2.3: Probabilidad y Valor Esperado

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 107940

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Muchos juegos tienen un elemento de azar. Para modelar tales juegos y determinar estrategias, debemos entender cómo los matemáticos utilizan la probabilidad para representar el azar.

2.3.1: Alguna probabilidad básica

Probablemente estés un poco familiarizado con la idea de probabilidad. La gente suele hablar de la posibilidad de que ocurra algún evento. Por ejemplo, un pronóstico del tiempo podría decir que existe la$20 \%$ posibilidad de lluvia. Ahora determinar la posibilidad de lluvia puede ser difícil, así que nos quedaremos con algunos ejemplos más fáciles.

Considera una baraja estándar de$52$ naipes. ¿Cuál es la posibilidad de sacar una tarjeta roja? ¿Cuál es la probabilidad de sacar una tarjeta roja? ¿Hay alguna diferencia entre el azar y la probabilidad? ¡Sí! La probabilidad de un evento tiene un significado muy específico en matemáticas.

La probabilidad de un evento$E$ es el número de resultados diferentes que resultan$E$ divididos por el número total de resultados igualmente probables. En los símbolos matemáticos,

\ begin {ecuación*} P (E) =\ dfrac {\ mbox {número de resultados diferentes que resultan en$E$}} {\ mbox {número total de resultados igualmente probables}}. \ end {ecuación*}

Observe que la probabilidad de siempre$E$ será un número entre$0$ y$1$. Un evento imposible tendrá probabilidad$0$; un evento que siempre ocurre tendrá probabilidad$1$.

Así, la probabilidad de sacar una tarjeta roja$\dfrac{1}{2}\text{,}$ no lo es$50 \%$. Si bien podemos convertir entre probabilidad y porcentaje (ya que$0.5$ convertido a porcentaje lo es$50\%$), es importante responder una pregunta sobre probabilidad con una probabilidad, no con un porcentaje.

Ejemplo 2.3.1 : Dibujar un traje particular

Dada una baraja estándar de naipes, ¿cuál es la probabilidad de dibujar un corazón?

Solución

Se podría decir ya que hay cuatro palos, y uno de los trajes es corazones, tienes una probabilidad de$\dfrac{1}{4}\text{.}$ Estarías en lo correcto, pero ten cuidado con este razonamiento. Esto funciona porque cada palo tiene el mismo número de cartas, por lo que cada palo es igualmente probable. Otra forma de calcular la probabilidad es contar el número de corazones$(13)$ dividido por el número de cartas$(52)$. Por lo tanto, obtenemos una probabilidad de$\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}=0.25\text{.}$

Ejemplo 2.3.2 : Falta una tarjeta

Ahora supongamos que falta en la baraja el as de espadas. ¿Cuál es la probabilidad de dibujar un corazón?

Solución

Como antes, todavía quedan cuatro palos en la baraja, así que podría ser tentador decir que la probabilidad sigue siendo ¡$\dfrac{1}{4}\text{.}$Pero estaríamos equivocados! Cada palo ya no es igual de probable ya que, es un poco menos probable que dibujemos una pala. Sin embargo, cada tarjeta individual sigue siendo igualmente probable. Así que ahora

\ begin {ecuación*} P (\ mbox {dibujando un corazón}) =\ dfrac {\ mbox {número de corazones}} {\ mbox {número de cartas}} =\ dfrac {13} {51} = 0.255. \ end {ecuación*}

Como pueden ver, ahora es un poco más probable que dibujemos un corazón si el as de espadas se quita de la baraja.

Ahora trata de calcular algunas probabilidades por tu cuenta.

Ejercicio 2.3.1 : Probabilidad con un solo dado

Considera enrollar una sola matriz. Enumere los posibles resultados. Asumiendo que es un dado justo, ¿son igualmente probables todos los resultados? ¿Cuál es la probabilidad de rodar un 2? ¿Cuál es la probabilidad de rodar un número par?

Ejercicio 2.3.2 : Probabilidad con Troquel Rojo y Verde

Ahora considere rodar dos dados justos, digamos un dado rojo y un dado verde.

¿Cuántos resultados igualmente probables hay? Enumerarlos.
¿Cuál es la probabilidad de que consigas un dos en el dado rojo y un cuatro en el dado verde?
¿Cuál es la probabilidad de que ruedes un tres en el dado rojo?
¿Cuál es la probabilidad de que rodes un dos y un cuatro?
¿Cuál es la probabilidad de que rodes un tres?
Compara tus respuestas en (b) y (c) con tus respuestas en (d) y (e). ¿Son iguales o diferentes? Explique.

Ejercicio 2.3.3 : Probabilidad con dos de los mismos dados

De nuevo considera rodar dos dados justos, pero ahora no nos importa de qué color sean.

¿Esto cambia el número de resultados igualmente probables del ejercicio$2.3.2$? ¿Por qué o por qué no? Puede ser útil enumerar los posibles resultados.
¿Cuál es la probabilidad de que consigas ojos de serpiente (dos unos)?
¿Cuál es la probabilidad de que rodes un dos y un cuatro?
¿Cuál es la probabilidad de que rodes un tres?
¿Cuál es la probabilidad de que rodes un dos O un cuatro?

Ejercicio 2.3.4 : Sumas de dados.

Supongamos que tiramos dos dados y los agregamos.

Enumere las sumas posibles.
¿Cuál es la probabilidad de que consigas un total de siete en los dos dados?
¿Cuál es la probabilidad de que obtengas un total de cuatro cuando tiras dos dados?
¿Son igualmente probables los eventos de obtener un total de siete y obtener un total de cuatro? Explique.

Es importante tener en cuenta que solo porque puedes enumerar todos los resultados posibles, es posible que no sean igualmente probables. Como vemos en Ejercicio$2.3.4$, aunque hay sumas$11$ posibles, la probabilidad de obtener alguna suma en particular (como siete) no es$\dfrac{1}{11}\text{.}$

2.3.2: Valor esperado

Definición: Valor esperado

El valor esperado de un juego de azar es la ganancia o pérdida neta promedio que esperaríamos por juego si jugáramos el juego muchas veces. Calculamos el valor esperado multiplicando el valor de cada resultado por su probabilidad de ocurrir y luego sumar todos los productos.

Por ejemplo, supongamos que lanzas una moneda justa: Cabezas, ganas$25$ centavos, colas, pierdes$25$ centavos. La probabilidad de obtener cabezas es$\dfrac{1}{2}\text{,}$ como es la probabilidad de obtener Tails. El valor esperado del juego es

\ begin {ecuación*}\ biggl (\ dfrac {1} {2}\ times .25\ biggr) +\ biggl (\ dfrac {1} {2}\ times (- .25)\ biggr) =0. \ end {ecuación*}

Por lo tanto, esperarías una ganancia promedio de$$0$, si fueras a jugar el juego varias veces. Tenga en cuenta que el valor esperado no es necesariamente el valor real de jugar el juego.

Ejercicio 2.3.5 : Valor esperado y juego de dos monedas

Considera un juego en el que tiras dos monedas. Si consigues dos Cabezas, ganas$$2$. Si consigues una Cabeza y una Cola, ganas$$1$, si consigues dos Tails, pierdes$$4$. Encuentra el valor esperado del juego. (Precaución: primero hay que encontrar la probabilidad de cada evento; piense en eventos “igualmente probables”).

Ejercicio 2.3.6 : Juega al juego de las dos monedas

Ahora juega el juego en Ejercicio$2.3.5$ el número de veces indicado. Da tu pago real y compárelo con el valor esperado.

Una vez.
Diez veces.
Veinticinco veces.
¿Hay un solo resultado posible en el que realmente ganarías o perderías la cantidad exacta calculada para el valor esperado? Si no, ¿por qué lo llamamos el valor esperado?

Ejercicio 2.3.7 : Valor esperado de la ruleta

Una rueda de ruleta estándar tiene ranuras$38$ numeradas para que una bola pequeña aterrice en:$36$ están marcados de$1$ a$36$, con la mitad de esos negros y mitad rojos; dos ranuras verdes están numeradas$0$ y$00$. Una apuesta permisible es apostar en rojo o negro. Esta apuesta es una apuesta de dinero par, lo que significa que si ganas recibes el doble de lo que apuestas. Mucha gente piensa que apostar al negro o al rojo es un juego limpio. ¿Cuál es el valor esperado de$$1000$ apostar al rojo? ¿Es esto un juego justo? Explique.

Ejercicio 2.3.8 : Otro ejemplo de ruleta

Considerando nuevamente la rueda de la ruleta, si apuestas$$100$ por un número determinado y la pelota aterriza en ese número, ganas$$3600$. ¿Cuál es el valor esperado de$$100$ apostar por Red$4$?

Después de encontrar el valor esperado de los juegos en los ejercicios anteriores, ¿qué crees que puede decirnos el valor esperado de un juego? ¿Puedes usarlo para decidir si debes jugar ese juego de azar o no? ¿Cuándo será ventajoso un juego para el jugador? A menudo nos importa si un juego es “justo”. ¿El valor esperado puede ayudarte a determinar si un juego es justo?

Ejercicio 2.3.9 : Valor esperado y equidad

Usa la idea de valor esperado para explicar la “equidad” en un juego de azar.

El último ejercicio es un buen reto para explorar el valor esperado.

Ejercicio 2.3.10 : Un juego de apuestas con dos dados

Se hace una apuesta y se tiran dos dados justos. Si rotas un 7 o un 11, recibes tu apuesta de vuelta (rompes el par). Si rotas un 2, un 3 o un 12, entonces pierdes tu apuesta. Si robas cualquier otra cosa, recibes la mitad de la suma que rodaste en dólares. ¿Cuánto deberías apostar para que este sea un juego limpio?

Insinuación: Podría ser útil comenzar con una tabla que muestre las posibles sumas, su probabilidad y el pago de cada una.

En la siguiente sección, utilizamos las ideas de probabilidad y valor esperado para entender cómo configurar una matriz de pago para un juego de azar.