5: Encontrar Antiderivados y Evaluación de Integrales
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- Dada la gráfica de una función f, podemos construir la gráfica de su antiderivada F siempre que (a) sepamos un valor inicial de F, digamos F (a), y (b) podamos evaluar la integral R b a f (x) dx exactamente para elecciones relevantes de a y b. Así, cualquier función con al menos un antiderivado de hecho tiene infinitamente muchos, y los gráficos de cualesquiera dos antiderivados sólo diferirán por una traducción vertical.
- 5.2: El segundo teorema fundamental del cálculo
- El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo es la afirmación formal, más general del hecho precedente: si f es una función continua y c es cualquier constante, entonces A (x) = R x c f (t) dt es la antiderivada única de f que satisface A (c) = 0. En conjunto, la Primera y la Segunda FTC nos permiten ver formalmente cómo la diferenciación y la integración son procesos casi inversos a través de las observaciones que Z x c d dt [f (t)] dt = f (x) − f (c) y d dx “Z x c f (t) dt# = f (x).
- 5.3: Integración por Sustitución
- La técnica de sustitución en U nos ayuda a evaluar integrales indefinidas de la forma f (g (x)) g' (x) dx a través de las sustituciones u = g (x) y du = g' (x) dx. Una parte clave para elegir la expresión en x que va a ser representada por u es la identificación de un par función-derivado. Para ello, a menudo buscamos una función “interna” g (x) que forme parte de una función compuesta, mientras investigamos si g' (x) (o un múltiplo constante de g' (x)) está presente como factor multiplicador del integrando.
- 5.4: Integración por Partes
- A través del método de Integración por Partes, podemos evaluar integrales indefinidas que involucran productos de funciones básicas a través de una sustitución que nos permite intercambiar efectivamente una de las funciones en el producto por su derivada, y la otra por su antiderivada, en un esfuerzo por encontrar una producto de funciones que es más fácil de integrar.
- 5.5: Otras opciones para encontrar derivados algebraicos
- El método de fracciones parciales permite que cualquier función racional sea antidiferenciada, ya que cualquier función polinómica puede ser factorizada en un producto de términos cuadráticos lineales e irreducibles. Hasta el desarrollo de los sistemas de álgebra computacional, las tablas integrales permitieron a los estudiantes de cálculo evaluar más fácilmente las integrales. Los sistemas informáticos de álgebra pueden desempeñar un papel importante en la búsqueda de antiderivados, aunque debemos tener cuidado para observar funciones avanzadas inusuales o desconocidas.
- 5.6: Integración Numérica
- A veces no podemos usar el Primer Teorema Fundamental del Cálculo porque el integrando carece de una antiderivada algebraica elemental, podemos estimar el valor de la integral usando una secuencia de aproximaciones de suma de Riemann. Las reglas trapezoidales y de punto medio son dos enfoques para calcular las sumas de Riemann.
- 5.E: Encontrar Antiderivados y Evaluar Integrales (Ejercicios)
- Estos son ejercicios de tarea para acompañar al Capítulo 5 de Boelkins et al. Mapa de texto “Cálculo activo”.