2.4: Un juego de azar
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Ahora que hemos trabajado con el valor esperado, podemos comenzar a analizar algunos juegos simples que involucran un elemento de azar.
Comenzamos con una baraja de cartas en la que\(50 \%\) son Ases (puedes usar cartas Rojas para Ases) y\(50 \%\) son Reyes (puedes usar cartas Negras para Reyes). Hay dos jugadores y un crupier. La jugada comienza por cada jugador poniendo en la ante (\(1\)chip). A cada jugador se le reparte una carta boca abajo. SIN MIRA SU TARJETA, los jugadores deciden apostar (digamos,\( \) chip) o Doblar. Los jugadores muestran en secreto al crupier su elección. Si un jugador apuesta y el otro dobló, entonces gana el jugador que apostó. Si ambas apuestan o ambas se pliegan, entonces Ace vence a King (o Rojo vence a Negro); el ganador se lleva el bote (todas las fichas de la ante y cualquier apuesta). Si hay corbata, parten la olla.
Juega el juego varias veces con otras dos personas (por lo que tienes dos jugadores y un crupier), haciendo un seguimiento de las elecciones de estrategia de los jugadores y los premios resultantes.
A partir de jugar el juego, determinar una posible estrategia ganadora.
¿Es este un juego de suma cero? ¿Por qué o por qué no?
¿El trato real afecta la elección de la estrategia?
En cualquier trato dado, ¿qué opciones de estrategia tiene un jugador?
Antes de seguir adelante, debe intentar determinar la matriz de pago. El resto de esta sección será más significativo si has pensado en cuál debería ser la matriz de pago. Está bien estar equivocado en este punto, no está bien no intentarlo.
Anota una posible matriz de pago para este juego.
Ahora vamos a trabajar a través de la creación de la matriz de pago para One-Card Stud Poker.
Si Jugador 1 Apuestas y Jugador 2 Pliegues, ¿importa qué cartas fueron repartidas? ¿Cuánto gana el Jugador 1? ¿Cuánto pierde el Jugador 2? ¿Cuál es el vector de pago para [Bet, Fold]? (Ten en cuenta tu respuesta a Ejercicio\(2.4.3\).)
Si Jugador 1 Pliegues y Jugador 2 Apuestas, ¿importa qué cartas fueron repartidas? ¿Cuál es el vector de pago para [Fold, Bet]?
Si ambos jugadores apuestan, ¿el pago depende de qué cartas se repartieron?
Para determinar el vector de pago para [Apuesta, Apuesta] y [Doblar, Doblar] tendremos que considerar qué cartas fueron repartidas. Podemos usar alguna probabilidad para determinar los vectores de pago restantes.
Hay cuatro posibles resultados del acuerdo: enumerarlos. ¿Cuál es la probabilidad de que cada uno ocurra? (Recuerde: la probabilidad de un evento es un número entre\(0\) y\(1\).)
Considera el par de estrategias [Apuesta, Apuesta]. Para cada posible trato, determine el vector de pago. Por ejemplo, si a cada uno de los jugadores se les reparte un As (Rojo), ¿cuánto gana cada jugador? (Nuevamente, tenga en cuenta su respuesta a Ejercicio\(2.4.3\).)
Para calcular el pago de [Apuesta, Apuesta], necesitamos tomar un promedio ponderado de los posibles vectores de pago en Ejercicio\(2.4.11\). En particular, vamos a “ponderar” un pago por la probabilidad de que se produzca. Recordemos que este es el valor esperado. Calcularemos el valor esperado por separado para cada jugador.
Encuentra el valor esperado para [Apuesta, Apuesta] para el Jugador 1.
Encuentra el valor esperado para [Apuesta, Apuesta] para el Jugador 2.
El par de valores esperados de Ejercicio\(2.4.12\) y Ejercicio\(2.4.13\) es el vector de pago para [Apuesta, Apuesta].
Explique por qué debería tener sentido usar los valores esperados para los premios en la matriz para el par de estrategia [Apuesta, Apuesta].
- Pista
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Piensa en lo que un jugador necesita saber para elegir una estrategia en un juego de azar.
Podemos usar un proceso similar para encontrar el vector de pago para [Fold, Fold].
Repita Ejercicio\(2.4.11\)\(2.4.12\), Ejercicio y Ejercicio\(2.4.13\) para el par de estrategias [Doblar, Doblar].
Resume el trabajo anterior dando la matriz de pago completada para One-Card Stud Poker.
Ahora que has hecho todo el trabajo duro de encontrar la matriz de pago para One-Card Stud Poker, podemos analizar nuestro juego de suma cero para dos jugadores utilizando las técnicas que aprendimos en las secciones anteriores. También es importante ver cómo se compara la solución matemática con nuestra solución conjeturada de Ejercicio\(2.4.2\).
Usa la matriz de pago para determinar la mejor estrategia para cada jugador. Si cada jugador usa su mejor estrategia, ¿cuál será el resultado del juego?
Compara la estrategia que encontraste en Ejercicio\(2.4.17\) con tu estrategia sugerida en Ejercicio\(2.4.2\). En particular, discuta cómo conocer la matriz de pago podría haber cambiado tu estrategia. También compara el pago que resulta de la estrategia en Ejercicio\(2.4.17\) con el pago que resulta de tu estrategia original en Ejercicio\(2.4.2\).
Dado que One-Card Stud Poker tiene un elemento de azar, deberíamos ver qué pasa si jugamos el juego varias veces usando la estrategia de Ejercicio\(2.4.17\).
Usa la matriz de pago para predecir cuál sería la ganancia para cada jugador si el juego se jugara diez veces.
Juega diez veces usando la mejor estrategia. ¿Cuánto ha ganado o perdido cada jugador después de diez manos de One-Card Stud Poker? Compara tu respuesta con tu predicción en Ejercicio\(2.4.19\). ¿El pago real difiere del beneficio teórico? Si es así, ¿por qué crees que podría ser esto?
Explica por qué este juego se considera justo.
En One-Card Stud Poker ganamos una ficha y apostamos una ficha. Ahora, supongamos que dejamos que los jugadores anteen una cantidad diferente y apuesten una cantidad diferente (aunque los jugadores seguirán apostando y apostando la misma cantidad que los demás). Supongamos que un jugador antes\(a\) y apuestas\(b\text{.}\) ¿Cómo podría esto cambiar el juego?
Utilice el método descrito para el Póker Stud de una Carta para determinar la matriz de pago para el Póker Stud de una Carta Generalizado.
¿Cambia la estrategia para la versión generalizada del juego? Explique.
Ahora que hemos analizado varios juegos de suma cero, podemos ver lo importante que es encontrar cualquier par de equilibrio. En la siguiente sección, exploramos estrategias de equilibrio con más detalle.