5.1: El Integral Indefinido

Los derivados aparecen en muchos fenómenos físicos, como el movimiento de objetos. Recordemos, por ejemplo, que dada la función$s(t)$ de posición de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta en el momento$t$, podrías encontrar la velocidad$v(t)=s'(t)$ y la aceleración$a(t)=v'(t)$ del objeto a la vez$t$ tomando derivadas. Supongamos que la situación se invirtió: dada la función de velocidad, ¿cómo encontraría la función de posición, o dada la función de aceleración, cómo encontraría la función de velocidad?

En este caso calcular una derivada no ayudaría, ya que se necesita el proceso inverso: en lugar de diferenciación necesitas una forma de realizar antidiferenciación, es decir, calcularías una antiderivada.

La diferenciación es relativamente sencilla. Has aprendido las derivadas de muchas clases de funciones (por ejemplo, polinomios, funciones trigonométricas, funciones exponenciales y logarítmicas), y con las diversas reglas de diferenciación puedes calcular derivadas de expresiones complicadas que involucran esas funciones (por ejemplo, sumas, potencias, productos, cocientes). La antidiferenciación, sin embargo, es una historia diferente.

Para ver algunos de los temas involucrados, considera una función simple como$f(x)=2x$. Por supuesto que lo sabes$\ddx(x^2) = 2x$, así parece que$F(x)=x^2$ es el antiderivado de$f(x)=2x$. Pero ¿es el único antiderivado de$f(x)$? No. Por ejemplo, si$F(x)=x^2+1$ entonces$F'(x)=2x=f(x)$, y así$F(x)=x^2+1$ es otro antiderivado de$f(x)=2x$. De igual manera, así es$F(x)=x^2+2$. De hecho, cualquier función de la forma$F(x)=x^2 + C$, donde$C$ es alguna constante, es un antiderivado de$f(x)=2x$.

Otro problema potencial es que las funciones de la forma$F(x)=x^2 + C$ son apenas los antiderivados más obvios de$f(x)=2x$. ¿Podría haber alguna otra función completamente diferente, una que no se pueda simplificar en$x^2 + C$ la forma, cuya derivada también resulte ser$f(x) =2x$? La respuesta, por suerte, es no:

Para probarlo, considere la función$H(x) = F(x) - G(x)$, definida para todos$x$ en el dominio común$I$ de$F$ y$G$. Desde$F'(x) = G'(x) = f(x)$ entonces

$$H'(x) ~=~ F'(x) ~-~ G'(x) ~=~ f(x) ~-~ f(x) ~=~ 0$$ for all$x$ in$I$, así$H(x)$ es una función constante on$I$, como se mostró en la Sección 4.4 sobre el Teorema del Valor Medio. Así, hay una constante$C$ tal que

$$H(x) ~=~ C \quad\Rightarrow\quad F(x) ~-~ G(x) ~=~ C \quad\Rightarrow\quad F(x) ~=~ G(x) ~+~ C$$ para todos$x$ en$I.\quad\checkmark$

La consecuencia práctica del resultado anterior se puede afirmar de la siguiente manera:

Entonces para la función$f(x) = 2x$, ya que$F(x) = x^2$ es un antiderivado entonces todos los antiderivados de$f(x)$ son de la forma$F(x) = x^2 + C$, donde$C$ es una constante genérica. Así, las funciones no tienen un solo antiderivado sino toda una familia de antiderivados, todos difiriendo sólo por una constante. La siguiente notación hace que todo esto sea más fácil de expresar:

El símbolo grande en forma de S anterior$f(x)$ se llama signo integral. Aunque la integral indefinida$\int f(x)~\dx$ representa todos los antiderivados de$f(x)$, la integral puede considerarse como un solo objeto o función por derecho propio, cuya derivada es$f'(x)$:

Quizás te estés preguntando qué representa el signo integral en la integral indefinida, y por qué$\dx$ se incluye un infinitesimal. Tiene que ver con lo que representa un infinitesimal: una “pieza” infinitesimal de una cantidad. Para una antiderivada$F(x)$ de una función$f(x)$, el infinitesimal (o diferencial)$d\!F$ viene dado por$d\!F = F'(x)\,\dx = f(x)\,\dx$, y así

$$F(x) ~=~ \int\,f(x)~\dx ~=~ \int\,d\!F ~.$$ El signo integral actúa así como un símbolo de suma: resume las “piezas” infinitesimales$d\!F$ de la función$F(x)$ en cada una de$x$ manera que se suman a toda la función$F(x)$. Piense en ello como similar al símbolo de suma habitual$\Sigma$ utilizado para sumas discretas; el signo integral$\int$ toma la suma de un continuo de cantidades infinitesimales en su lugar.

Encontrar (o evaluar) la integral indefinida de una función se llama integrar la función, y la integración es antidiferenciación.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: antideriv1

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$\displaystyle\int\,0~\dx$.

Solución: Dado que la derivada de cualquier función constante es 0, entonces$\int\,0~\dx = C$, donde$C$ es una constante genérica.

Nota: A partir de ahora simplemente se$C$ asumirá que representa una constante genérica, sin tener que decirlo explícitamente cada vez.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: antideriv2

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$\displaystyle\int\,1~\dx$.

Solución: Dado que la derivada de$F(x) = x$ es$F'(x) = 1$, entonces$\int\,1~\dx = x + C$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: antideriv3

Agrega texto aquí.

Solución

Evaluar$\displaystyle\int\,x~\dx$.

Solución: Dado que la derivada de$F(x) = \frac{x^2}{2}$ es$F'(x) = x$, entonces$\int\,x~\dx = \frac{x^2}{2} + C$.

Ya que$\ddx\,\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = x^n$ para cualquier número$n \ne -1$, y$\ddx\,(\ln\,\abs{x}) = \frac{1}{x} = x^{-1}$, entonces cualquier potencia de se$x$ puede integrar:

Las siguientes reglas para integrales indefinidas son consecuencias inmediatas de las reglas para derivados:

Las reglas anteriores se prueban fácilmente. Por ejemplo, la primera regla es una consecuencia simple de la Regla Múltiple Constante para derivados: si$F(x) = \int\,f(x)~\dx$, entonces

$$\ddx(k\,F(x)) ~=~ k\,\ddx(F(x)) ~=~ k\,f(x) \quad\Rightarrow\quad \int\,k\;f(x)~\dx ~=~ k\,F(x) ~=~ k\,\int\,f(x)~\dx ~.\quad\checkmark$$ Las otras reglas se prueban de manera similar y se dejan como ejercicios. El uso repetido de las reglas anteriores junto con la Fórmula de Potencia muestra que cualquier polinomio puede integrarse término por término; de hecho, cualquier suma finita de funciones se puede integrar de esa manera:

[antideriv4] Evaluar$\displaystyle\int\,(x^7 - 3x^4)~\dx$.

Solución: Integrar término por término, tirando de múltiples constantes fuera de la integral:

$$\int\,(x^7 - 3x^4)~\dx ~=~ \int\,x^7~\dx ~-~ 3\int\,x^4~\dx ~=~ \frac{x^8}{8} ~-~ \frac{3x^5}{5} ~+~ C$$

[antideriv5] Evaluar$\displaystyle\int\,\sqrt{x}~\dx$.

Solución: Utilice la fórmula de potencia:

$$\int\,\sqrt{x}~\dx ~=~ \int\,x^{1/2}~\dx ~=~ \frac{x^{3/2}}{3/2} ~+~ C ~=~ \frac{2x^{3/2}}{3} ~+~ C$$

[antideriv6] Evaluar$\displaystyle\int\,\left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x}\right)~\dx$.

Solución: Utilice la Fórmula de Potencia e integre término por término:

$$\int\,\left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}\right)~\dx ~=~ \int\,\left(x^{-2} + \frac{1}{x}\right)~\dx ~=~ \frac{x^{-1}}{-1} ~+~ \ln\,\abs{x} ~+~ C ~=~ -\frac{1}{x} ~+~ \ln\,\abs{x} ~+~ C$$

Las siguientes integrales indefinidas son solo redeclaraciones de las fórmulas derivadas correspondientes para las seis funciones trigonométricas básicas:

Desde$\ddx(e^x) = e^x$ entonces:

[antideriv7] Evaluar$\displaystyle\int\,(3\sin\,x ~+~ 4\cos\,x ~-~ 5e^x)~\dx$.

Solución: Integrar término por término:

\ [\ comenzar {alineado}\ int\, (3\ sin\, x ~+~ 4\ cos\, x ~-~ 5e^x) ~\ dx ~&=~ 3\ int\,\ sin\, x~\ dx ~+~ 4\ int\,\ cos\, x~\ dx ~-~ 5\ int\, e^x~\ dx\

$$10pt] &=~ -3\cos\,x ~+~ 4\sin\,x ~-~ 5e^x ~+~ C\end{aligned}$$

Ejemplo$\PageIndex{1}$: gravity

Agrega texto aquí.

Solución

Recordemos de la Sección 1.1 el ejemplo de un objeto caído desde una altura de 100 pies. Mostrar que la altura$s(t)$ del objeto$t$ segundos después de ser caído es$s(t) = -16t^2 + 100$, medida en pies.

Solución: Cuando el objeto cae en el momento$t=0$ la única fuerza que actúa sobre él es la gravedad, lo que hace que el objeto acelere hacia abajo a la velocidad constante conocida de 32 pies/s ². La aceleración del objeto$a(t)$ en el momento$t$ es así$a(t) = -32$. Si$v(t)$ es la velocidad del objeto en el momento$t$, entonces$v'(t) = a(t)$, lo que significa que

$$v(t) ~=~ \int a(t)~\dt ~=~ \int -32~\dt ~=~ -32t ~+~ C$$ para alguna constante$C$. La constante$C$ aquí no es genérica, tiene un
valor específico determinado por la condición inicial sobre la velocidad: el objeto estaba en reposo en el momento$t=0$. Es decir,$v(0) = 0$, lo que significa

$$0 ~=~ v(0) ~=~ -32(0) ~+~ C ~=~ C \quad\Rightarrow\quad v(t) ~=~ -32t$$ para todos$t \ge 0$. Asimismo, desde$s'(t) = v(t)$ entonces

$$s(t) ~=~ \int v(t)~\dt ~=~ \int -32t~\dt ~=~ -16t^2 ~+~ C$$ para alguna constante$C$, determinada por la condición inicial de que el objeto estaba a 100 pies sobre el suelo en el momento$t=0$. Es decir,$s(0) = 100$, lo que significa

$$100 ~=~ s(0) ~=~ -16(0)^2 ~+~ C ~=~ C \quad\Rightarrow\quad s(t) ~=~ -16t^2 ~+~ 100$$ para todos$t \ge 0$.

La fórmula para$s(t)$ en Ejemplo

Ejemplo$\PageIndex{1}$: gravity

Agrega texto aquí.

Solución

puede generalizarse de la siguiente manera: denotar la posición inicial del objeto en el tiempo$t=0$ por$s_0$, dejar$v_0$ ser la velocidad inicial del objeto (positiva si se lanza hacia arriba, negativa si se lanza hacia abajo), y dejar$g$ representar la aceleración constante (positiva) debido a la gravedad. Por la Primera Ley del movimiento de Newton la única aceleración impartida al objeto después de lanzarlo se debe a la gravedad:

$$a(t) ~=~ -g \quad\Rightarrow\quad v(t) ~=~ \int a(t)~\dt ~=~ \int -g~\dt ~=~ -gt ~+~ C$$ para alguna constante$C$:$v_0 = v(0) = -g(0) + C = C$. Así,$v(t) = -gt + v_0$ para todos$t \ge 0$, y así

$$s(t) ~=~ \int v(t)~\dt ~=~ \int \left(-gt ~+~ v_0\right)~\dt ~=~ -\tfrac{1}{2}gt^2 ~+~ v_0t ~+~ C$$ para alguna constante$C$:$s_0 = s(0) = -\tfrac{1}{2}g(0)^2 + v_0(0) + C = C$. Para resumir:

Tenga en cuenta que las unidades no están especificadas—solo necesitan ser consistentes. En unidades métricas,$g = 9.8$ m/s ², mientras que$g = 32$ pies/s ² en unidades inglesas.

Pensar en una integral indefinida como la suma de todas las “piezas” infinitesimales de una función, con el propósito de recuperar esa función, proporciona una manera práctica de integrar una ecuación diferencial para obtener la solución. La idea clave es transformar la ecuación diferencial en una ecuación de diferenciales, lo que tiene el efecto de tratar las funciones como variables. Algunos ejemplos ilustrarán la técnica.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intdecay

Agrega texto aquí.

Solución

Para cualquier constante$k$, mostrar que cada solución de la ecuación diferencial$\dydt = ky$ es de la forma$y = Ae^{kt}$ para alguna constante$A$. Eso se puede asumir$y(t) > 0$ para todos$t$.

Solución: Poner los$y$ términos a la izquierda y los$t$ términos a la derecha, es decir, separar las variables:

$$\frac{\dy}{y} ~=~ k\,\dt$$ Ahora integre ambos lados (observe cómo$y$ se trata la función como una variable):

\ [\ comenzar {alineado}\ int\,\ frac {\ dy} {y} ~&=~\ int k\,\ dt\

$$6pt] \ln\,y + C_1 ~&=~ kt + C_2 \quad\text{($C_1$ and $C_2$ are constants)}\\ \ln\,y ~&=~ kt + C \quad\text{(combine $C_1$ and $C_2$ into the constant $C$)}\\ y ~&=~ e^{kt+C} ~=~ e^{kt} \cdot e^C ~=~ A e^{kt}\end{aligned}$$ donde$A = e^C$ es una constante. Tenga en cuenta que esta es la fórmula para la desintegración radiactiva de la Sección 2.3.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: intidealgas

Agrega texto aquí.

Solución

Recordar de la Sección 3.6 la ecuación de diferenciales

$$\dfrac{\dP}{P} ~+~ \dfrac{\dV}{V} ~=~ \dfrac{\dT}{T}$$ relacionando la presión$P$, volumen$V$ y temperatura$T$ de un gas ideal. Integrar esa ecuación para obtener la ley de gas ideal original$PV = RT$, donde$R$ es una constante.

Solución: Integrar ambos lados de los rendimientos de la ecuación

\ [\ comenzar {alineado}\ int\,\ dfrac {\ dP} {P} ~+~\ int\,\ dfrac {\ dV} {V} ~&=~\ int\,\ dfrac {\ dT} {T}\

$$6pt] \ln\,P ~+~ \ln\,V ~&=~ \ln\,T ~+~ C \quad\text{($C$ is a constant)}\\ \ln\,(PV) ~&=~ \ln\,T ~+~ C\\ PV ~&=~ e^{\ln\,T + C} ~=~ e^{\ln\,T} \cdot e^{C} ~=~ T\,e^C ~=~ RT\end{aligned}$$ donde$R = e^C$ es una constante.

Las fórmulas de integración en esta sección dependían de conocer ya las derivadas de ciertas funciones y luego “trabajar hacia atrás” a partir de sus derivadas para obtener las funciones originales. Sin ese conocimiento previo te reducirías a adivinar, o quizás a reconocer un patrón de algún derivado que hayas encontrado. En breve se presentarán una serie de técnicas de integración, pero hay muchas integrales indefinidas para las que no existe una forma cerrada simple (e.g$\int e^{x^2}\,\dx$ y$\int \sin(x^2)\,\dx$).

[sec5dot1]

Para los Ejercicios 1-15, evaluar la integral indefinida dada.

3

$\displaystyle\int\,\left(x^2 ~+~ 5x ~-~ 3\right)~\dx$

$\displaystyle\int\,3 \cos\,x~\dx$

$\displaystyle\int\,4 e^x~\dx$

3

$\displaystyle\int\,\left(x^5 ~-~ 8x^4 ~-~ 3x^3 ~+~ 1\right)~\dx\vphantom{\dfrac{3e^x}{5}}$

$\displaystyle\int\,5 \sin\,x~\dx\vphantom{\dfrac{3e^x}{5}}$

$\displaystyle\int\,\dfrac{3e^x}{5}~\dx$

3

$\displaystyle\int\,\dfrac{6}{x}~\dx$

$\displaystyle\int\,\dfrac{4}{3x}~\dx$

$\displaystyle\int\,\left(-2 \sqrt{x}\,\right)~\dx\vphantom{\dfrac{6}{x}}$

3

$\displaystyle\int\,\dfrac{1}{3 \sqrt{x}}~\dx$

$\displaystyle\int\,\left(x ~+~ x^{4/3}\right)~\dx$

$\displaystyle\int\,\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{x}}~\dx$

3

$\displaystyle\int\,3\sec\,x\;\tan\,x~\dx$

$\displaystyle\int\,5 \sec^2x~\dx$

$\displaystyle\int\,7\csc^2x~\dx$

Demostrar las reglas de suma y diferencia para integrales indefinidas:$\int (f(x) \pm g(x))\,\dx \;=\; \int f(x)\,\dx \;\pm\; \int g(x)\,\dx$

Integrar ambos lados de la ecuación

$$\frac{\dP}{P} ~+~ \frac{d\!M}{M} ~=~ \frac{\dT}{2T}$$ para obtener la relación ideal de continuidad del gas:$\dfrac{PM}{\sqrt{T}} =$ constante.

[exer:projmax0] Usa la ecuación de movimiento de caída libre para la posición para mostrar que la altura máxima alcanzada por un objeto lanzado directamente desde el suelo con una velocidad inicial$v_0$ es$\frac{v_0^2}{2g}$.

---

1. Se supone que la función$f$ es diferenciable en$x$, en este caso. Si no es así, los puntos donde no$f$ es diferenciable pueden ser excluidos sin afectar a la integral. ↩

2. Para una prueba y una discusión más completa de todo esto, véase Ch.1-2 en Knopp, M.I., Theory of Area, Chicago: Markham Publishing Co., 1969. El libro intenta definir con precisión lo que realmente significa un “área”, incluyendo el de un rectángulo (mostrando concordancia con la noción intuitiva de ancho por alto). ↩

3. El teorema se puede probar para la condición más débil que$f$ es meramente continua$\ival{a}{b}$. Ver p.173-175 en Parzynski, W.R. y P.W. Zipse, Introducción al análisis matemático, Nueva York: McGraw-Hill, Inc., 1982. ↩

4. Creado por el físico P.A.M. Dirac (1902-1984), quien ganó el Premio Nobel de Física en 1933. La función no es ni de valor real ni continua en$x=0$. El “gráfico” en la Figura [fig:dirac] es quizás engañoso, ya que no$\infty$ es un punto real en el$y$ eje -eje. Una interpretación es que$\delta$ es una abstracción de un pulso instantáneo o ráfaga de algo, precedida y seguida de nada. Para conocer más sobre esta fascinante y útil función, consulte §15 en Dirac, P.A.M., The Principles of Quantum Mechanics, 4a ed., Oxford, Reino Unido: Oxford University Press, 1958. ↩

5. Ver pp.140-141 en Buck, R.C., Cálculo avanzado, 2a ed., Nueva York: McGraw-Hill Book Co., 1965. ↩