1.6: Derivadas

de orden superior Derivadas$f'(x)$ de orden superior La derivada de una función diferenciable$f(x)$ puede considerarse como una función por derecho propio, y si es diferenciable entonces su derivado, denotado por$f''(x)$ —es la segunda derivada de$f(x)$ (siendo la primera derivada$f'(x)$). Asimismo, la derivada de$f''(x)$ sería la tercera derivada de$f(x)$, escrita como$f'''(x)$. Al continuar así se obtiene la cuarta derivada, la quinta derivada, y así sucesivamente. En general la$\bm{n}$ -ésima derivada de$f(x)$ se obtiene diferenciando$f(x)$ un total de$n$ veces. Los derivados más allá de los primeros se denominan derivados de orden superior. Para$f(x) = 3x^4$ encontrar$f''(x)$ y$f'''(x)$. Solución: Desde$f'(x) = 12x^3$ entonces la segunda derivada$f''(x)$ es la derivada de$12x^3$, a saber:

$$f''(x) ~=~ 36x^2$$ La tercera derivada$f'''(x)$ es entonces la derivada de$36x^2$, a saber:

$$f'''(x) ~=~ 72x$$ Dado que la notación prima para las derivadas de orden superior puede ser engorrosa (por ejemplo, escribir 50 marcas primos para la derivada quincuagésimo), se han creado otras notaciones: Observe que los paréntesis alrededor$n$ de la notación$f^{(n)}(x)$ indican que no$n$ es un exponente—es el número de derivados a tomar. El$n$ en la notación Leibniz$\frac{d^ny}{\dx^n}$ indica lo mismo, y en general facilita el trabajo con derivadas de orden superior:

\[\begin{aligned} \frac{d^2y}{\dx^2} ~&=~ \ddx\,\left(\dydx\right)\

\ [4pt]\ frac {d^3y} {\ dx^3} ~&=~\ ddx\,\ izquierda (\ frac {d^2y} {\ dx^2}\ derecha) ~=~\ frac {d^2} {\ dx^2}\,\ izquierda (\ dydx\ derecha)\ &\ vdots\\ frac {d^ny} {\ dx^n} ~&=~\ ddx\,\ left (\ frac {d^ {n-1} y} {\ dx^ {n-1}}\ right) ~=~\ frac {d^ {n-1}} {\ dx^ {n-1}}\,\ left (\ dydx\ right)\ end {alineado}\] Una pregunta natural a hacer es: ¿qué hacer más alto ¿Los derivados de orden representan? Recordemos que la primera derivada$f'(x)$ representa la velocidad instantánea de cambio de una función$f(x)$ en el valor$x$. Entonces la segunda derivada$f''(x)$ representa la tasa instantánea de cambio de la función$f'(x)$ en el valor$x$. En otras palabras, la segunda derivada es una tasa de cambio de una tasa de cambio. El ejemplo más famoso de esto es para el movimiento en línea recta: deja$s(t)$ ser la posición de un objeto en el momento a$t$ medida que el objeto se mueve a lo largo de la línea. El movimiento puede tomar dos direcciones, por ejemplo, adelante/atrás o arriba/abajo. Toma una dirección para representar la posición positiva y la otra para representar la dirección negativa, como en el dibujo de la derecha. La velocidad (instantánea)$v(t)$ del objeto en el momento$t$ es$s'(t)$, es decir, la primera derivada de$s(t)$. La aceleración$a(t)$ del objeto en el tiempo$t$ se define como$v'(t)$, la tasa instantánea de cambio de la velocidad. Así, es decir$a(t) = s''(t)$, la aceleración es la segunda derivada de la posición. Para resumir:

Ejemplo$\PageIndex{1}$: accel

Agrega texto aquí.

Solución

Ignorando la resistencia al viento y al aire, la posición$s$ de una pelota lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de 34 m/s desde un punto de partida a 2 m del suelo viene dada por$s(t) = -4.9t^2 + 34t + 2$ en tiempo$t$ (medida en segundos) con$s$ medida en metros. Encuentra la velocidad y aceleración de la pelota en cualquier momento$t \ge 0$. Solución: La pelota se mueve en línea recta vertical, primero hacia arriba y luego hacia abajo hasta que golpea el suelo. Su velocidad$v(t)$ es

$$\begin{aligned} v(t) ~&=~ \dsdt ~=~ -9.8t ~+~ 34 ~~\text{m/s} \intertext{while its acceleration $a(t)$ is} a(t) ~&=~ \frac{d^2s}{\dt^2} ~=~ \ddt\,\left(\dsdt\right) ~=~ \ddt\,(-9.8t ~+~ 34) ~=~ -9.8 ~~\text{m/s}^2\text{,} \end{aligned}$$ que es la aceleración debida a la fuerza de gravedad sobre la Tierra. Tenga en cuenta que el tiempo$t = 0$ es el momento en el que se lanzó la pelota, por lo que esa$v(0)$ es la velocidad inicial de la pelota. En efecto,$v(0) = -9.8(0) + 34 = 34$ m/s, como se esperaba. Aviso en Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: accel

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Solución

que la aceleración de la pelota no sólo es constante sino también negativa. Para ver por qué esto tiene sentido, primero considere el caso donde la pelota se mueve hacia arriba. La bola tiene una velocidad inicial ascendente de 34 m/s luego se ralentiza a 0 m/s en el instante en que alcanza su altura máxima sobre el suelo. Entonces la velocidad está disminuyendo, es decir, su tasa de cambio —la aceleración— es negativa. El balón alcanza su altura máxima sobre el suelo cuando su velocidad es cero, es decir, cuando, es decir$v(t) = -9.8t + 34 = 0$, a tiempo$t = 34/9.8 = 3.47$ segundos después de ser arrojada (ver la imagen de arriba). Luego, la bola comienza a moverse hacia abajo y su velocidad es negativa (por ejemplo, en el tiempo$t = 4$ s la velocidad es$v(4) = -9.8(4) + 34 = -5.2$ m/s). Recordemos que la velocidad negativa indica movimiento hacia abajo, mientras que la velocidad positiva significa que el movimiento es ascendente (lejos del centro de la Tierra). Entonces, en el caso donde la pelota comienza a moverse hacia abajo va de 0 m/s a una velocidad negativa, con la pelota moviéndose más rápido hacia el suelo, que golpea con una velocidad de$-33.43$ m/s (¿por qué?). Entonces nuevamente la velocidad está disminuyendo, lo que nuevamente significa que la aceleración es negativa. La terminología común que involucra movimiento podría causar cierta confusión con la discusión anterior. Por ejemplo, aunque la aceleración de la pelota es negativa ya que cae al suelo, es común decir que la pelota está acelerando en esa situación, no desacelerando (como la pelota lo está haciendo mientras se mueve hacia arriba). En general, se entiende por aceleración que significa que la magnitud (es decir, el valor absoluto) de la velocidad está aumentando. Esa magnitud se llama la velocidad del objeto. La desaceleración significa que la velocidad está disminuyendo. La primera y segunda derivadas de la posición de un objeto con respecto al tiempo representan la velocidad y aceleración del objeto, respectivamente. ¿Tienen algún significado físico el tercero, cuarto y otros derivados de orden superior? Resulta que sí. La tercera derivada de la posición se llama el tirón del objeto. Representa la tasa de cambio de aceleración, y a menudo se usa en campos como la dinámica del vehículo (por ejemplo, minimizar el tirón para proporcionar un frenado más suave). La cuarta, quinta y sexta derivadas de la posición se llaman snap, crackle y pop, respectivamente.28 La derivada cero-ésima$f^{(0)}(x)$ de una función$f(x)$ se define como la función$f(x)$ misma:$f^{(0)}(x) = f(x)$. Hay una manera de definir derivados fraccionarios, por ejemplo, la media derivada$f^{(1/2)}(x)$, que se discutirá en el Capítulo 6. Una consecuencia inmediata de la definición de derivados de orden superior es: Recordemos que el factorial$n!$ de un entero$n > 0$ es el producto de los enteros de 1 a$n$:

$$n! ~=~ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \;\cdots\; \cdot n$$ Por ejemplo:

$$\begin{aligned} {3} 1! ~&=~ 1 \qquad\qquad& 3! ~&=~ 1 \cdot 2 \cdot 3 ~=~ 6\\ 2! ~&=~ 1 \cdot 2 ~=~ 2 \qquad\qquad& 4! ~&=~ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 ~=~ 24\end{aligned}$$ Por convención$0!$ se define como 1. Mediante inducción se puede probar la siguiente afirmación: Por lo tanto,

$$\dfrac{d^{n+1}}{\dx^{n+1}}\,\left(x^n\right) ~=~ \ddx\,\left(\dfrac{d^n}{\dx^n}\,\left(x^n\right)\right) ~=~ \ddx\,(n!) ~=~ 0$$ para todos los enteros$n \ge 0$, ya que$n!$ es una constante. Los polinomios son combinaciones lineales de potencias no negativas de una variable (por ejemplo$x$), por lo que el resultado anterior combinado con la Regla de Suma y la regla Múltiple Constante, que también se mantienen para derivados de orden superior, produce este hecho importante: Esta es la base de la declaración de uso común de que “cualquier polinomio puede diferenciarse a 0” tomando un número suficiente de derivados. Por ejemplo, diferenciar el polinomio$p(x) = 100x^{100} + 50x^{99}$ 101 veces produciría 0 (como lo haría diferenciar más de 101 veces). [sec1dot6] Para los Ejercicios 1-6 encuentra la segunda derivada de la función dada. 3 $f(x) ~=~ x^3 ~+~ x^2 ~+~ x ~+~ 1$ $f(x) ~=~ x^2\,\sin x$ $f(x) ~=~ \cos 3x$ 3 $f(x) ~=~ \dfrac{\sin x}{x}\vphantom{\dfrac{G m_1 m_2}{r^2}}$ $f(x) ~=~ \dfrac{1}{x}\vphantom{\dfrac{G m_1 m_2}{r^2}}$ $F(r) ~=~ \dfrac{G m_1 m_2}{r^2}$ Encuentra las primeras cinco derivadas de$f(x) = \sin x$. Utilízalas para encontrar$f^{(100)}(x)$ y$f^{(2014)}(x)$. Encuentra los primeros cinco derivados de$f(x) = \cos x$. Utilízalas para encontrar$f^{(100)}(x)$ y$f^{(2014)}(x)$. Si un objeto se mueve a lo largo de una línea recta tal que su posición$s(t)$ en el tiempo$t$ es directamente proporcional a$t$ para todos$t$ (escrito como$s \propto t$), entonces mostrar que la aceleración del objeto es siempre 0. [exer:dnxn] Usa la inducción para mostrar eso$\frac{d^n}{\dx^n}\,\left(x^n\right) ~=~ n!~$ para todos los enteros$n \ge 1$. Demostrar que para todos los enteros$n \ge m \ge 1$,$\frac{d^{m}}{\dx^{m}}\,\left(x^n\right) ~=~ \frac{n!}{(n - m)!}\,x^{n - m} ~$. Encuentra la expresión general para la$n$ -ésima derivada de$f(x) = \frac{1}{ax + b} ~$ para todas las constantes$a$ y$b$ ($a \ne 0$). Mostrar que la función$y = A \cos\,(\omega t + \phi) ~+~ B \sin\,(\omega t + \phi)$ satisface la ecuación diferencial

$$\frac{d^2y}{\dt^2} ~+~ \omega^2 y ~=~ 0$$ para todas las constantes$A$,$B$,$\omega$, y$\phi$. Si$s(t)$ representa la posición en el momento$t$ de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta, entonces muestre que:

$$\begin{aligned} {2} s' ~\text{and}~ s'' ~&\text{have the same sign} \quad&&\Rightarrow\quad \text{the object is accelerating}\\ s' ~\text{and}~ s'' ~&\text{have opposite signs} &&\Rightarrow\quad \text{the object is decelerating}\end{aligned}$$ Para todas las funciones dos veces diferenciables$f$ y$g$, demuéstralo$\;(f \cdot g)'' = f'' \cdot g ~+~ 2 f' \cdot g' ~+~ f \cdot g''$. Recordemos que tomar una derivada es una forma de operar sobre una función. Es decir, pensar en$\ddx$ como el operador de diferenciación en la colección de funciones diferenciables, llevando una función$f(x)$ a su función derivada$\dfdx$: Asimismo,$\frac{d^2}{d\!x^2}$ es un operador en funciones dos veces diferenciables, llevando una función$f(x)$ a su segunda derivada function$\frac{d^2 \negmedspace f}{d\!x^2}$: En general, una función propia de un operador$A$ es una función$\phi(x)$ tal que$A(\phi(x)) ~=~ \lambda \cdot \phi(x)$, es decir, para todos$x$ en el dominio de$\phi$, para alguna constante$\lambda$ llamada el valor propio de la función propia. Mostrar para todas las constantes$k$ que$\phi(x) ~=~ \cos\,kx$ es una función propia del$\frac{d^2}{d\!x^2}$ operador, y encuentra su valor propio. Es decir, mostrar que$\frac{d^2}{d\!x^2}(\phi(x)) = \lambda \cdot \phi(x)$ para alguna constante$\lambda$ (el valor propio). La función de onda$\psi$ para una partícula de masa que$m$ se mueve en una caja unidimensional de longitud$L$, dada por

$$\psi(x) ~=~ \sqrt{\frac{2}{L}}\;\sin\,\frac{\pi x}{L} \qquad\text{for $~0 \;\le x \;\le L$,}$$ es una solución (suponiendo energía potencial cero) de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

$$-\frac{h^2}{8\pi^2 m}\,\frac{d^2 \negmedspace\psi}{d\!x^2} ~=~ E\,\psi(x)$$ donde$h$ es la constante de Planck y$E$ es una constante que representa la energía total de la función de onda. Encuentra una expresión para la constante$E$ en términos de las otras constantes. Observe que esto hace$\psi(x)$ una función propia del$\frac{d^2}{d\!x^2}$ operador.