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8.2: Multiplicación polinomial

Última actualización

30 oct 2022
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- 8.1: Suma y resta polinomial (y combinación de términos similares)
- 8.3: Factorización y Búsqueda de Soluciones Polinómicas (Ceros)

Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

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Los polinomios se pueden clasificar como:

Monomios si contienen un término.
Binomios si contienen dos términos.
Trinomios si contienen tres términos.
Polinomios si contienen tres o más términos.

No hay ejemplos ni tareas en esta sección.

Multiplicación de Dos Monomios

Definición: Multiplicar dos monomios

Para multiplicar dos monomios, multiplique los términos juntos sumando los exponentes y multiplicando los coeficientes numéricos.

Ejemplo 8.2.1

Multiplicar dos monomios:

$(3x^2 )(6x^3 )$
$(4x)(x)$
$(−2x^3 )(−7x^4 )$

Solución

$\begin{array} &&(3x^2 )(6x^3 ) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(3)(6)(x^{2+3}) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents on the variables using the Product Rule for Exponents} \\ &18x^5 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}$

$\begin{array} &&(4x)(x) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(4)(1)(x^{1+1}) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents. The coefficient on $x$ es $1$ , y el exponente en cada uno $x$ es $1$ .}\\ &4x^2 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Solución}\ end {array}$

$\begin{array} &&(−2x^3 )(−7x^4 ) &\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(−2)(−7)(x^{3+4}) &\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents.} \\ &14x^7 &\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}$

Ejercicio 8.2.1

Multiplicar dos monomios:

$(−3x^4 )(9x^7 )$
$(2x)(2x)$
$(−4x^7 )(5x^5 )$
$(−6x^2 )(−x^2 )$

Multiplicación de un polinomio por un monomio

Definición: Multiplicar un polinomio por un monomio

Para multiplicar un polinomio por un monomio, multiplicar todos los términos del polinomio por el monomio. Mantener cualquier resta en el polinomio original con el término siguiente a la resta como signo del coeficiente del término.

Ejemplo 8.2.2

Multiplicar un polinomio por un monomio:

$3x^2 (15x^2 − 5x)$
$−7x(3x^2 − 2x + 9)$
$5x(4x^3 − 2x^2 + x − 3)$

Solución

$\begin{array} &&3x^2 (15x^2 − 5x) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(3x^2 )(15x^2 ) + (3x^2 )(−5x) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply all terms of the polynomial by the monomial. Then simplify by multiplying the pairs of monomials.} \\ &45x^4 + (−15x^3 ) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &45x^4 − 15x^3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}$

$\begin{array} &&−7x(3x^2 − 2x + 9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(−7x)(3x^2 ) + (−7x)(−2x) + (−7x)(9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents. The coefficient on $x$ es $1$ , y el exponente en cada uno $x$ es $1$ .}\\ &−21x^3 + 14x^2 − 63x &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Solución}\ end {array}$

$\begin{array} &&5x(4x^3 − 2x^2 + x − 3) &\text{Example problem} \\ &(5x)(4x^3 ) + (5x)(−2x^2 ) + (5x)(x) + (5x)(−3) &\text{Multiply the coefficients and add the exponents.} \\ &20x^4 − 10x^3 + 5x^2 − 15x &\text{Solution} \end{array}$

Ejercicio 8.2.2

Multiplicar un polinomio por un monomio:

$(−6x)(x^2 − 3)$
$(3x^4 )(2x^2 − x − 5)$
$(−4x^5 )(x^4 − 3x^3 + 3x^2 − x − 7)$
$(x^2 )(−x^3 − 12)$

Multiplicación de dos binomios

Definición: Multiplicar dos binomios

Para multiplicar dos binomios, utilice la técnica FOIL para multiplicar: primeros términos, términos externos, términos internos y los últimos términos. FOIL asegura que todos los términos en el primer binomio se multipliquen por todos los términos en el segundo binomio. El orden de multiplicación de términos no importa ya que la multiplicación es conmutativa. Tenga cuidado de combinar cualquier término similar para simplificar completamente la solución.

Ejemplo 8.2.3

Multiplica dos binomios:

$(3x − 4)(2x + 5)$
$(5x^2 − 2)(5x^2 + 2)$
$(7x^3 − 4x^2 )(x − 5)$

Solución

$\begin{array} &&(3x − 4)(2x + 5) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(3x)(2x) + (3x)(5) + (−4)(2x) + (−4)(5) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &6x^2 + 15x + (−8x) + (−20) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &6x^2 + 7x − 20 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}$

$\begin{array} &&(5x^2 − 2)(5x^2 + 2) &\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(5x^2 )(5x^2 ) + (5x^2 )(2) + (−2)(5x^2 ) + (−2)(2) &\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &25x^4 + 10x^2 + (−10x^2 ) + (−4) &\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &25x^4 − 4 &\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}$

$\begin{array} &&(7x^3 − 4x^2 )(x − 5) &\text{Example problem} \\ &(7x^3 )(x) + (7x^3 )(−5) + (−4x^2 )(x) + (−4x^2 )(−5) &\text{FOIL the terms to multiply all terms in the first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &7x^4 + (−35x^3 ) + (−4x^3 ) + 20x^2 &\text{Combine like terms and simplify} \\ &7x^4 − 39x^3 + 20x^2 &\text{Solution} \end{array}$

Ejercicio 8.2.3

Multiplica dos binomios:

$(2x − 3)(6x + 5)$
$(3x^2 − 4)(3x^2 + 4)$
$(−4x^5 − 2)(7x^3 + 3)$
$(2x − 7)(3x − 8)$

Multiplicación de Dos Polinomios

Definición: Multiplicar dos polinomios

Para multiplicar dos polinomios, utilice la propiedad distributiva para multiplicar cada término en el primer polinomio por cada término en el segundo polinomio. Luego se combinan términos similares para simplificar la solución.

Ejemplo 8.2.4

Multiplicar dos polinomios:

$(2x + 5)(3x^2 − 6x + 9)$
$(2x^2 + 4x − 5)(3x − 2)$
$(x^2 − x + 3)(2x^2 + 6x − 1)$

Solución

$\begin{array} &&(2x + 5)(3x^2 − 6x + 9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(2x)(3x^2 ) + (2x)(−6x) + (2x)(9) + (5)(3x^2 ) + (5)(−6x) + (5)(9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the} \\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &6x^3 + (−12x^2 ) + 18x + 15x^2 + (−30x) + 45 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &6x^3 + 3x^2 − 12x + 45 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}$

$\begin{array} &&(2x^2 + 4x − 5)(3x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(2x^2 )(3x) + (2x^2 )(−2) + (4x)(3x) + (4x)(−2) + (−5)(3x) + (−5)(−2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the} \\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &6x^3 + (−4x^2 ) + 12x^2 + (−8x) + (−15x) + 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &6x^3 + 8x^2 − 23x + 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}$

$\begin{array} &&(x^2 − x + 3)(2x^2 + 6x − 1) &\text{Example problem} \\ &(x^2 )(2x^2 ) + (x^2 )(6x) + (x^2 )(−1) + (−x)(2x^2 ) + (−x)(6x) + (−x)(−1) + (3)(2x^2 ) + (3)(6x) + (3)(−1) &\text{FOIL the terms to multiply all terms in the} \\ & & \text{first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &2x^4 + 6x^3 + (−1x^2 ) + (−2x^3 ) + (−6x^2 ) + x + 6x^2 + 18x + (−3) &\text{Combine like terms and simplify} \\ &2x^4 + 4x^3 − x^2 + 19x − 3 &\text{Solution} \end{array}$

Ejercicio 8.2.4

Multiplicar dos polinomios:

$(x^2 − 2x − 1)(2x^2 − 7x − 8)$
$(3x^2 − 5)(x^2 + 4x − 3)$
$(4x^3 − 2x + 1)(6x^2 + 3)$
$(2x^3 − 3x + 4)(2x^2 − 8x + 2)$

Multiplicación de Dos Monomios

Solución

Multiplicación de un polinomio por un monomio

Solución

Multiplicación de dos binomios

Solución

Multiplicación de Dos Polinomios

Solución

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