4.2: Otras formas de inducción matemática
- Page ID
- 116135
Si n es un número natural, definimos \(n\)factorial, denotado por\(n!\), como producto de los primeros números\(n\) naturales. Además, definimos\(0!\) ser igual a 1.
Usando esta definición, vemos que
\[\begin{array} {lllrll} {0!} &= & {1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } {3!} &= & {1 \cdot 2 \cdot 3 = 6} \\ {1!} &= & {1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } {4!} &= & {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24} \\ {2!} &= & {1 \cdot 2 = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } {5!} &= & {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120}.\end{array}\]
En general, escribimos\(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot\cdot\cdot (n - 1) \cdot n\) o\(n! = n \cdot (n - 1) \cdot\cdot\cdot 2 \cdot 1\). Observe que para cualquier número natural\(n\),\(n! = n \cdot (n - 1)!\).
- Calcular los valores de\(2^n\) y\(n!\) para cada número natural\(n\) con\(1 \le n \le 7\).
Ahora\(P(n)\) sea la oración abierta, "\(n! > 2^n\).”
2. ¿Cuáles de las declaraciones\(P(1)\) a través\(P(1)\) son verdaderas?
3. Con base en las pruebas hasta el momento, ¿la siguiente proposición parece ser verdadera o falsa? Por cada número natural\(n\) con\(n \ge 4\),\(n! > 2^n\).
Dejar\(k\) ser un número natural con\(k \ge 4\). Supongamos que queremos demostrar que si\(P(k)\) es verdad, entonces\(P(k + 1)\) es verdad. (Este podría ser el paso inductivo en una prueba de inducción). Para ello, estaríamos asumiendo eso\(k! > 2^k\) y necesitaríamos demostrarlo\((k + 1)! > 2^{k + 1}\). Observe que si multiplicamos ambos lados de la desigualdad\(k! > 2^k\) por\((k + 1)\), obtenemos
\[(k + 1) \cdot k! > (k + 1) 2^k.\]
4. En la desigualdad en (4.2.2), explicar por qué\((k + 1) \cdot k! = (k + 1)!\).
5. Ahora mira el lado derecho de la desigualdad en (4.2.2). Ya que estamos asumiendo eso\(k \ge 4\), podemos concluir eso\((k + 1) > 2\). Usa esto para ayudar a explicar por qué\((k + 1) 2^k > 2^{k + 1}\).
6. Ahora usa la desigualdad en (4.2.2) y el trabajo en los pasos (4) y (5) para explicar por qué\((k + 1)! > 2^{k + 1}\).
Recordemos que un número natural\(p\) es un número primo siempre que sea mayor que 1 y los únicos números naturales que\(p\) se dividen sean 1 y\(p\). Un número natural distinto de 1 que no es un número primo es un número compuesto. El número 1 no es primo ni compuesto.
- Dar ejemplos de cuatro números naturales que son primos y cuatro números naturales que son compuestos.
- Escribe cada uno de los números naturales 20, 40, 50 y 150 como producto de números primos.
- ¿Crees que cualquier número compuesto puede escribirse como producto de números primos?
- Escribe una descripción útil de lo que significa decir que un número natural es un número compuesto (aparte de decir que no es primo).
- Con base en su trabajo en la Parte (2), ¿cree que sería posible utilizar la inducción para demostrar que cualquier número compuesto puede escribirse como producto de números primos?
La teoría del dominó
La inducción matemática se utiliza frecuentemente para probar declaraciones de la forma
\[(\forall n \in \mathbb{N})(P(n)).\]
donde\(P(n)\) es una oración abierta. Esto significa que estamos demostrando que cada afirmación en la siguiente lista infinita es cierta.
\[P(1), P(2), P(3), ...\]
El paso inductivo en una prueba por inducción es probar que si una declaración en esta lista infinita de declaraciones es verdadera, entonces la siguiente declaración en la lista debe ser verdadera. Ahora imagina que cada enunciado en la Ecuación\ ref {4.2.4} es un dominó en una cadena de dominó. Cuando probamos el paso inductivo, estamos demostrando que si un dominó es derribado, entonces golpeará al siguiente de la cadena. Incluso si los dominó están dispuestos para que cuando uno caiga, el siguiente caiga, ningún dominó caerá a menos que empecemos por derribar uno. Es por ello que necesitamos el paso base en una prueba de inducción. El paso base garantiza que derribaremos el primer dominó. El paso inductivo, entonces, garantiza que todos los dominó después del primero también caerán.
Ahora piensa en lo que pasaría si en lugar de derribar el primer dominó, volcamos al sexto dominó. Si también demostramos el paso inductivo, entonces sabríamos que cada dominó después del sexto dominó también caería. Esta es la idea del Principio Extendido de Inducción Matemática. No es necesario que el paso base sea la prueba de que\(P(1)\) es verdad. Podemos hacer que el paso base sea la prueba de que\(P(M)\) es verdad, donde\(M\) está algún número natural. El Principio Extendido de Inducción Matemática puede generalizarse algo\(M\) permitiendo ser cualquier entero. Todavía sólo nos preocupan aquellos enteros que son mayores o iguales a\(M\).
Dejar\(M\) ser un entero. Si\(T\) es un subconjunto de\(\mathbb{Z}\) tal que
- \(M \in T\), y
- Para todos\(k \in \mathbb{Z}\) con\(k \ge M\), si\(k \in T\), entonces\((k + 1) \in T\),
Entonces\(T\) contiene todos los enteros mayores o iguales a\(M\). Eso es\(\{n \in \mathbb{Z} | n \ge M\} \subseteq T\).
Uso del principio extendido de inducción matemática
El uso principal del Principio de Inducción Matemática es acreditar declaraciones de la forma
\((\forall n \in \mathbb{Z},\ \text{with} n \ge M)(P(n)).\)
donde\(M\) es un entero y\(P(n)\) es alguna frase abierta. (En la mayoría de las pruebas de inducción, usaremos un valor\(M\) que sea mayor o igual a cero). Entonces nuestro objetivo es demostrar que el conjunto\(T\) de verdad del predicado\(P(n)\) contiene todos los enteros mayores o iguales a\(M\). Entonces, para verificar la hipótesis del Principio Extendido de Inducción Matemática, debemos
- Demostrar que\(M \in T\), es decir, probar que\(P(M)\) es cierto.
- Demostrar que para cada uno\(k \in \mathbb{Z}\) con\(k \ge M\)\(k \in T\), si, entonces\((k + 1) \in T\) .Thatis, probar que si\(P(k)\) es verdad, entonces\(P(k + 1)\) es verdad.
Como antes, el primer paso se denomina paso base o paso inicial, y el segundo paso se denomina paso inductivo. Esto significa que una prueba que utilice el Principio Extendido de Inducción Matemática tendrá la siguiente forma:
Dejar\(M\) ser un entero. Para probar:\((\forall n \in \mathbb{Z},\ \text{with} n \ge M)(P(n)).\)
Paso base: Demostrar\(P(M)\).
Paso inductivo: Demostrar que para cada uno\(k \in \mathbb{Z}\) con\(k \ge M\), si\(P(k)\) es cierto, entonces\(P(k + 1)\) es cierto.
Entonces podemos concluir que\(P(n)\) es cierto para todos\(n \in \mathbb{Z},\ \text{with} n \ge M)(P(n)).\)
Este es básicamente el mismo procedimiento que el de utilizar el Principio de Inducción Matemática. La única diferencia es que el paso base utiliza un entero\(M\) distinto de 1. Por esta razón, cuando escribimos una prueba que utiliza el Principio Extendido de Inducción Matemática, a menudo simplemente decimos que vamos a usar una prueba por inducción matemática. Utilizaremos el trabajo de Preview Activity\(\PageIndex{1}\) para ilustrar tal prueba.
Por cada número natural\(n\) con\(n \ge 4\),\(n! > 2^n\).
- Prueba
-
Utilizaremos una prueba por inducción matemática. Para esta prueba, dejamos
\(P(n)\)ser "\(n! > 2^n\).”
Primero probamos que eso\(P(4)\) es cierto. Usando\(n = 4\), vemos que\(4! = 24\) y\(2^4 = 16\). Esto significa eso\(4! > 2^4\) y, por lo tanto,\(P(4)\) es cierto.
Para el paso inductivo, demostramos que para todos\(k \in \mathbb{N}\) con\(k \ge 4\), si\(P(k)\) es cierto, entonces\(P(k + 1)\) es cierto. Así que dejemos\(k\) ser un número natural mayor o igual a 4, y supongamos que eso\(P(k)\) es cierto. Es decir, supongamos que
\[k! > 2^k.\]
El objetivo es demostrar que\(P(k + 1)\) es cierto o eso\((k + 1)! > 2^{k + 1}\). Multiplicando ambos lados de la desigualdad (4.2.5) por\(k + 1\) da
\[\begin{array} {rcl} {(k + 1) \cdot k!} &> & {(k + 1) \cdot 2^k, \text{ or}} \\ {(k + 1)!} &> & {(k + 1) \cdot 2^k}.\end{array}\]
Ahora\(k \ge 4\). Así,\(k + 1 > 2\), y por lo tanto\((k + 1) \cdot 2^k > 2 \cdot 2^k\). Esto significa que
\[(k + 1) \cdot 2^k > 2^{k + 1}.\]
Las desigualdades (4.2.6) y (4.2.7) muestran que
\((k + 1)! > 2^{k + 1}.\)
y esto prueba que si\(P(k)\) es verdad, entonces\(P(k + 1)\) es verdad. Así, se ha establecido el paso inductivo, y así por el Principio Extendido de Inducción Matemática,\(n! > 2^n\) para cada número natural\(n\) con\(n \ge 4\).
Formular una conjetura (con un cuantificador apropiado) que pueda ser utilizada como una respuesta a cada una de las siguientes preguntas.
- ¿Para qué números naturales\(n\) es\(3^n\) mayor que\(1 + 2^n\)?
- ¿Para qué números naturales\(n\) es\(2^n\) mayor que\ ((n + 1) ^2)?
- ¿Para qué números naturales\(n\) es\((1 + \dfrac{1}{n})^n\) menor que\(n\)?
- Responder
-
Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.
El Segundo Principio de Inducción Matemática
Let\(P(n)\) be
\(n\)es un número primo o\(n\) es un producto de números primos.
(Esto está relacionado con el trabajo en Vista previa de Actividad\(\PageIndex{2}\).)
Supongamos que nos gustaría usar la inducción para demostrar que\(P(n)\) es cierto para todos los números naturales mayores que 1. Hemos visto que la idea del paso inductivo en una prueba por inducción es probar que si una afirmación en una lista infinita de afirmaciones es cierta, entonces la siguiente declaración también debe ser cierta. El problema aquí es que cuando facetamos un número compuesto, no llegamos al caso anterior. Por ejemplo, si asumimos que P.39/ es cierto y queremos demostrar que eso\(P(40)\) es cierto, podríamos factorizar 40 como\(40 = 2 \cdot 20\). No obstante, la suposición que\(P(39)\) es verdad no nos ayuda a probar que eso\(P(40)\) es cierto.
Este trabajo pretende mostrar la necesidad de otro principio de inducción. En el paso inductivo de una prueba por inducción, asumimos que una afirmación es verdadera y probamos que la siguiente es verdadera. La idea de este nuevo principio es asumir que todas las afirmaciones anteriores son verdaderas y utilizar esta suposición para probar que la siguiente afirmación es cierta. Esto se afirma formalmente en términos de subconjuntos de números naturales en el Segundo Principio de Inducción Matemática. En lugar de afirmar este principio en dos versiones, vamos a exponer la versión extendida del Segundo Principio. En muchos casos, usaremos\(M = 1\) o\(M = 0\).
Dejar\(M\) ser un entero. Si\(T\) es un subconjunto de\(\mathbb{Z}\) tal que
- \(M \in T\), y
- Para todos\(k \in \mathbb{Z}\) con\(k \ge M\), si\(\{M, M + 1, ..., k\} \subseteq T\), entonces\((k + 1) \in T\).
Entonces\(T\) contiene todos los enteros mayores o iguales a\(M\). Eso es\(\{n \in \mathbb{Z} | n \ge M\} \subseteq T\).
Usando el Segundo Principio de Inducción Matemática
El uso principal de la inducción matemática es probar declaraciones de la forma
\((\forall n \in \mathbb{Z},\ \text{with} n \ge M)(P(n)),\)
donde\(M\) es un entero y\(P(n)\) es algún predicado. Entonces nuestro objetivo es demostrar que el conjunto\(T\) de verdad del predicado\(P(n)\) contiene todos los enteros mayores o iguales a\(M\). Para utilizar el Segundo Principio de Inducción Matemática, debemos
- Demostrar que\(M \in T\), es decir, probar que\(P(M)\) es cierto.
- Demuéstralo por cada\(k \in \mathbb{N}\), si\(k \ge M\) y\(\{M, M + 1, ..., k\} \subseteq T\), entonces\((k + 1) \in T\). Es decir, probar que si\(P(M)\),\(P(M + 1)\),...,\(P(k)\) son ciertas, entonces\(P(k + 1)\) es verdad.
Como antes, el primer paso se denomina paso base o paso inicial, y el segundo paso se denomina paso inductivo. Esto significa que una prueba que utilice el Segundo Principio de Inducción Matemática tendrá la siguiente forma:
Dejar\(M\) ser un entero. Para probar:\(\forall n \in \mathbb{Z} \text{with} n \ge M) (P(n))\)
Paso base: Demostrar\(P(M)\).
Paso inductivo: Dejar\(k \in \mathbb{Z}\) con\(k \ge M\). Demostrar que si\(P(M)\)\(P(M + 1)\),,...,\(P(k)\) son ciertas, entonces\(P(k + 1)\) es verdad.
Entonces podemos concluir que eso\(P(n)\) es cierto para todos\(n \in \mathbb{Z}\) con\(n \ge M\).
Utilizaremos este procedimiento para acreditar la propuesta sugerida en Vista previa de Actividad\(\PageIndex{2}\).
Cada número natural mayor que 1 es un número primo o es un producto de números primos.
- Prueba
-
Utilizaremos el Segundo Principio de Inducción Matemática. Dejamos\(P(n)\) ser
\(n\)es un número primo o\(n\) es un producto de números primos.
Para el paso base,\(P(2)\) es cierto ya que 2 es un número primo.
Para probar el paso inductivo, dejamos\(k\) ser un número natural con\(k \ge 2\). Asumimos que\(P(2)\),\(P(3)\),...,\(P(k)\) son ciertos. Es decir, suponemos que cada uno de los números naturales 2, 3,...,\(k\) es un número primo o un producto de números primos. El objetivo es demostrar que\(P(k + 1)\) es cierto o que\((k + 1)\) es un número primo o un producto de números primos.
Caso 1: Si\((k + 1)\) es un número primo, entonces\(P(k + 1)\) es cierto.
Caso 2: Si no\((k + 1)\) es un número primo, entonces se\((k + 1)\) puede factorizar en un producto de números naturales siendo cada uno menor que\((k + 1)\). Es decir, existen números naturales\(a\) y\(b\) con
\(k + 1 = a \cdot b,\)y\(1< a \le k\) y\(1 < b \le k\).
Usando la suposición inductiva, esto significa que\(P(a)\) y ambos\(P(b)\) son verdaderos. En consecuencia,\(a\) y\(b\) son números primos o son productos de números primos. Ya que\(k + 1 = a \cdot b\), concluimos que\((k + 1)\) es un producto de números primos. Es decir, concluimos que\(P(k + 1)\) es cierto. Esto demuestra el paso inductivo.
De ahí que por el Segundo Principio de Inducción Matemática, concluimos que\(P(n)\) es cierto para todos\(n \in \mathbb{N}\) con\(n \ge 2\), y esto significa que cada número natural mayor que 1 es o bien un número primo o es un producto de números primos.
Concluiremos esta sección con una comprobación de progreso que en realidad es más una actividad. Esto lo hacemos en lugar de incluir la actividad al final de los ejercicios ya que esta actividad ilustra un uso del Segundo Principio de Inducción Matemática en el que es conveniente que el paso base consista en la prueba de más de una afirmación.
Considere la siguiente pregunta:
\(n\)¿Para qué números naturales existen enteros no negativos\(x\) y\(y\) tal que\(n = 3x + 5y\)?
Para ayudar a responder a esta pregunta, dejaremos\(\mathbb{Z}^{\ast} = \{x \in \mathbb{Z} | x \ge 0\}\), y\(P(n)\) dejaremos
Existen\(x, y \in \mathbb{Z}^{\ast}\) tal que\(n = 3x + 5y\).
Observe que\(P(1)\) es falso ya que si ambos\(x\) y\(y\) son cero, entonces\(3x + 5y = 0\) y si cualquiera\(x > 0\) o\(y > 0\), entonces\(3x + 5y \ge 3\). También fíjense que\(P(6)\) es cierto desde\(6 = 3 \cdot 2 + 5 \cdot 0\) y\(P(8)\) es cierto desde entonces\(8 = 3 \cdot 1 + 5 \cdot 1\).
- Explique por qué\(P(2)\)\(P(4)\),, y\(P(7)\) son falsos y por qué\(P(3)\) y\(P(5)\) son verdaderos.
- Explique por qué\(P(9)\)\(P(10)\),\(P(11)\),, y\(P(12)\) son ciertas.
Podríamos seguir tratando de determinar otros valores de n para lo cual\(P(n)\) es cierto. No obstante, veamos si podemos utilizar la obra en la parte (2) para determinar si\(P(13)\) es verdadera. Observe eso\(13 = 3 + 10\) y sabemos que\(P(10)\) es cierto. Deberíamos poder usar esto para demostrar que eso\(P(13)\) es cierto. Esto se formaliza en la siguiente parte.
3. Vamos\(k \in \mathbb{N}\). Demostrar que si\(P(8)\)\(P(9)\),,...,\(P(k)\) son ciertas, entonces\(P(k + 1)\) es verdad. Pista:\(k + 1 = 3 + (k - 2)\).
4. Demostrar la siguiente proposición mediante inducción matemática. Utilice el Segundo Principio de Inducción y haga que el paso base sea una prueba de que\(P(8)\),\(P(9)\), y\(P(10)\) son ciertos. (El paso inductivo es la parte (3).)
Para cada uno\(n \in \mathbb{N}\) con\(n \ge 8\), existen enteros no negativos\(x\) y\(y\) tal que\(n = 3x + 5y\).
- Responder
-
Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.
- Utilizar la inducción matemática para probar cada uno de los siguientes:
(a) Por cada número natural\(n\) con\(n \ge 2\),\(3^n > 1 + 2^n\).
b) Por cada número natural\(n\) con\(n \ge 6\),\(2^n > (n + 1)^2\).
(c) Por cada número natural\(n\) con\(n \ge 3\),\((1 + \dfrac{1}{n})^n < n\). - Por cada número natural\(n\) con\(n^2 < 2^n\)? Justifica tu conclusión.
- Por cada número natural\(n\) con\(n! > 3^n\)? Justifica tu conclusión.
- a) Verificar eso\((1 - \dfrac{1}{4}) = \dfrac{3}{4}\) y aquello\((1 - \dfrac{1}{4})(1 - \dfrac{1}{9}) = \dfrac{4}{6}.\)
b) Verificar eso\((1 - \dfrac{1}{4})(1 - \dfrac{1}{9})(1 - \dfrac{1}{16}) = \dfrac{5}{8}\) y aquello\((1 - \dfrac{1}{4})(1 - \dfrac{1}{9})(1 - \dfrac{1}{16})(1 - \dfrac{1}{25}) = \dfrac{6}{10}\).
(c) Para\(n \in \mathbb{N}\) con\(n \ge 2\), hacer una conjetura sobre una fórmula para el producto\((1 - \dfrac{1}{4})(1 - \dfrac{1}{9})(1 - \dfrac{1}{16}) \cdot\cdot\cdot (1 - \dfrac{1}{n^2})\).
(d) Con base en su trabajo en las Partes (4a) y (4b), declare a. proposición y luego utilice el Principio Extendido de Inducción Matemática para acreditar su proposición. - ¿La siguiente proposición es verdadera o falsa? Justifica tu conclusión.
Por cada entero no negativo\(n\),\(8^n | (4n)!\): - Vamos\(y = ln x\).
a) Determinar\(\dfrac{dy}{dx}, \dfrac{d^2 y}{dx^2}, \dfrac{d^3 y}{dx^3}\), y\(\dfrac{d^4 y}{dx^4}\).
(b)\(n\) Sea un número natural. Formular una conjetura para una fórmula para\(\dfrac{d^n y}{dx^n}\). Entonces usa la inducción matemática para probar tu conjetura. - \(n\)¿Para qué números naturales existen enteros no negativos\(x\) y\(y\) tal que\(n = 4x + 5y\)? Justifica tu conclusión.
- ¿Se puede escribir cada número natural mayor o igual a 4 como la suma de al menos dos números naturales, cada uno de los cuales es un 2 o un 3? Justifica tu conclusión. Por ejemplo,\(7 = 2 + 2 + 3\), y\(17 = 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3\).
- ¿Se puede escribir cada número natural mayor o igual a 6 como la suma de al menos dos números naturales, cada uno de los cuales es un 2 o un 5? Justifica tu conclusión. Por ejemplo,\(6 = 2 + 2 + 2\),\(9 = 2 + 2 + 5\), y\(17 = 2 + 5 + 5 + 5\).
- Utilice la inducción matemática para probar la siguiente proposición:
Let\(x\) be a real number with\(x > 0\). Entonces por cada número natural\(n\) con\(n \ge 2\),\((1 + x)^n > 1 + nx\).
Explique dónde está la suposición que se\(x > 0\) utilizó en la prueba. - Demostrar que para cada número natural impar\(n\) con\(n \ge 3\),
\[(1 + \dfrac{1}{2})(1 - \dfrac{1}{3})(1 + \dfrac{1}{4}) \cdot\cdot\cdot (1 + \dfrac{(-1)^n}{n}) = 1.\] - Demostrar que para cada número natural\(n\),
cualquier conjunto. con\(n\) elementos tiene subconjuntos de\(\dfrac{n(n - 1)}{2}\) dos elementos. - Demostrar o desacreditar cada una de las siguientes proposiciones: a
) Para cada uno\(n \in \mathbb{N}\),\(\dfrac{1}{1 \cdot 2}. + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \cdot\cdot\cdot + \dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{n}{n + 1}\).
b) Por cada número natural\(n\) con\(n \ge 3\),
\[\dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{4 \cdot 5} + \cdot\cdot\cdot + \dfrac{1}{n(n + 1)} = \dfrac{n - 2}{3n + 3}\].
(c) Para cada uno\(n \in \mathbb{N}\),\(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdot\cdot\cdot + n(n + 1) = \dfrac{n(n + 1) (n + 2)}{3}\). - ¿La siguiente proposición es verdadera o falsa? Justifica tu conclusión.
Por cada número natural\(n\),\((\dfrac{n^3}{3} + \dfrac{n^2}{2} + \dfrac{7n}{6})\) es un número natural. - ¿La siguiente proposición es verdadera o falsa? Justifica tu conclusión.
Por cada número natural\(n\),\((\dfrac{n^5}{5} + \dfrac{n^4}{2} + \dfrac{n^3}{3} - \dfrac{n}{30})\) es un entero. - (a) Demostrar que si\(n \in \mathbb{N}\), entonces existe un número natural impar\(m\) y un entero no negativo\(k\) tal que\(n = 2^k m\).
b) Para cada uno\(n \in \mathbb{N}\), demostrar que sólo hay una manera de escribir n en la forma descrita en la Parte (a). Para ello, supongamos que\(n = 2^k m\) y\(n = 2^q p\) dónde\(m\) y\(p\) son números naturales impares\(k\) y y\(q\) son enteros no negativos. Entonces\(k = q\) demuéstralo y\(m = p\). - Evaluación de pruebas
Consulte las instrucciones para Ejercicio (19) en la página 100 de la Sección 3.1.Por cada número natural\(n\) con\(n \ge 2\),\(2^n > 1 + n\).
- Prueba
-
Dejamos\(k\) ser un número natural y asumirlo\(2^k > 1 + k\). Multiplicando ambos lados de esta desigualdad por 2, lo vemos\(2^{k + 1} > 2 + 2k\). Sin embargo,\(2 + 2k > 2 + k\) y, por lo tanto,
\(2^{k + 1} > 1 + (k + 1)\).
Por inducción matemática, concluimos que\(2^n > 1 + n\).
Cada número natural mayor o igual a 6 se puede escribir como la suma de números naturales, cada uno de los cuales es un 2 o un 5.
- Prueba
-
Utilizaremos una prueba por inducción. Por cada número natural\(n\), dejamos\(P(n)\) ser, “Existen enteros no negativos\(x\) y\(y\) tal que”\(n = 2x + 5y\). Desde
\[\begin{array} {rclcl}{6} &= & {3 \cdot 2 + 0 \cdot 5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7} &= & {2+5} \\ {8} &= & {4 \cdot 2 + 0 \cdot 5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 9} &= & {2 \cdot 2 + 1 \cdot 5} \end{array}\]
Vemos que\(P(6)\),\(P(7)\),\(P(8)\), y\(P(9)\) son ciertas.
Ahora suponemos que para algún número natural\(k\) con\(k \ge 10\) eso\(P(6)\),\(P(7)\),... \(P(k)\)son ciertas. Ahora
\(k + 1 = (k - 4) + 5.\)
Ya que\(k \ge 10\), vemos eso\(k - 4 \ge 6\) y, por lo tanto,\(P(k - 4)\) es cierto. Entonces\(k - 4 = 2x + 5y\) y, por lo tanto,
\[\begin{array} {rcl} {k + 1} &= & {(2x + 5y) + 5} \\ {} &= & {2x + 5(y + 1).} \end{array}\]
Esto demuestra que\(P(k + 1)\) es cierto, y de ahí, por el Segundo Principio de Inducción Matemática, hemos demostrado que para cada número natural\(n\) con\(n \ge 6\), existen enteros no negativos\(x\) y\(y\) tales que\(n = 2x + 5y\).
Exploraciones y actividades
- La suma de los ángulos de un cuadrilátero convexo. Hay un famoso teorema en la geometría euclidiana que establece que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es\(180^{\circ}\).
(a) Utilizar el teorema sobre los triángulos para determinar la suma de los ángulos de un cuadrilátero convexo. Pista: Dibuja un cuadrilátero convexo y dibuja una diagonal.
(b) Utilizar el resultado de la Parte (1) para determinar la suma de los ángulos de un pentágono convexo.
(c) Utilizar el resultado de la Parte (2) para determinar la suma de los ángulos de un hexágono convexo.
(d) Dejar\(n\) ser un número natural con\(n \ge 3\). Haz una conjetura sobre la suma de los ángulos de un polígono convexo con n lados y usa la inducción matemática para probar tu conjetura. - Teorema de De Moivre. Uno de los resultados más interesantes en trigonometría es el Teorema de De Moivre, que relaciona el número complejo\(i\) con las funciones trigonométricas. Recordemos que el número\(i\) es el número complejo cuyo cuadrado es 1, es decir,\(i^2 = -1\). Una versión del teorema se puede afirmar de la siguiente manera:
Si\(x\) es un número real, entonces para cada entero no negativo\(n\).
\[[cos x + i(sin x)]^n = cos(nx) + i(sin(nx)).\]
Este teorema lleva el nombre de Abraham de Moivre (1667 — 1754), matemático francés.
a) La prueba del teorema de De Moivre requiere el uso de las identidades trigonométricas para el seno y el coseno de la suma de dos ángulos. Utilice Internet o un libro para encontrar identidades para\(sin(\alpha + \beta)\) y\(cos(\alpha + \beta)\).
(b) Para tener una idea de cómo funcionan las cosas, ampliar\([cos x + i(sin x)]^2\) y escribir el resultado en la forma\(a + bi\). Entonces usa las identidades de la parte (1) para probarlo\([cos x + i(sin x)]^2 = cos (2x) + i(sin(2x))\). - (c) Utilizar la inducción matemática para probar el Teorema de De Moivre.
- Responder
-
Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.