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# 4.S: Inducción Matemática (Resumen)

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

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$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

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$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

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$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

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$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Definiciones importantes

• Conjunto inductivo, página 171
• Factorial, página 201
• Definición recursiva, página 200
• Números de Fibonacci, página 202
• Secuencia geométrica, página 206
• Serie geométrica, página 206

Las diversas formas de inducción matemática

1. El Principio de Inducción Matemática
Si$$T$$ es un subconjunto de$$\mathbb{N}$$ tales que

(a)$$1 \in T$$, y
(b) Por cada$$k \in \mathbb{N}$$, si$$k \in T$$, entonces$$(k + 1) \in T$$.

luego$$T = \mathbb{N}$$
Procedimiento para una Prueba por Inducción Matemática
Para probar$$(\forall n \in \mathbb{N}$$ (P (n))\)
$\begin{array} {rcl} {\text{Basis step}} &: & {\text{Prove} P(1).} \\ {\text{Inductive step}} &: & {\text{Prove that for each} k \in \mathbb{N}, \text{if} P(k) \text{is true, then} P(k + 1) \text{is true.}} \end{array}$
2. El Principio Extendido de Inducción Matemática
Let$$M$$ Ser un entero. Si$$T$$ es un subconjunto de$$\mathbb{Z}$$ tal que

(a)$$M \in T$$, y
(b) Por cada uno$$k \in \mathbb{Z}$$ con$$k \ge M$$, si$$k \in T$$, entonces$$(k + 1) \in T$$.

entonces$$T$$ contiene todos los enteros mayores o iguales a$$M$$.
Usando el Principio Extendido de Inducción Matemática
Let$$M$$ Ser un Intteger. Para probar$$(\forall n \in \mathbb{Z} \text{with} n \ge M) (P(n))$$
$\begin{array} {rcl} {\text{Basis step}} &: & {\text{Prove} P(M).} \\ {\text{Inductive step}} &: & {\text{Prove that for each} k \in \mathbb{Z} \text{with} k \ge M, \text{if} P(k) \text{is true, then} P(k + 1) \text{is true.}} \end{array}$
Podemos entonces concluir que$$P(n)$$ es cierto para todos$$n \in \mathbb{Z}$$ con$$n \ge M$$.
3. El Segundo Principio de Inducción Matemática
Let$$M$$ Ser un entero. Si$$T$$ es un subconjunto de$$\mathbb{Z}$$ tal que

(a)$$M \in T$$, y
(b) Por cada uno$$k \in \mathbb{Z}$$ con$$k \ge M$$, si$$\{M, M + 1, ..., k\} \subseteq T$$, entonces$$(k + 1) \in T$$.

entonces$$T$$ contiene todos los enteros mayores o iguales a$$M$$.
Usando el Segundo Principio de Inducción Matemática
Let$$M$$ Ser un Intteger. Para probar$$(\forall n \in \mathbb{Z} \text{with} n \ge M) (P(n))$$
$\begin{array} {rcl} {\text{Basis step}} &: & {\text{Prove} P(M).} \\ {\text{Inductive step}} &: & {\text{Let} k \in \mathbb{Z} \text{with} k \ge M. \text{Prove that if} P(M), P(M + 1), ..., P(k) \text{are true, then} P(k + 1) \text{is true.}} \end{array}$
Podemos entonces concluir que$$P(n)$$ es cierto para todos$$n \in \mathbb{Z}$$ con$$n \ge M$$.

• Teorema 4.14. Vamos$$a, r \in \mathbb{R}$$. Si una secuencia geométrica se define por$$a_1 = a$$ y para cada uno$$n \in \mathbb{N}$$,$$a_{n + 1} = r \cdot a_n$$, entonces para cada uno$$n \in \mathbb{N}$$,$$a_n = a \cdot r^{n - 1}$$.
• Teorema 4.15. Vamos$$a, r \in \mathbb{R}$$. Si la secuencia$$S_1, S_2, ..., S_n, ...$$ está definida por$$S_1 = a$$ y para cada uno$$n \in \mathbb{N}$$,$$S_{n + 1} = a + r \cdot S_n$$, entonces para cada uno$$n \in \mathbb{N}$$,$$S_n = a + a \cdot r + a \cdot r^2 + \cdot\cdot\cdot + a \cdot r^{n - 1}$$. Es decir, la serie geométrica$$S_n$$ es la suma de los primeros n términos de la secuencia geométrica correspondiente.
• Teorema 4.16. Dejar$$a, r \in \mathbb{R}$$ y$$r \ne 1$$. Si la secuencia$$S_1, S_2, ..., S_n, ...$$ está definida por$$S_1 = a$$ y para cada uno$$n \in \mathbb{N}$$,$$S_{n + 1} = a + r \cdot S_n$$, entonces para cada uno$$n \in \mathbb{N}$$,$$S_n = a (\dfrac{1 - r^n}{1 - r})$$.