15.3: Dimensión Fractal

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Además de la autosimilitud visual, los fractales exhiben otras propiedades interesantes. Por ejemplo, observe que cada paso de la iteración de la junta Sierpinski elimina una cuarta parte del área restante. Si este proceso se continúa indefinidamente, terminaríamos esencialmente eliminando toda el área, es decir, comenzamos con un área bidimensional, y de alguna manera terminaríamos con algo menos que eso, pero aparentemente más que una simple línea unidimensional.

Para explorar esta idea, necesitamos discutir la dimensión. Algo así como una línea es 1-dimensional; sólo tiene longitud. Cualquier curva es 1-dimensional. Cosas como cajas y círculos son bidimensionales, ya que tienen largo y ancho, describiendo un área. Los objetos como cajas y cilindros tienen longitud, anchura y altura, describiendo un volumen y son tridimensionales.

$fr14.svg$

Ciertas reglas se aplican para escalar objetos, relacionados con su dimensión.

Si tuviera una línea con longitud 1, y quisiera escalar su longitud por 2, necesitaría dos copias de la línea original. Si tuviera una línea de longitud 1, y quisiera escalar su longitud por 3, necesitaría tres copias del original.

$fr15.svg$

Si tuviera un rectángulo con longitud 2 y altura 1, y quisiera escalar su largo y ancho por 2, necesitaría cuatro copias del rectángulo original. Si quisiera escalar el largo y ancho en 3, necesitaría nueve copias del rectángulo original.

$fr16.svg$

Si tuviera una caja cubica con lados de largo 1, y quisiera escalar su longitud, su anchura y su altura en 2, necesitaría ocho copias del cubo original. Si quisiera escalar el largo, ancho y alto en 3, necesitaría 27 copias del cubo original.

$fr17.svg$

Observe que en el caso unidimensional, copias necesarias = escala.

En el caso bidimensional, las copias necesitaban$=$ escala$^{2}$.
En el caso tridimensional, las copias necesitaban$=$ escala$^{3}$.

A partir de estos ejemplos, podríamos inferir un patrón.

Relación Escalado-Dimensión

Para escalar una forma$D$ -dimensional mediante un factor de escala,$S,$ el número$C$ de copias de la forma original necesarias vendrá dado por:

Copias$=$ Escala${}^{\text{Dimension}}, $ o$C=S^{\circ}$

Ejemplo 5

Utilice la relación escalado-dimensión para determinar la dimensión de la junta Sierpinski.

Solución

Supongamos que definimos la junta original para que tenga longitud lateral 1. La junta más grande que se muestra es el doble de ancha y el doble de alta, por lo que se ha escalado por un factor de 2.

$fr18.svg$

Observe que para construir la junta más grande, se necesitan 3 copias de la junta original.

Usando la relación escalado-dimensión$C=S^{D},$ obtenemos la ecuación$3=2^{D}$

ya que$2^{1}=2$ e inmediatamente$2^{2}=4,$ podemos ver que$D$ está en algún lugar entre 1 y$2 ;$ la junta es más de una forma 1-dimensional, pero nos hemos quitado tanta área que ahora es menos de 2-dimensional.

Resolver la ecuación$3=2^{D}$ requiere logaritmos. Si estudiaste logaritmos antes, tal vez recordes cómo resolver esta ecuación (si no, simplemente salta al cuadro de abajo y usa esa fórmula):

\ [\ begin {array} {ll}
3=2^ {D} &\ text {Toma el logaritmo de ambos lados}\\
\ log (3) =\ log\ left (2^ {D}\ right) &\ text {Usa la propiedad exponente de los logs}\
\\ log (3) =D\ log (2) &\ text {Dividir por log (2)}\\
D=\ ac {\ log (3)} {\ log (2)}\ aprox 1.585 &\ text {La dimensión de la junta es de aproximadamente 1.585}
\ end {array}\ nonumber\]

Relación Escalado-Dimensión, para encontrar Dimensión

Para encontrar la dimensión$D$ de un fractal, determine el factor de escala$S$ y el número de copias$C$ de la forma original necesarias, luego use la fórmula

\[D=\frac{\log (C)}{\log (S)} \nonumber \]

Pruébalo ahora 2

Determinar la dimensión fractal del fractal producido usando el iniciador y el generador

$fr19.svg$

Contestar

$fr21.svg$

Escalar el fractal por un factor de 3 requiere 5 copias del original. $D=\frac{\log (5)}{\log (3)} \approx 1.465$

Ahora volveremos nuestra atención a otro tipo de fractal, definido por un tipo diferente de recursión. Para entender este tipo, primero vamos a necesitar discutir números complejos.

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Solución