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8.3: Factorización y Búsqueda de Soluciones Polinómicas (Ceros)

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Hay varias formas de encontrar soluciones de polinomios que son trinomios de la forma\(ax^2 + bx + c = 0\). Estas soluciones también se denominan los ceros reales de los polinomios.

    1. Método de Factorización de Ensayo y Verificación: Con este método, el objetivo es crear dos binomios que al multiplicarse juntos, den como resultado el trinomio dado. Este método puede ser muy difícil cuando el trinomio dado tiene grandes valores de\(a\) y\(c\). Una vez que se complete el factoring, encuentre todos los ceros reales usando la propiedad del factor cero y estableciendo cada factor igual a\(0\) y resuelva para\(x\).
    2. Factor por Agrupación Método de Factorización: Con este método, el objetivo es crear cuatro términos dividiendo el término medio en dos términos, cuyos coeficientes tienen un producto de\(a ∗ c\) y tienen una suma de\(b\). El orden de los términos del centro no importa. Una vez creados los cuatro términos, empareja los dos primeros términos con paréntesis, empareja los dos segundos términos con paréntesis y factorizar el GCF de ambos pares. El binomio repetido resultante es un factor, y los factores GCF se combinan para hacer el segundo binomio. Este es el método más fácil de usar en cualquier trinomio factoriable de la forma\(ax^2 + bx + c\), pero puede tener un poco de curva de aprendizaje. Una vez que se complete el factoring, encuentre todos los ceros reales usando la propiedad del factor cero y estableciendo cada factor igual a\(0\) y resuelva para\(x\).
    3. La Fórmula Cuadrática: La Fórmula Cuadrática se puede utilizar para encontrar los ceros reales de un trinomio factorizable. Consulta la Tabla de Contenidos para encontrar la sección que explica cómo usar la Fórmula Cuadrática.
    Ejemplo 8.3.1

    Factorizar las expresiones usando cualquiera de los métodos discutidos en esta sección (estos problemas de ejemplo demostrarán el método Factor por Agrupación):

    1. \(4x^2 − 3x − 10\)
    2. \(8x^2 − 2x − 3\)
    3. \(12x − 14x^3 + 22x^2\)
    4. \(\dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4}\)
    5. \(\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)(2x + 1)^{-\frac{1}{2}}}{2x + 1}\)
    Solución
    1. \(\begin{array} &&4x^2 − 3x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &4x^2 − 3x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Product \(ac\)es\(4∗(−10) = −40\), Suma es\(b = −3\). Para usar factor por agrupación,}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ texto {\(8\)y\(−40\)\(−3\) \(5\)son buenos candidatos; ya que el producto debe ser negativo, uno de estos valores debe ser negativo.}\\ & & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ producto es\(−40\) y su suma es\(−3\).}\\ &\(−8\)\(5\) ; 4x^2 − 8x + 5x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Cuatro términos, la suma de los dos términos intermedios es el término medio original,\(−3x\)}\ & (4x^2 − 8x) + (5x − 10) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Crear pares de términos}\\\ &4 x (x − 2) + 5 (x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ presente}\\ & (4x + 5) (x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Asegúrese de verificar por FOIL.} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&8x^2 − 2x − 3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &8x^2 − 2x − 3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Product \(ac\)es\(8∗(−3) = −24\), Suma es\(b = −2\). Para usar factor agrupando,}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\(−24\)\(−2\)\(6\)\(4\) candidatos; ya que el producto debe ser negativo, uno de estos valores debe ser negativo.}\\ & & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ &8x^2 + 4x − 6x − 3 &\;\;\(−6\)\(4\)\(−24\)\(−2\) \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {El orden de los dos términos intermedios no importa.}\\ & (8x^2 + 4x) + (−6x − 3) &\;\;\;\;\\(−2x\) ;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; Observe la adición entre paréntesis;}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {el tercero de los cuatro términos fue negativo aquí, así el signo se queda con el término.}\\ &4x (2x + 1) + (−3) (2x + 1) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Factorizar el GCF de cada par- siempre está presente un factor binomial repetido}\\ & (4x − 3) (2x + 1) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Solución. Asegúrese de verificar por FOIL.} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} && 12x − 14x^3 + 22x^2 &\text{Example problem} \\ &−14x^3 + 22x^2 + 12x &\text{Reorder the terms in decreasing order of variable degree.} \\ &2x(−7x^2 + 11x + 6) &\text{Factor out the GCF so a trinomial results that can be factored using factor by grouping.} \\ & &\text{The GCF of \(2x\)se incluirá en la respuesta final, así que no te olvides de ello.}\\ &−7x^2 + 11x + 6 &\ text {\(ac\)El producto es\(−7 ∗ 6 = −42\), la suma es\(b = 11\). Para usar factor por agrupación,}\\ & &\ text {se necesitan dos términos medios que se multipliquen a un producto de\(−42\) y se agreguen a una suma de\(11\).}\\ & &\ text {No hay números que cumplan ambos requisitos,}\\ & &\ text {lo que significa que el trinomio no es factorizable en factores enteros.}\\ &−7x^2 + 11x + 6 &\ text {Para encontrar los factores y los ceros del polinomio, usa la Fórmula Cuadrática.}\\ & &\ text {Let\(a = −7\),\(b = 11\),\(c = 6\)}\\ &x =\ dfrac {−11 ±\ sqrt {11^2 − 4 (−7) (6)}} {2 (−7)} &\ text {Fórmula Cuadrática}\\ &x =\ dfrac {−11 ±\ sqrt {121 + 168}} {-14} &\ text {Simplificar}\\ &x =\ dfrac {11 ±\ sqrt {289}} {14} &\ text {Dividir\(−1\) de todos los términos}\\ &x =\ dfrac {11 ±\ sqrt {289}} {14} = 2,\;\; x =\ dfrac {11 −\ sqrt {289}} {14} = −\ dfrac {3} {7} &\ text {Respuestas exactas para los ceros en forma radical, seguidas de número real formulario.}\\ & (x − 2),\;\; (x + -\ dfrac {3} {7}) &\ text {Factores. Tenga cuidado de insertar lo correcto\(±\) en los factores.}\\ & &\ text {Encuentra las soluciones, y luego ingeniería inversa para averiguar el factor que producirá esa solución.}\\ & &\ text {La primera solución de la Fórmula Cuadrática fue\(x = 2\).}\\ & &\ text {Un factor de \((x − 2)\)cuando se establece igual a\(0\) producirá la solución de\(x = 2\).}\\ & &\ text {La segunda solución de la Fórmula Cuadrática fue\(x = −\dfrac{3}{7}\).}\\ & &\ text {Un factor de\((x + −\dfrac{3}{7})\) producirá la solución de\(x = −\dfrac{3}{7}\).}\\ &2x (x − 2) (x +\ dfrac {3} {7}) &\ text { Factores polinomiales, incluyendo el GCF original que se factorizó al inicio de este problema.} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} && \dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &\dfrac{2(x^2 + 1)[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{(x^2 + 1)(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Factor out the GCF from the numerator.} \\ &\dfrac{2\cancel{(x^2 + 1)}[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{\cancel{(x^2 + 1)}(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Remove common factors.} \\ &\dfrac{2[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Remove common factors.} \\ &\dfrac{2[−x^2 − 1 + 4x^2]}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &\dfrac{2(3x^2 − 1)}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Final answer.} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)(2x + 1)^{-\frac{1}{2}}}{2x + 1} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} −\dfrac{(x + 2)}{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}}}{2x + 1} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Write the expression with a positive exponent (move it to the denominator).} \\ &\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)}{\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}}{2x + 1}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Write the numerator with a common denominator.} \\ &\dfrac{2x + 1 − x − 2}{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} (2x + 1)} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplified.} \\ &\dfrac{2x + 1 − x − 2}{(2x + 1)^{\frac{3}{2}}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Final answer.} \end{array}\)
    Ejercicio 8.3.1

    Factor usando cualquier método discutido en esta sección:

    1. \(5x^2 − 23x − 10\)
    2. \(8x^2 + 2x − 3\)
    3. \(3x^2 − 7x − 6\)
    4. \(10x^2 + 13x − 5\)
    5. \(12x^5 − 17x^4 + 6x^3\)
    6. \(\dfrac{(2x^2 − 1)^2 (−2) + (2x)2(2x^2 − 1)(2x)}{(2x^2 − 1)^4}\)
    7. \(\dfrac{2(2x − 3)^{\frac{1}{3}} − (x − 1)(2x − 3)^{-\frac{2}{3}}}{2x − 3^{\frac{2}{3}}}\)

    Fórmula cuadrática

    Definición: Fórmula cuadrática

    La Fórmula Cuadrática se utiliza para resolver (o encontrar los ceros) de un polinomio (Ecuación Cuadrática) de grado\(2\) que está en la forma\(ax^2 + bx + c = 0\). La Fórmula Cuadrática es:

    \[x = \dfrac{−b ± \sqrt{b^2 − 4ac}}{2a} \nonumber \]

    donde\(a\),\(b\), y\(c\) son los coeficientes de la forma estándar de una Ecuación Cuadrática,\(ax^2 + bx + c = 0\).

    Ejemplo 8.3.2

    Para las siguientes funciones, encuentre todos los ceros de\(f\) usar la Fórmula Cuadrática. Expresar la respuesta final como respuestas exactas (en forma radical) y también como decimales, redondeados al lugar milésimas.

    1. \(f(x) = −2x^2 + 4x − 1\)
    2. \(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x\)
    Solución
    1. Set\(f(x) = 0: −2x^2 + 4x − 1 = 0\). Esta función está escrita en la forma\(ax^2 + bx + c = 0\), con\(a = −2\),\(b = 4\) y\(c = −1\).

    Sustituyendo\(a\),\(b\) y\(c\) en la Fórmula Cuadrática con estos valores:

    \(\begin{array} &&x = \dfrac{−4 ± \sqrt{4^2 − 4(−2)(−1)}}{2(−2)} &\;\;\;\;\;\text{Quadratic Formula} \\ &x = \dfrac{−4 ± \sqrt{(16 − 8)}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{−4 ± \sqrt{8}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{−4 ± 2 \sqrt{2}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify the radical} \\ &x = \dfrac{2 ± \sqrt{2}}{2} &\;\;\;\;\;\text{Exact answers in radical form} \\ &x = \dfrac{2 − \sqrt{2}}{2} ,\;\; x = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{2} &\;\;\;\;\;\text{Exact answers written as two roots} \\ &x = 0.293 \text{ and } x = 1.707 &\;\;\;\;\;\text{Approximation answers rounded to the thousandths place} \end{array}\)

    1. La función\(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x\) es una función cúbica. Factor fuera\(x\) de los tres términos antes de usar la Ecuación Cuadrática sobre el factor trinomial:\(x(x^2 − 3x − 4) = 0\), con\(a = 1\),\(b = −3\) y\(c = −4\).

    No olvides que el\(x\) que se factorizó es una raíz, es decir\(x = 0\).

    Sustituyendo\(a\),\(b\) y\(c\) en la Fórmula Cuadrática con estos valores:

    \(\begin{array} &&x = \dfrac{3 ± \sqrt{(−3)2 − 4(1)(−4)}}{2(1)} &\text{Quadratic Formula} \\ &x = \dfrac{3 ± \sqrt{(16 + 9)}}{2} &\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{3 ± \sqrt{25}}{2} &\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{3 ± 5}{2} &\text{Simplify further} \\ &x = \dfrac{3 − 5}{2} ,\;\;x = \dfrac{−2}{2} ,\;\; x = −1 &\text{Second root (first root is \(x = 0\))}\\ &x =\ dfrac {3 + 5} {2},\;\; x =\ dfrac {8} {2},\;\; x = 4 &\ text {Tercera raíz}\ final {matriz}\)

    Hay tres soluciones, o raíces de la función cúbica\(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x: x = 0\),\(x = −1\) y\(x = 4\).

    Ejercicio 8.3.2

    Para las siguientes funciones, encuentre todos los ceros de\(f\) usar la Fórmula Cuadrática. Expresar la respuesta final como respuestas exactas (en forma radical) y también como decimales, redondeados al lugar milésimas.

    1. \(f(t) = 9t^3 − 18t^2 + 6t\)
    2. \(f(x) = x^5 − 4x^4 − 32x^3\)
    3. \(f(x) = 18 − 3x − 2x^2\)
    4. \(f(x) = 12x^2 + 11x − 5\)
    5. \(f(x) = 3x^2 − 6x + 2\)

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