15.6: Ejercicios
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\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
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\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
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\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Fractales iterados
Usando el iniciador y el generador mostrados, dibuje las siguientes dos etapas del fractal iterado.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. Crea tu propia versión de junta Sierpinski con aleatoriedad añadida.
8. Crear una versión del fractal de árbol de ramificación del ejemplo #3 con aleatoriedad agregada.
Dimensión Fractal
9. Determinar la dimensión fractal de la curva de Koch.
10. Determinar la dimensión fractal de la curva generada en el ejercicio #1
11. Determinar la dimensión fractal de la alfombra Sierpinski generada en el ejercicio #5
12. Determinar la dimensión fractal del conjunto Cantor generado en el ejercicio #4
Números Complejos
13. Trazar cada número en el plano complejo: a)\(4\) b)\(-3 i\) c)\(-2+3 i\) d)\(2+i\)
14. Trazar cada número en el plano complejo: a)\(– 2\) b)\(4 i\) c)\(1+2 i\) d)\(-1-i\)
15. Cómputos: a)\((2+3 i)+(3-4 i)\) b)\((3-5 i)-(-2-i)\)
16. Cómputos: a)\((1-i)+(2+4 i)\) b)\((-2-3 i)-(4-2 i)\)
17. Multiplicar: a)\(3(2+4 i)\) b)\((2 i)(-1-5 i)\) c)\((2-4 i)(1+3 i)\)
18. Multiplicar: a)\(2(-1+3 i)\) b)\((3 i)(2-6 i)\) c)\((1-i)(2+5 i)\)
19. Trazar el número\(2+3 i\). ¿Multiplicar por\(1-i\) mover el punto más cerca o más lejos del origen? ¿Gira el punto y, de ser así, en qué dirección?
20. Trazar el número\(2+3 i\). ¿Multiplicar por\(0.75+0.5 i\) mover el punto más cerca o más lejos del origen? ¿Gira el punto y, de ser así, en qué dirección?
Secuencias Recursivas
21. Dada la relación recursiva\(z_{n+1}=i z_{n}+1, \quad z_{0}=2\), generar los siguientes 3 términos de la secuencia recursiva.
22. Dada la relación recursiva\(z_{n+1}=2 z_{n}+i, \quad z_{0}=3-2 i\), generar los siguientes 3 términos de la secuencia recursiva.
23. Utilizando\(c=-0.25\), calcular los primeros 4 términos de la secuencia de Mandelbrot.
24. Utilizando\(c=1-i\), calcular los primeros 4 términos de la secuencia de Mandelbrot.
Para un valor dado de c, la secuencia de Mandelbrot puede describirse como escapante (creciendo grande), una atraída (se acerca a un valor fijo) o periódica (salta entre varios valores fijos). Un ciclo periódico se describe típicamente el número si los valores entre los que salta; un ciclo de 2 saltos entre 2 valores y un salto de 4 ciclos entre 4 valores.
Para las preguntas 25 a 30, querrás usar una calculadora que pueda calcular con números complejos, o usar una calculadora en línea que pueda calcular una secuencia de Mandelbrot. Para cada valor de c, examine la secuencia de Mandelbrot y determine si el valor parece estar escapando, atraído o periódico?
25. \(c=-0.5+0.25 i\). 26. \(c=0.25+0.25 i\).
27. \(c=-1.2\). 28. \(c=i\).
29. \(c=0.5+0.25 i\). 30. \(c=-0.5+0.5 i\).
31. \(c=-0.12+0.75 i\). 32. \(c=-0.5+0.5 i\).
Exploración
El Set de Julia para c es otro fractal, relacionado con el conjunto de Mandelbrot. El conjunto de Julia\(c\) usa la secuencia recursiva:\(z_{n+1}=z_{n}^{2}+c, \quad z_{0}=d\), donde c es constante para cualquier conjunto de Julia en particular, y\(d\) es el número que se está probando. Un valor d es parte del Conjunto Julia para\(c\) si la secuencia no crece grande.
Por ejemplo, el Conjunto Julia para -2 estaría definido por\(z_{n+1}=z_{n}^{2}-2, \quad z_{0}=d\). Luego elegimos valores para\(d\), y probamos cada uno para determinar si es parte del Conjunto Julia para -2. Si es así, coloreamos de negro el punto en el plano complejo correspondiente con el número\(d\). Si no, podemos colorear el punto en\(d\) función de lo rápido que crezca, como hicimos con el Set Mandelbrot.
Para las preguntas 33-34, probablemente querrás volver a usar la calculadora en línea.
33. Determine cuáles de estos números están en el Set Julia en\(c=-0.12 i+0.75 i\)
a)\(0.25 i\) b)\(0.1\) c)\(0.25+0.25 i\)
34. Determine cuáles de estos números están en el Set Julia en\(c=-0.75\)
a)\(0.5 i\) b)\(1\)
c)\(0.5-0.25 i\)
Puedes encontrar muchas imágenes en línea de varios Conjuntos de Julia [1].
35. Explicar por qué ningún punto con distancia inicial del origen mayor a 2 será parte de la secuencia de Mandelbrot
[1] Por ejemplo, www.jcu.edu/math/faculty/spitz/juliaset/juliaset.htm,