4.3: Inducción y Recursión

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Vista previa de la actividad$\PageIndex{1}$: Recursively Defined Sequences

En una prueba por inducción matemática, “comenzamos con un primer paso” y luego demostramos que siempre podemos ir de un paso al siguiente paso. Podemos usar esta misma idea para definir una secuencia también. Podemos pensar en una secuencia como una lista infinita de números que están indexados por los números naturales (o algún subconjunto infinito de$\mathbb{N} \cup \{0\})$. A menudo escribimos una secuencia en la siguiente forma:

$a_1,a_2, ..., a_n, ...$

El número$a_n$ se llama el$n^{th}$ término de la secuencia. Una forma de definir una secuencia es dar una fórmula específica para el$n^{th}$ término de la secuencia tal como$a_n = \dfrac{1}{n}$.

Otra forma de definir una secuencia es dar una definición específica del primer término (o los primeros términos) y luego exponer, en términos generales, cómo determinar$a_{n + 1}$ en términos$n$ y los primeros$n$ términos$a_1, a_2, ..., a_n$. Este proceso se conoce como definición por recursión y también se denomina definición recursiva. La definición específica del primer término se denomina condición inicial, y la definición general de$a_{n + 1}$ en términos de$n$ y los primeros$n$ términos$a_1, a_2, ..., a_n$ se denomina relación de recurrencia. (Cuando se define explícitamente más de un término, decimos que estas son las condiciones iniciales). Por ejemplo, podemos definir una secuencia recursivamente de la siguiente manera:

$b_1 = 16$, y para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$b_{n + 1} = \dfrac{1}{2} b_n$.

Usando$n = 1$ y luego$n = 2$, luego vemos que

\ begin {array}
bb_2 &= &\ dfrac {1} {2} b_1\\\\\\\\\\\ b_3 &= &\ dfrac {1} {2} b_2\\
&= &\ dfrac {1} {2}\ cdot 16 &= &\ dfrac {1} {2}\ cdot 8\
&= & 8 &= & 4
\ end {array}

Calcular$b_4$ a través de$b_{10}$. ¿Qué parece estar pasando con los valores de$b_n$ como$n$ se hace más grande?
Defina una secuencia recursivamente de la siguiente manera:
$T_1 = 16$, y para cada una$n \in \mathbb{N}$,$T_{n + 1} = 16 + \dfrac{1}{2}T_n$.

Entonces$T_2 = 16 + \dfrac{1}{2} T_1 = 16 + 8 = 24$. Calucular$T_3$ a través$T_{10}$. ¿Qué parece estar pasando con los valores de$T_n$ como$n$ se hace más grande?

Las secuencias en las Partes (1) y (2) pueden generalizarse de la siguiente manera: Sea a y r números reales. Defina dos secuencias recursivamente de la siguiente manera:

$a_1 = a$, y para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$a_{n + 1} = r \cdot a_n$.

$S_1 = a$, y para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$S_{n + 1} = a + r \cdot S_n$.

Determinar fórmulas (en términos de$a$ y$r$) para$a_2$ a través$a_6$. ¿A qué crees que es igual (en términos de$a$$r$, y$n$)?
Determinar fórmulas (en términos de$a$ y$r$) para$S_2$ a través$S_6$. ¿A qué crees que es igual (en términos de$a$$r$, y$n$)?

En Vista previa de Actividad$\PageIndex{1}$ en la Sección 4.2, para cada número natural$n$, definimos$n!$, leemos$n$ factorial, como el producto de los primeros n números naturales. También definimos$0!$ ser igual a 1. Ahora definir recursivamente una secuencia de números$a_0$,,$a_1$$a_2$,... de la siguiente manera:

$a_0 = 1$, y
para cada entero no negativo$n$,$a_{n + 1} = (n + 1) \cdot a_n$.

Usando$n = 0$, vemos que esto implica que$a_1 = 1 \cdot a_0 = 1 \cdot 1 = 1$, luego usando$n = 1$, vemos que
\[a_2 = 2a_1 = 2 \cdot 1 = 2.\]
Calcular$a_3$,$a_4$,$a_5$ y$a_6$.
¿Crees que es posible calcular$a_{20}$ y$a_{100}$? Explique.
¿Crees que es posible calcular$a_n$ para cualquier número natural$n$? Explique.
Compara los valores de$a_0$,$a_1$,$a_2$,$a_3$,$a_4$,$a_5$, y$a_6$ con los de 0! , ¡1! , ¡2! , ¡3! , ¡4! , ¡5! , y 6!. ¿Qué observas? Utilizaremos la inducción matemática para probar un resultado sobre esta secuencia en el Ejercicio (1).

Vista previa de la actividad$\PageIndex{1}$: The Fibonacci Numbers

Los números de Fibonacci son una secuencia de números naturales$f_1$,$f_2$,$f_3$,...$f_n$,... definidos recursivamente de la siguiente manera:

$f_1 = 1$y$f_2 = 1$, y
Por cada número natural$n$,$f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_{n}$.

En palabras, la fórmula de recursión establece que para cualquier número natural$n$ con$n \ge 3$, el número de$n^{th}$ Fibonacci es la suma de los dos números anteriores de Fibonacci. Entonces vemos que

\ begin {array}
ff_3 &= & f_2 + f_1 = 1 + 1 = 2,\\
f_4 &= & f_3 + f_2 = 2 + 1 = 3\ text {, y}\\
f_5 &= & f_4 + f_3 = 3 + 2 = 5,
\ end {array}

Calcular$f_6$ a través de$f_{20}$.
¿Cuáles de los números de Fibonacci$f_1$ a través$f_{20}$ son pares? ¿Cuáles son múltiplos de 3?
Porque$n = 2$,$n = 3$, y$n = 4$$n = 5$, ¿cómo se relaciona la suma de los primeros números de$(n - 1)$ Fibonacci con el número de$(n + 1)^{st}$ Fibonacci?
Registre cualquier otra observación sobre los valores de los números de Fibonacci o cualquier patrón que observe en la secuencia de números de Fibonacci. Si es necesario, calcule más números de Fibonacci.

Los números de Fibonacci

Los números de Fibonacci forman una famosa secuencia en matemáticas que fue investigada por Leonardo de Pisa (1170 — 1250), quien es mejor conocido como Fibonacci. Fibonacci introdujo esta secuencia al mundo occidental como solución al siguiente problema:

Supongamos que un par de conejos adultos (un macho, una hembra) produce un par de conejos (un macho, una hembra) cada mes. Además, supongamos que los conejos recién nacidos se convierten en adultos en dos meses y producen otro par de conejos. Comenzando con un par de conejos adultos, ¿cuántos pares de conejos se producirán cada mes durante un año?

Desde que comenzamos con un par adulto, habrá un par producido el primer mes, y como todavía hay un solo par adulto, también se producirá un par en el segundo mes (ya que el nuevo par producido en el primer mes aún no está maduro). En el tercer mes, se producirán dos pares, uno por el par original y otro por el par que se produjo en el primer mes. En el cuarto mes, se producirán tres pares, y en el quinto mes, se producirán cinco pares.

La regla básica es que en un mes dado después de los dos primeros meses, el número de parejas adultas es el número de parejas adultas hace un mes más el número de parejas nacidas hace dos meses. Esto se resume en la Tabla 4.1, donde el número de pares producidos es igual al número de parejas adultas, y el número de parejas adultas sigue la secuencia de números de Fibonacci que desarrollamos en la Actividad Previa$\PageIndex{2}$.

Cuadro 4.1: Números de Fibonacci
Meses	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Pares Adultos	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55
Pares Recién Nacidos	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55
Pares de un mes	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34

Históricamente, es interesante observar que los matemáticos indios estudiaban este tipo de secuencias numéricas mucho antes de Fibonacci. En particular, unos cincuenta años antes de que Fibonacci introdujera su secuencia, Acharya Hemachandra (1089 — 1173) consideró el siguiente problema, que es de la biografía de Hemachandra en el Archivo de Historia de las Matemáticas de Macactutor:

Supongamos que asumimos que las líneas están compuestas por sílabas que son cortas o largas. Supongamos también que cada sílaba larga tarda el doble en articularse que una sílaba corta. Una línea de longitud$n$ contiene$n$ unidades donde cada sílaba corta es una unidad y cada sílaba larga es de dos unidades. Claramente una línea de$n$ unidades de longitud tarda el mismo tiempo en articularse independientemente de cómo esté compuesta. Hemchandra pregunta: ¿Cuántas combinaciones diferentes de sílabas cortas y largas son posibles en una línea de longitud$n$?

Este es un problema importante en el idioma sánscrito ya que los medidores sánscritos se basan en la duración más que en el acento como en el idioma inglés. La respuesta a esta pregunta genera una secuencia similar a la secuencia de Fibonacci. Supongamos que hn es el número de patrones de sílabas de longitud$n$. Entonces vemos eso$h_1 = 1$ y$h_2 = 2$. Ahora vamos a$n$ ser un número natural y considerar patrón de longitud$n + 2$. Este patrón o bien termina en una sílaba corta o en una sílaba larga. Si termina en una sílaba corta y esta sílaba se elimina, entonces hay un patrón de longitud$n + 1$, y hay$h_n + 1$ tales patrones. Del mismo modo, si termina en una sílaba larga y esta sílaba se elimina, entonces hay un patrón de longitud$n$, y hay$h_n$ tales patrones. A partir de esto, concluimos que

$h_{n + 2} = h_{n+1} + h_n.$

Esto en realidad genera la secuencia 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Para obtener más información sobre Hemachandra, consulte el artículo Matemáticas para poetas y bateristas de Rachel Wells Hall en la edición de febrero de 2008 de Math Horizons.

Seguiremos utilizando la secuencia de Fibonacci en este libro. Esta secuencia puede no parecer tan importante o interesante. Sin embargo, resulta que esta secuencia ocurre en la naturaleza con frecuencia y tiene aplicaciones en informática. Incluso hay una revista académica, The Fibonacci Quarterly, dedicada a los números de Fibonacci.

La secuencia de números de Fibonacci es una de las secuencias más estudiadas en matemáticas, debido principalmente a los muchos patrones hermosos que contiene. Quizás una observación que hiciste en Preview Activity$\PageIndex{2}$ es que cada tercer número de Fibonacci es par. Esto se puede escribir como una proposición de la siguiente manera:

Para cada número natural$n$,$f_{3n}$ es un número natural par.

Al igual que con muchas proposiciones asociadas a definiciones por recursión, podemos demostrarlo mediante inducción matemática. El primer paso es definir la frase abierta correspondiente. Para ello, podemos dejar$P(n)$ ser, “$f_{3n}$es un número parejo natural”.

Observe que$P(1)$ es cierto desde entonces$f_{3n} = 2$. Ahora necesitamos probar el paso inductivo. Para ello, tenemos que demostrar que para cada uno$k \in \mathbb{N}$,

si$P(k)$ es verdad, entonces$P(k + 1)$ es verdad.

Es decir, tenemos que demostrar que para cada uno$k \in \mathbb{N}$, si$f_{3k}$ es par, entonces$f_{3(k + 1)}$ es par.

Entonces analicemos esta declaración condicional usando una tabla de conocimientos.

Paso	Conoce	Razón
$P$	$f_{3k}$es parejo	Hipótesis inductiva
$P$1	$(\exists m \in \mathbb{N})(f_{3k} = 2m)$	Definición de “entero par”
...	...	...
$Q$1	$(\exists q \in \mathbb{N})(f_{3(k + 1)} = 2q)$
$Q$	$f_{3(k + 1)}$es parejo.	Definición de “entero par”
Paso	Mostrar	Razón

La pregunta clave ahora es: “¿Existe alguna relación entre$f_{3(k + 1)}$ y$f_k$?” Podemos usar la fórmula de recursión que define la secuencia de Fibonacci para encontrar tal relación.

La relación de recurrencia para la secuencia de Fibonacci establece que un número de Fibonacci (excepto los dos primeros) es igual a la suma de los dos números anteriores de Fibonacci. Si escribimos$3 (k + 1) = 3k + 3$, entonces obtenemos$f_{3(k + 1)} = f_{3k + 3}$. Para$f_{3k + 3}$, los dos números anteriores de Fibonacci son$f_{3k + 2}$ y$f_{3k + 1}$. Esto significa que

$f_{3k + 3} = f_{3k + 2} + f_{3k + 1}.$

Usando esto y continuando usando la relación Fibonacci, obtenemos lo siguiente:

\[\begin{array} {rcl} {f_{3(k + 1)}} &= & {f_{3k + 3}} \\ {} &= & {f_{3k + 2} + f_{3k + 1}} \\ {} &= & {(f_{3k + 1} + f_{3k}) + f_{3k + 1}}. \end{array}\]

La ecuación anterior establece que$f_{3(k + 1)} = 2f_{3k + 1} + f_{3k}$. Esta ecuación se puede utilizar para completar la prueba del paso de inducción.

Comprobación de progreso 4.12 (cada tercer número de Fibonacci es par)

Completar el comprobante de la Proposición 4.13.

Proposición 4.13.

Para cada número natural$n$, el número Fibonacci$f_{3n}$ es un número natural par.

Pista: Ya hemos definido el predicado$P(n)$ para ser utilizado en una prueba de inducción y hemos probado el paso base. Use la información en y después de la tabla de conocimientos anterior para ayudar a probar que si$f_{3k}$ es par, entonces$f_{3(k + 1)}$ es par.

Contestar: Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Secuencias geométricas y series geométricas

Vamos$a,\ r \in \mathbb{R}$. La siguiente secuencia se introdujo en la Actividad de Vista Previa$\PageIndex{1}$.

\[\begin{array} {rcl} {\text{Initial condition}} &: & {a_1 = a.} \\ {\text{Recurrence relation}} &: & {\text{For each } n \in \mathbb{N}, a_{n + 1} = r \cdot a_n.} \end{array}\]

Esta es una definición recursiva para una secuencia geométrica con término inicial$a$ y relación (común)$r$. La idea básica es que el siguiente término en la secuencia se obtiene multiplicando el término anterior por la relación$r$. El trabajo en Preview Activity$\PageIndex{1}$ sugiere que la siguiente proposición es cierta.

Teorema 4.14

Vamos$a,\ r \in \mathbb{R}$, Si se define una secuencia geométrica por$a_1 = a$ y para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$a_{n + 1} = r \cdot a_n$, entonces para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$a_n = a \cdot r^{n - 1}$.

Prueba: La prueba de esta proposición es Ejercicio (6).

Otra secuencia que se introdujo en Preview Activity$\PageIndex{1}$ está relacionada con series geométricas y se define de la siguiente manera:

\[\begin{array} {rcl} {\text{Initial condition}} &: & {S_1 = a.} \\ {\text{Recurrence relation}} &: & {\text{For each } n \in \mathbb{N}, S_{n + 1} = r \cdot S_n.} \end{array}\]

Para cada uno$n \in \mathbb{N}$, el término$S_n$ es una serie geométrica (finita) con término inicial$a$ y relación (común)$r$. El trabajo en Preview Activity$\PageIndex{1}$ sugiere que la siguiente proposición es cierta.

Teorema 4.15

Vamos$a,\ r \in \mathbb{R}$. Si la secuencia$S_1, S_2, ..., S_n, ...$ está definida por$S_1 = a$ y para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$S_{n + 1} = a + r \cdot S_n$, entonces para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$S_n = a + a \cdot r + a \cdot r^2 + \cdot\cdot\cdot + a \cdot r^{n - 1}$. Es decir, la serie geométrica$S_n$ es la suma de los primeros$n$ términos de la secuencia geométrica correspondiente.

Prueba: Agrega la prueba aquí y automáticamente se ocultará si tienes una plantilla de “AutoNum” activa en la página.

El comprobante de la Proposición 4.15 es Ejercicio (7). La definición recursiva de una serie geométrica y la Proposición 4.15 dan dos formas diferentes de ver las series geométricas. La Proposición 4.15 representa una serie geométrica como la suma de los primeros términos de la secuencia geométrica correspondiente. Otra forma de determinar esta suma una serie geométrica se da en el Teorema 4.16, que da una fórmula para la suma de una serie geométrica que no utiliza una suma.

Teorema 4.16

Dejar$a,\ r \in \mathbb{R}$ y$r \ne 1$. Si la secuencia$S_1, S_2, ..., S_n, ...$ está definida por$S_1 = a$ y para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$S_{n + 1} = a + r \cdot S_n$, entonces para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$S_n = a(\dfrac{1 - r^n}{1 - r})$.

Prueba: El comprobante de la Proposición 4.16 es Ejercicio (8).

Ejercicios para la Sección 4.3

Para la secuencia$a_0, a_1, a_2, ..., a_n, ...$, asumir eso$a_0 = 1$ y eso para cada uno$n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$,$a_{n + 1} = (n + 1) a_n$. Utilizar la inducción matemática para demostrar que para cada uno$n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$,$a_n = n!$.
Supongamos que$f_1, f_2, ..., f_n, ...$ son los números de Fibonacci. Demostrar cada uno de los siguientes:

(a) Para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$f_{4n}$ es un múltiplo de 3.
(b) Para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$f_{5n}$ es un múltiplo de 5.
(c) Para cada uno$n \in \mathbb{N}$, con$n \ge 2$,$f_1 + f_2 + \cdot\cdot\cdot + f_{n - 1} = f_{n + 1} - 1$.
d) Para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$f_1 + f_3 + \cdot\cdot\cdot + f_{2n - 1} = f_{2n}$.
e) Para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$f_2 + f_4 + \cdot\cdot\cdot + f_{2n} = f_{2n + 1} - 1$.
f) Para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$f_1^2 + f_2^2 + \cdot\cdot\cdot + f_n^2 = f_n f_{n + 1}$.
(g) Para cada$n \in \mathbb{N}$ tal que$n \not\equiv 0$ (mod 3),$f_n$ es un entero impar.
Utilizar el resultado de la Parte (f) del Ejercicio (2) para demostrar que
\[\dfrac{f_1^2 + f_2^2 + \cdot\cdot\cdot + f_n^2 + f_{n+1}^2}{f_1^2 + f_2^2 + \cdot\cdot\cdot + f_n^2} = 1 + \dfrac{f_{n + 1}}{f_n}\]
La fórmula cuadrática se puede utilizar para mostrar eso$\alpha = \dfrac{1 + \sqrt 5}{2}$ y$\beta = \dfrac{1 - \sqrt 5}{2}$ son las dos soluciones numéricas reales de la ecuación cuadrática$x^2 - x - 1 = 0$. Observe que esto implica que
\[\begin{array} {rcl} {\alpha ^2} &= & {\alpha + 1,\text{ and}} \\ {\beta ^2} &= & {\beta + 1.} \end{array}\]
Puede ser sorprendente descubrir que estos dos números irracionales están estrechamente relacionados con los números de Fibonacci.

(a) Verificar eso$f_1 = \dfrac{\alpha ^1 - \beta ^1}{\alpha - \beta}$ y que$f_2 = \dfrac{\alpha ^2 - \beta ^2}{\alpha - \beta}$
(b) (Esta parte es opcional, pero puede ayudar con la prueba de inducción en la parte (c).) Trabajar con la relación$f_3 = f_2 + f_1$ y sustituir las expresiones por$f_1$ y$f_2$ desde la parte a). Reescribir la expresión como una sola fracción y luego en el uso del numerador$\alpha ^2 + \alpha = \alpha (\alpha + 1)$ y una ecuación similar que implica$\beta$. Ahora demuéstralo$f_3 = \dfrac{\alpha ^3 - \beta ^3}{\alpha - \beta}$.
c) Utilizar la inducción para probarlo por cada número natural$n$, si$\alpha = \dfrac{1 + \sqrt 5}{2}$ y$\beta = \dfrac{1 - \sqrt 5}{2}$, entonces$f_n = \dfrac{\alpha ^n - \beta ^n}{\alpha - \beta}$. Nota: Esta fórmula para el número$n^{th}$ Fibonacci se conoce como fórmula de Binet, que lleva el nombre del matemático francés Jacques Binet (1786 - 1856).
¿La siguiente conjetura es verdadera o falsa? Justifica tu conclusión.

Conjetura. $f_1, f_2, ..., f_m, ...$Sea la secuencia de los números de Fibonacci. Para cada número natural$n$, los números$f_n f_{n + 3}$$2f_{n + 1} f_{n + 2}$,, y$(f_{n + 1} ^2 + f_{n + 2} ^2)$ forman un triple pitagórico.
Demostrar Proposición 4.14. Vamos$a,\ r \in \mathbb{R}$, Si se define una secuencia geométrica por$a_1 = a$ y para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$a_{n + 1} = r \cdot a_n$, entonces para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$a_n = a \cdot r^{n - 1}$.
Demostrar Proposición 4.15. Vamos$a,\ r \in \mathbb{R}$. Si la secuencia$S_1, S_2, ..., S_n, ...$ está definida por$S_1 = a$ y para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$S_{n + 1} = a + r \cdot S_n$, entonces para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$S_n = a + a \cdot r + a \cdot r^2 + \cdot\cdot\cdot + a \cdot r^{n - 1}$. Es decir, la serie geométrica$S_n$ es la suma de los primeros$n$ términos de la secuencia geométrica correspondiente.
Demostrar Proposición 4.16. Dejar$a,\ r \in \mathbb{R}$ y$r \ne 1$. Si la secuencia$S_1, S_2, ..., S_n, ...$ está definida por$S_1 = a$ y para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$S_{n + 1} = a + r \cdot S_n$, entonces para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$S_n = a(\dfrac{1 - r^n}{1 - r})$.
Para la secuencia$a_1, a_2, ..., a_n, ...$, asumir eso$a_1 = 2$ y eso para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$a_{n + 1} = a_n + 5$.

(a) Calcular$a_2$ a través de$a_6$.
b) Hacer una conjetura para una fórmula para cada uno$a_n$$n$ para cada uno$n \in \mathbb{N}$.
(c) Demostrar que su conjetura en el Ejercicio (9b) es correcta.
La secuencia en el Ejercicio (9) es un ejemplo de una secuencia aritmética. Una secuencia aritmética se define recursivamente de la siguiente manera:

Let$c$ and$d$ be real numbers. Definir la secuencia$a_1, a_2, ..., a_n, ...$ por$a_1 = c$ y para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$a_{n + 1} = a_n + d$.

(a) Determinar fórmulas para$a_3$ a través$a_8$.
b) Hacer una conjetura para una fórmula para cada uno$a_n$$n$ para cada uno$n \in \mathbb{N}$.
(c) Demostrar que su conjetura en el Ejercicio (10b) es correcta.
Para la secuencia$a_1, a_2, ..., a_n, ...$, supongamos que$a_1 = 1$,$a_2 = 5$, y eso para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$a_{n + 1} = a_n + 2a_{n - 1}$. Demostrar que para cada número natural$n$,$a_n = 2^n + (-1)^n$.
Para la secuencia$a_1, a_2, ..., a_n, ...$, asumir eso$a_1 = 1$ y eso para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$a_{n + 1} = \sqrt {5 + a_n}$.

a) Calcular, o aproximado,$a_2$ a través de$a_6$.
b) Demostrar que para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$a_n < 3$.
Para la secuencia$a_1, a_2, ..., a_n, ...$, supongamos que$a_1 = 1$,$a_2 = 3$, y eso para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$a_{n + 2} = 3a_{n + 1} - 2a_n$.

(a) Calcular$a_3$ a través de$a_6$.
b) Hacer una conjetura para una fórmula para cada uno$a_n$$n$ para cada uno$n \in \mathbb{N}$.
(c) Demostrar que su conjetura en el Ejercicio (13b) es correcta.
Para la secuencia$a_1, a_2, ..., a_n, ...$, supongamos que$a_1 = 1$,$a_2 = 1$, y eso para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$a_{n + 2} = \dfrac{1}{2} (a_{n + 1} + \dfrac{2}{a_n})$.

(a) Calcular$a_3$ a través de$a_6$.
b) Demostrar que para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$1 \le a_n \le 2$.
Para la secuencia$a_1, a_2, ..., a_n, ...$, supongamos que$a_1 = 1$,$a_2 = 1$,$a_3 = 1$, y para eso cada número natural$n$,
\[a_{n + 3} = a_{n + 2} + a_{n + 1} + a_n.\]
(a) Calcular$a_4$,$a_5$,$a_6$, y$a_7$.
b) Demostrar que para cada número natural$n$ con$n > 1$,$a_n \le 2^{n - 2}$.
Para la secuencia$a_1, a_2, ..., a_n, ...$, supongamos que$a_1 = 1$, y para cada número natural$n$,
\[a_{n + 1} = a_n + n \cdot n!.\]
(a) Calcular$n!$ para los primeros 10 números naturales.
b) Calcular$a_n$ para los primeros 10 números naturales.
c) Hacer una conjetura sobre una fórmula porque$a_n$ en términos de$n$ que no implique una suma o una recursión.
(d) Demostrar su conjetura en la Parte (c).
Para la secuencia$a_1, a_2, ..., a_n, ...$, supongamos que$a_1 = 1$,$a_2 = 1$, y para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$a_{n + 2} = a_{n + 1} + 3a_n$. Determina qué términos en esta secuencia son divisibles por 4 y prueba que tu respuesta es correcta.
Los números Lucas son una secuencia de números naturales$L_1, L_2, L_3, ..., L_n, ...$, los cuales se definen recursivamente de la siguiente manera:

$bullet$$L_1 = 1$ y$L_2 = 3$, y
$bullet$ Para cada número natural$n$,$L_{n + 2} = L_{n + 1} + L_n$.

Enumere los primeros 10 números de Lucas y los diez primeros números de Fibonacci y luego pruebe cada una de las siguientes proposiciones. El Segundo Principio de Inducción Matemática puede ser necesario para probar algunas de estas proposiciones.

a) Por cada número natural$n$,$L_n = 2f_{n + 1} - f_n$.
b) Para cada uno$n \in \mathbb{N}$ con$n \ge 2$,$5f_n = L_{n - 1} + L_{n + 1}$.
(c) Para cada uno$n \in \mathbb{N}$ con$n \ge 3$,$L_n = f_{n + 1} - f_{n - 2}$.
Existe una fórmula para el número Lucas similar a la fórmula para los números de Fibonacci en Ejercicio (4). Dejar$\alpha = \dfrac{1 + \sqrt 5}{2}$ y$\beta = \dfrac{1 - \sqrt 5}{2}$. Demostrar que para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$L_n = \alpha ^n + \beta ^n$.
Utilice el resultado en Ejercicio (19), resultados previamente probados del Ejercicio (18), o inducción matemática para probar cada uno de los siguientes resultados sobre los números de Lucas y los números de Fibonacci.

a) Para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$L_n = \dfrac{f_{2n}}{f_n}$
b) Para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$f_{n + 1} = \dfrac{f_n + L_n}{2}$.
(c) Para cada uno$n \in \mathbb{N}$,$L_{n + 1} = \dfrac{L_n + 5f_n}{2}$.
d) Para cada uno$n \in \mathbb{N}$ con$n \ge 2$,$L_n = f_{n + 1} + f_{n - 1}$.
Evaluación de pruebas
Consulte las instrucciones para Ejercicio (19) en la página 100 de la Sección 3.1.
(a)

$f_n$Sea el número$n$ th de Fibonacci, y deje$\alpha$ ser la solución positiva de la ecuación$x^2 = x + 1$. Entonces$\alpha = \dfrac{1 + \sqrt 5}{2}$. Por cada número natural$n$,$f_n \le \alpha ^{n-1}$.

Prueba

Utilizaremos una prueba por inducción matemática. Por cada número natural$n$, dejamos$P(n)$ ser, “$f_n \le \alpha ^{n-1}$.”

Primero notamos que$P(1)$ es cierto desde$f_1 = 1$ y$\alpha ^0 = 1$. También notamos que$P(2)$ es cierto desde$f_2 = 1$ y, por lo tanto,$f_2 \le \alpha ^1$.

Dejamos ahora$k$ ser un número natural con$k \ge 2$ y suponemos que$P(1)$,$P(2)$,...,$P(k)$ son todos ciertos. Ahora tenemos que demostrar que eso$P(k + 1)$ es cierto o eso$f_{k + 1} \le \alpha ^k$.

Ya que$P(k - 1)$ y$P(k)$ son ciertas, lo sabemos$f_{k - 1} \le \alpha ^{k - 2}$ y$f_k \le \alpha ^{k-1}$. Por lo tanto,

\[\begin{array} {rcl} {f_{k + 1}} &= & {f_k + f_{k - 1}} \\ {f_{k + 1}} &\le & {\alpha ^{k - 1} + {\alpha ^{k - 2}} \\ {f_{k + 1}} &\le & {\alpha ^{k - 2} (\alpha + 1).} \end{array}\]

Ahora utilizamos el hecho de que$\alpha + 1 = \alpha ^2$ y la desigualdad precedente para obtener

\[\begin{array} {rcl} {f_{k + 1}} &\le & {\alpha ^{k - 2} \alpha ^2} \\ {f_{k + 1}} &\le & {\alpha ^k.} \end{array}\]

Esto prueba que si$P(1)$,$P(2)$,...,$P(k)$ son ciertas, entonces$P(k + 1)$ es verdad. De ahí que por el Segundo Principio de Inducción Matemática, concluimos que o cada número natural$n$,$f_n \le \alpha ^{n-1}$.

Exploraciones y actividades
Interés Compuesto. Supongamos que R dólares se depositan en una cuenta que tiene una tasa de interés de i por cada período compuesto. Un período compuesto es algún período de tiempo especificado, como un mes o un año.
Para cada entero$n$ con$n \le 0$, que Vn sea la cantidad de dinero en una cuenta al final del enésimo período compuesto. Entonces
\[\begin{array} {rclrcl} {V_1} &= & {R + i \cdot R\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } {V_2} &= & {V_1 + i \cdot V_1} \\ {} &= & {R(1 + i)} {} &= & {(1 + i) V_1} \\ {} & & {} {} &= & {(1 + i)^2 R.} \end{array}\]

(a) Explique por qué$V_3 = V_2 + i \cdot V_2$. Luego use la fórmula para V2 para determinar una fórmula para$V_3$ en términos de$i$ y$R$.
b) Determinar una relación de recurrencia para$V_{n + 1}$ en términos de$i$ y$V_n$.
(c) Escribir la relación de recurrencia en la Parte (22b) para que esté en forma de relación de recurrencia para una secuencia geométrica. ¿Cuál es el término inicial de la secuencia geométrica y cuál es la proporción común?
d) Utilizar la Proposición 4.14 para determinar una fórmula para$V_n$ en términos de$I$$R$, y$n$.
El valor futuro de una anualidad ordinaria. Para una anualidad ordinaria, los$R$ dólares se depositan en una cuenta al término de cada periodo compuesto. Se supone que la tasa de interés,$i$, por periodo compuesto para la cuenta se mantiene constante.
Dejar$S_t$ representar el monto en la cuenta al final$t$ del período compuesto. $S_t$se denomina frecuentemente el valor futuro de la anualidad ordinaria.

Entonces$S_1 = R$. Para determinar el monto después de dos meses, primero notamos que el monto después de un mes ganará intereses y crecerá a$(1 + i)S_1$. Además, se realizará un nuevo depósito de$R$ dólares al cierre del segundo mes. Entonces
\[S_2 = R + (1 + i)S_1\]

(a) Para cada uno$n \in \mathbb{N}$, use un argumento similar para determinar una relación de recurrencia para$S_{n + 1}$ en términos de$R$,$i$, y$S_n$.
b) Al reconocer esto como una fórmula de recursión para una serie geométrica, utilice la Proposición 4.16 para determinar una fórmula para$S_n$ en términos de$R$$i$,, y$n$ que no utilice una suma. Entonces mostrar que esta fórmula puede escribirse como
\[S_n = R(\dfrac{(1 + i)^n - 1}{i}).\]
(c) ¿Cuál es el valor futuro de una anualidad ordinaria en 20 años si se depositan $200 dólares en una cuenta al final de cada mes donde la tasa de interés para la cuenta es del 6% anual compuesto mensualmente? ¿Cuál es la cantidad de intereses que se han acumulado en esta cuenta durante los 20 años?

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Vista previa de la actividad\(\PageIndex{1}\): Recursively Defined Sequences

Vista previa de la actividad\(\PageIndex{1}\): The Fibonacci Numbers