4.S: Inducción Matemática (Resumen)
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Definiciones importantes
- Conjunto inductivo, página 171
- Factorial, página 201
- Definición recursiva, página 200
- Números de Fibonacci, página 202
- Secuencia geométrica, página 206
- Serie geométrica, página 206
Las diversas formas de inducción matemática
- El Principio de Inducción Matemática
Si\(T\) es un subconjunto de\(\mathbb{N}\) tales que
(a)\(1 \in T\), y
(b) Por cada\(k \in \mathbb{N}\), si\(k \in T\), entonces\((k + 1) \in T\).
luego\(T = \mathbb{N}\)
Procedimiento para una Prueba por Inducción Matemática
Para probar\((\forall n \in \mathbb{N}\) (P (n))\)
\[\begin{array} {rcl} {\text{Basis step}} &: & {\text{Prove} P(1).} \\ {\text{Inductive step}} &: & {\text{Prove that for each} k \in \mathbb{N}, \text{if} P(k) \text{is true, then} P(k + 1) \text{is true.}} \end{array}\] - El Principio Extendido de Inducción Matemática
Let\(M\) Ser un entero. Si\(T\) es un subconjunto de\(\mathbb{Z}\) tal que
(a)\(M \in T\), y
(b) Por cada uno\(k \in \mathbb{Z}\) con\(k \ge M\), si\(k \in T\), entonces\((k + 1) \in T\).
entonces\(T\) contiene todos los enteros mayores o iguales a\(M\).
Usando el Principio Extendido de Inducción Matemática
Let\(M\) Ser un Intteger. Para probar\((\forall n \in \mathbb{Z} \text{with} n \ge M) (P(n))\)
\[\begin{array} {rcl} {\text{Basis step}} &: & {\text{Prove} P(M).} \\ {\text{Inductive step}} &: & {\text{Prove that for each} k \in \mathbb{Z} \text{with} k \ge M, \text{if} P(k) \text{is true, then} P(k + 1) \text{is true.}} \end{array}\]
Podemos entonces concluir que\(P(n)\) es cierto para todos\(n \in \mathbb{Z}\) con\(n \ge M\). - El Segundo Principio de Inducción Matemática
Let\(M\) Ser un entero. Si\(T\) es un subconjunto de\(\mathbb{Z}\) tal que
(a)\(M \in T\), y
(b) Por cada uno\(k \in \mathbb{Z}\) con\(k \ge M\), si\(\{M, M + 1, ..., k\} \subseteq T\), entonces\((k + 1) \in T\).
entonces\(T\) contiene todos los enteros mayores o iguales a\(M\).
Usando el Segundo Principio de Inducción Matemática
Let\(M\) Ser un Intteger. Para probar\((\forall n \in \mathbb{Z} \text{with} n \ge M) (P(n))\)
\[\begin{array} {rcl} {\text{Basis step}} &: & {\text{Prove} P(M).} \\ {\text{Inductive step}} &: & {\text{Let} k \in \mathbb{Z} \text{with} k \ge M. \text{Prove that if} P(M), P(M + 1), ..., P(k) \text{are true, then} P(k + 1) \text{is true.}} \end{array}\]
Podemos entonces concluir que\(P(n)\) es cierto para todos\(n \in \mathbb{Z}\) con\(n \ge M\).
Resultados Importantes
- Teorema 4.9. Cada número natural mayor que 1 es un número primo o es un producto de números primos.
- Teorema 4.14. Vamos\(a, r \in \mathbb{R}\). Si una secuencia geométrica se define por\(a_1 = a\) y para cada uno\(n \in \mathbb{N}\),\(a_{n + 1} = r \cdot a_n\), entonces para cada uno\(n \in \mathbb{N}\),\(a_n = a \cdot r^{n - 1}\).
- Teorema 4.15. Vamos\(a, r \in \mathbb{R}\). Si la secuencia\(S_1, S_2, ..., S_n, ...\) está definida por\(S_1 = a\) y para cada uno\(n \in \mathbb{N}\),\(S_{n + 1} = a + r \cdot S_n\), entonces para cada uno\(n \in \mathbb{N}\),\(S_n = a + a \cdot r + a \cdot r^2 + \cdot\cdot\cdot + a \cdot r^{n - 1}\). Es decir, la serie geométrica\(S_n\) es la suma de los primeros n términos de la secuencia geométrica correspondiente.
- Teorema 4.16. Dejar\(a, r \in \mathbb{R}\) y\(r \ne 1\). Si la secuencia\(S_1, S_2, ..., S_n, ...\) está definida por\(S_1 = a\) y para cada uno\(n \in \mathbb{N}\),\(S_{n + 1} = a + r \cdot S_n\), entonces para cada uno\(n \in \mathbb{N}\),\(S_n = a (\dfrac{1 - r^n}{1 - r})\).