2.5: Puntos de equilibrio
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En esta sección, trataremos de obtener una mayor comprensión de las estrategias de equilibrio en un juego. En general, llamamos al par de estrategias de equilibrio un par de equilibrio, mientras que llamamos punto de equilibrio al vector de rentabilidad específico asociado a un par de equilibrio.
Determinar el (los) punto (s) de equilibrio para los siguientes juegos.
- \(\begin{bmatrix}(2,-2) & (1,-1) \\(2,-2) & (1,-1) \end{bmatrix}\)
- \(\begin{bmatrix}(0,0) & (-1,1) & (0,0) \\ (−1,1) & (0,0) & (−1,1) \\ (0,0) & (1,−1) & (0,0) \end{bmatrix}\)
¿Qué notas sobre los valores de los puntos de equilibrio de los juegos en Ejercicio\(2.5.1\)?
La gran pregunta que queremos responder es “¿Pueden dos puntos de equilibrio para un juego de suma cero para dos jugadores tener valores diferentes?” Al experimentar con algunos ejemplos, intenta crear un ejemplo de un juego con dos puntos de equilibrio donde esos puntos tengan valores diferentes para uno de los jugadores. Si puedes crear con éxito tal ejemplo, habrás respondido a la pregunta. Pero solo porque no puedas encontrar un ejemplo, ¡eso no significa que no exista uno!
Después de probar varios ejemplos, podrías estar empezando a creer que la respuesta a la pregunta anterior es “no”. Ahora ya estás listo para intentar probar el siguiente teorema:
Teorema de Soluciones para Juegos de Suma Cero.
Cada punto de equilibrio de un juego de suma cero para dos personas tiene el mismo valor.
Empecemos con el\(2 \times 2\) caso. Usaremos una prueba por contradicción. Asumiremos que el teorema es falso y demostraremos que obtenemos una contradicción lógica. Una vez que llegamos a una contradicción lógica (una afirmación que es a la vez verdadera y falsa), podemos concluir que nos equivocamos al asumir que el teorema era falso; de ahí que el teorema debe ser verdadero. Asegúrate de estar cómodo con la lógica de esto antes de seguir adelante.
Como queremos suponer que el teorema es falso, asumimos que tenemos un juego de suma cero para dos jugadores con dos valores de equilibrio diferentes. Como no tenemos un ejemplo específico de tal juego, queremos representar el juego en una forma general. En particular, podemos representar el juego general
Obsérvese que si\(a\)\(-a\) es negativo, entonces es positivo; así, cada conjunto posible de valores es representado por esta matriz. Queremos ver los posibles casos de equilibrios.
Explicar qué sale mal si\((a, -a)\) y\((d, -d)\) son equilibrios con\(a \neq d\text{.}\)
- Pista
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Piense en los diferentes casos, como\(a\lt d\text{,}\)\(a>d\text{.}\)
Generaliza tu respuesta a Ejercicio\(2.5.3\) para explicar qué sale mal si los dos equilibrios están en la misma columna. De igual manera, explique qué sucede si los dos equilibrios están en la misma fila.
¿Se sostiene la misma explicación si los dos equilibrios son diagonales entre sí? (¡Explica tu respuesta!)
Desde tu última respuesta, deberías ver que necesitamos hacer más trabajo para averiguar qué pasa si los equilibrios son diagonales. Entonces, supongamos que los dos equilibrios son\((a, -a)\) y\((b, -b)\) con\(a \neq b\text{.}\) Podría ser útil dibujar la matriz de rentabilidad y rodear los equilibrios.
Construir un sistema de desigualdades utilizando el hecho de que un jugador prefiere un punto de equilibrio a otra elección. Por ejemplo, el Jugador 1 prefiere\(a\)\(d\text{.}\) Así,\(a > d\text{.}\) Enumere las cuatro desigualdades que pueda obtener usando este hecho. Deberías obtener dos por cada jugador— recuerda que el Jugador 1 solo puede comparar valores en la misma columna ya que no tiene capacidad para cambiar de columnas. Si es necesario, convertir todas las desigualdades en aquellas sin negativos. (Revisión de álgebra:\(-5 \lt -2\) medias\(5 > 2\text{!}\))
Ahora encadenan sus desigualdades juntas. Por ejemplo, si\(a \lt b\) y\(b \lt c\) entonces podemos escribir\(a \lt b \lt c\text{.}\) (Ten cuidado, las desigualdades deben enfrentar de la misma manera; no podemos escribir\(a> b \lt c\text{!}\))
Explica por qué ahora tienes una contradicción (una afirmación que debe ser falsa). Ahora podemos concluir que nuestra suposición eso\(a \neq b\) estuvo mal.
Repita el argumento anterior (Ejercicio\(2.5.6\)\(2.5.7\), Ejercicio y Ejercicio\(2.5.8\)) para el caso de que los dos equilibrios sean\((d, -d)\) y\((c, -c)\) con\(d\neq c\text{.}\)
Explica por qué puedes concluir que todos los equilibrios en un juego de suma cero para\(2 \times 2\) dos jugadores tienen el mismo valor.
Acabamos de trabajar a través de la prueba, paso a paso, pero ahora necesitas juntar todas las ideas por ti mismo.
Escribe el comprobante completo del\(2 \times 2\) caso en tus propias palabras.
¿Ves cómo podrías generalizar a una matriz de juego más grande? No es necesario escribir una prueba del caso general, solo explica cómo se aplicarían las ideas clave del\(2 \times 2\) caso a una matriz de juego más grande.
- Pista
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Piense en los equilibrios en (a) la misma fila, (b) en la misma columna, o (c) en una fila y columna diferentes.
Hemos visto que dos puntos de equilibrio cualesquiera deben tener el mismo valor. Sin embargo, es importante señalar que solo porque un resultado tenga el mismo valor que un punto de equilibrio, eso no significa que también sea un punto de equilibrio.
Dé un ejemplo específico de una matriz de juego con dos resultados que son\((0, 0)\text{,}\) donde uno es un punto de equilibrio y el otro no.
Trabajar a través de los pasos de una prueba matemática puede ser un desafío. Al pensar en lo que hicimos en esta sección, primero asegúrate de entender el argumento de cada paso. Luego trabaje en comprender cómo encajan los pasos para crear el argumento más amplio.
En la siguiente sección se resume todo nuestro trabajo con la búsqueda de puntos de equilibrio para juegos de suma cero.