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LibreTexts Español

15.4: Números complejos

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Los números con los que está más familiarizado se llaman números reales. Estos incluyen números como 4, 275, -200, 10.7, ½, π, y así sucesivamente. Todos estos números reales se pueden trazar en una recta numérica. Por ejemplo, si quisiéramos mostrar el número 3, trazamos un punto:

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Para resolver ciertos problemas comox2=4, se hizo necesario introducir números imaginarios.

Número imaginarioi

El número imaginarioi se define comoi=1.

Cualquier múltiplo real dei, como5i, también es un número imaginario.

Ejemplo 6

Simplificar9.

Solución

Podemos separar9 como91. Podemos tomar la raíz cuadrada de9, y escribir la raíz cuadrada de -1 comoi

9=91=3i

Número complejo

Un número complejo es un númeroz=a+bi, dondea yb son números reales

  • aes la parte real del número complejo
  • bes la parte imaginaria del número complejo

Para trazar un número complejo como34i, necesitamos algo más que una línea numérica ya que hay dos componentes al número. Para trazar este número, necesitamos dos líneas numéricas, cruzadas para formar un plano complejo.

Plano complejo

En el plano complejo, el eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario.

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Ejemplo 7

Trazar el número34i en el plano complejo.

Solución

La parte real de este número es 3, y la parte imaginaria es -4. Para trazar esto, dibujamos un punto 3 unidades a la derecha del origen en dirección horizontal y 4 unidades hacia abajo en dirección vertical.

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Debido a que esto es análogo al sistema de coordenadas cartesianas para trazar puntos, podemos pensar en trazar nuestro número complejoz=a+bi como si estuviéramos trazando el punto(a,b) en coordenadas cartesianas. A veces la gente escribe números complejos comoz=x+yi para resaltar esta relación.

Aritmética en números complejos

Antes de sumergirnos en los usos más complicados de los números complejos, asegurémonos de recordar la aritmética básica involucrada. Para sumar o restar números complejos, simplemente sumamos los términos similares, combinando las partes reales y combinando las partes imaginarias.

Ejemplo 8

Agregar34i y2+5i.

Solución

Añadiendo(34i)+(2+5i), agregamos las partes reales y las partes imaginarias

3+24i+5i

5+i

Pruébalo ahora 3

Restar2+5i de34i.

Contestar

(34i)(2+5i)=19i

Cuando sumamos números complejos, podemos visualizar la suma como un desplazamiento, o traslación, de un punto en el plano complejo.

Ejemplo 9

Visualice la adición34i y1+5i.

Solución

El punto inicial es34i. Cuando agregamos1+3i, agregamos -1 a la parte real, moviendo el punto 1 unidades hacia la izquierda, y agregamos 5 a la parte imaginaria, moviendo el punto 5 unidades verticalmente. Esto desplaza el punto34i a2+1i.

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También podemos multiplicar números complejos por un número real, o multiplicar dos números complejos.

Ejemplo 10

Multiplicar:4(2+5i)

Solución

Para multiplicar el número complejo por un número real, simplemente distribuimos como lo haríamos al multiplicar polinomios.

4(2+5i)Distribute=42+45iSimplify=8+20i

Ejemplo 11

Multiplicar:(2+5i)(4+i)

Solución

Para multiplicar el número complejo por un número complejo, simplemente distribuimos como lo haríamos al multiplicar polinomios.

(2+5i)(4+i)Expand=8+20i+2i+5i2Since i=1,i2=1=8+20i+2i+5(1)Simplify=3+22i

Pruébalo ahora 4

Multiplicar34i y2+3i.

Contestar

Multiplicar(34i)(2+3i)=6+9i8i12i2=6+i12(1)=18+i

Para entender visualmente el efecto de la multiplicación, exploraremos tres ejemplos.

Ejemplo 12

clipboard_e05af910952ed538cabe1da2582f4c5a0.pngVisualizar el producto2(1+2i)

Solución

Multiplicando obtendríamos

21+22i=2+4i

Observe que tanto las partes reales como las imaginarias han sido escaladas por 2. Visualmente, esto estirará el punto hacia afuera, lejos del origen.

Ejemplo 13

clipboard_efde6c9009b12e2831a12499a39aaead0.pngVisualizar el productoi(1+2i)

Solución

Multiplicando, obtendríamos

i1+i2i=i+2i2=i+2(1)=2+i

En este caso, la distancia desde el origen no ha cambiado, sino que el punto se ha girado alrededor del origen, 90° en sentido antihorario.

Ejemplo 14

clipboard_e6bb92194b3f05d9193a2b2c8d15a95eb.pngVisualizar el resultado de multiplicar1+2i por1+i. Luego mostrar el resultado de multiplicar por1+i otra vez.

Solución

Multiplicando1+2i por1+i,

(1+2i)(1+i)=1+i+2i+2i2=1+3i+2(1)=1+3i

Multiplicando por1+i otra vez,

(1+3i)(1+i)=1i+3i+3i2=1+2i+3(1)=4+2i

Si1+i volviéramos a multiplicar por, obtendríamos–6–2i. Al trazar estos números en el plano complejo, puede notar que cada punto se aleja tanto del origen, como gira en sentido antihorario, en este caso 45°.

En general, la multiplicación por un número complejo puede pensarse como una escala, cambiando la distancia desde el origen, combinada con una rotación alrededor del origen.


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