1.1: Introducción a los Derivados

La Derivada

Introducción

El cálculo se puede considerar como el análisis de formas curvas. ¹ Su desarrollo surgió a partir de intentos de resolver problemas físicos. Por ejemplo, supongamos que se deja caer un objeto en reposo a 100 pies sobre el suelo. Ignorando la resistencia del aire y el viento, el objeto caerá recto hacia abajo hasta que golpee el suelo (ver Figura [fig:fall] (a)). Como se demostrará más adelante,$t$ segundos después de ser caído el objeto estará a$s = s(t) = -16t^2 + 100$ pies sobre el suelo. El objeto golpeará así el suelo después de 2.5 segundos (cuando$s = 0$). Si bien la trayectoria del objeto es una línea recta, la gráfica de su posición$s$ sobre el suelo en función del tiempo$t$ es curva, parte de una parábola (ver Figura [fig:fall] (b)).

¿Qué tan rápido se mueve el objeto antes de que golpee el suelo? Aquí es donde entra el cálculo. La solución, presentada ahora, motivará gran parte de este capítulo.

Primero, el objeto viaja 100 pies en 2.5 segundos, por lo que su velocidad promedio en ese tiempo es

$$\frac{\text{distance traveled}}{\text{time elapsed}} ~=~ \frac{100 \text{ ft}}{2.5 \text{ seconds}} ~=~ 40 \text{ ft/s,}$$ y su velocidad promedio en ese tiempo es

$$\frac{\text{change in position}}{\text{change in time}} ~=~ \frac{\text{final position} ~-~ \text{initial position}} {\text{end time} ~-~ \text{start time}} ~=~ \frac{0 \text{ ft} ~-~ 100 \text{ ft}}{2.5 \text{ sec} ~-~ 0 \text{ sec}} ~=~ -40 \text{ ft/s.}$$ A diferencia de la velocidad, la velocidad toma en cuenta la dirección. Así, el movimiento hacia abajo del objeto significa que tiene velocidad negativa. La velocidad positiva implica un movimiento ascendente.

Usando la idea de la velocidad promedio en un intervalo de tiempo, existe una manera natural de definir la velocidad instantánea del objeto en un instante de tiempo particular$t$:

1. Encuentra la velocidad promedio a lo largo de un intervalo de tiempo.

2. Deje que el intervalo se haga cada vez más pequeño indefinidamente, reduciéndose a un punto$t$. Si la velocidad promedio sobre ese intervalo cada vez más pequeño se acerca a algún valor, llame a ese valor la velocidad instantánea en el momento$t$.

La figura [fig:instvel] a continuación muestra cómo elegir el intervalo: para cualquier tiempo$t$ entre 0 y 2.5, usa el intervalo$\ival{t}{t+\Delta t}$, donde$\Delta t$ (pronunciado “delta t”) es un número positivo pequeño. Así$\Delta t$ es el cambio en el tiempo a lo largo del intervalo; denotan por$\Delta s$ el cambio en la posición$s$ sobre ese intervalo.

La velocidad promedio del objeto a lo largo del intervalo$\ival{t}{t+\Delta t}$ es$\frac{\Delta s}{\Delta t}$, así que desde$s(t) = -16t^2 + 100$:

\[\begin{aligned} \dfrac{\Delta s}{\Delta t} ~~&=~~ \dfrac{s(t + \Delta t) ~-~ s(t)} {\Delta t}\

\ [8pt] &=~~\ dfrac {-16 (t+\ Delta t) ^2 ~+~ 100 ~-~ (-16t^2 ~+~ 100)} {\ Delta t}\

\ [8pt] &=~~\ dfrac {-16t^2 ~-~ 32t\ Delta t ~-~ 16 (\ Delta t) ^2 ~+~ 100 ~+~ 16t^2 ~-~ 100} {\ Delta t}\

\ [8pt] &=~~\ dfrac {-32t\ Delta t ~-~ 16 (\ Delta t) ^2} {\ Delta t} ~~~=~~\ dfrac {\ cancel {\ Delta t}\, (-32t ~-~ 16\ Delta t)} {\ cancel {\ Delta t}}\

\ [6pt] &=~~ -32t ~-~ 16\ Delta t ~,\ final {alineado}\]

Ahora deja que el intervalo$\ival{t}{t+\Delta t}$ se haga cada vez más pequeño indefinidamente, es decir, vamos a$\Delta t$ acercarnos cada vez más a 0. Entonces la velocidad promedio$\frac{\Delta s}{\Delta t} = -32t - 16\Delta t\,$ se acerca cada vez más a$-32t - 0 = -32t$. Así, el objeto tiene velocidad instantánea$-32t$ en el momento$t$. Este cálculo puede interpretarse como tomar el límite de$\frac{\Delta s}{\Delta t}\,$ como$\Delta t\,$ enfoques$0$, escrito de la siguiente manera:

\[\begin{aligned} \text{instantaneous velocity at $t$} ~~&=~~ \text{limit of average velocity over $\ival{t}{t+\Delta t}$ as $\Delta t$ approaches to 0}\

\ [6pt] &=~~\ lim_ {\ Delta t\ a 0} ~\ frac {\ Delta s} {\ Delta t}\

\ [8pt] &=~~\ lim_ {\ Delta t\ a 0} ~ (-32t ~-~ 16\ Delta t)\

\ [6pt] &=~~ -32t - 16 (0)\

\ [6pt] &=~~ -32t\ final {alineado}\]

Aviso que no$\Delta t$ se sustituye por$0$ en la proporción$\frac{\Delta s}{\Delta t}$ hasta después de hacer la mayor cancelación posible. Observe también que la velocidad instantánea del objeto varía con$t$, como debería (¿por qué?). En particular, en el instante en que el objeto golpea el suelo en el tiempo$t = 2.5$ seg, la velocidad instantánea es$-32(2.5) = -80$ ft/s.

Si esto tiene sentido hasta ahora, entonces entiendes el quid de la idea de qué es un límite y cómo calcular un límite. La velocidad instantánea$v(t) = -32t$ se llama la derivada de la función de posición$s(t) =-16t^2 + 100$. El cálculo de derivados, el análisis de sus propiedades y su uso para resolver diversos problemas forman parte del cálculo diferencial.

¿Qué tiene que ver esto con las formas curvas? La velocidad instantánea es un caso especial de una tasa instantánea de cambio de una función; en este caso la velocidad instantánea de cambio de la posición (altura sobre el suelo) del objeto. Similar a como la tasa de cambio de una línea es su pendiente, la tasa instantánea de cambio de una curva general representa la pendiente de la curva. Por ejemplo, la parábola$s(t) = -16t^2 + 100$ tiene pendiente$-32t$ para todos$t$. Tenga en cuenta que la pendiente de esta curva varía (en función de$t$), a diferencia de la pendiente de una línea recta.

Encontrar el área dentro de regiones curvas es otro tipo de problema que el cálculo puede resolver. La idea básica es usar regiones más simples, rectángulos, cuyas áreas son conocidas, luego usarlas para aproximar el área dentro de la región curva. Uno de esos métodos es dibujar cada vez más rectángulos de anchuras decrecientes dentro de la región curva, ² de manera que las sumas de sus áreas se acerquen al área de la región curva. La figura [fig:area] muestra un ejemplo con cuatro rectángulos para aproximar el área bajo una curva a$y=f(x)$ lo largo de un intervalo$\ival{a}{b}$ en el que$f(x) \ge 0$.

El límite de estas sumas de áreas rectangulares se denomina integral. El estudio y aplicación de integrales forman parte del cálculo integral. Quizás el resultado más notable en el cálculo es que existe una conexión entre derivados e integrales, el Teorema Fundamental del Cálculo, descubierto en el ^siglo XVII, independientemente, por los dos hombres que inventaron el cálculo tal como lo conocemos: físico inglés, astrónomo y matemático Isaac Newton (1642-1727) y matemático y filósofo alemán Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716).

Cálculo hace un uso extensivo de secuencias y series infinitas. Una serie infinita es solo una suma de un número infinito de términos. Por ejemplo, se mostrará más adelante en el texto que

$$\label{eqn:piseries} \frac{\pi}{4} ~~=~~ 1 ~-~ \frac{1}{3} ~+~ \frac{1}{5} ~-~ \frac{1}{7} ~+~ \frac{1}{9} ~-~ \cdots ~,$$ donde la suma de la derecha implica un número infinito de términos. Una serie de poder es un tipo particular de serie infinita aplicada a funciones; puede pensarse como un polinomio de grado infinito. Por ejemplo, la función trigonométrica$\sin\;x$ no parece ser un polinomio. Pero resulta que$\sin\;x$ tiene una representación de series de potencia como

$$\label{eqn:sinseries} \sin\,x ~~=~~ x ~-~ \frac{x^3}{3!} ~+~ \frac{x^5}{5!} ~-~ \frac{x^7}{7!} ~+~ \frac{x^9}{9!} ~-~ \cdots ~,$$ donde nuevamente la suma continúa infinitamente, y la fórmula se mantiene para todos$x$ (en radianes).

La idea de reemplazar una función por su serie de potencia jugó un papel importante a lo largo del desarrollo del cálculo, y es una técnica poderosa en muchas aplicaciones.

Todas las funciones en este texto serán funciones de una única variable real, es decir, los valores que la variable puede tomar son números reales. A continuación se muestra una notación estándar para conjuntos de números de uso común:

\[\begin{aligned} \Naturals ~~&=~~ \text{the set of all \textbf{natural} numbers, i.e. the set of nonnegative integers: } 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\

\ [6pt]\ Enteros ~~&=~~\ text {el conjunto de todos los enteros:} 0,\ pm 1,\ pm 2,\ pm 3,\ pm 4,\ ldots\

\ [6pt]\ Racionales ~~&=~~\ text {el conjunto de todos los\ textbf {racionales} números $\ frac {m} {n} $, donde $m$ y $n$ son enteros, con $n\ ne 0$}\

\ [6pt]\ Reales ~~&=~~\ text {el conjunto de todos los números reales}\ end {alineado}\]

Tenga en cuenta que$\Naturals ~~\subset~~ \Integers ~~\subset~~ \Rationals ~~\subset~~ \Reals$.

El conjunto de números reales consiste en los números racionales junto con números que no son racionales, llamados números irracionales. Por ejemplo,$\sqrt{2}$ es irracional. Es decir, 2 no es el cuadrado de un número racional. De hecho, si el cuadrado de un número racional$q$ fuera un entero, entonces$q$ sí mismo tendría que ser un entero: escribir$q$ como$m/n$, donde$m$ y$n$ son enteros positivos sin divisores enteros positivos comunes distintos de 1. Dado que$q^2 = m^2/n^2$ simplemente duplica los divisores enteros de$m$ y$n$, entonces$q^2$ puede ser un entero solo si$n=1$, es decir,$q$ es un entero. Claramente 2 no es el cuadrado de un entero, y por lo tanto no puede ser el cuadrado de un número racional. Este argumento también demuestra que$\sqrt{3}$,$\sqrt{5}$,$\sqrt{6}$,$\sqrt{7}$,$\sqrt{8}$,$\sqrt{10}$, y así sucesivamente, son irracionales. ³

Resulta que hay números mucho más irracionales —y por lo tanto números reales— que números racionales. De hecho, mientras que los números racionales se pueden enumerar en una secuencia (es decir, primero, segundo, tercero, etc.), el conjunto de números reales no puede. ⁴ Por ejemplo, en el intervalo cerrado no$\ival{0}{1}$ hay “siguiente” número real después del número$0$. Así, algunos conjuntos infinitos son más grandes que otros—$\Reals$ es más grande que$\Rationals$. Intervalos como$\ival{0}{1}$ o$\Reals$ en sí mismos son ejemplos de un continuo de objetos, es decir, no existen huecos. ⁵ Un famoso problema sin resolver en matemáticas —la Hipótesis del Continuum — es si existe un conjunto infinito que es mayor en tamaño que$\Rationals$ pero más pequeño que$\Reals$.

El infinito es una noción importante en el cálculo. Ya sea la idea de infinitamente grande o infinitesimalmente pequeña, el cálculo intenta darle a la idea algún significado matemático (típicamente a modo de límites). ⁶ El uso matemático del infinito ha sido objeto de debate filosófico. ⁷

Aunque de varios siglos de antigüedad, el cálculo fue el comienzo de las matemáticas modernas. Las matemáticas clásicas (por ejemplo, álgebra, geometría, trigonometría) —cuyos orígenes se remontan a los antiguos babilonios, egipcios y griegos— se referían principalmente al estudio de las cantidades estáticas. El cálculo produjo una forma de analizar cantidades dinámicas (es decir, cambiantes). El período comprendido entre el ^siglo XVII y el ^XIX también vio avances revolucionarios en física, química, biología y otras ciencias. El nacimiento del cálculo fue una parte de ese salto cualitativo. [sec1dot1]

Para los Ejercicios 1-4, supongamos que un objeto se mueve en línea recta de tal manera que su posición$s$ después del tiempo$t$ es la función dada$s=s(t)$. Encuentra la velocidad instantánea del objeto en un tiempo general$t \ge 0$. Deberías imitar el ejemplo anterior para la velocidad instantánea cuando$s = -16t^2 + 100$.

4

$s = t^2$

$s = 9.8t^2$

$s = -16t^2 + 2t$

$s = t^3$

Por ecuación ([eqn:piseries])$\pi ~=~ 4\,\left(1 ~-~ \frac{1}{3} ~+~ \frac{1}{5} ~-~ \frac{1}{7} ~+~ \frac{1}{9} ~-~ \cdots ~\right)$, donde el$n^{th}$ término en la suma dentro de los paréntesis es$\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}$ (comenzando en$n=1$). ⁸ Entonces la primera aproximación de$\pi$ usar esta fórmula es$\pi \approx 4\,(1) = 4.0$, y la segunda aproximación es$\pi \approx 4\,\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 8/3 \approx 2.66667$. Continúa así hasta que dos aproximaciones consecutivas tengan$3$ como primer dígito antes del punto decimal. ¿Cuántos términos en la suma requirió esto? Tenga cuidado con el redondeo en las aproximaciones. [[1.] ]

En geometría elemental aprendiste que el área dentro de un círculo de radio$r>0$ es$\pi r^2$ (esa fórmula se probará más adelante en el texto). Entonces en particular, dejemos$C$ ser un círculo de radio$1$. Entonces el área interior$C$ es$\pi$. Esa área se puede aproximar por el método de agotamiento de Eudoxus. ⁹ La idea es inscribir polígonos regulares dentro del círculo, es decir, los vértice de los polígonos se tocan$C$. Recordemos de la geometría que un polígono es regular si sus lados son de igual longitud. Al aumentar el número de lados de los polígonos, las áreas dentro de los polígonos se acercarán al área ($\pi$) de$C$. Este fue un intento temprano de usar lo que ahora se llama un límite. ¹⁰

1. Inscribir un cuadrado en su interior$C$, como en la Figura [fig:insquare]. Demostrar que el área dentro de la plaza es$2$. Esta es una mala aproximación de$\pi = 3.14159265...$, obviamente.

2. Inscribir un hexágono regular ($6$-lateral) en su interior$C$, como en la Figura [fig:inhexágono]. Demostrar que el área dentro del hexágono es$\frac{3\,\sqrt{3}}{2} \approx 2.59807621$. Esta es una aproximación ligeramente mejor, aunque aún pobre, de$\pi$.

3. Inscribir un dodecágono regular ($12$-lateral) en su interior$C$. Demostrar que el área dentro del dodecagon es$3$. Así toma$12$ lados para que la aproximación obtenga el primer dígito de$\pi$ correcto.

4. Inscribe un polígono regular$100$ de lados en su interior$C$. Mostrar que el área dentro de este polígono es aproximadamente$3.13952598$. Esto se está acercando a$\pi$.

5. Mostrar que la fórmula general para el área dentro de un polígono regular de$n$ lados inscritos en su interior$C$ es$\dfrac{n}{2}\,\sin\,\left( \dfrac{360\Degrees} {n}\right)$. (Pista: La identidad de doble ángulo$\sin\,2\theta = 2\,\sin\,\theta\;\cos\,\theta$ podría ayudar.)

[[1.] ]

¿Cuál es la falla en la siguiente “prueba” de eso$\pi = 4$? :

Paso 1: Dibuja un cuadrado alrededor de un círculo de diámetro$d = 1$. La circunferencia del círculo es así$\pi\,d = \pi$, y el perímetro del cuadrado es 4.

Paso 2: Retire las esquinas del cuadrado como se muestra en la imagen de la derecha, para que cuatro nuevas esquinas toquen el círculo. Observe que el perímetro del polígono resultante sigue siendo 4, ya que las longitudes de las piezas de esquina eliminadas se duplican en el nuevo polígono, de manera que las longitudes de todos los lados verticales suman 2 mientras que las longitudes de todos los lados horizontales suman 2.

Paso 3: Retire las esquinas del polígono en el Paso 2, como se muestra en la imagen de la derecha, para que ocho nuevas esquinas toquen el círculo. El perímetro del polígono resultante vuelve a ser todavía 4.

Paso 4: Continuar este procedimiento indefinidamente, teniendo cada polígono sucesivo todavía un perímetro de 4 y haciéndose cada vez más indistinguible del círculo. Dado que los perímetros de los polígonos siempre son iguales a 4 y se acercan a la circunferencia del círculo ($\pi$), entonces$\pi$ deben ser iguales a 4.

Un conjunto infinito es contable si sus miembros pueden ser puestos en una correspondencia uno a uno con los miembros de$\Naturals$, el conjunto de números naturales ($0, 1, 2, 3, 4, \ldots$). Claramente$\Naturals$ es en sí mismo contable. El conjunto$\Integers$ de todos los enteros también es contable, por medio de la siguiente correspondencia uno a uno con$\Naturals$:

Mostrar que$\Rationals$ (el conjunto de todos los números racionales) es contable. (Pista: La correspondencia anterior para$\Integers$ es una lista infinita en una dimensión (la dirección horizontal). Para$\Rationals$ pensar bidimensionalmente.)

---

1. Es más que eso, claro, pero esa definición nos pone en buena compañía: el primer libro de texto europeo sobre cálculo, escrito por el matemático francés Guillaume de l'Hôpital en 1696, se tituló Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (que se traduce como Análisis de lo Infinitamente Pequeño para Comprender Líneas Curvas). Ese libro (en francés) se puede obtener libremente en forma electrónica en https://archive.org ↩

2. Se mostrará más adelante (en el Capítulo 5) que los rectángulos no tienen que estar completamente dentro de la región. ↩

3. Este argumento se debe al filósofo británico Bertrand Russell (1872-1970). Para una prueba alternativa que$\sqrt{2}$ es irracional, ver pp. 97-98 en Gelfand, I.M. y A. Shen, Algebra, Boston: Birkhäuser, 1993. ↩

4. Para una prueba ver Ch.1 en Kamke, E., Theory of Sets, New York: Dover Publications, Inc., 1950. ↩

5. Para un estudio de la estructura del sistema de números reales, véase Burrill, C.W., Foundations of Real Numbers, Nueva York: McGraw-Hill Book Company, 1967. ↩

6. No todo el mundo está de acuerdo en que el cálculo hace esto satisfactoriamente. Por ejemplo, para un desarrollo alternativo de básicamente el mismo material en el cálculo “estándar” pero sin el uso de límites —llamados análisis infinitesimal — véase Keisler, H.J., Elemental Calculus: An Infinitesimal Approach, Boston: Prindle, Weber & Schmidt, 1976. ↩

7. Por ejemplo, véanse los ensayos de L. E. J. Brouwer, Hermann Weyl y David Hilbert en Heijenoort, J. van, From Frege to G ö del: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967. ↩

8. Esto, por cierto, es una fórmula terrible para calcular$\pi$; ¡obtener solo la parte de 3.14 requiere 119 términos en la suma! ↩

9. Originalmente debido a otro matemático griego antiguo, Antiphon (ca. 430 a.c.) ↩

10. El gran matemático, físico y astrónomo griego antiguo Arquímedes (ca. 287-212 a.c.) utilizó este método, junto con polígonos regulares circunscritos, para calcular$\pi$. ↩

11. Esto se demostrará en el Capítulo 5. ↩

12. En este texto, la tasa de cambio de siempre$f(x)$ se toma en la dirección de aumentar$x$, es decir, en la$x$ dirección positiva. ↩

13. Los textos de física suelen preferir la notación delta, ya que$\Delta x$ representa un pequeño cambio en alguna cantidad física$x$. ↩

14. Fue Leibniz quien creó la notación$\dydx$. Por esta razón$\dydx$ se llama la notación Leibniz para la derivada. Newton utilizó la notación de puntos$\dot{y}$, que ha caído en desgracia con los matemáticos pero que todavía es utilizada por muchos físicos, especialmente cuando la variable independiente representa el tiempo. Newton llamó derivados fluxiones. La notación principal$f'$ se debe al matemático y físico francés Joseph Louis Lagrange (1736-1813) . ↩

15. Bell, J.L., A Primer of Infinitesimal Analysis, Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press, 1998. ↩

16. En un tratamiento equivalente, los infinitesimales forman parte del sistema de números hiperreales. Véase Keisler, H.J., Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal, Boston: Prindle, Weber & Schmidt, 1976. ↩

17. El enfoque infinitesimal se desarrolló por primera vez de manera axiomática en el libro emblemático Robinson, A., Non-Standard Analysis, Amsterdam: Nort-Holland, 1966. Robinson demostró que para todos los fines prácticos el cálculo se puede desarrollar sin recurrir a límites, con resultados equivalentes. ↩

18. Las calculadoras hacen esto por razones de visualización; la mayoría puede mostrar solo 10-12 dígitos. Prueba este experimento en tu calculadora: Agrega$10^{30}$,$-\left(10^{30}\right)$, y 1 de dos maneras diferentes:$\left(10^{30} + -\left(10^{30}\right)\right) + 1$, y$10^{30} + \left(-\left(10^{30}\right) + 1\right)$. La primera forma te dará la respuesta correcta 1, pero la segunda forma rinde 0. ¡Así que la adición no siempre es asociativa en las calculadoras! ↩

19. Observe que la figura implica que el Teorema de Pitágoras no se aplica a los triángulos infinitesimales. Esto se discutirá en el Capítulo 8. ↩

20. Disponible en http://www.gnuplot.info. ↩

21. El filósofo inglés George Berkeley (1685-1753) se burló de infinitesimales como “los fantasmas de las cantidades difuntas” en su libro El analista (1734), que tenía el inquietante subtítulo “Un discurso dirigido a un matemático infiel” (dirigido a Newton) . ↩

22. Sin embargo, el enfoque límite resulta, en última instancia, ser equivalente al enfoque infinitesimal. En esencia, sólo la terminología es diferente. ↩

23. Como señaló Bertrand Russell, el nombre es realmente un nombre inapropiado: en realidad es una definición de los números naturales más que un principio, y la inducción técnicamente tiene un significado diferente. ↩

24. Algunos libros de texto dan advertencias nefastas para no pensar que$\du$ es una cantidad real que se puede cancelar. Sin embargo, puedes ignorar con seguridad esas advertencias, porque$\du$ es solo un infinitesimal y de ahí se puede cancelar! ↩

25. Se mostrará en el Capítulo 2 cómo definir cualquier número real como exponente. La Regla del Poder también se extiende a ese caso. ↩

26. Este es un ejemplo de un amplificador de retroalimentación negativa de diferenciación de corriente. Ver pp.473-479 en Schilling, D.L. y C. Belove, Circuitos electrónicos: Discretos e integrados, 2a ed., Nueva York: McGraw-Hill, Inc., 1979. ↩

27. Ver pp.43-45 en Heywood, J.B., Fundamentos de motores de combustión interna, Nueva York: McGraw-Hill Inc., 1988. ↩

28. Sí, esos realmente son sus nombres, obviamente inspirados en cierto cereal para el desayuno. Snap ha encontrado algunos usos en la dinámica de vuelo, por ejemplo, minimizar el snap para optimizar las rutas de vuelo de los drones ↩