6.4: Aplicaciones de Física - Trabajo, Fuerza y Presión

Preguntas Motivadoras

• ¿Cómo medimos el trabajo realizado por una fuerza variable que mueve un objeto a cierta distancia?
• ¿Cuál es la fuerza total que ejerce el agua contra una presa?
• ¿De qué manera ambos conceptos anteriores y su correspondiente uso de integrales definidas son similares a los problemas que hemos encontrado en el pasado que involucran fórmulas como “distancia es igual tasa por tiempo” y “masa equivale a densidad por volumen”?

Figura 6.4.1. Tres ajustes donde calculamos la acumulación de una cantidad variable: el área bajo\(y = f(x)\text{,}\) la distancia recorrida por un objeto con velocidad\(y = v(t)\text{,}\) y la masa de una barra con función de densidad\(y=\rho(x)\text{.}\)

Hemos visto varias circunstancias diferentes donde la integral definida nos permite medir la acumulación de una cantidad que varía, siempre que la cantidad sea aproximadamente constante en pequeños intervalos. Por ejemplo, para encontrar el área delimitada por una curva no negativa\(y = f(x)\) y el\(x\) eje -eje en un intervalo\([a,b]\text{,}\) tomamos una porción representativa de ancho\(\Delta x\) que tiene área\(A_{\text{slice} } = f(x) \Delta x\text{.}\) Como dejamos que el ancho de la porción representativa tienda a cero, encontramos que el área exacta de la región es

\[ A = \int_a^b f(x) \, dx\text{.} \nonumber \]

De manera similar, si conocemos la velocidad\(v(t)\) de un objeto en movimiento y deseamos conocer la distancia que recorre el objeto en un intervalo\([a,b]\) donde no\(v(t)\) es negativo, podemos usar una integral definida para generalizar el hecho de que\(d = r \cdot t\) cuando la velocidad,\(r\text{,}\) es constante. En un intervalo de tiempo corto\(\Delta t\text{,}\)\(v(t)\) es aproximadamente constante, por lo que para una pequeña porción de tiempo,\(d_{\text{slice} } = v(t) \Delta t\text{.}\) Como el ancho del intervalo de tiempo\(\Delta t\) tiende a cero, la distancia exacta recorrida viene dada por la integral definida

\[ d = \int_a^b v(t) \, dt\text{.} \nonumber \]

Finalmente, si queremos determinar la masa de un objeto de densidad no constante, ya que\(M = D \cdot V\) (la masa es igual a densidad por volumen, siempre que la densidad sea constante), podemos considerar una pequeña porción de un objeto en la que la densidad es aproximadamente constante, y una integral definida puede ser utilizada para determinar la masa exacta del objeto. Por ejemplo, si tenemos una varilla delgada cuyas secciones transversales tienen densidad constante, pero cuya densidad se distribuye a lo largo del\(x\) eje según la función\(y = \rho(x)\text{,}\) se deduce que para una pequeña rebanada de la varilla que es\(\Delta x\) gruesa,\(M_{\text{slice} } = \rho(x) \Delta x\text{.}\) en el límite ya que luego\(\Delta x \to 0\text{,}\) encontramos que la la masa total viene dada por

\[ M = \int_a^b \rho(x) \, dx\text{.} \nonumber \]

Las tres situaciones son similares en que tenemos una regla básica (\(A = l \cdot w\text{,}\)\(d = r \cdot t\text{,}\)\(M = D \cdot V\)) donde una de las dos cantidades que se multiplican ya no es constante; en cada una, consideramos un pequeño intervalo para la otra variable en la fórmula, calcular el valor aproximado de la cantidad deseada (área, distancia o masa) en el intervalo pequeño, y luego usar una integral definida para sumar los resultados ya que la longitud de los intervalos pequeños se permite acercarse a cero. Debe ser evidente que este enfoque funcionará de manera efectiva para otras situaciones en las que tengamos una cantidad que varía.

Pasamos a continuación a la noción de trabajo: desde la física, un principio básico es que el trabajo es producto de la fuerza y la distancia. Por ejemplo, si una persona ejerce una fuerza de 20 libras para levantar un peso de 20 libras a 4 pies del suelo, el trabajo total realizado es

\[ W = F \cdot d = 20 \cdot 4 = 80 \ \text{foot-pounds}\text{.} \nonumber \]

Si la fuerza y la distancia se miden en unidades inglesas (libras y pies), entonces las unidades de trabajo son pie-libras. Si trabajamos en unidades métricas, donde las fuerzas se miden en Newtons y las distancias en metros, las unidades de trabajo son Newton-metros.

Por supuesto, la fórmula\(W = F \cdot d\) sólo se aplica cuando la fuerza es constante sobre la distancia\(d\text{.}\) En Vista previa de la Actividad 6.4.1, exploramos una forma en la que podemos usar una integral definida para calcular el trabajo total realizado cuando la fuerza ejercida varía.

Vista previa de la actividad 6.4.1

Se está levantando un balde del fondo de un pozo de 50 pies de profundidad; su peso (incluyendo el agua),\(B\text{,}\) en libras a una altura\(h\) pies por encima del agua viene dado por la función\(B(h)\text{.}\) Cuando el balde sale del agua, el balde y el agua juntos pesan\(B(0) = 20\) libras, y cuando el cubo llega a la cima del pozo,\(B(50) = 12\) libras. Supongamos que el cubo pierde agua a un ritmo constante (en función de la altura\(h\)) a lo largo de su recorrido desde el fondo hasta la parte superior del pozo.

1. Encuentra una fórmula para\(B(h)\text{.}\)
2. Calcular el valor del producto\(B(5) \Delta h\text{,}\) donde\(\Delta h = 2\) los pies. Incluya unidades en su respuesta. Explique por qué este producto representa el trabajo aproximado que se necesitó para mover el cubo de agua de\(h = 5\) a\(h = 7\text{.}\)
3. Es el valor en (b) una sobreestimación o subestimación de la cantidad real de trabajo que se necesitó para mover el cubo de\(h = 5\) a\(h = 7\text{?}\) ¿Por qué?
4. Calcular el valor del producto\(B(22) \Delta h\text{,}\) donde\(\Delta h = 0.25\) los pies. Incluya unidades en su respuesta. ¿Cuál es el significado del valor que encontraste?
5. De manera más general, ¿qué\(W_{\text{slice} } = B(h) \Delta h\) mide la cantidad para un valor dado de\(h\) y un pequeño valor positivo de\(\Delta h\text{?}\)
6. Evaluar la integral definida\(\int_0^{50} B(h) \, dh\text{.}\) ¿Cuál es el significado del valor que encuentras? ¿Por qué?

6.4.1 Trabajo

Debido a que el trabajo es calculado por la regla\(W = F \cdot d\) siempre que la fuerza\(F\) es constante, se deduce que podemos usar una integral definida para computar el trabajo realizado por una fuerza variable. Por ejemplo, supongamos que un cubo cuyo peso a altura\(h\) viene dado por\(B(h) = 12 + 8e^{-0.1h}\) está siendo levantado en un pozo de 50 pies.

En contraste con el problema en la actividad de previsualización, este cubo no tiene fugas a un ritmo constante; sino que debido a que el peso del cubo y el agua no es constante, tenemos que usar una integral definida para determinar el trabajo total realizado en el levantamiento del cucharón. A una altura\(h\) por encima del agua, el trabajo aproximado para mover el cubo una pequeña distancia\(\Delta h\) es

\[ W_{\text{slice} } = B(h) \Delta h = (12 + 8e^{-0.1h}) \Delta h\text{.} \nonumber \]

De ahí que si dejamos\(\Delta h\) tender a 0 y tomamos la suma de todas las rebanadas de trabajo realizadas en estos pequeños intervalos, se deduce que el trabajo total viene dado por

\[ W = \int_0^{50} B(h) \, dh = \int_0^{50} (12 + 8e^{-0.1h}) \, dh\text{.} \nonumber \]

Si bien es un ejercicio sencillo evaluar esta integral exactamente usando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, en entornos aplicados como este normalmente utilizaremos tecnología informática. Aquí, resulta que\(W = \int_0^{50} (12 + 8e^{-0.1h}) \, dh \approx 679.461\) pie-libras.

Nuestro trabajo en Preview Activity 6.4.1 y en la discusión más reciente anterior emplea el siguiente principio general importante.

Nota

Para un objeto que se mueve en la dirección positiva a lo largo de un eje con ubicación\(x\) por una fuerza,\(F(x)\text{,}\) el trabajo total para mover el objeto de\(a\) a\(b\) viene dado por

\[ W = \int_a^b F(x) \, dx\text{.} \nonumber \]

Actividad 6.4.2

Considerar las siguientes situaciones en las que una fuerza variable realiza el trabajo.

1. Supongamos que una cuerda pesada cuelga sobre el costado de un acantilado. La cuerda mide 200 pies de largo y pesa 0.3 libras por pie; inicialmente la cuerda está completamente extendida. ¿Cuánto trabajo se requiere para transportar en toda la longitud de la cuerda? (Sugerencia: configura una función\(F(h)\) cuyo valor sea el peso de la cuerda que queda sobre el acantilado después de que se hayan arrastrado\(h\) los pies).
2. Se está sacando un cubo con fugas desde un pozo de 100 pies de profundidad. Cuando se levantan del agua, el cubo y el agua juntos pesan 40 libras. A medida que el cucharón está siendo arrastrado hacia arriba a un ritmo constante, el cubo gotea agua a una velocidad constante de manera que está perdiendo peso a una tasa de 0.1 libras por pie. ¿Qué función\(B(h)\) indica el peso del cubo después de que el cubo se haya levantado\(h\) los pies? ¿Cuál es la cantidad total de trabajo realizado al levantar el cucharón hasta la parte superior del pozo?
3. Ahora supongamos que el cubo en (b) no gotea a un ritmo constante, sino que su peso a una altura\(h\) pies por encima del agua viene dado por\(B(h) = 25 + 15e^{-0.05h}\text{.}\) ¿Cuál es el trabajo total requerido para levantar el cubo 100 pies? ¿Cuál es la fuerza promedio ejercida sobre el cucharón en el intervalo\(h = 0\) para\(h = 100\text{?}\)
4. De la física, la Ley de Hooke para resortes establece que la cantidad de fuerza requerida para sostener un resorte que se comprime (o extiende) a una longitud particular es proporcional a la distancia que el resorte se comprime (o extiende) desde su longitud natural. Es decir, la fuerza para comprimir (o extender) una\(x\) unidad de resorte desde su longitud natural es\(F(x) = kx\) para alguna constante\(k\) (que se llama la constante de resorte). Para los resortes, elegimos medir la fuerza en libras y la distancia que el resorte está comprimido en pies. Supongamos que una fuerza de 5 libras extiende un resorte particular 4 pulgadas (1/3 pie) más allá de su longitud natural.
   1. Utilice el hecho dado de que\(F(1/3) = 5\) para encontrar la constante de resorte\(k\text{.}\)
   2. Encuentra el trabajo realizado para extender el resorte desde su longitud natural hasta 1 pie más allá de su longitud natural.
   3. Encuentre el trabajo requerido para extender el resorte desde 1 pie más allá de su longitud natural hasta 1.5 pies más allá de su longitud natural.

6.4.2 Trabajo: Bombeo de Líquido desde un Tanque

En ciertas ubicaciones geográficas donde el nivel freático es alto, las viviendas residenciales con sótanos tienen una característica peculiar: en el sótano, se encuentra un gran agujero en el piso, y en el hoyo, hay agua. Por ejemplo, en la Figura 6.4.2 vemos una olla de sumidero ¹. Una olla de sumidero proporciona una salida para el agua que puede acumularse debajo del piso del sótano para evitar que se inunde el sótano.

Crédito de imagen a www.warreninspect.com/basement-moisture.

En la olla vemos una bomba flotante. Esta bomba se activa por elevación, por lo que cuando el nivel del agua alcanza una altura particular, la bomba se enciende y bombea agua fuera de la olla, aliviando así la acumulación de agua debajo de la cimentación. Una de las preguntas que nos gustaría responder es: ¿cuánto trabajo realiza una bomba de sumidero?

Figura 6.4.2. Una olla de sumidero.

Ejemplo 6.4.3

Supongamos que una olla de sumidero tiene la forma de un frustum de cono, como se muestra en la Figura 6.4.4. La olla tiene un diámetro de 3 pies en su superficie, un diámetro de 1.5 pies en su base y una profundidad de 4 pies. Además, supongamos que la bomba de sumidero está instalada para que bombee el agua verticalmente hacia arriba por una tubería hasta un desagüe que se encuentra a nivel del suelo justo afuera de una ventana del sótano. Para lograr esto, la bomba debe enviar el agua a una ubicación a 9 pies por encima de la superficie de la olla de sumidero. ¿Cuánto trabajo se requiere para vaciar la olla de sumidero si inicialmente está completamente llena?

Figura 6.4.4. Un recipiente de sumidero con secciones transversales aproximadamente cilíndricas.

Contestar

Es útil pensar que la profundidad debajo de la superficie de la olla es la variable independiente, por lo que dejamos que el\(x\) eje positivo apunte hacia abajo, y el\(y\) eje positivo a la derecha, como se muestra en la figura. Debido a que la bomba se asienta en la superficie del agua, tiene sentido pensar en que la bomba mueva el agua una “rebanada” a la vez, donde toma una rebanada delgada de la superficie, la bombea fuera del tanque y luego procede a bombear la siguiente rebanada debajo.

Cada rebanada de agua es de forma cilíndrica. Vemos que el radio de cada rebanada varía según la función lineal\(y = f(x)\) que pasa por los puntos\((0,1.5)\) y\((4,0.75)\text{,}\) dónde\(x\) está la profundidad de la rebanada particular en el tanque; es un ejercicio sencillo encontrar eso\(f(x) = 1.5 - 0.1875x\text{.}\) Ahora pensamos en el problema en varios pasos:

1. determinar el volumen de una porción típica;
2. encontrar el peso ² de una rebanada típica (y por lo tanto la fuerza que debe ejercerse sobre ella);
3. decidir la distancia que se mueve una rebanada típica;
4. y computar el trabajo para mover una porción representativa.

Una vez que conocemos el trabajo que se necesita para mover una rebanada, utilizamos una integral definida en un intervalo apropiado para encontrar el trabajo total.

Suponemos que la densidad de peso del agua es de 62.4 libras por pie cúbico.

Considera una rebanada cilíndrica representativa a una profundidad de\(x\) pies por debajo de la parte superior de la olla. El volumen aproximado de esa rebanada viene dado por

\[ V_{\text{slice} } = \pi f(x)^2 \Delta x = \pi (1.5 - 0.1875x)^2 \Delta x\text{.} \nonumber \]

Dado que el agua pesa 62.4 lb/ft,\(^3\text{,}\) el peso aproximado de una rebanada representativa es

\[ F_{\text{slice} } = 62.4 \cdot V_{\text{slice} } = 62.4 \pi (1.5 - 0.1875x)^2 \Delta x\text{.} \nonumber \]

Esta es también la fuerza aproximada que la bomba debe ejercer para mover la rebanada.

Debido a que la rebanada se encuentra a una profundidad de\(x\) pies por debajo de la parte superior de la olla, la rebanada que está siendo movida por la bomba debe mover\(x\) los pies para llegar al nivel del piso del sótano, y luego, como se indica en la descripción del problema, otros 9 pies para llegar al drenaje a nivel del suelo. Por lo tanto, la distancia total que recorre una porción representativa es

\[ d_{\text{slice} } = x + 9\text{.} \nonumber \]

Finalmente, el trabajo para mover una porción representativa viene dado por

\[ W_{\text{slice} } = F_{\text{slice} } \cdot d_{\text{slice} } = 62.4 \pi (1.5 - 0.1875x)^2 \Delta x \cdot (x+9)\text{.} \nonumber \]

Resumimos el trabajo requerido para mover rebanadas por todo el tanque (de\(x = 0\) a\(x = 4\)), dejar\(\Delta x \to 0\text{,}\) y por lo tanto

\[ W = \int_0^4 62.4 \pi (1.5 - 0.1875x)^2 (x+9) \, dx\text{.} \nonumber \]

Cuando se evalúa utilizando la tecnología apropiada, la integral muestra que el trabajo total es\(W = 3463.2 \pi\) pie-libras.

El ejemplo anterior demuestra el enfoque estándar para encontrar el trabajo requerido para vaciar un tanque lleno de líquido. La tarea principal en cada uno de estos problemas es determinar el volumen de una rebanada representativa, seguido de la fuerza ejercida sobre la rebanada, así como la distancia que se mueve dicha rebanada. En el caso de que las unidades sean métricas, hay una diferencia clave: en el ajuste métrico, en lugar del peso, normalmente primero encontramos la masa de una rebanada. Por ejemplo, si la distancia se mide en metros, la densidad de masa del agua es de 1000 kg/m\(^3\text{.}\) En ese ajuste, podemos encontrar la masa de una rebanada típica (en kg). Para determinar la fuerza requerida para moverlo, utilizamos\(F = ma\text{,}\) dónde\(m\) está la masa del objeto y\(a\) es la constante gravitacional\(a=9.81\) N/kg. Es decir, en unidades métricas, la densidad de peso del agua es 9810 N/m\(^3\text{.}\)

Actividad 6.4.3.

En cada uno de los siguientes problemas, determinar el trabajo total requerido para realizar la tarea descrita. En las partes (b) y (c), un paso clave es encontrar una fórmula para una función que describa la curva que forma el límite lateral del tanque.

Figura 6.4.5. Un canal con extremos triangulares, como se describe en la Actividad 6.4.3, parte (c).

1. Considera un tanque cilíndrico vertical de radio 2 metros y profundidad 6 metros. Supongamos que el tanque se llena con 4 metros de agua de densidad de masa 1000 kg/m\(^3\text{,}\) y el 1 metro superior de agua se bombea sobre la parte superior del tanque.
2. Considera un tanque hemisférico con un radio de 10 pies. Supongamos que el tanque está lleno a una profundidad de 7 pies con agua de densidad de peso 62.4 libras/pie\(^3\text{,}\) y los 5 pies superiores de agua son bombeados fuera del tanque a un camión cisterna cuya altura es de 5 pies por encima de la parte superior del tanque.
3. Considera un canal con extremos triangulares, como se muestra en la Figura 6.4.5, donde el tanque mide 10 pies de largo, la parte superior mide 5 pies de ancho y el tanque tiene 4 pies de profundidad. Digamos que el comedero está lleno a menos de 1 pie de la parte superior con agua de densidad de peso 62.4 libras/pie\(^3\text{,}\) y se usa una bomba para vaciar el tanque hasta que el agua que queda en el tanque tenga 1 pie de profundidad.

6.4.3 Fuerza debida a la Presión Hidrostática

Al construir una presa, los ingenieros necesitan saber cuánta fuerza ejercerá el agua contra la cara de la presa. Esta fuerza proviene de la presión del agua. La presión que ejerce una fuerza sobre una región se mide en unidades de fuerza por unidad de área: por ejemplo, la presión del aire en un neumático a menudo se mide en libras por pulgada cuadrada (PSI). De ahí que veamos que la relación general viene dada por

\[ P = \frac{F}{A}, \ \text{or} \ F = P \cdot A\text{,} \nonumber \]

donde\(P\) representa la presión,\(F\) representa la fuerza, y\(A\) el área de la región que se está considerando. Por supuesto, en la ecuación\(F = PA\text{,}\) suponemos que la presión es constante en toda la región\(A\text{.}\)

Sabemos por experiencia que cuanto más profundo se sumerge bajo el agua mientras nada, mayor es la presión ejercida por el agua. Esto se debe a que a mayor profundidad, hay más agua justo encima del nadador: es la fuerza que ejerce la “columna” de agua la que determina la presión que experimenta el nadador. La presión total del agua se encuentra calculando el peso total de la columna de agua que se encuentra por encima de una región de área de 1 pie cuadrado a una profundidad fija. A una profundidad de\(d\) pies, una columna rectangular tiene un volumen\(V = 1 \cdot 1 \cdot d\) ft\(^3\text{,}\) por lo que el peso correspondiente de la parte superior del agua es\(62.4d\text{.}\) Esta es la cantidad de fuerza que se ejerce sobre una región de 1 pie cuadrado a una profundidad\(d\) pies bajo el agua, por lo que la presión ejercida por el agua a profundidad \(d\)es\(P = 62.4 d\) (lbs/ft\(^2\)).

Porque la presión es fuerza por unidad de área, o\(P = \frac{F}{A}\text{,}\) podemos calcular la fuerza total a partir de una presión variable integrando\(F = PA\text{.}\)

Ejemplo 6.4.6

Considere una presa en forma de trapecio que mide 60 pies de ancho en su base y 90 pies de ancho en su parte superior, y asuma que la presa mide 25 pies de altura con agua que se eleva a menos de 5 pies de la parte superior de su cara. El agua pesa 62.4 libras por pie cúbico. ¿Cuánta fuerza ejerce el agua contra la presa?

Contestar

En primer lugar, se esboza una imagen de la presa, como se muestra en la Figura 6.4.7. Tenga en cuenta que, como en los problemas que involucran el trabajo para bombear un tanque, dejamos que el\(x\) eje positivo apunte hacia abajo.

Figura 6.4.7. Presa trapezoidal que mide 25 pies de altura, 60 pies de ancho en su base, 90 pies de ancho en su parte superior, con la línea de agua 5 pies hacia abajo desde la parte superior de su cara.

La presión es constante a una profundidad fija, por lo que consideramos una rodaja de agua a profundidad constante en la cara, como se muestra en la figura. El área de esta porción es aproximadamente el área del rectángulo que se muestra en la imagen. Dado que el ancho de ese rectángulo depende de la variable\(x\text{,}\) encontramos una fórmula para la línea que representa un lado de la presa. Es sencillo encontrar que\(y = 45 - \frac{3}{5}x\text{.}\) Por lo tanto, el área aproximada de una porción representativa es

\[ A_{\text{slice} } = 2 f(x) \Delta x = 2 (45 - \frac{3}{5}x) \Delta x\text{.} \nonumber \]

En cualquier punto de esta rebanada, la profundidad es aproximadamente constante, por lo que la presión puede considerarse constante. Debido a que el agua se eleva a menos de 5 pies de la parte superior de la presa, la profundidad de cualquier punto en la rebanada representativa es aproximadamente\((x-5)\text{.}\) Ahora, ya que la presión viene dada por\(P = 62.4d\text{,}\) tenemos eso en cualquier punto de la rebanada

\[ P_{\text{slice} } = 62.4(x-5)\text{.} \nonumber \]

Conociendo tanto la presión como el área, podemos encontrar la fuerza que el agua ejerce sobre la rebanada. Su uso\(F = PA\text{,}\) se deduce que

\[ F_{\text{slice} } = P_{\text{slice} } \cdot A_{\text{slice} } = 62.4(x-5) \cdot 2 (45 - \frac{3}{5}x) \Delta x\text{.} \nonumber \]

Finalmente, utilizamos una integral definida para sumar las fuerzas en el rango apropiado\(x\) de valores. Dado que el agua se eleva a menos de 5 pies de la parte superior de la presa, comenzamos en\(x = 5\) y tomamos rebanadas todo el camino hasta el fondo de la presa, donde\(x = 25\text{.}\) Por lo tanto,

\[ F = \int_{x=5}^{x=25} 62.4(x-5) \cdot 2 (45 - \frac{3}{5}x) \, dx\text{.} \nonumber \]

Utilizando la tecnología para evaluar la integral, encontramos\(F = 848 640\) libras.

Actividad 6.4.4

En cada uno de los siguientes problemas, determinar la fuerza total ejercida por el agua contra la superficie que se describe.

Figura 6.4.8. Un canal con extremos triangulares, como se describe en la Actividad 6.4.4, parte (c).

1. Considera una presa rectangular que mide 100 pies de ancho y 50 pies de alto, y supongamos que el agua presiona contra la presa hasta la cima.
2. Considera una presa semicircular con un radio de 30 pies. Supongamos que el agua se eleva a menos de 10 pies de la parte superior de la presa.
3. Considere un canal con extremos triangulares, como se muestra en la Figura 6.4.8, donde el tanque mide 10 pies de largo, la parte superior tiene 5 pies de ancho y el tanque tiene 4 pies de profundidad. Digamos que el comedero está lleno a menos de 1 pie de la parte superior con agua de densidad de peso 62.4 libras/pie\(^3\text{.}\) ¿Cuánta fuerza ejerce el agua contra uno de los extremos triangulares?

Aunque existen muchas fórmulas diferentes que involucran trabajo, fuerza y presión, las ideas fundamentales detrás de estos problemas son similares a otras que hemos encontrado en aplicaciones de la integral definida. Repartimos la cantidad de interés en piezas más manejables y luego usamos una integral definida para sumarlas.

6.4.4 Resumen

• Para medir el trabajo realizado por una fuerza variable en el movimiento de un objeto, dividimos el problema en piezas sobre las que podemos usar la fórmula\(W = F \cdot d\text{,}\) y luego usar una integral definida para sumar el trabajo realizado en cada pieza.
• Para encontrar la fuerza total ejercida por el agua contra una presa, utilizamos la fórmula\(F = P \cdot A\) para medir la fuerza ejercida sobre una rebanada que se encuentra a una profundidad fija, y luego usamos una integral definida para sumar las fuerzas a través del rango apropiado de profundidades.
• Debido a que el trabajo se calcula como el producto de la fuerza y la distancia (siempre que la fuerza sea constante), y la fuerza que el agua ejerce sobre una presa puede calcularse como el producto de la presión y el área (siempre que la presión sea constante), los problemas que involucran estos conceptos son similares a los problemas anteriores que hicimos usando integrales definidas para encontrar distancia (vía “distancia es igual tasa por tiempo”) y masa (“masa es igual a densidad por volumen”).