\((-\infty, -\sqrt{\frac{3}{2}})\) y\((0, \sqrt{\frac{3}{2}})\text{,}\) y cóncava hacia arriba en\((-\sqrt{\frac{3}{2}},0)\) y\((\sqrt{\frac{3}{2}}, \infty)\text{.}\)

Al juntar toda esta información, ahora vemos una gráfica posible completa y precisa de\(f\) en la Figura 3.1.13.

Figura 3.1.13. Una posible gráfica de la función\(f\) en el Ejemplo 3.1.10.

El punto\(A = (-\sqrt{3}, f(-\sqrt{3}))\) es un máximo local, porque\(f\) está aumentando antes\(A\) y decreciendo después; de igual manera, el punto\(E = (\sqrt{3}, f(\sqrt{3})\) es un mínimo local. Tenga en cuenta, también, que\(f\) es cóncavo hacia abajo\(A\) y cóncavo hacia arriba en\(B\text{,}\) lo que es consistente tanto con nuestro gráfico de signos de segunda derivada como con la segunda prueba derivada. En los puntos\(B\) y cambios de\(D\text{,}\) concavidad, como vimos en los resultados del gráfico de signos de la segunda derivada en la Figura 3.1.12. Finalmente, en el punto\(C\text{,}\)\(f\) tiene un punto crítico con una línea tangente horizontal, pero allí no se produce un máximo ni un mínimo, ya que\(f\) está disminuyendo tanto antes como después\(C\text{.}\) También es el caso de que la concavidad cambia a\(C\text{.}\)

Si bien entendemos completamente dónde\(f\) está aumentando y disminuyendo, dónde\(f\) es cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo, y dónde\(f\) tiene extremos relativos, no conocemos ninguna información específica sobre las\(y\) coordenadas de los puntos en la curva. Por ejemplo, si bien sabemos que\(f\) tiene un máximo local en no\(x = -\sqrt{3}\text{,}\) sabemos el valor de ese máximo porque no sabemos\(f(-\sqrt{3})\text{.}\) Cualquier traducción vertical de nuestro boceto de\(f\) en la Figura 3.1.13 satisfaría los criterios dados para\(f\text{.}\)

Los puntos\(B\text{,}\)\(C\text{,}\) y\(D\) en la Figura 3.1.13 son localizaciones en las que la concavidad de\(f\) los cambios. Damos un nombre especial a cualquier punto de ese tipo.

Definición 3.1.14

Si\(p\) es un valor en el dominio de una función continua\(f\) en la que\(f\) cambia la concavidad, entonces decimos que\((p,f(p))\) es un punto de inflexión (o punto de inflexión) de\(f\text{.}\)

Así como buscamos ubicaciones donde\(f\) cambia de aumentar a disminuir en puntos donde\(f'(p) = 0\) o\(f'(p)\) es indefinido, así también encontramos dónde\(f''(p) = 0\) o\(f''(p)\) es indefinido para ver si hay puntos de inflexión en estas ubicaciones.

En este punto de nuestro estudio, es importante recordarnos el panorama general que los derivados ayudan a pintar: el signo de la primera derivada nos\(f'\) dice si la función\(f\) está aumentando o disminuyendo, mientras que el signo de la segunda derivada nos\(f''\) dice cómo la función\(f\) está aumentando o disminuyendo.

Actividad 3.1.3

Supongamos que\(g\) es una función cuya segunda derivada,\(g''\text{,}\) viene dada por la gráfica de la Figura 3.1.15.

Figura 3.1.15. La gráfica de\(y = g''(x)\text{.}\)

1. Encuentra las\(x\) coordenadas de todos los puntos de inflexión de\(g\text{.}\)
2. Describa completamente la concavidad de\(g\) haciendo un gráfico de signos apropiado.
3. Supongamos que\(g'(-1.67857351) = 0\text{.}\) se le da que ¿Hay un máximo local, un mínimo local, o ninguno (para la función\(g\)) en este número crítico de\(g\text{,}\) o es imposible decirlo? ¿Por qué?
4. Suponiendo que\(g''(x)\) es un polinomio (y que todo el comportamiento importante de\(g''\) se ve en la gráfica anterior), ¿qué grado polinomio crees que\(g(x)\) es? ¿Por qué?

Como veremos con más detalle en la siguiente sección, los derivados también nos ayudan a entender familias de funciones que difieren únicamente al cambiar uno o más parámetros. Por ejemplo, podríamos estar interesados en entender el comportamiento de todas las funciones de la forma\(f(x) = a(x-h)^2 + k\) donde\(a\text{,}\)\(h\text{,}\) y\(k\) son parámetros. Cada parámetro tiene un impacto considerable en la forma en que aparece la gráfica.

Actividad 3.1.4

Considerar la familia de funciones dada por\(h(x) = x^2 + \cos(kx)\text{,}\) donde\(k\) es un número real positivo arbitrario.

a. Utilice una utilidad gráfica para esbozar la gráfica de\(h\) varios\(k\) valores diferentes, incluyendo\(k = 1,3,5,10\text{.}\) Plot\(h(x) = x^2 + \cos(3x)\) en los ejes proporcionados. ¿Cuál es el valor más pequeño de\(k\) al que crees que puedes ver (con solo mirar la gráfica) al menos un punto de inflexión en la gráfica de\(h\text{?}\)

Figura 3.1.16. Ejes para trazar\(y = h(x)\text{.}\)

b. Explique por qué la gráfica de no\(h\) tiene puntos de inflexión si\(k \le \sqrt{2}\text{,}\) pero infinitamente muchos puntos de inflexión si\(k \gt \sqrt{2}\text{.}\)

c. Explique por qué, no importa el valor de solo\(k\text{,}\)\(h\) puede tener finitamente muchos números críticos.

3.1.3 Resumen

• Los números críticos de una función continua\(f\) son los valores\(p\) para los cuales\(f'(p) = 0\) o\(f'(p)\) no existe. Estos valores son importantes porque identifican líneas tangentes horizontales o puntos de esquina en la gráfica, que son las únicas ubicaciones posibles en las que puede ocurrir un máximo local o mínimo local.
• Dada una función diferenciable\(f\text{,}\) siempre que\(f'\) es positiva,\(f\) es creciente; siempre que\(f'\) es negativa,\(f\) es decreciente. La primera prueba derivada nos dice que en cualquier punto donde\(f\) cambie de aumentar a disminuir,\(f\) tiene un máximo local, mientras que a la inversa en cualquier punto donde\(f\) los cambios de disminuir a aumentar\(f\) tiene un mínimo local.
• Dada una función dos veces diferenciable\(f\text{,}\) si tenemos una línea tangente horizontal en\(x = p\) y\(f''(p)\) es distinta de cero, el signo de nos\(f''\) dice la concavidad de\(f\) y por lo tanto si\(f\) tiene un máximo o mínimo\(x = p\text{.}\) en En particular, si\(f'(p) = 0\) y\(f''(p) \lt 0\text{,}\) entonces \(f\)es cóncavo hacia abajo en\(p\) y\(f\) tiene un máximo local ahí, mientras que si\(f'(p) = 0\) y\(f''(p) \gt 0\text{,}\) luego\(f\) tiene un mínimo local en\(p\text{.}\) Si\(f'(p) = 0\) y\(f''(p) = 0\text{,}\) luego la segunda derivada no nos dice si\(f\) tiene un extremo local en \(p\)o no.