5.4: Integración por Partes

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo evaluamos integrales indefinidas que involucran productos de funciones básicas como\(\int x \sin(x) \, dx\) y\(\int x e^x \, dx\text{?}\)
• ¿Cuál es el método de integración por partes y cómo podemos aplicarlo consistentemente para integrar productos de funciones básicas?
• ¿Cómo nos guía la estructura algebraica de las funciones en la identificación\(u\) y\(dv\) uso de la integración por partes?

En la Sección 5.3 aprendimos la técnica de\(u\) -sustitución para evaluar integrales indefinidas. Por ejemplo, la integral indefinida\(\int x^3 \sin(x^4) \, dx\) se adapta perfectamente a\(u\) -sustitución, porque un factor es una función compuesta y el otro factor es la derivada (hasta una constante) de la función interna. Reconocer la estructura algebraica de una función puede ayudarnos a encontrar su antiderivada.

A continuación consideramos los integrandos con una estructura algebraica elemental diferente: un producto de funciones básicas. Por ejemplo, supongamos que estamos interesados en evaluar la integral indefinida

\[ \int x \sin(x) \, dx\text{.} \nonumber \]

El integrando es producto de las funciones básicas\(f(x) = x\) y\(g(x) = \sin(x)\text{.}\) sabemos que es relativamente complicado calcular la derivada del producto de dos funciones, por lo que debemos esperar que la antidiferenciación de un producto esté involucrada de manera similar. Intuitivamente, esperamos que la evaluación\(\int x \sin(x) \, dx\) implique revertir de alguna manera la Regla del Producto.

Para ello, en Preview Activity 5.4.1 refrescamos nuestra comprensión de la Regla del Producto y luego investigamos algunas integrales indefinidas que involucran productos de funciones básicas.

Vista previa de la actividad 5.4.1

En la Sección 2.3, desarrollamos la Regla de Producto y estudiamos cómo se emplea para diferenciar un producto de dos funciones. En particular, recordemos que si\(f\) y\(g\) son funciones diferenciables de\(x\text{,}\) entonces

\[ \frac{d}{dx} \left[ f(x) \cdot g(x) \right] = f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x)\text{.} \nonumber \]

1. Para cada una de las siguientes funciones, utilice la Regla de producto para encontrar la derivada de la función. Asegúrese de etiquetar cada derivada por su nombre (por ejemplo, la derivada de\(g(x)\) debe estar etiquetada\(g'(x)\)).
   1. \(\displaystyle g(x) = x\sin(x)\)
   2. \(\displaystyle h(x) = xe^x\)
   3. \(\displaystyle p(x) = x\ln(x)\)
   4. \(\displaystyle q(x) = x^2 \cos(x)\)
   5. \(\displaystyle r(x) = e^x \sin(x)\)
2. Usa tu trabajo en (a) para ayudarte a evaluar las siguientes integrales indefinidas. Utiliza la diferenciación para verificar tu trabajo.
   1. \(\displaystyle \int xe^x + e^x \, dx\)
   2. \(\displaystyle \int e^x(\sin(x) + \cos(x)) \, dx\)
   3. \(\displaystyle \int 2x\cos(x) - x^2 \sin(x) \, dx\)
   4. \(\displaystyle \int x\cos(x) + \sin(x) \, dx\)
   5. \(\displaystyle \int 1 + \ln(x) \, dx\)
3. Observe que los ejemplos en (b) funcionan muy bien por los derivados que se le pidió calcular en (a). Cada integrando en (b) es precisamente el resultado de diferenciar uno de los productos de las funciones básicas que se encuentran en (a). Para ver qué sucede cuando un integrando sigue siendo un producto pero no necesariamente el resultado de diferenciar un producto elemental, consideramos cómo evaluar
   \[ \int x\cos(x) \, dx\text{.} \nonumber \]
   1. Primero, observe que
      \[ \frac{d}{dx} \left[ x\sin(x) \right] = x\cos(x) + \sin(x)\text{.} \nonumber \]

      Integrando ambas partes indefinidamente y utilizando el hecho de que la integral de una suma es la suma de las integrales, encontramos que

      \[ \int \left(\frac{d}{dx} \left[ x\sin(x) \right] \right) \, dx = \int x\cos(x) \, dx + \int \sin(x) \, dx\text{.} \nonumber \]

      En esta última ecuación, evaluar la integral indefinida en el lado izquierdo así como la integral indefinida más a la derecha en el lado derecho.

   2. En la ecuación más reciente de (i.), resolver la ecuación para la expresión\(\int x \cos(x) \, dx\text{.}\)
   3. ¿Para qué producto de funciones básicas has encontrado ahora el antiderivado?

5.4.1 Revertir la Regla del Producto: Integración por Partes

Problema (c) en Vista previa Actividad 5.4.1 proporciona una pista sobre la técnica general conocida como Integración por Partes, que proviene de revertir la Regla del Producto. Recordemos que la Regla del Producto establece que

\[ \frac{d}{dx} \left[ f(x) g(x) \right] = f(x) g'(x) + g(x) f'(x)\text{.} \nonumber \]

Integrando ambos lados de esta ecuación indefinidamente con respecto a\(x\text{,}\) encontramos

\[ \int \frac{d}{dx} \left[ f(x) g(x) \right] \, dx = \int f(x) g'(x) \, dx + \int g(x) f'(x) \, dx\text{.}\label{PhC}\tag{5.4.1} \]

En el lado izquierdo de la Ecuación (5.4.1), tenemos la integral indefinida de la derivada de una función. Omitiendo temporalmente la constante que pueda surgir, tenemos

\[ f(x) g(x) = \int f(x) g'(x) \, dx + \int g(x) f'(x) \, dx\text{.}\label{voL}\tag{5.4.2} \]

Resolvemos para la primera integral indefinida de la izquierda para generar la regla

\[ \int f(x) g'(x) \, dx = f(x) g(x) - \int g(x) f'(x) \, dx\text{.}\label{bvU}\tag{5.4.3} \]

A menudo expresamos la Ecuación (5.4.3) en términos de las variables\(u\)\(u = f(x)\) y\(v\text{,}\) dónde y\(v = g(x)\text{.}\) En notación diferencial,\(du = f'(x) \, dx\) y\(dv = g'(x) \, dx\text{,}\) así podemos exponer la regla para Integración por Partes en su forma más común de la siguiente manera:

Nota

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du\text{.} \nonumber \]

Para aplicar la integración por partes, buscamos un producto de funciones básicas que podamos identificar como\(u\) y\(dv\text{.}\) si podemos antidiferenciarnos\(dv\) para encontrar\(v\text{,}\) y evaluar no\(\int v \, du\) es más difícil que evaluar\(\int u \, dv\text{,}\) entonces esta sustitución suele resultar fructífera. Para demostrarlo, consideramos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 5.4.1

Evaluar la integral indefinida

\[ \int x\cos(x) \, dx \nonumber \]

utilizando la integración por partes.

Responder

Cuando usamos integración por partes, tenemos una opción para\(u\) y\(dv\text{.}\) En este problema, podemos o dejar\(u = x\) y\(dv = \cos(x) \, dx\text{,}\) o dejar\(u = \cos(x)\) y\(dv = x \, dx\text{.}\) Si bien no hay una regla universal sobre cómo elegir\(u\) y\(dv\text{,}\) una buena pauta es esta: hacerlo de una manera que \(\int v \, du\)es al menos tan simple como el problema original\(\int u \, dv\text{.}\)

Esto nos lleva a elegir ¹\(u = x\) y\(dv = \cos(x) \, dx\text{,}\) de donde se deduce que\(du = 1 \, dx\) y\(v = \sin(x)\text{.}\) Con esta sustitución, la regla para la integración por partes nos dice que

\[ \int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \cdot 1 \, dx\text{.} \nonumber \]

Observe que si consideramos la opción alternativa, y dejar\(u = \cos(x)\) y\(dv = x \, dx\text{,}\) luego\(du = -\sin(x) \, dx\) y\(v = \frac{1}{2}x^2\text{,}\) a partir de la cual escribiríamos\(\int x\cos(x) \, dx = \frac{1}{2}x^2 \cos(x) - \int \frac{1}{2}x^2 (-\sin(x)) \, dx\text{.}\) Así hemos sustituido el problema de integrar\(x \cos(x)\) con\(\frac{1}{2}x^2 \sin(x)\text{;}\) el de integrar este último es claramente más complicado, lo que demuestra que esta alternativa no es tan útil como la primera opción.

Todo lo que queda por hacer es evaluar la integral (más simple)\(\int \sin(x) \cdot 1 \, dx\text{.}\) Haciéndolo, encontramos

\[ \int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - (-\cos(x)) + C = x\sin(x) + \cos(x) + C\text{.} \nonumber \]

Observe que cuando lleguemos a la etapa final de evaluar el último antiderivado restante, es en este paso que incluimos la constante de integración,\(+C\text{.}\)

La técnica general de integración por partes implica negociar el problema de integrar el producto de dos funciones por el problema de integrar el producto de dos funciones relacionadas. Es decir, convertimos el problema de evaluar\(\int u \, dv\) al de evaluar\(\int v \, du\text{.}\) Esto da forma claramente a nuestra elección de\(u\) y\(v\text{.}\) En el Ejemplo 5.4.1, la integral original a evaluar fue\(\int x \cos(x) \,dx\text{,}\) y a través de la sustitución proporcionada por la integración por partes, pudimos en cambio evaluar\(\int \sin(x) \cdot 1 \, dx\text{.}\) Tenga en cuenta que la función original\(x\) fue reemplazada por su derivada, mientras que\(\cos(x)\) fue reemplazada por su antiderivada.

Actividad 5.4.2

Evaluar cada una de las siguientes integrales indefinidas. Comprueba cada antiderivado que encuentres diferenciando.

1. \(\displaystyle \int te^{-t} \, dt\)
2. \(\displaystyle \int 4x \sin(3x) \, dx\)
3. \(\displaystyle \int z \sec^2(z) \,dz\)
4. \(\displaystyle \int x \ln(x) \, dx\)

5.4.2 Algunas Sutilezas con Integración por Partes

A veces la integración por partes no es una elección obvia, pero la técnica es apropiada, no obstante. La integración por partes nos permite reemplazar una función en un producto con su derivada mientras que reemplazar la otra por su antiderivada. Por ejemplo, considere evaluar

\[ \int \arctan(x) \, dx\text{.} \nonumber \]

Inicialmente, este problema parece poco adecuado para la integración por partes, ya que no parece haber un producto de funciones presentes. Pero si observamos eso\(\arctan(x) = \arctan(x) \cdot 1\text{,}\) y nos damos cuenta de que conocemos tanto la derivada\(\arctan(x)\) como la antiderivada de\(1\text{,}\) vemos la posibilidad de la sustitución\(u = \arctan(x)\) y\(dv = 1 \, dx\text{.}\) exploramos esta sustitución más a fondo en la Actividad 5.4.3.

En un problema relacionado, considere\(\int t^3 \sin(t^2) \, dt\text{.}\) Observar que hay una función compuesta presente en\(\sin(t^2)\text{,}\) pero no hay un par función-derivado obvio, ya que tenemos\(t^3\) (en lugar de simplemente\(t\)) multiplicar\(\sin(t^2)\text{.}\) En este problema usamos tanto\(u\) -sustitución como integración por partes. Primero escribimos\(t^3 = t \cdot t^2\) y consideramos la integral indefinida

\[ \int t \cdot t^2 \cdot \sin(t^2) \, dt\text{.} \nonumber \]

Dejamos que\(z = t^2\) así\(dz = 2t \, dt\text{,}\) y así\(t \, dt = \frac{1}{2} \, dz\text{.}\) (Estamos usando la variable\(z\) para realizar una “\(z\)-sustitución” primero para que luego podamos aplicar la integración por partes.) Bajo esta\(z\) -sustitución, ahora tenemos

\[ \int t \cdot t^2 \cdot \sin(t^2) \, dt = \int z \cdot \sin(z) \cdot \frac{1}{2} \, dz\text{.} \nonumber \]

La integral resultante puede ser evaluada por partes. Esto, también, se explora más a fondo en la Actividad 5.4.3.

Estos problemas muestran que a veces debemos pensar creativamente en la elección de las variables para la sustitución en la integración por partes, y que es posible que necesitemos usar la sustitución para un cambio adicional de variables.

Actividad 5.4.3

Evalúe cada una de las siguientes integrales indefinidas, utilizando las sugerencias proporcionadas.

1. Evaluar\(\int \arctan(x) \, dx\) mediante el uso de Integración por Partes con la sustitución\(u = \arctan(x)\) y\(dv = 1 \, dx\text{.}\)
2. Evaluar\(\int \ln(z) \,dz\text{.}\) Considerar una sustitución similar a la de (a).
3. Utilizar la sustitución\(z = t^2\) para transformar la integral\(\int t^3 \sin(t^2) \, dt\) en una nueva integral en la variable\(z\text{,}\) y evaluar esa nueva integral por partes.
4. Evaluar\(\int s^5 e^{s^3} \, ds\) utilizando un enfoque similar al descrito en (c).
5. Evaluar\(\int e^{2t} \cos(e^t) \, dt\text{.}\) Le resultará útil anotar que\(e^{2t} = e^t \cdot e^t\text{.}\)

5.4.3 Uso de la integración por partes múltiples veces

La integración por partes es muy adecuada para integrar el producto de funciones básicas, lo que nos permite intercambiar un integrando dado por uno nuevo donde una función en el producto es reemplazada por su derivada, y la otra es reemplazada por su antiderivada. El objetivo en este oficio de\(\int u \, dv\) for\(\int v \, du\) es que la nueva integral sea más sencilla de evaluar que la original. En ocasiones es necesario aplicar la integración por partes más de una vez para evaluar una integral dada.

Ejemplo 5.4.2

Evaluar\(\int t^2 e^t \, dt\text{.}\)

Responder

Dejar\(u = t^2\) y\(dv = e^t \, dt\text{.}\) Entonces\(du = 2t \, dt\) y\(v = e^t\text{,}\) y por lo tanto

\[ \int t^2 e^t \, dt = t^2 e^t - \int 2t e^t \, dt\text{.} \nonumber \]

La integral del lado derecho es más sencilla de evaluar que la de la izquierda, pero aún requiere integración por partes. Ahora dejando\(u = 2t\) y\(dv = e^t \, dt\text{,}\) tenemos\(du = 2\, dt\) y\(v = e^t\text{,}\) para que

\[ \int t^2 e^t \, dt = t^2 e^t - \left( 2t e^t - \int 2 e^t \, dt \right)\text{.} \nonumber \]

(Obsérvese los paréntesis, que nos recuerdan distribuir el signo menos a todo el valor de la integral\(\int 2t e^t \, dt\text{.}\)) La integral final a la derecha es una básica; evaluando esa integral y distribuyendo el signo menos, encontramos

\[ \int t^2 e^t \, dt = t^2 e^t - 2t e^t + 2 e^t + C\text{.} \nonumber \]

Por supuesto, incluso pueden ser necesarias más de dos aplicaciones de integración por partes. En el ejemplo anterior, si el integrando hubiera sido\(t^3e^t\text{,}\) habríamos tenido que utilizar la integración por partes tres veces.

A continuación, consideramos el escenario ligeramente diferente.

Ejemplo 5.4.3

Evaluar\(\int e^t \cos(t) \, dt\text{.}\)

Responder

Podemos optar por dejar\(u\) ser\(e^t\) o\(\cos(t)\text{;}\) escogemos\(u = \cos(t)\text{,}\) y así\(dv = e^t \, dt\text{.}\) Con\(du = -\sin(t) \, dt\) e\(v = e^t\text{,}\) integración por partes nos dice que

\[ \int e^t \cos(t) \, dt = e^t \cos(t) - \int e^t (-\sin(t))\, dt\text{,} \nonumber \]

o equivalentemente que

\[ \int e^t \cos(t) \, dt = e^t \cos(t) + \int e^t \sin(t) \, dt\text{.}\label{xdY}\tag{5.4.4} \]

La nueva integral tiene la misma estructura algebraica que la original. Si bien la situación general no es necesariamente mejor de lo que empezamos con, no ha empeorado. De esta manera, se procede a integrar de nuevo por partes. Esta vez dejamos\(u = \sin(t)\) y\(dv = e^t \, dt\text{,}\) así eso\(du = \cos(t) \, dt\) y lo\(v = e^t\text{,}\) que implica

\[ \int e^t \cos(t) \, dt = e^t \cos(t) + \left( e^t \sin(t) - \int e^t \cos(t) \, dt \right)\text{.}\label{dlh}\tag{5.4.5} \]

Parece que estamos de vuelta donde empezamos, ya que dos aplicaciones de integración por partes nos ha llevado de nuevo al problema original,\(\int e^t \cos(t) \, dt\text{.}\) Pero si miramos de cerca la Ecuación (5.4.5), vemos que podemos usar álgebra para resolver por el valor de la integral deseada. Sumando\(\int e^t \cos(t) \, dt\) a ambos lados de la ecuación, tenemos

\[ 2 \int e^t \cos(t) \, dt = e^t \cos(t) + e^t \sin(t)\text{,} \nonumber \]

y por lo tanto

\[ \int e^t \cos(t) \, dt = \frac{1}{2} \left( e^t \cos(t) + e^t \sin(t) \right) + C\text{.} \nonumber \]

Tenga en cuenta que como en realidad nunca encontramos una integral que pudiéramos evaluar directamente, no tuvimos la oportunidad de agregar la constante de integración\(C\) hasta el paso final.

Actividad 5.4.4

Evaluar cada una de las siguientes integrales indefinidas.

1. \(\displaystyle \int x^2 \sin(x) \, dx\)
2. \(\displaystyle \int t^3 \ln(t) \, dt\)
3. \(\displaystyle \int e^z \sin(z) \, dz\)
4. \(\displaystyle \int s^2 e^{3s} \, ds\)
5. \(\int t \arctan(t) \,dt\)(Pista: En cierto punto de este problema, es muy útil señalar que\(\frac{t^2}{1+t^2} = 1 - \frac{1}{1+t^2}\text{.}\))

5.4.4 Evaluación de integrales definidas mediante integración por partes

Podemos utilizar la técnica de integración por partes para evaluar una integral definida.

Ejemplo 5.4.4

Evaluar

\[ \int_0^{\pi/2} t\sin(t) \, dt\text{.} \nonumber \]

Responder

Una opción es encontrar una antiderivada (usando notación integral indefinida) y luego aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo para encontrar que

\ begin {align*}\ int_0^ {\ pi/2} t\ sin (t)\, dt =\ mathstrut &\ izquierda (-t\ cos (t) +\ sin (t)\ derecha)\ bigg\ vert_0^ {\ pi/2}\\ [4pt] =\ mathstrut &\ izquierda (-\ frac {\ pi} {2}\ cos (\ frac {\ pi} {2}) +\ sin (\ frac {\ pi} {2})\ derecha) -\ izquierda (-0\ cos (0) +\ sin (0)\ derecha)\\ [4pt] =\ mathstrut & 1\ text {.} \ end {align*}

Alternativamente, podemos aplicar la integración por partes y trabajar con integrales definidas en todo momento. Con este método, debemos recordar evaluar el producto\(uv\) sobre los límites de integración dados. Usando la sustitución\(u = t\) y\(dv = \sin(t) \, dt\text{,}\) para que\(du = dt\) y\(v = -\cos(t)\text{,}\) escribimos

\ begin {align*}\ int_0^ {\ pi/2} t\ sin (t)\, dt =\ mathstrut & -t\ cos (t)\ bigg\ vert_0^ {\ pi/2} -\ int_0^ {\ pi/2} (-\ cos (t))\, dt\\ [4pt] =\ mathstrut & -t\ cos (t)\ bigg\ vert_0^ {\ pi/2} +\ sin (t)\ bigg\ vert_0^ {\ pi/2}\\ [4pt] =\ mathstrut &\ left (-\ frac {\ pi} {2}\ cos (\ frac {\ pi} {2}) +\ sin (\ frac {\ pi} {2})\ derecha) -\ izquierda (-0\ cos (0) +\ sin (0)\ derecha)\\ [4pt] =\ mathstrut & 1\ text {.} \ end {align*}

Al igual que con cualquier técnica de sustitución, es importante usar la notación cuidadosa y completamente, y asegurar que el resultado final tenga sentido.

5.4.5 Cuando la\(u\) sustitución y la integración por partes no ayudan

Ambas técnicas de integración que hemos discutido se aplican en circunstancias relativamente limitadas. No es difícil encontrar ejemplos de funciones para las que ninguna técnica produce un antiderivado; en efecto, hay muchas, muchas funciones que parecen elementales pero que no tienen una antiderivada algebraica elemental. Por ejemplo, ni la\(u\) sustitución ni la integración por partes resultan fructíferas para las integrales indefinidas

\[ \int e^{x^2} \, dx \ \ \text{and} \ \ \int x \tan(x) \, dx\text{.} \nonumber \]

Si bien existen otras técnicas de integración, algunas de las cuales consideraremos brevemente, ninguna de ellas nos permite encontrar una antiderivada algebraica para\(e^{x^2}\) o\(x \tan(x)\text{.}\) Sabemos por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo que podemos construir una antiderivada integral para cada función; \(F(x) = \int_0^x e^{t^2} \, dt\)es un antiderivado de\(f(x) = e^{x^2}\text{,}\) y\(G(x) = \int_0^{x} t \tan(t) \, dt\) es un antiderivado de\(g(x) = x \tan(x)\text{.}\) Pero encontrar una fórmula algebraica elemental que no involucre integrales para cualquiera\(F\) o\(G\) resulte no solo imposible a través de\(u\) -sustitución o integración por partes, sino de hecho imposible del todo. La antidiferenciación es mucho más difícil en general que la diferenciación.

5.4.6 Resumen

• A través del método de integración por partes, podemos evaluar integrales indefinidas que involucran productos de funciones básicas como\(\int x \sin(x) \, dx\) y El\(\int x \ln(x) \, dx\text{.}\) uso de una sustitución nos permite intercambiar una de las funciones en el producto por su derivada, y la otra por su antiderivada, en un esfuerzo por encontrar un producto diferente de funciones que es más fácil de integrar.
• Si la estructura algebraica de un integrando es producto de funciones básicas en la forma\(\int f(x) g'(x) \, dx\text{,}\) podemos usar la sustitución\(u = f(x)\)\(dv = g'(x) \,dx\) y aplicar la regla
  \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \nonumber \]

  para evaluar la integral original\(\int f(x) g'(x) \, dx\) evaluando

  \[ \int v \, du = \int f'(x) g(x) \, dx\text{.} \nonumber \]
• A la hora de decidir integrar por partes, tenemos que seleccionar ambos\(u\) y\(dv\text{.}\) Esa selección se guía por el principio general de que la nueva integral\(\int v \, du\) no será más difícil que la integral original\(\int u \, dv\text{.}\) Además, a menudo es útil reconocer si una de las funciones presentes es mucho más fácil de diferenciar que antidiferenciar (como\(\ln(x)\)), en cuyo caso esa función a menudo se le asigna mejor la variable\(u\text{.}\) Además,\(dv\) debe ser una función que podamos antidiferenciar.