2.4: Pruebas de dos columnas
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Si alguna vez has pasado mucho tiempo tratando de verificar el trabajo de otra persona para resolver un problema algebraico, probablemente estarías de acuerdo en que sería de ayuda saber lo que estaban tratando de hacer en cada paso. La mayoría de la gente tiene esta noción bastante vaga de que se les permite “hacer lo mismo en ambos lados” y se les permite simplificar los lados de la ecuación por separado, pero la mayoría de las veces, se hacen varias cosas diferentes en una línea determinada, se cometen errores y puede ser casi imposible de entender qué salió mal y dónde.
Ahora, después de todo, se supone que la belleza de las matemáticas radica en su claridad cristalina, por lo que este tipo de situación es realmente inaceptable. Puede ser un objetivo imposible conseguir que “el Joe promedio” realice manipulaciones algebraicas con claridad, pero aquellos de nosotros que aspiramos a ser matemáticos ciertamente debemos sujetarnos a un estándar más alto. Las pruebas de dos columnas suelen ser lo que se entiende por un “estándar más alto” cuando estamos hablando de manipulaciones relativamente mecánicas —como hacer álgebra, o más al grano, demostrando equivalencias lógicas. ¡Ahora no te desesperes! No se esperará, en una carrera matemática, que proporcione pruebas de dos columnas muy a menudo. De hecho, en un trabajo más avanzado se tiende a no dar ningún tipo de prueba para una afirmación que se presta a un enfoque de dos columnas. Pero, si te encuentras escribiendo “Como el lector puede verificar fácilmente, sostiene la Ecuación 17.”. en un artículo, o haciendo alguna observación similar a tus alumnos, estás moralmente obligado a poder producir una prueba de dos columnas.
Entonces, ¿qué es exactamente una prueba de dos columnas? En la columna de la izquierda, muestras tu trabajo, teniendo cuidado de ir paso a paso. En la columna de la derecha se proporciona una justificación para cada paso.
Vamos a pasar por un par de ejemplos de pruebas de dos columnas en el contexto de probar equivalencias lógicas. Una cosa a tener en cuenta: si estás tratando de probar una equivalencia dada, y lo primero que escribes es esa misma equivalencia, ¡está mal! Esto constituiría el error lógico conocido como “mendigar la pregunta” también conocido como “razonamiento circular”. Claramente no está bien tratar de demostrar algún hecho afirmando primero el mismo hecho. Sin embargo, existe (por alguna razón desconocida) una poderosa tentación de hacer esto mismo. Para evitar cometer este error, no pondremos ninguna equivalencia en una sola línea. En cambio, comenzaremos con un lado u otro de la declaración a probar, y modificarla utilizando reglas conocidas de equivalencia, hasta llegar al otro lado.
Sin más preámbulos, aportemos una prueba de la equivalencia\(A ∧ (B ∨ ¬A) \cong A ∧ B\). 1
\( ∧ (B ∨ ¬A) \cong (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬A) \tag{distributive law}\)
\(\cong (A ∧ B) ∨ c \tag{complementarity}\)
\(\cong (A ∧ B) \tag{identity law}\)
Hemos reunido una bonita secuencia paso a paso de equivalencias —cada una justificada por una ley conocida— que comienza con el lado izquierdo de la declaración a probar y termina con el lado derecho. ¡Esa es una prueba irrefutable!
En el siguiente ejemplo destacaremos un hábito de pensamiento ligeramente descuidado que tiende a ser problemático. La gente suele asociar (al principio) una dirección con las equivalencias lógicas básicas. Esto es razonable para varios de ellos porque un lado es marcadamente más sencillo que el otro. Por ejemplo, la regla de dominación normalmente se utilizaría para sustituir una parte de una declaración que parecía “\(A ∧ c\)” por la expresión más simple “\(c\)”. Hay cierta cantidad de estrategias necesarias para hacer estas pruebas, y generalmente aconsejo a la gente que comience con el lado más complicado de la equivalencia a probar. Simplemente se siente bien trabajar en la dirección de simplificar las cosas, pero hay momentos en los que uno tiene que dar un paso atrás antes de avanzar dos pasos.
Echemos un vistazo a otra equivalencia:\(A∧(B∨C) \cong (A∧(B∨C))∨(A∧ C)\). Hay muchas formas diferentes en las que se pueden concatenar pasos válidos para convertir un lado de esta equivalencia en el otro, por lo que un objetivo subsidiario es encontrar una prueba que utilice el menor número de pasos. Siguiendo mis propios consejos, comenzaré por el lado derecho de este.
\((A ∧ (B ∨ C)) ∨ (A ∧ C) \cong ((A∧B)∨(A∧C))∨(A∧C) \tag{distributive law}\)
\(\cong (A∧B)∨((A∧C)∨(A∧C)) \tag{associative law}\)
\(\cong (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) \tag{idempotence}\)
\(\cong A ∧ (B ∨ C) \tag{distributive law}\)
Obsérvese que en el ejemplo que acabamos de hacer, las dos aplicaciones de la ley distributiva van en direcciones opuestas en lo que respecta a su influencia en la complejidad de las expresiones.
Ejercicios:
Escribir pruebas de dos columnas que verifiquen cada una de las siguientes equivalencias lógicas.
- \(A ∨ (A ∧ B) \cong A ∧ (A ∨ B)\)
- \((A ∧ ¬B) ∨ A \cong A\)
- \(A ∨ B \cong A ∨ (¬A ∧ B)\)
- \(¬(A ∨ ¬B) ∨ (¬A ∧ ¬B) \cong ¬A\)
- \(A \cong A ∧ ((A ∨ ¬B) ∨ (A ∨ B))\)
- \((A ∧ ¬B) ∧ (¬A ∨ B) \cong c\)
- \(A \cong A ∧ (A ∨ (A ∧ (B ∨ C)))\)
- \(¬(A ∧ B) ∧ ¬(A ∧ C) \cong ¬A ∨ (¬B ∧ ¬C)\)