5.3: Integración por Sustitución

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo podemos comenzar a encontrar fórmulas algebraicas para antiderivados de funciones algebraicas más complicadas?
• ¿Qué es una integral indefinida y cómo se utiliza su notación en la discusión de antiderivados?
• ¿Cómo funciona la técnica\(u\) de sustitución para ayudarnos a evaluar ciertas integrales indefinidas y cómo se basa este proceso en la identificación de pares función-derivada?

En la Sección 4.4 aprendimos el papel clave que juegan los antiderivados en el proceso de evaluar exactamente integrales definidas. El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que si\(F\) es algún antiderivado de\(f\text{,}\) entonces

\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\text{.} \nonumber \]

Además, nos dimos cuenta de que cada regla derivada elemental desarrollada en el Capítulo 2 conduce a una correspondiente antiderivada elemental, como se resume en la Tabla 4.4.5. Así, si queremos evaluar una integral como

\[ \int_0^1 \left(x^3 - \sqrt{x} + 5^x \right) \,dx\text{,} \nonumber \]

es sencillo hacerlo, ya que podemos antidiferenciarnos fácilmente\(f(x) = x^3 - \sqrt{x} + 5^x\text{.}\) Porque un antiderivado de\(f\) es\(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{1}{\ln(5)}5^x\text{,}\) el Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que

\ begin {align*}\ int_0^1\ left (x^3 -\ sqrt {x} + 5^x\ derecha)\, dx &=\ izquierda. \ frac {1} {4} x^4 -\ frac {2} {3} x^ {3/2} +\ frac {1} {\ ln (5)} 5^x\ derecha|_0^1\\ [4pt] &=\ izquierda (\ frac {1} {4} (1) ^4 -\ frac {2} {3} (1) ^ {3/2} +\ frac {1} {\ ln (5)} 5^1\ derecha) -\ izquierda (0 - 0 +\ frac {1} {\ ln (5)} 5^0\ derecha)\\ [4pt] &= -\ frac {5} {12} +\ frac {4} {\ ln (5)}\ text {.} \ end {alinear*}

Vemos que tenemos un interés natural en poder encontrar tales antiderivados algebraicos. Destacamos los antiderivados algebraicos, a diferencia de cualquier antiderivado, ya que sabemos por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo que\(G(x) = \int_a^x f(t) \, dt\) es efectivamente una antiderivada de la función dada\(f\text{,}\) pero que aún involucra una integral definida. Nuestro objetivo en esta sección es “deshacer” el proceso de diferenciación para encontrar una antiderivada algebraica para una función dada.

Vista previa de Actividad 5.3.1

En la Sección 2.5 aprendimos la Regla de Cadena y cómo se puede aplicar para encontrar la derivada de una función compuesta. En particular, si\(u\) es una función diferenciable de\(x\text{,}\) y\(f\) es una función diferenciable de\(u(x)\text{,}\) entonces

\[ \frac{d}{dx} \left[ f(u(x)) \right] = f'(u(x)) \cdot u'(x)\text{.} \nonumber \]

En palabras, decimos que la derivada de una función compuesta\(c(x) = f(u(x))\text{,}\) donde\(f\) se considera la función “externa” y\(u\) la función “interna”, es “la derivada de la función externa, evaluada en la función interna, multiplicada por la derivada de la función interna”.

1. Para cada una de las siguientes funciones, use la Regla de Cadena para encontrar la derivada de la función. Asegúrese de etiquetar cada derivada por su nombre (por ejemplo, la derivada de\(g(x)\) debe estar etiquetada\(g'(x)\)).
   1. \(\displaystyle g(x) = e^{3x}\)
   2. \(\displaystyle h(x) = \sin(5x+1)\)
   3. \(\displaystyle p(x) = \arctan(2x)\)
   4. \(\displaystyle q(x) = (2-7x)^4\)
   5. \(\displaystyle r(x) = 3^{4-11x}\)
2. Para cada una de las siguientes funciones, usa tu trabajo en (a) para ayudarte a determinar el antiderivado general ¹ de la función. Marcar cada antiderivado por su nombre (e.g., se\(m\) debe llamar al antiderivado de\(M\)). Además, revisa tu trabajo calculando la derivada de cada antiderivada propuesta.
   1. \(\displaystyle m(x) = e^{3x}\)
   2. \(\displaystyle n(x) = \cos(5x+1)\)
   3. \(\displaystyle s(x) = \frac{1}{1+4x^2}\)
   4. \(\displaystyle v(x) = (2-7x)^3\)
   5. \(\displaystyle w(x) = 3^{4-11x}\)
3. Con base en su experiencia en las partes (a) y (b), conjetura una antiderivada para cada una de las siguientes funciones. Pon a prueba tus conjeturas calculando la derivada de cada antiderivada propuesta.
   1. \(\displaystyle a(x) = \cos(\pi x)\)
   2. \(\displaystyle b(x) = (4x+7)^{11}\)
   3. \(\displaystyle c(x) = xe^{x^2}\)

Recordemos que la antiderivada general de una función incluye “\(+C\)” para reflejar toda la familia de funciones que comparten la misma derivada.

5.3.1 Revertir la regla de la cadena: primeros pasos

Siempre que\(f\) es una función familiar cuya antiderivada es conocida y\(u(x)\) es una función lineal, es sencillo antidiferenciar una función de la forma

\[ h(x) = f(u(x))\text{.} \nonumber \]

Ejemplo 5.3.1

Determinar la antiderivada general de

\[ h(x) = (5x-3)^6\text{.} \nonumber \]

Comprobar el resultado diferenciando.

Para esta función compuesta, la función externa\(f\) es\(f(u) = u^6\text{,}\) mientras que la función interna es\(u(x) = 5x - 3\text{.}\) Dado que la antiderivada de\(f\) es\(F(u) = \frac{1}{7}u^7+C\text{,}\) vemos que la antiderivada de\(h\) es

\[ H(x) = \frac{1}{7} (5x-3)^7 \cdot \frac{1}{5} + C = \frac{1}{35} (5x-3)^7 + C\text{.} \nonumber \]

La inclusión de la constante\(\frac{1}{5}\) es esencial precisamente porque la derivada de la función interna es\(u'(x) = 5\text{.}\) Efectivamente, si ahora\(H'(x)\text{,}\) calculamos encontramos por la Regla de Cadena (y Regla Múltiple Constante) que

\[ H'(x) = \frac{1}{35} \cdot 7(5x-3)^6 \cdot 5 = (5x-3)^6 = h(x)\text{,} \nonumber \]

y así\(H\) es de hecho el antiderivado general de\(h\text{.}\)

De ahí que en el caso especial donde la función externa sea familiar y la función interna sea lineal, podemos antidiferenciar funciones compuestas de acuerdo con la siguiente regla.

Nota

Si\(h(x) = f(ax + b)\) y\(F\) es un antiderivado algebraico conocido de\(f\text{,}\) entonces el antiderivado general de\(h\) es dado por

\[ H(x) = \frac{1}{a} F(ax+b) + C\text{.} \nonumber \]

Es útil tener notación taquigráfica que indique la instrucción para encontrar un antiderivado. Así, de manera similar a cómo la notación

\[ \frac{d}{dx} \left[ f(x) \right] \nonumber \]

representa la derivada de\(f(x)\) con respecto a\(x\text{,}\) utilizamos la notación de la integral indefinida,

\[ \int f(x) \, dx \nonumber \]

para representar la antiderivada general de\(f\) con respecto a\(x\text{.}\) Volviendo al ejemplo anterior con\(h(x) = (5x-3)^6\text{,}\) podemos reformular la relación entre\(h\) y su antiderivada\(H\) a través de la notación

\[ \int (5x-3)^6 \, dx = \frac{1}{35} (5x-6)^7 + C\text{.} \nonumber \]

Cuando encontramos un antiderivado, a menudo diremos que evaluamos una integral indefinida. Así como la notación\(\frac{d}{dx} [ \Box ]\) significa “encontrar la derivada con respecto a\(x\) de\(\Box\text{,}\)” la notación\(\int \Box \, dx\) significa “encontrar una función de\(x\) cuya derivada es\(\Box\text{.}\)”

Actividad 5.3.2

Evaluar cada una de las siguientes integrales indefinidas. Comprueba cada antiderivado que encuentres diferenciando.

1. \(\displaystyle \int \sin(8-3x) \, dx\)
2. \(\displaystyle \int \sec^2 (4x) \, dx\)
3. \(\displaystyle \int \frac{1}{11x - 9} \, dx\)
4. \(\displaystyle \int \csc(2x+1) \cot(2x+1) \, dx\)
5. \(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-16x^2}}\, dx\)
6. \(\displaystyle \int 5^{-x}\, dx\)

5.3.2 Revertir la regla de la cadena:\(u\) -sustitución

De nuestro trabajo reciente surge una pregunta natural: ¿qué sucede cuando la función interna no es lineal? Por ejemplo, ¿podemos encontrar antiderivados de funciones tales como

\[ g(x) = x e^{x^2} \ \text{and} \ h(x) = e^{x^2}? \nonumber \]

Es importante recordar que la diferenciación y la antidiferenciación son procesos casi inversos (que no lo son se debe a\(+C\) lo que surge al antidiferenciar). Esta relación casi inversa nos permite tomar cualquier regla derivada conocida y reescribirla como regla correspondiente para una integral indefinida. Por ejemplo, desde

\[ \frac{d}{dx} \left[x^5\right] = 5x^4\text{,} \nonumber \]

podemos escribir equivalentemente

\[ \int 5x^4 \, dx = x^5 + C\text{.} \nonumber \]

Recordemos que la Regla de la Cadena establece que

\[ \frac{d}{dx} \left[ f(g(x)) \right] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\text{.} \nonumber \]

Reiterando esta relación en términos de una integral indefinida,

\[ \int f'(g(x)) g'(x) \, dx = f(g(x))+C\text{.}\label{iLY}\tag{5.3.1} \]

La ecuación (5.3.1) nos dice que si podemos ver una función dada como\(f'(g(x)) g'(x)\) para algunas elecciones apropiadas de\(f\) y\(g\text{,}\) entonces podemos antidiferenciar la función invirtiendo la Regla de Cadena. Tenga en cuenta que ambos\(g(x)\) y\(g'(x)\) aparecen en la forma de que a veces\(f'(g(x)) g'(x)\text{;}\) vamos a decir que buscamos identificar un par función-derivada (\(g(x)\)y\(g'(x)\)) al intentar aplicar la regla en la Ecuación (5.3.1).

Si podemos identificar un par función-derivada, introduciremos una nueva variable\(u\) para representar la función\(g(x)\text{.}\) Con\(u = g(x)\text{,}\) ello sigue en notación Leibniz que\(\frac{du}{dx} = g'(x)\text{,}\) para que en términos de diferenciales ²,\(du = g'(x)\, dx\text{.}\) Ahora convirtiendo la integral indefinida a una nueva en términos de\(u\text{,}\) tenemos

\[ \int f'(g(x)) g'(x) \, dx = \int f'(u) \,du\text{.} \nonumber \]

Si recordamos de la definición de la derivada eso\(\frac{du}{dx} \approx \frac{\Delta{u}}{\Delta{x}}\) y utilizamos el hecho de que\(\frac{du}{dx} = g'(x)\text{,}\) entonces vemos que\(g'(x) \approx \frac{\Delta{u}}{\Delta{x}}\text{.}\) Resolver para\(\Delta u\text{,}\)\(\Delta u \approx g'(x) \Delta x\text{.}\) Es esta última relación la que, cuando se expresa en notación “diferencial” nos permite escribir\(du = g'(x) \, dx\) en el cambio de fórmula variable.

Siempre que\(f'\) sea una función elemental cuya antiderivada se conozca, podemos evaluar fácilmente la integral indefinida en\(u\text{,}\) y luego pasar a determinar la antiderivada global deseada de\(f'(g(x)) g'(x)\text{.}\) Llamamos a este proceso \(u\)-sustitución, y resumir la regla como sigue:

Nota

Con la sustitución\(u = g(x)\text{,}\)

\[ \int f'(g(x)) g'(x) \, dx = \int f'(u) \,du = f(u) + C = f(g(x)) + C\text{.} \nonumber \]

Para ver\(u\) -sustitución en el trabajo, consideramos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.3.2

Evaluar la integral indefinida

\[ \int x^3 \cdot \sin (7x^4 + 3) \, dx \nonumber \]

y verificar el resultado diferenciando.

Contestar

Podemos hacer dos observaciones algebraicas respecto al integrando,\(x^3 \cdot \sin (7x^4 + 3)\text{.}\) Primero,\(\sin (7x^4 + 3)\) es una función compuesta; como tal, sabemos que necesitaremos un enfoque más sofisticado para antidiferenciar. Segundo,\(x^3\) es casi el derivado\((7x^4 + 3)\text{;}\) del único tema es una constante faltante. Por lo tanto,\(x^3\) y\((7x^4 + 3)\) son casi un par función-derivada. Además, conocemos la antiderivada de\(f(u) = \sin(u)\text{.}\) La combinación de estas observaciones sugiere que podemos evaluar la integral indefinida dada invirtiendo la regla de la cadena a través de\(u\) -sustitución.

Dejar\(u\) representar la función interna de la función compuesta que\(\sin (7x^4 + 3)\text{,}\) tenemos\(u = 7x^4 + 3\text{,}\) y así\(\frac{du}{dx} = 28x^3\text{.}\) En notación diferencial, se deduce que\(du = 28x^3 \, dx\text{,}\) y así\(x^3 \, dx = \frac{1}{28} \, du\text{.}\) La integral indefinida original puede ser ligeramente reescrita como

\[ \int \sin (7x^4 + 3) \cdot x^3 \, dx\text{,} \nonumber \]

y así sustituyendo\(7x^4 + 3\) y\(u\)\(\frac{1}{28} \, du\) para\(x^3 \, dx\text{,}\) ello se deduce que

\[ \int \sin (7x^4 + 3) \cdot x^3 \, dx = \int \sin(u) \cdot \frac{1}{28} \, du\text{.} \nonumber \]

Ahora podemos evaluar la integral más fácil\(u\text{,}\) y luego reemplazarla\(u\) por la expresión\(7x^4 + 3\text{.}\) Al hacerlo, encontramos

\ begin {align*}\ int\ sin (7x^4 + 3)\ cdot x^3\, dx &=\ int\ sin (u)\ cdot\ frac {1} {28}\, du\\ [4pt] &=\ frac {1} {28}\ int\ sin (u)\, du\\ [4pt] &=\ frac {1} {28} (-\ cos (u)) + C\\ [4pt] &= -\ frac {1} {28}\ cos (7x^4 + 3) + C\ text {.} \ end {alinear*}

Para comprobar nuestro trabajo, observamos por la Regla de la Cadena que

\[ \frac{d}{dx} \left[ -\frac{1}{28}\cos(7x^4 + 3) \right] = -\frac{1}{28} \cdot (-1)\sin(7x^4 + 3) \cdot 28x^3 = \sin(7x^4 + 3) \cdot x^3\text{,} \nonumber \]

que en efecto es el integrando original.

La\(u\) -sustitución funcionó porque la función multiplicando\(\sin (7x^4 + 3)\) era\(x^3\text{.}\) Si en cambio esa función era\(x^2\) o\(x^4\text{,}\) el proceso de sustitución no habría funcionado. Este es uno de los principales retos de la antidiferenciación: ligeros cambios en el integrando hacen enormes diferencias. Por ejemplo, podemos usar\(u\) -substitución con\(u = x^2\) y\(du = 2xdx\) para encontrar eso

\ begin {alinear*}\ int xe^ {x^2}\, dx &=\ int e^u\ cdot\ frac {1} {2}\, du\\ [4pt] &=\ frac {1} {2}\ int e^u\, du\\ [4pt] &=\ frac {1} {2} e^u + C\\ [4pt] &=\ frac {1} {2} e^ {x^2} + C\ texto {.} \ end {alinear*}

Sin embargo, para la integral indefinida similar

\[ \int e^{x^2} \, dx\text{,} \nonumber \]

la\(u\) -sustitución ya no\(u = x^2\) es posible porque falta el factor de\(x\). De ahí que parte de la lección de\(u\) -sustitución es lo especializado que es el proceso: solo se aplica a situaciones en las que, hasta una constante faltante, el integrando es el resultado de aplicar la Regla de Cadena a una función diferente y relacionada.

Actividad 5.3.3

Evalúe cada una de las siguientes integrales indefinidas siguiendo estos pasos:

• Encontrar dos funciones dentro del integrando que forman (hasta una posible constante faltante) un par función-derivado;
• Hacer una sustitución y convertir la integral en una que involucre\(u\) y\(du\text{;}\)
• Evaluar la nueva integral en\(u\text{;}\)
• Convierta la función resultante de\(u\) back a una función de\(x\) usando su sustitución anterior;
• Revisa tu trabajo diferenciando la función de\(x\text{.}\) Debes llegar al integrando originalmente dado.

1. \(\displaystyle \int \frac{x^2}{5x^3+1} \, dx\)
2. \(\displaystyle \int e^x \sin(e^x) \, dx\)
3. \(\displaystyle \int \frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx\)

5.3.3 Evaluación de Integrales Definitivas vía\(u\) -sustitución

Hemos introducido\(u\) -sustitución como un medio para evaluar integrales indefinidas de funciones que se pueden escribir, hasta un múltiplo constante, en la forma\(f(g(x))g'(x)\text{.}\) Esta misma técnica puede ser utilizada para evaluar integrales definidas que involucran tales funciones, aunque hay que tener cuidado con las correspondientes límites de integración. Consideremos, por ejemplo, la integral definitiva

\[ \int_2^5 xe^{x^2} \, dx\text{.} \nonumber \]

Siempre que escribimos una integral definida, está implícito que los límites de integración corresponden a la variable de integración. Para ser más explícitos, observa que

\[ \int_2^5 xe^{x^2} \, dx = \int_{x=2}^{x=5} xe^{x^2} \, dx\text{.} \nonumber \]

Cuando ejecutamos una\(u\) -sustitución, cambiamos la variable de integración; es esencial señalar que esto también cambia los límites de la integración. Por ejemplo, con la sustitución\(u = x^2\) y\(du = 2x \, dx\text{,}\) también se deduce que cuándo\(x = 2\text{,}\)\(u = 2^2 = 4\text{,}\) y cuándo\(x = 5\text{,}\)\(u = 5^2 = 25\text{.}\) Así, bajo el cambio de variables de\(u\) -sustitución, ahora tenemos

\ begin {alinear*}\ int_ {x=2} ^ {x=5} xe^ {x^2}\, dx &=\ int_ {u=4} ^ {u=25} e^ {u}\ cdot\ frac {1} {2}\, du\\ [4pt] &=\ izquierda. \ frac {1} {2} e^u\ derecha|_ {u=4} ^ {u=25}\\ [4pt] &=\ frac {1} {2} {2} e^ {25} -\ frac {1} {2} e^4\ text {.} \ end {alinear*}

Alternativamente, podríamos considerar la integral indefinida relacionada\(\int xe^{x^2} \, dx\text{,}\) encontrar la antiderivada\(\frac{1}{2}e^{x^2}\) a través de\(u\) -sustitución, y luego evaluar la integral definida original. Con ese método, tendríamos

\ begin {alinear*}\ int_ {2} ^ {5} xe^ {x^2}\, dx &=\ izquierda. \ frac {1} {2} e^ {x^2}\ derecha|_ {2} ^ {5}\\ [4pt] &=\ frac {1} {2} {2} e^ {25} -\ frac {1} {2} e^4\ text {,}\ end {align*}

que es, por supuesto, el mismo resultado.

Actividad 5.3.4

Evaluar cada una de las siguientes integrales definidas exactamente a través\(u\) de una sustitución apropiada.

1. \(\displaystyle \int_1^2 \frac{x}{1 + 4x^2} \, dx\)
2. \(\displaystyle \int_0^1 e^{-x} (2e^{-x}+3)^{9} \, dx\)
3. \(\displaystyle \int_{2/\pi}^{4/\pi} \frac{\cos\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}} \,dx\)

5.3.4 Resumen

• Para encontrar fórmulas algebraicas para antiderivados de funciones algebraicas más complicadas, necesitamos pensar detenidamente cómo podemos revertir reglas de diferenciación conocidas. Para ello, es fundamental que entendamos y recordemos derivados conocidos de funciones básicas, así como las reglas derivadas estándar.
• La integral indefinida proporciona notación para antiderivados. Cuando escribimos “\(\int f(x) \, dx\text{,}\)” nos referimos a “la antiderivada general de\(f\text{.}\)” En particular, si tenemos funciones\(f\) y\(F\) tal que\(F' = f\text{,}\) las siguientes dos afirmaciones digan lo exacto:
  \[ \frac{d}{dx}[F(x)] = f(x) \ \text{and} \ \int f(x) \, dx = F(x) + C\text{.} \nonumber \]

  Es decir,\(f\) es el derivado de\(F\text{,}\) y\(F\) es un antiderivado de\(f\text{.}\)

• La técnica de\(u\) -sustitución nos ayuda a evaluar integrales indefinidas de la forma\(\int f(g(x))g'(x) \, dx\) a través de las sustituciones\(u = g(x)\) y\(du = g'(x) \, dx\text{,}\) para que
  \[ \int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du\text{.} \nonumber \]

  Una parte clave para elegir la expresión en la\(x\) que se va a representar\(u\) es la identificación de un par función-derivado. Para ello, a menudo buscamos una función “interna”\(g(x)\) que forme parte de una función compuesta, mientras investigamos si\(g'(x)\) (o un múltiplo constante de\(g'(x)\)) está presente como factor multiplicador del integrando.