15.4: Números complejos
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Los números con los que está más familiarizado se llaman números reales. Estos incluyen números como 4, 275, -200, 10.7, ½, π, y así sucesivamente. Todos estos números reales se pueden trazar en una recta numérica. Por ejemplo, si quisiéramos mostrar el número 3, trazamos un punto:
Para resolver ciertos problemas comox2=−4, se hizo necesario introducir números imaginarios.
El número imaginarioi se define comoi=√−1.
Cualquier múltiplo real dei, como5i, también es un número imaginario.
Simplificar√−9.
Solución
Podemos separar√−9 como√9√−1. Podemos tomar la raíz cuadrada de9, y escribir la raíz cuadrada de -1 comoi
√−9=√9√−1=3i
Un número complejo es un númeroz=a+bi, dondea yb son números reales
- aes la parte real del número complejo
- bes la parte imaginaria del número complejo
Para trazar un número complejo como3−4i, necesitamos algo más que una línea numérica ya que hay dos componentes al número. Para trazar este número, necesitamos dos líneas numéricas, cruzadas para formar un plano complejo.
En el plano complejo, el eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario.

Trazar el número3−4i en el plano complejo.
Solución
La parte real de este número es 3, y la parte imaginaria es -4. Para trazar esto, dibujamos un punto 3 unidades a la derecha del origen en dirección horizontal y 4 unidades hacia abajo en dirección vertical.

Debido a que esto es análogo al sistema de coordenadas cartesianas para trazar puntos, podemos pensar en trazar nuestro número complejoz=a+bi como si estuviéramos trazando el punto(a,b) en coordenadas cartesianas. A veces la gente escribe números complejos comoz=x+yi para resaltar esta relación.
Aritmética en números complejos
Antes de sumergirnos en los usos más complicados de los números complejos, asegurémonos de recordar la aritmética básica involucrada. Para sumar o restar números complejos, simplemente sumamos los términos similares, combinando las partes reales y combinando las partes imaginarias.
Agregar3−4i y2+5i.
Solución
Añadiendo(3−4i)+(2+5i), agregamos las partes reales y las partes imaginarias
3+2−4i+5i
5+i
Restar2+5i de3−4i.
- Contestar
-
(3−4i)−(2+5i)=1−9i
Cuando sumamos números complejos, podemos visualizar la suma como un desplazamiento, o traslación, de un punto en el plano complejo.
Visualice la adición3−4i y−1+5i.
Solución
El punto inicial es3−4i. Cuando agregamos−1+3i, agregamos -1 a la parte real, moviendo el punto 1 unidades hacia la izquierda, y agregamos 5 a la parte imaginaria, moviendo el punto 5 unidades verticalmente. Esto desplaza el punto3−4i a2+1i.
También podemos multiplicar números complejos por un número real, o multiplicar dos números complejos.
Multiplicar:4(2+5i)
Solución
Para multiplicar el número complejo por un número real, simplemente distribuimos como lo haríamos al multiplicar polinomios.
4(2+5i)Distribute=4⋅2+4⋅5iSimplify=8+20i
Multiplicar:(2+5i)(4+i)
Solución
Para multiplicar el número complejo por un número complejo, simplemente distribuimos como lo haríamos al multiplicar polinomios.
(2+5i)(4+i)Expand=8+20i+2i+5i2Since i=√−1,i2=−1=8+20i+2i+5(−1)Simplify=3+22i
Multiplicar3−4i y2+3i.
- Contestar
-
Multiplicar(3−4i)(2+3i)=6+9i−8i−12i2=6+i−12(−1)=18+i
Para entender visualmente el efecto de la multiplicación, exploraremos tres ejemplos.
Visualizar el producto2(1+2i)
Solución
Multiplicando obtendríamos
2⋅1+2⋅2i=2+4i
Observe que tanto las partes reales como las imaginarias han sido escaladas por 2. Visualmente, esto estirará el punto hacia afuera, lejos del origen.
Visualizar el productoi(1+2i)
Solución
Multiplicando, obtendríamos
i⋅1+i⋅2i=i+2i2=i+2(−1)=−2+i
En este caso, la distancia desde el origen no ha cambiado, sino que el punto se ha girado alrededor del origen, 90° en sentido antihorario.
Visualizar el resultado de multiplicar1+2i por1+i. Luego mostrar el resultado de multiplicar por1+i otra vez.
Solución
Multiplicando1+2i por1+i,
(1+2i)(1+i)=1+i+2i+2i2=1+3i+2(−1)=−1+3i
Multiplicando por1+i otra vez,
(−1+3i)(1+i)=−1−i+3i+3i2=−1+2i+3(−1)=−4+2i
Si1+i volviéramos a multiplicar por, obtendríamos–6–2i. Al trazar estos números en el plano complejo, puede notar que cada punto se aleja tanto del origen, como gira en sentido antihorario, en este caso 45°.
En general, la multiplicación por un número complejo puede pensarse como una escala, cambiando la distancia desde el origen, combinada con una rotación alrededor del origen.