6.3: Resolver desigualdades de valor absoluto y escribir respuestas en notación de intervalos

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

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En la sección anterior se enseñaba a resolver ecuaciones de valor absoluto. En esta sección se enseña a resolver las desigualdades de valor absoluto. Para ello, primero considere las siguientes dos propiedades:

Definición: Propiedades de Desigualdades de Valor Absoluto

Propiedad 1: Para todos los números positivos$b$, y todos los números reales$p$ y$q$,

$|a| < b$si y sólo si$−b < a < b$.

El conjunto de soluciones es de la forma$(p,q)$, un único intervalo abierto.

$|a| ≤ b$si y sólo si$−b ≤ a ≤ b$.

El conjunto de soluciones es de la forma$[p,q]$, un único intervalo cerrado.

Antes de considerar la Propiedad 2, es importante definir la unión de dos intervalos. La unión de dos intervalos cualesquiera$A$ y$B$, es el conjunto de elementos en$A$, o$B$, o ambos. La unión se representa con el símbolo$∪$.

Propiedad 2: Para todos los números positivos$b$, y todos los números reales$p$ y$q$,

$|a| > b$si y solo si$a < −b$ o$a > −b$

El conjunto de soluciones es de la forma$(−∞, p) ∪ (q, ∞)$, un intervalo disjunta.

$|a| ≥ b$si y sólo si$a ≤ −b$ o$a ≥ b$.

El conjunto de soluciones es de la forma$(−∞, p] ∪ [q, ∞)$, un intervalo disjunta.

Tenga en cuenta que antes de que se apliquen las propiedades de las desigualdades, aísle la expresión de valor absoluto a cada lado de la desigualdad.

Ejemplo 6.3.1

Resuelve las siguientes desigualdades y grafica el conjunto de soluciones.

$|5x − 2| < 7$
$|8x − 6| < −1$
$2|x − 3| + 5 ≤ 9$

Solución

Esta es una expresión de valor absoluto menor que un número positivo de la forma$|a| < b$. Aplicar Inmueble 1 (i) con$a = 5x − 2$ y$b = 7$.

$\begin{array} &&|5x − 2| < 7 &\text{Given} \\ &−7 < 5x − 2 < 7 &\text{Property 1 (i)} \end{array}$

Para resolver la desigualdad, aislar$x$. El paso anterior se convierte,

$\begin{array} &&−5 < 5x < 9 &\text{Add \(2$a todos los lados}\\ &−1 < x <\ dfrac {9} {5} &\ text {Divide todos los lados por$5$}\ end {array}\)

El conjunto de soluciones es el intervalo abierto único$\left(−1, \dfrac{9}{5} \right)$ y la gráfica es como se muestra en la siguiente figura.

$clipboard_eee2ec390ebb3481038f3625204438819.png$

Recordemos que el valor absoluto de cualquier número es la distancia desde$0$ hasta ese número en la recta numérica. Esto significa que el valor absoluto de cualquier número siempre es mayor o igual a$0$.

Este ejemplo da$|8x − 6| < −1,$ lo que no puede suceder ya que una distancia nunca es negativa. Entonces, la desigualdad de valor absoluto no tiene solución y el conjunto de soluciones es el conjunto vacío, escrito$\phi$.

Para resolver$2|x − 3| + 5 ≤ 9$, aislar el valor absoluto.

$\begin{array} &&2|x − 3| + 5 ≤ 9 &\text{Given} \\ &2|x − 3| ≤ 4 &\text{Subtract \(5$desde ambos lados}\\ &|x − 3| ≤ 2 &\ text {Divide ambos lados por$2$}\ end {array}\)

Ahora,$|x − 3| ≤ 2$ es de la forma$|a| ≤ b$. Aplicar Propiedad 1 (ii) con$a = x − 3$ y$b = 2$.

$\begin{array} &&|x − 3| ≤ 2 & \\&− 2 ≤ x − 3 ≤ 2 &\text{Property 1(ii)} \\ &1 ≤ x ≤ 5 & \end{array}$

El conjunto de soluciones es el intervalo único$[1, 5]$ y la gráfica es como se muestra en la siguiente figura.

$clipboard_e335bc0a4c68c53a86ca3273caf045e67.png$

Ejemplo 6.3.2

Resuelve y grafica el conjunto de soluciones.

$\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3$
$2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5$
$|2 − 4x| ≥ −7$

Solución

La desigualdad de valor absoluto$\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3$ está en la forma de$|a| ≥ b$. Aplicar Propiedad 2 (ii) con$a = \dfrac{6 − x}{10}$ y$b = 3$ para resolver la desigualdad.

$\begin{array} & & &\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3 &&\text{Given} \\ &\dfrac{6 − x}{10} ≤ −3 &\text{ or } &\dfrac{6 − x}{10} ≥ 3 &\text{Property 2 (ii)} \\ &6 − x ≤ −30 &\text{ or } &6 − x ≥ 30 &\text{Multiply by \(10$ambos lados}\\ &−x ≤ −36 &\ text {o} &−x ≥ 24 &\ text {Restar$6$ de ambos lados}\\ &x ≥ 36 &\ text {o} &x ≤ −24 &\ text {Multiplicar por$−1$}\ end {array}\)

Obsérvese que dado que las desigualdades se multiplicaron por un número negativo$−1$, es decir, la dirección de la desigualdad cambió.

El conjunto de soluciones es la unión de los dos intervalos. Así,$(−∞, −24] ∪ [36, ∞)$ es la solución establecida en notación de intervalos. El gráfico de la solución es como se muestra en la siguiente figura.

$clipboard_e994fe946d0c11e329dc3c0829b29b123.png$

Aísle el valor absoluto.

$\begin{array} &&2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5 &\text{Given} \\ &7 < \left| \dfrac{3}{4} x − 3 \right| &\text{Add \(5$a ambos lados}\ end {array}\)

Obsérvese que la desigualdad anterior se lee de derecha a izquierda como “el valor absoluto de la expresión$\dfrac{3}{4} x − 3$ es mayor que$7$" o cambiar de manera equivalente el orden del valor absoluto de la desigualdad a tener$\dfrac{3}{4} x − 3 > 7$, que es una forma más familiar de resolver.

Ahora,$\dfrac{3}{4} x − 3 > 7$ es de la forma$|a| > b$. Utilizar Propiedad 2 (ii) con$a = \dfrac{3x}{4} − 3$ y$b = 7$.

$\begin{array} && &\dfrac{3}{4} x − 3 > 7 &&\text{Given} \\ &\dfrac{3}{4} x − 3 < −7 &\text{ or } &\dfrac{3}{4}x − 3 > 7 &\text{Property 2 (ii)}\\ &\dfrac{3}{4} x < −4 &\text{ or } &\dfrac{3}{4} x > 10 &\text{Add \(3$a todos los lados}\\ &x < −\ dfrac {16} {3} &\ text {or} &x >\ dfrac {40} {3} &\ text {Multiplicar ambos lados por$\dfrac{4}{3}$.} \ end {array}\)

El conjunto de soluciones es la unión de los dos intervalos,$(− ∞, −\dfrac{16}{3}] ∪ [\dfrac{40}{3}, ∞)$. La gráfica de la solución es como se muestra en la siguiente figura

$clipboard_efb943e2ff7407d1b4777246c86c52bee.png$

Dado que siempre$|2 − 4x|$ es mayor o igual a$0$ para cualquier número real$x$ entonces, la desigualdad de valor absoluto es cierta para todos los números reales. $x$Sea cualquier número real, negativo o positivo, entonces el valor absoluto será$0$ o un número positivo.

Entonces, el conjunto de soluciones son todos los números reales en la recta numérica, como se muestra en la siguiente figura. La solución establecida en notación de intervalos es$(−∞, ∞)$.

$clipboard_e0e607828723541fb83638051b94dbe29.png$

Ejercicio 6.3.1

Resuelva las siguientes desigualdades, escriba respuestas en notación de intervalos y grafique los conjuntos de soluciones:

$|−6x + 1| < 20$
$\left| \dfrac{2}{3} x + 5 \right| > 5$
$\left| 5 − \dfrac{1}{4} x \right| < −71$
$2 \left| − x + \dfrac{4}{5} \right| ≤ \dfrac{5}{2}$
$−\dfrac{1}{7} < |x + 10| − 10$
$|−12 − 3x| < −0.6$
$\left|\dfrac{16 − 2x}{8} \right| ≥ 11$
$|2 − 6x| − 5 ≥ −9$
$\left| \dfrac{2}{3} x − \dfrac{1}{4} \right| ≤ \dfrac{1}{12}$
$|.02x + 5| < .02$
$\left| \dfrac{1}{2} − x \right| < 8$
$| − 6x + 9| − 5 < −6$