2: Lógica y cuantificadores

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Si al principio no tienes éxito, inténtalo de nuevo. Entonces deja de fumar. De nada sirve ser un maldito tonto al respecto.

—W. C. Campos

2.1: Predicados y Conectivos Lógicos
En cada rama de las Matemáticas hay nociones especiales, atómicas, que desafían la definición precisa. En Geometría, por ejemplo, las nociones atómicas son puntos, líneas y su incidencia. Los conceptos atómicos en la Teoría de Conjuntos son “set”, “element” y “membership”. Los conceptos atómicos en Lógica son “verdadero”, “falso”, “oración” y “declaración”. En cuanto a lo verdadero y a lo falso, esperamos que no haya incertidumbre en cuanto a sus significados.
2.2: Implicación
Supongamos que una madre le hace la siguiente declaración a su hijo: “Si terminas tus arvejas, obtendrás postre”. Esta es una oración compuesta compuesta por las dos frases más simples P = “Acabas tus guisantes” y D = “Te darán postre”. Es un ejemplo de un tipo de oración compuesta llamada condicional. Los condicionales son declaraciones tipo sif-then. En el lenguaje ordinario se suele eliminar la palabra “entonces” (como es el caso de nuestro ejemplo anterior).
2.3: Equivalencias lógicas
Algunas declaraciones lógicas son “lo mismo”. Por ejemplo, discutimos el hecho de que un condicional y su contrapositivo tienen el mismo contenido lógico. No obstante, el signo igual (=) ya tiene trabajo; se utiliza para indicar que dos cantidades numéricas son iguales. La definición formal de equivalencia lógica es que dos oraciones compuestas son lógicamente equivalentes si en una tabla de verdad, los valores de verdad de las dos oraciones son iguales en cada fila. Por lo tanto, usamos el símbolo () en su lugar.
2.4: Pruebas de dos columnas
Puede ser un objetivo imposible conseguir que “el Joe promedio” realice manipulaciones algebraicas con claridad, pero aquellos de nosotros que aspiramos a ser matemáticos ciertamente debemos sujetarnos a un estándar más alto. Las pruebas de dos columnas suelen ser lo que se entiende por un “estándar más alto” cuando estamos hablando de manipulaciones relativamente mecánicas —como hacer álgebra, o más al grano, demostrando equivalencias lógicas.
2.5: Declaraciones cuantificadas
Todas las declaraciones discutidas en las secciones anteriores eran del tipo “completamente inequívoco”; es decir, no tenían incógnitas en ellas. Es cierto que hemos utilizado variables para referirnos a oraciones (o fragmentos de oraciones) ellas mismas, pero hemos dicho que las oraciones que tenían variables en ellas eran ambiguas y ni siquiera merecían ser llamadas declaraciones lógicas. La noción de cuantificación nos permite utilizar el poder de las variables dentro de una oración sin introducir ambigüedad.
2.6: Razonamiento deductivo y formas de argumento
La deducción es el proceso mediante el cual determinamos nuevas verdades a partir de las viejas. A veces se afirma que nada verdaderamente nuevo puede venir de la deducción, la verdad de una declaración a la que se llega por procesos deductivos estaba mintiendo (quizás algo escondida) dentro de las hipótesis. Esta afirmación es algo así como un canard, como puede decirte cualquier aficionado a Sherlock Holmes, las declaraciones que a veces se pueden deducir de otros pueden ser notablemente sorprendentes.
2.7: Validez de Argumentos y Errores Comunes
Se dice que un argumento es válido o que tiene una forma válida si cada deducción en él puede justificarse con una de las reglas de inferencia enumeradas en el apartado anterior. La forma de un argumento podría ser válida, pero aún así la conclusión puede ser falsa si algunas de las premisas son falsas. Entonces, para demostrar que un argumento es bueno tenemos que poder hacer dos cosas: mostrar que el argumento es válido (es decir, que cada paso puede justificarse) y que el argumento es sólido lo que significa que todas las premisas son verdaderas.