5.1: El Integral Indefinido
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Los derivados aparecen en muchos fenómenos físicos, como el movimiento de objetos. Recordemos, por ejemplo, que dada la funcións(t) de posición de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta en el momentot, podrías encontrar la velocidadv(t)=s′(t) y la aceleracióna(t)=v′(t) del objeto a la vezt tomando derivadas. Supongamos que la situación se invirtió: dada la función de velocidad, ¿cómo encontraría la función de posición, o dada la función de aceleración, cómo encontraría la función de velocidad?
En este caso calcular una derivada no ayudaría, ya que se necesita el proceso inverso: en lugar de diferenciación necesitas una forma de realizar antidiferenciación, es decir, calcularías una antiderivada.
La diferenciación es relativamente sencilla. Has aprendido las derivadas de muchas clases de funciones (por ejemplo, polinomios, funciones trigonométricas, funciones exponenciales y logarítmicas), y con las diversas reglas de diferenciación puedes calcular derivadas de expresiones complicadas que involucran esas funciones (por ejemplo, sumas, potencias, productos, cocientes). La antidiferenciación, sin embargo, es una historia diferente.
Para ver algunos de los temas involucrados, considera una función simple comof(x)=2x. Por supuesto que lo sabes\ddx(x2)=2x, así parece queF(x)=x2 es el antiderivado def(x)=2x. Pero ¿es el único antiderivado def(x)? No. Por ejemplo, siF(x)=x2+1 entoncesF′(x)=2x=f(x), y asíF(x)=x2+1 es otro antiderivado def(x)=2x. De igual manera, así esF(x)=x2+2. De hecho, cualquier función de la formaF(x)=x2+C, dondeC es alguna constante, es un antiderivado def(x)=2x.
Otro problema potencial es que las funciones de la formaF(x)=x2+C son apenas los antiderivados más obvios def(x)=2x. ¿Podría haber alguna otra función completamente diferente, una que no se pueda simplificar enx2+C la forma, cuya derivada también resulte serf(x)=2x? La respuesta, por suerte, es no:
Para probarlo, considere la funciónH(x)=F(x)−G(x), definida para todosx en el dominio comúnI deF yG. DesdeF′(x)=G′(x)=f(x) entonces
H′(x) = F′(x) − G′(x) = f(x) − f(x) = 0for allx inI, asíH(x) es una función constante onI, como se mostró en la Sección 4.4 sobre el Teorema del Valor Medio. Así, hay una constanteC tal que
H(x) = C⇒F(x) − G(x) = C⇒F(x) = G(x) + Cpara todosx enI.✓
La consecuencia práctica del resultado anterior se puede afirmar de la siguiente manera:
Entonces para la funciónf(x)=2x, ya queF(x)=x2 es un antiderivado entonces todos los antiderivados def(x) son de la formaF(x)=x2+C, dondeC es una constante genérica. Así, las funciones no tienen un solo antiderivado sino toda una familia de antiderivados, todos difiriendo sólo por una constante. La siguiente notación hace que todo esto sea más fácil de expresar:
El símbolo grande en forma de S anteriorf(x) se llama signo integral. Aunque la integral indefinida∫f(x) \dx representa todos los antiderivados def(x), la integral puede considerarse como un solo objeto o función por derecho propio, cuya derivada esf′(x):
Quizás te estés preguntando qué representa el signo integral en la integral indefinida, y por qué\dx se incluye un infinitesimal. Tiene que ver con lo que representa un infinitesimal: una “pieza” infinitesimal de una cantidad. Para una antiderivadaF(x) de una funciónf(x), el infinitesimal (o diferencial)dF viene dado pordF=F′(x)\dx=f(x)\dx, y así
F(x) = ∫f(x) \dx = ∫dF .El signo integral actúa así como un símbolo de suma: resume las “piezas” infinitesimalesdF de la funciónF(x) en cada una dex manera que se suman a toda la funciónF(x). Piense en ello como similar al símbolo de suma habitualΣ utilizado para sumas discretas; el signo integral∫ toma la suma de un continuo de cantidades infinitesimales en su lugar.
Encontrar (o evaluar) la integral indefinida de una función se llama integrar la función, y la integración es antidiferenciación.
Ejemplo5.1.1: antideriv1
Agrega texto aquí.
Solución
Solución: Dado que la derivada de cualquier función constante es 0, entonces∫0 \dx=C, dondeC es una constante genérica.
Nota: A partir de ahora simplemente seC asumirá que representa una constante genérica, sin tener que decirlo explícitamente cada vez.
Ejemplo5.1.1: antideriv2
Agrega texto aquí.
Solución
Solución: Dado que la derivada deF(x)=x esF′(x)=1, entonces∫1 \dx=x+C.
Ejemplo5.1.1: antideriv3
Agrega texto aquí.
Solución
Solución: Dado que la derivada deF(x)=x22 esF′(x)=x, entonces∫x \dx=x22+C.
Ya que\ddx(xn+1n+1)=xn para cualquier númeron≠−1, y\ddx(ln\absx)=1x=x−1, entonces cualquier potencia de sex puede integrar:
Las siguientes reglas para integrales indefinidas son consecuencias inmediatas de las reglas para derivados:
Las reglas anteriores se prueban fácilmente. Por ejemplo, la primera regla es una consecuencia simple de la Regla Múltiple Constante para derivados: siF(x)=∫f(x) \dx, entonces
\ddx(kF(x)) = k\ddx(F(x)) = kf(x)⇒∫kf(x) \dx = kF(x) = k∫f(x) \dx .✓Las otras reglas se prueban de manera similar y se dejan como ejercicios. El uso repetido de las reglas anteriores junto con la Fórmula de Potencia muestra que cualquier polinomio puede integrarse término por término; de hecho, cualquier suma finita de funciones se puede integrar de esa manera:
[antideriv4] Evaluar∫(x7−3x4) \dx.
Solución: Integrar término por término, tirando de múltiples constantes fuera de la integral:
∫(x7−3x4) \dx = ∫x7 \dx − 3∫x4 \dx = x88 − 3x55 + C
[antideriv5] Evaluar∫√x \dx.
Solución: Utilice la fórmula de potencia:
∫√x \dx = ∫x1/2 \dx = x3/23/2 + C = 2x3/23 + C
[antideriv6] Evaluar∫(1x2+1x) \dx.
Solución: Utilice la Fórmula de Potencia e integre término por término:
∫(1x2+1x) \dx = ∫(x−2+1x) \dx = x−1−1 + ln\absx + C = −1x + ln\absx + C
Las siguientes integrales indefinidas son solo redeclaraciones de las fórmulas derivadas correspondientes para las seis funciones trigonométricas básicas:
Desde\ddx(ex)=ex entonces:
[antideriv7] Evaluar∫(3sinx + 4cosx − 5ex) \dx.
Solución: Integrar término por término:
\ [\ comenzar {alineado}\ int\, (3\ sin\, x ~+~ 4\ cos\, x ~-~ 5e^x) ~\ dx ~&=~ 3\ int\,\ sin\, x~\ dx ~+~ 4\ int\,\ cos\, x~\ dx ~-~ 5\ int\, e^x~\ dx\
\boldsymbol{10pt] &=~ -3\cos\,x ~+~ 4\sin\,x ~-~ 5e^x ~+~ C\end{aligned}}
Ejemplo5.1.1: gravity
Agrega texto aquí.
Solución
Solución: Cuando el objeto cae en el momentot=0 la única fuerza que actúa sobre él es la gravedad, lo que hace que el objeto acelere hacia abajo a la velocidad constante conocida de 32 pies/s 2. La aceleración del objetoa(t) en el momentot es asía(t)=−32. Siv(t) es la velocidad del objeto en el momentot, entoncesv′(t)=a(t), lo que significa que
v(t) = ∫a(t) \dt = ∫−32 \dt = −32t + Cpara alguna constanteC. La constanteC aquí no es genérica, tiene un
valor específico determinado por la condición inicial sobre la velocidad: el objeto estaba en reposo en el momentot=0. Es decir,v(0)=0, lo que significa
0 = v(0) = −32(0) + C = C⇒v(t) = −32tpara todost≥0. Asimismo, desdes′(t)=v(t) entonces
s(t) = ∫v(t) \dt = ∫−32t \dt = −16t2 + Cpara alguna constanteC, determinada por la condición inicial de que el objeto estaba a 100 pies sobre el suelo en el momentot=0. Es decir,s(0)=100, lo que significa
100 = s(0) = −16(0)2 + C = C⇒s(t) = −16t2 + 100para todost≥0.
La fórmula paras(t) en Ejemplo
Ejemplo5.1.1: gravity
Agrega texto aquí.
Solución
a(t) = −g⇒v(t) = ∫a(t) \dt = ∫−g \dt = −gt + Cpara alguna constanteC:v0=v(0)=−g(0)+C=C. Así,v(t)=−gt+v0 para todost≥0, y así
s(t) = ∫v(t) \dt = ∫(−gt + v0) \dt = −12gt2 + v0t + Cpara alguna constanteC:s0=s(0)=−12g(0)2+v0(0)+C=C. Para resumir:
Tenga en cuenta que las unidades no están especificadas—solo necesitan ser consistentes. En unidades métricas,g=9.8 m/s 2, mientras queg=32 pies/s 2 en unidades inglesas.
Pensar en una integral indefinida como la suma de todas las “piezas” infinitesimales de una función, con el propósito de recuperar esa función, proporciona una manera práctica de integrar una ecuación diferencial para obtener la solución. La idea clave es transformar la ecuación diferencial en una ecuación de diferenciales, lo que tiene el efecto de tratar las funciones como variables. Algunos ejemplos ilustrarán la técnica.
Ejemplo5.1.1: intdecay
Agrega texto aquí.
Solución
Solución: Poner losy términos a la izquierda y lost términos a la derecha, es decir, separar las variables:
\dyy = k\dtAhora integre ambos lados (observe cómoy se trata la función como una variable):
\ [\ comenzar {alineado}\ int\,\ frac {\ dy} {y} ~&=~\ int k\,\ dt\
\boldsymbol{6pt] \ln\,y + C_1 ~&=~ kt + C_2 \quad\text{($C_1$ and $C_2$ are constants)}\\ \ln\,y ~&=~ kt + C \quad\text{(combine $C_1$ and $C_2$ into the constant $C$)}\\ y ~&=~ e^{kt+C} ~=~ e^{kt} \cdot e^C ~=~ A e^{kt}\end{aligned}}dondeA=eC es una constante. Tenga en cuenta que esta es la fórmula para la desintegración radiactiva de la Sección 2.3.
Ejemplo5.1.1: intidealgas
Agrega texto aquí.
Solución
\dPP + \dVV = \dTTrelacionando la presiónP, volumenV y temperaturaT de un gas ideal. Integrar esa ecuación para obtener la ley de gas ideal originalPV=RT, dondeR es una constante.
Solución: Integrar ambos lados de los rendimientos de la ecuación
\ [\ comenzar {alineado}\ int\,\ dfrac {\ dP} {P} ~+~\ int\,\ dfrac {\ dV} {V} ~&=~\ int\,\ dfrac {\ dT} {T}\
\boldsymbol{6pt] \ln\,P ~+~ \ln\,V ~&=~ \ln\,T ~+~ C \quad\text{($C$ is a constant)}\\ \ln\,(PV) ~&=~ \ln\,T ~+~ C\\ PV ~&=~ e^{\ln\,T + C} ~=~ e^{\ln\,T} \cdot e^{C} ~=~ T\,e^C ~=~ RT\end{aligned}}dondeR=eC es una constante.
Las fórmulas de integración en esta sección dependían de conocer ya las derivadas de ciertas funciones y luego “trabajar hacia atrás” a partir de sus derivadas para obtener las funciones originales. Sin ese conocimiento previo te reducirías a adivinar, o quizás a reconocer un patrón de algún derivado que hayas encontrado. En breve se presentarán una serie de técnicas de integración, pero hay muchas integrales indefinidas para las que no existe una forma cerrada simple (e.g∫ex2\dx y∫sin(x2)\dx).
[sec5dot1]
Para los Ejercicios 1-15, evaluar la integral indefinida dada.
3
∫(x2 + 5x − 3) \dx
∫3cosx \dx
∫4ex \dx
3
∫(x5 − 8x4 − 3x3 + 1) \dx3ex5
∫5sinx \dx3ex5
∫3ex5 \dx
3
∫6x \dx
∫43x \dx
∫(−2√x) \dx6x
3
∫13√x \dx
∫(x + x4/3) \dx
∫133√x \dx
3
∫3secxtanx \dx
∫5sec2x \dx
∫7csc2x \dx
Demostrar las reglas de suma y diferencia para integrales indefinidas:∫(f(x)±g(x))\dx=∫f(x)\dx±∫g(x)\dx
Integrar ambos lados de la ecuación
\dPP + dMM = \dT2Tpara obtener la relación ideal de continuidad del gas:PM√T= constante.
[exer:projmax0] Usa la ecuación de movimiento de caída libre para la posición para mostrar que la altura máxima alcanzada por un objeto lanzado directamente desde el suelo con una velocidad inicialv0 esv202g.
- Se supone que la funciónf es diferenciable enx, en este caso. Si no es así, los puntos donde nof es diferenciable pueden ser excluidos sin afectar a la integral. ↩
- Para una prueba y una discusión más completa de todo esto, véase Ch.1-2 en Knopp, M.I., Theory of Area, Chicago: Markham Publishing Co., 1969. El libro intenta definir con precisión lo que realmente significa un “área”, incluyendo el de un rectángulo (mostrando concordancia con la noción intuitiva de ancho por alto). ↩
- El teorema se puede probar para la condición más débil quef es meramente continua\ivalab. Ver p.173-175 en Parzynski, W.R. y P.W. Zipse, Introducción al análisis matemático, Nueva York: McGraw-Hill, Inc., 1982. ↩
- Creado por el físico P.A.M. Dirac (1902-1984), quien ganó el Premio Nobel de Física en 1933. La función no es ni de valor real ni continua enx=0. El “gráfico” en la Figura [fig:dirac] es quizás engañoso, ya que no∞ es un punto real en ely eje -eje. Una interpretación es queδ es una abstracción de un pulso instantáneo o ráfaga de algo, precedida y seguida de nada. Para conocer más sobre esta fascinante y útil función, consulte §15 en Dirac, P.A.M., The Principles of Quantum Mechanics, 4a ed., Oxford, Reino Unido: Oxford University Press, 1958. ↩
- Ver pp.140-141 en Buck, R.C., Cálculo avanzado, 2a ed., Nueva York: McGraw-Hill Book Co., 1965. ↩