3.4: Uso de Casos en Pruebas

AVISO DE ACTIVIDAD\(\PageIndex{1}\): Using a Logical Equivalency

1. Completa una tabla de verdad para mostrar que\((P \vee Q) \to R\) es lógico equivalente a\((P \to R) \wedge (Q \to R)\).
2. Supongamos que está tratando de probar una declaración que está escrita en el formulario\((P \vee Q) \to R\). Explique por qué puede completar esta prueba escribiendo pruebas separadas e independientes de\(P \to R\) y\(Q \to R\).
3. Consideremos ahora la siguiente proposición:
   
   Proposición. Para todos los enteros\(x\) y\(y\), si\(xy\) es impar, entonces\(x\) es impar y\(y\) es impar.
   Escribir el contrapositivo de esta proposición.
4. Ahora demuestre que si\(x\) es un entero par, entonces\(xy\) es un entero par. Además, demuestre que si\(y\) es un entero par, entonces\(xy\) es un entero par.
5. Utilizar los resultados probados en la parte (4) y la explicación en la parte (2) para explicar por qué hemos demostrado el contrapositivo de la proposición en la parte (3).

Vista previa de la actividad\(\PageIndex{1}\): Using Cases in a Proof

El trabajo en Preview Activity\(\PageIndex{1}\) estaba destinado a introducir la idea de usar casos en una prueba. El método de uso de casos se utiliza a menudo cuando la hipótesis de la proposición es una disyunción. Esto se justifica por la equivalencia lógica

\[[(P \vee Q) \to R] \equiv [(P \to R) \wedge (Q \to R)]\]

Ver Teorema 2.8 en la página 48 y Ejercicio (6) en la página 50.

En algunas otras situaciones en las que estamos tratando de probar una proposición o un teorema sobre un elemento\(x\) en algún conjunto\(U\), a menudo nos encontramos con el problema de que no parece haber suficiente información sobre x para proceder. Por ejemplo, considere la siguiente proposición:

Proposición 1. Si\(n\) es un entero, entonces\(n^2 + n\) es un entero par.

Si estuviéramos tratando de escribir una prueba directa de esta proposición, lo único que podríamos suponer es que\(n\) es un entero. Esto no es de mucha ayuda. En una situación como esta, a veces utilizaremos casos para proporcionar supuestos adicionales para el proceso de avance de la prueba. Los casos suelen basarse en algunas propiedades comunes que el elemento\(x\) puede o no poseer. Los casos deben elegirse para que agoten todas las posibilidades para el objeto\(x\) en la hipótesis de la proposición original. Para la Proposición 1, sabemos que un entero debe ser par o impar. Por lo tanto, podemos usar los siguientes dos casos para el entero\(n\):

• El número entero\(n\) es un número entero par;
• El entero\(n\) es un entero impar.

1. Complete la prueba para la siguiente proposición:
   
   Proposición 2: Si\(n\) es un entero par, entonces\(n^2 + n\) es un entero par.
   Comprobante. Dejar\(n\) ser un entero par. Entonces existe un entero\(m\) tal que\(n = 2m\). Sustituyendo esto en la expresión\(n^2 + n\) rinde...
2. Construir una prueba para la siguiente proposición:
   
   Proposición 3: Si\(n\) es un entero impar, entonces\(n^2 + n\) es un entero par.
3. Explique por qué las pruebas de la Proposición 2 y la Proposición 3 pueden ser utilizadas para construir una prueba de la Proposición 1.

Algunas Situaciones Comunes a Casos de Uso

Al usar casos en una prueba, la regla principal es que los casos deben elegirse para que agoten todas las posibilidades para un objeto x en la hipótesis de la proposición original. A continuación se presentan algunos usos comunes de los casos en pruebas.

Cuando la hipótesis es, "\(n\)es un entero”.	Caso 1:\(n\) es un entero par. Caso 2:\(n\) es un entero impar.
Cuando la hipótesis es, "\(m\)y\(n\) son enteros”.	Caso 1:\(m\) y\(n\) son parejos. Caso 2:\(m\) es par y\(n\) es impar. Caso 3:\(m\) es impar y\(n\) es par. Caso 4:\(m\) y ambos\(n\) son impares.
Cuando la hipótesis es, "\(x\)es un número real”.	Caso 1:\(x\) es racional. Caso 2:\(x\) es irracional.
Cuando la hipótesis es, "\(x\)es un número real”.	Caso 1:\(x = 0\) O Caso 1:\(x > 0\) Caso 2:\(x \ne 0\) Caso 2:\(x = 0\) Caso 3:\(x < 0\)
Cuando la hipótesis es, "\(a\)y\(b\) son números reales”.	Caso 1:\(a = b\) O Caso 1:\(a > b\) Caso 2:\(a \ne b\) Caso 2:\(a = b\) Caso 3:\(a < b\)

Directrices de redacción para una prueba usando casos

Al escribir una prueba que usa casos, utilizamos todas las demás pautas de escritura. Además, nos aseguramos de que quede claro dónde comienza cada caso. Esto se puede hacer usando un nuevo párrafo con una etiqueta como “Caso 1", o se puede hacer iniciando un párrafo con una frase como, “En el caso donde.”.

Comprobación de Progreso 3.21: Casos de Uso:\(n\) Is Even or \(n\) Is Odd

Complete la prueba de la siguiente proposición:

Proposición. Para cada entero\(n\),\(n^2 - 5n + 7\) es un entero impar.

Comprobante. Dejar\(n\) ser un entero. Demostraremos que\(n^2 - 5n + 7\) es un entero impar examinando el caso donde\(n\) es par y el caso donde\(n\) es impar.

Caso 1. El entero\(n\) es par. En este caso, existe un entero\(m\) tal que\(n = 2m\). Por lo tanto,...

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Como otro ejemplo de uso de casos, consideremos una situación en la que sabemos que\(a\) y\(b\) son números reales y\(ab = 0\). Si queremos llegar a una conclusión al respecto\(b\), la tentación podría ser dividir ambos lados de la ecuación por\(a\). No obstante, sólo podemos hacer esto si\(a \ne 0\). Entonces, consideramos dos casos: uno cuando\(a = 0\) y el otro cuando\(a \ne 0\).

proposición 3.22

Para todos los números reales\(a\) y\(b\), si\(ab = 0\), entonces\(a = 0\) o\(b = 0\).

Prueba

Dejamos\(a\) y\(b\) seremos números reales y asumimos eso\(ab = 0\). Lo demostraremos\(a = 0\) o\(b = 0\) considerando dos casos: (1)\(a = 0\), y (2)\(a \ne 0\).

En el caso donde\(a = 0\), la conclusión de la proposición es cierta y por lo tanto no hay nada que probar.

En el caso donde\(a \ne 0\), podemos multiplicar ambos lados de la ecuación\(ab = 0\) por\(dfrac{1}{a}\) y obtener

\(\dfrac{1}{a} \cdot ab = \dfrac{1}{a} \cdot 0\)

\(b = 0\)

Entonces en ambos casos,\(a = 0\) o\(b = 0\), y esto demuestra que para todos los números reales\(a\) y\(b\), si\(ab = 0\), entonces\(a = 0\) o\(b = 0\).

Valor Absoluto

La mayoría de los estudiantes a estas alturas ya han estudiado el concepto del valor absoluto de un número real. Utilizamos la notación\(|x|\) para representar el valor absoluto del número real\(x\). Una manera de pensar en el valor absoluto de\(x\) es como la “distancia” entre\(x\) y 0 en la recta numérica. Por ejemplo,

|-5| = 5 y |-7| = 7

Si bien esta noción de valor absoluto es conveniente para determinar el valor absoluto de un número específico, si queremos probar propiedades sobre el valor absoluto, necesitamos una definición más cuidadosa y precisa.

Definición: valor absoluto

Para\(x \in \mathbb{R}\), definimos\(|x|\), llamado el valor absoluto de\(x\), por

\(|x| = \begin{cases} x & \text{ if \(x\)\(\ge\)0;}\\ -x &\ text {si\(x\) < 0.} \ end {casos}\)

Veamos primero si esta definición es consistente con nuestra noción intuitiva de valor absoluto observando dos ejemplos específicos.

• Desde 5 > 0, vemos que |5| = 5, lo que no debería ser ninguna sorpresa.
• Desde -7 < 0, vemos que |-7| = - (-7) = 7.

Observe que la definición del valor absoluto de\(x\) se da en dos partes, una para cuándo\(x \ge 0\) y la otra para cuándo\(x < 0\). Esto quiere decir que al intentar probar algo sobre el valor absoluto, a menudo usamos casos. Esto se ilustrará en el Teorema 3.23.

Teorema 3.23

\(a\)Sea un número real positivo. Por cada número real\(x\),

1. \(|x| = a\)si y sólo si\(x = a\) o\(x = -a\).
2. \(|-x| = |x|\).

Prueba

El comprobante de la Parte (2) es parte del Ejercicio (10). Demostraremos la Parte (1).

Dejamos un ser un número real positivo y dejar\(x \in \mathbb{R}\). Primero probaremos que si\(|x| = a\), entonces\(x = a\) o\(x = -a\). Entonces asumimos eso\(|x| = a\). En el caso donde\(x \ge 0\), vemos eso\(|x| = x\), y desde entonces\(|x| = a\), podemos concluir eso\(x = -a\).

En el caso donde\(x < 0\), vemos eso\(|x| = -x\). Ya que\(|x| = a\), podemos concluir eso\(-x = a\) y de ahí eso\(x = -a\). Estos dos casos prueban que si\(|x| = a\), entonces\(x = a\) o\(x = -a\).

Ahora vamos a probar eso si\(x = a\) o\(x = -a\), entonces\(|x| = a\). Empezamos asumiendo que\(x = a\) o\(x = -a\). Dado que la hipótesis de esta afirmación condicional es una disyunción, utilizamos dos casos. Cuando\(x = a\), vemos que

\(|x| = |a| = a\)ya que\(a > 0\).

Cuando\(x = -a\), concluimos que

\(|x| = |-a| = -(-a)\)ya que\(-a < 0\).

y por lo tanto,\(|x| = a\). Esto prueba que si\(x = a\) o\(x = -a\), entonces\(|x| = a\). Debido a que hemos probado ambas declaraciones condicionales, hemos probado que\(|x| = a\) si y sólo si\(x = a\) o\(x = -a\).

Comprobación de progreso 3.24: Ecuaciones que involucran valores absolutos

1. ¿Qué es |4,3| y qué es |-\(\pi\) |?
2. Utilice las propiedades de valor absoluto en la Proposición 3.23 para ayudar a resolver las siguientes ecuaciones para\(t\), donde\(t\) es un número real.
   
   (a)\(|t| = 12\).
   b)\(|t + 3| = 5\)
   c)\(|t - 4| = \dfrac{1}{5}\).
   d)\(|3t - 4| = 8\).

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Si bien la resolución de ecuaciones que involucran valores absolutos puede no parecer tener nada que ver con la escritura de pruebas, el punto de la Comprobación de Progreso 3.24 es enfatizar la importancia de usar casos cuando se trata del valor absoluto. El siguiente teorema proporciona algunas propiedades importantes de valor absoluto.

Teorema 3.25

\(a\)Sea un número real positivo. Para todos los números reales\(x\) y\(y\),

1. \(|x| < a\)si y sólo si\(-a < x < a\).
2. \(|xy| = |x| |y|\).
3. \(|x + y| \le |x| + |y|\). Esto se conoce como la Desigualdad del Triángulo.

Prueba

Demostraremos la Parte (1). El comprobante de la Parte (2) se incluye en el Ejercicio (10), y el comprobante de la Parte (3) es Ejercicio (14). Para la Parte (1), probaremos la proposición bicondicional probando las dos proposiciones condicionales asociadas.

Entonces dejamos un ser un número real positivo y vamos\(x \in \mathbb{R}\) y primero asumimos eso\(|x| < a\). Utilizaremos dos casos: cualquiera\(x \ge 0\) o\(x < 0\).

• En el caso donde\(x \ge 0\), eso lo sabemos\(|x| = x\) y así la desigualdad\(|x| < a\) implica eso\(x < a\). No obstante, también sabemos eso\(-a < 0\) y aquello\(x > 0\). Por lo tanto, concluimos que\(-a < x\) y, de ahí,\(-a < x < a\).
• Cuando\(x < 0\), vemos eso\(|x| = -x\). Por lo tanto, la desigualdad\(|x| < a\) implica eso\(-x < a\), lo que a su vez implica eso\(-a < x\). En este caso, también sabemos que\(x < a\) ya que\(x\) es negativo y\(a\) es positivo. Por lo tanto,\(-a < x < a\)

Entonces en ambos casos, lo hemos probado\(-a < x < a\) y esto demuestra que si\(|x| < a\), entonces\(-a < x < a\). Ahora asumimos eso\(-a < x < a\).

• Si\(x \ge 0\), entonces\(|x| = x\) y por lo tanto,\(|x| < a\).
• Si\(x < 0\), entonces\(|x| = -x\) y así\(|x| = -x\). Por lo tanto,\(-a <-|x|\). Al multiplicar ambos lados de la última desigualdad por -1, concluimos que\(|x| < a\).

Estos dos casos prueban que si\(-a < x < a\), entonces\(|x| < a\). De ahí que hayamos probado que\(|x| < a\) si y sólo si\(-a < x < a\).

Ejercicios para la sección 3.4

1. En Preview Activity\(\PageIndex{2}\), probamos que si\(n\) es un entero, entonces\(n^2 + n\) es un entero par. Definimos dos enteros para ser enteros consecutivos si uno de los enteros es uno más que el otro entero. Esto significa que podemos representar números enteros consecutivos como\(m\) y\(m + 1\), donde\(m\) es algún número entero.
   Explique por qué el resultado probado en Preview Activity se\(\PageIndex{2}\) puede utilizar para demostrar que el producto de dos enteros consecutivos cualquiera es divisible por 2.
2. Demostrar que si\(u\) es un entero impar, entonces la ecuación no\(x^2 + x - u = 0\) tiene solución que sea un entero.
3. Demostrar que si\(n\) es un entero impar, entonces\(n = 4k + 1\) para algún entero\(k\) o\(n = 4k + 3\) para algún entero\(k\).
4. Demostrar la siguiente proposición:
   
   Para cada entero\(a\), si\(a^2 = a\), entonces\(a = 0\) o\(a = 1\).
5. a) Probar la siguiente proposición:
   Para todos los enteros\(a\)\(b\), y\(d\) con\(d \ne 0\), si\(d\) divide\(a\) o\(d\) divide\(b\), entonces\(d\) divide el producto\(ab\).
   Pista: Observe que la hipótesis es una disyunción. Así que usa dos casos.
   (b) Escribir el contrapositivo de la proposición en el Ejercicio (5a).
   (c) Escribir lo contrario de la proposición en el Ejercicio (5a). ¿Es lo contrario verdadero o falso? Justifica tu conclusión.
6. ¿Son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones? Justifica todas tus conclusiones. Si se encuentra que una declaración bicondicional es falsa, debe determinar claramente si una de las declaraciones condicionales dentro de ella es verdadera. En ese caso, se deberá exponer un teorema apropiado para esta afirmación condicional y probarla. (a) Para todos los enteros\(m\) y\(n\),\(m\) y\(n\) son enteros consecutivos si y sólo si 4 divide\((m^2 + n^2 - 1\).
   (b) Para todos los enteros\(m\) y\(n\), 4 divide\((m^2 - n^2)\) si y sólo si\(m\) y\(n\) son ambos pares o\(m\) y\(n\) son ambos impares.
7. ¿La siguiente proposición es verdadera o falsa? Justifica tu conclusión con un contraejemplo o una prueba.
   
   Por cada entero\(n\), si\(n\) es impar, entonces\(8 | (n^2 - 1)\).
8. Demostrar que no hay números naturales\(a\) y\(n\) con\(n \ge 2\) y\(a^2 + 1 = 2^n\).
9. ¿Son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones? Justificar cada conclusión con un contraejemplo o una prueba.

   (a) Para todos los enteros\(a\) y\(b\) con\(a \ne 0\), la ecuación\(ax + b = 0\) tiene una solución numérica racional.
   (b) Para todos los enteros\(a\),\(b\), y\(c\), si\(a\),\(b\), y\(c\) son impares, entonces la ecuación no\(ax^2 + bx + c = 0\) tiene solución que sea un número racional.
   Pista: No utilice la fórmula cuadrática. Usa una prueba por contradicción y recuerda que cualquier número racional puede escribirse en la forma\(\dfrac{p}{q}\), donde\(p\) y\(q\) son enteros,\(q > 0\), y\(p\) y no\(q\) tienen un factor común mayor que 1.
   (c) Para todos los enteros\(a\),\(b\),\(c\), y\(d\), si\(a\),\(b\),\(c\), y\(d\) son impares, entonces la ecuación no\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) tiene solución que sea un número racional.

10. a) Probar la Parte (2) de la Proposición 3.23.
    Para cada uno\(x \in \mathbb{R}\),\(|-x| = |x|\).
    b) Probar la Parte (2) de la Proposición 3.25.
    Para todos los números reales\(x\) y\(y\),\(|xy| = |x| |y|\).
11. \(a\)Sea un número real positivo. En la Parte (1) del Teorema 3.25, demostramos que para cada número real\(x\),\(|x| < a\) si y solo si\(-a < x < a\). Es importante darse cuenta de que la oración\(-a < x < a\) es en realidad la conjunción de dos desigualdades. Es decir,\(-a < x < a\) significa que\(-a < x\) y\(x < a\).
    
    a) Completar el siguiente enunciado: Por cada número real\(x\),\(|x| \ge a\) si y sólo si...
    b) Demostrar que por cada número real\(x\),\(|x| \le a\) si y sólo si\(-a \le x \le a\)
    c) Completar la siguiente declaración: Por cada número real\(x\),\(|x| > a\) si y sólo si...
12. Demostrar cada uno de los siguientes:
    
    (a) Por cada número real distinto de cero\(x\),\(|x^{-1}| = \dfrac{1}{|x|}\).
    b) Para todos los números reales\(x\) y\(y\),\(|x - y| \ge |x| - |y|\).
    Pista: Una idea que suelen utilizar los matemáticos es agregar 0 a una expresión “inteligentemente”. En este caso, eso lo sabemos\((-y) + y = 0\). Comience agregando esta “versión” de 0 dentro del signo de valor absoluto de\(|x|\).
    (c) Para todos los números reales\(x\) y\(y\),\(||x| - |y|| \le |x - y|\).
13. Evaluación de pruebas
    Consulte las instrucciones para Ejercicio (19) en la página 100 de la Sección 3.1.

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Las probabilidades asignadas a eventos por una función de distribución en un espacio muestral están dadas por.

    Prueba

    Agrega la prueba aquí y automáticamente se ocultará si tienes una plantilla de “AutoNum” activa en la página.

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Las probabilidades asignadas a eventos por una función de distribución en un espacio muestral están dadas por.

    Prueba

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    Exploraciones y actividades

14. Prueba de la Desigualdad del Triángulo.
    
    (a) Verificar que la desigualdad triangular sea cierta para varios números reales diferentes\(x\) y\(y\). Asegúrese de tener algunos ejemplos donde los números reales sean negativos.
    b) Explicar por qué es cierta la siguiente proposición: Por cada número real\(r\),\(-|r| \le r \le |r|\).
    (c) Ahora dejemos\(x\) y\(y\) sean números reales. Aplicar el resultado en la Parte (14b) a ambos\(x\) y\(y\). Después sumar las partes correspondientes de las dos desigualdades para obtener otra desigualdad. Usa esto para demostrarlo\(|x + y| \le |x| + |y|\).

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