15.2: Fractales iterados

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 110501

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

$ \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$

$ \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} $

$ \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} $

$ \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} $

$ \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} $

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $

$ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $

$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$ $\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$ $\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$ $\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$ $\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$ $\newcommand{\evec}{\mathbf e}$ $\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$ $\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$ $\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$ $\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$ $\newcommand{\svec}{\mathbf s}$ $\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$ $\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$ $\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$ $\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$ $\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$ $\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$ $\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$ $\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$ $\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$ $\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$ $\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$ $\newcommand{\real}{\mathbb R}$ $\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$ $\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$ $\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$ $\newcommand{\bcal}{\cal B}$ $\newcommand{\ccal}{\cal C}$ $\newcommand{\scal}{\cal S}$ $\newcommand{\wcal}{\cal W}$ $\newcommand{\ecal}{\cal E}$ $\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$ $\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$ $\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$ $\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$ $\newcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\col}{\text{Col}}$ $\renewcommand{\row}{\text{Row}}$ $\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$ $\newcommand{\var}{\text{Var}}$ $\newcommand{\corr}{\text{corr}}$ $\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$ $\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$ $\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$ $\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$ $\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$ $\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$ $\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$ $\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$ $\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$ $\newcommand{\lt}{<}$ $\newcommand{\gt}{>}$ $\newcommand{\amp}{&}$ $\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$

Este comportamiento autosimilar se puede replicar a través de la recursión: repitiendo un proceso una y otra vez.

Ejemplo 1

Supongamos que empezamos con un triángulo rellenado. Conectamos los puntos medios de cada lado y retiramos el triángulo medio. Después repetimos este proceso.

$fr1.svg$

Si repetimos este proceso, la forma que emerge se llama junta Sierpinski. Observe que exhibe autosimilitud: cualquier pieza de la junta se verá idéntica al conjunto. De hecho, podemos decir que la junta Sierpinski contiene tres copias de sí misma, cada una mitad tan alta y ancha como la original. Por supuesto, cada uno de esos ejemplares también contiene tres copias de sí mismo.

$fr2.svg$

Podemos construir otros fractales usando un enfoque similar. Para formalizar esto un poco, vamos a introducir la idea de iniciadores y generadores.

Iniciadores y Generadores

Un iniciador es una forma inicial
Un generador es una colección arreglada de copias escaladas del iniciador

Para generar fractales a partir de iniciadores y generadores, seguimos una regla simple:

Regla de Generación Fractal

En cada paso, reemplace cada copia del iniciador por una copia escalada del generador, girando según sea necesario

Este proceso es más fácil de entender a través del ejemplo.

Ejemplo 2

Utilice el iniciador y el generador mostrados para crear el fractal iterado.

$fr3.svg$

Solución

Esto nos indica que, en cada paso, reemplacemos cada segmento de línea con la forma de punta que se muestra en el generador. Observe que el propio generador está conformado por 4 copias del iniciador. En el paso 1, el segmento de línea simple en el iniciador se reemplaza por el generador. Para el paso 2, cada uno de los cuatro segmentos de línea del paso 1 se sustituye por una copia escalada del generador:

$fr4.svg$

Este proceso se repite para formar el Paso 3. Nuevamente, cada segmento de línea es reemplazado por una copia escalada del generador.

$fr5.svg$

Observe que dado que el Paso 0 solo tenía 1 segmento de línea, el Paso 1 solo requería una copia del Paso 0.

Dado que el Paso 1 tenía 4 segmentos de línea, el Paso 2 requirió 4 copias del generador.

El paso 2 tenía entonces 16 segmentos de línea, por lo que el paso 3 requirió 16 copias del generador.

El paso 4, entonces, requeriría$16 \times 4 = 64$ copias del generador.

La forma resultante de iterar este proceso se llama la curva de Koch, llamada así por Helge von Koch quien la exploró por primera vez en 1904.

$fr6.svg$

Observe que la junta Sierpinski también se puede describir usando el enfoque iniciador-generador

$fr7.svg$

Ejemplo 3

Utilice el iniciador y el generador a continuación, sin embargo, solo iterar en las “ramas”. Esbozar varios pasos de la iteración.

$fr8.svg$

Solución

Comenzamos reemplazando el iniciador por el generador. Luego reemplazamos cada “rama” del Paso 1 con una copia escalada del generador para crear el Paso 2.

$fr9.svg$