4.1: Introducción a las aplicaciones de programación lineal en negocios, finanzas, medicina y ciencias sociales
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En esta sección, aprenderá sobre las aplicaciones del mundo real de la programación lineal y los métodos relacionados.
Los programas lineales que resolvimos en el Capítulo 3 contienen sólo dos variables,\(x\) y\(y\), para que podamos resolverlas gráficamente. En la práctica, los programas lineales pueden contener miles de variables y restricciones. Más adelante en este capítulo aprenderemos a resolver programas lineales con más de dos variables utilizando el algoritmo simplex, que es un método de solución numérica que utiliza matrices y operaciones de fila. Sin embargo, para que los problemas sean prácticos con fines de aprendizaje, nuestros problemas seguirán teniendo solo varias variables. Ahora que entendemos los conceptos principales detrás de la programación lineal, también podemos considerar cómo la programación lineal se usa actualmente en aplicaciones del mundo real a gran escala.
La programación lineal se utiliza en los negocios y la industria en la planificación de la producción, transporte y enrutamiento, y varios tipos de programación. Las aerolíneas utilizan programas lineales para programar sus vuelos, teniendo en cuenta tanto la programación de aeronaves como el personal de programación. Los servicios de entrega utilizan programas lineales para programar y enrutar los envíos para minimizar el tiempo de envío o minimizar los costos. Los minoristas utilizan programas lineales para determinar cómo pedir productos a los fabricantes y organizar las entregas con sus tiendas. Las empresas manufactureras utilizan programación lineal para planificar y programar la producción. Las instituciones financieras utilizan la programación lineal para determinar la combinación de productos financieros que ofrecen, o para programar pagos transfiriendo fondos entre instituciones. Las instituciones de salud utilizan la programación lineal para garantizar que los suministros adecuados estén disponibles cuando sea necesario. Y como veremos a continuación, también se ha utilizado la programación lineal para organizar y coordinar procedimientos de salud que salvan vidas.
En algunas de las aplicaciones, las técnicas utilizadas están relacionadas con la programación lineal pero son más sofisticadas que los métodos que estudiamos en esta clase. Una de esas técnicas se llama programación entera. En estas situaciones, las respuestas deben ser números enteros para que tengan sentido, y no pueden ser fracciones. Los problemas donde las soluciones deben ser números enteros son más difíciles de resolver que los programas lineales con los que hemos trabajado. De hecho, muchos de nuestros problemas han sido muy cuidadosamente construidos con fines de aprendizaje para que las respuestas simplemente resulten ser números enteros, pero en el mundo real a menos que especifiquemos que como restricción, no hay garantía de que un programa lineal produzca soluciones enteras. También hay técnicas relacionadas que se denominan programas no lineales, donde las funciones que definen la función objetivo y/o algunas o todas las restricciones pueden ser no lineales en lugar de líneas rectas.
Muchas grandes empresas que utilizan programación lineal y métodos relacionados tienen analistas en su personal que pueden realizar los análisis necesarios, incluida la programación lineal y otras técnicas matemáticas. Las consultoras especializadas en el uso de tales técnicas también ayudan a las empresas que necesitan aplicar estos métodos a sus procesos de planificación y programación.
Cuando se usa en los negocios, se pueden usar muchos términos diferentes para describir el uso de técnicas como la programación lineal como parte de modelos matemáticos de negocio. Optimización, investigación de operaciones, análisis de negocios, ciencia de datos, ingeniería industrial, ciencia de gestión manual se encuentran entre los términos utilizados para describir técnicas de modelado matemático que pueden incluir programación lineal y met
En el resto de esta sección exploraremos seis aplicaciones del mundo real e investigaremos lo que están tratando de lograr usando la optimización, así como cuáles podrían representar sus restricciones.
Programación de Aerolíneas
Las aerolíneas utilizan técnicas que incluyen y están relacionadas con la programación lineal para programar sus aviones a vuelos en diversas rutas, y para programar tripulaciones a los vuelos. Además, las aerolíneas también utilizan la programación lineal para determinar el precio de los boletos para varios tipos de asientos y niveles de servicio o amenidades, así como el momento en el que cambian los precios de los boletos.
El proceso de programación de las aeronaves y los horarios de salida en las rutas de vuelo se puede expresar como un modelo que minimiza el costo, de los cuales el componente más grande son generalmente los costos de combustible.
Las restricciones implican consideraciones tales como:
- Cada avión necesita completar un recorrido diario o semanal para regresar a su punto de origen.
- Programación de vuelos suficientes para satisfacer la demanda en cada ruta.
- Programar el tipo y tamaño correcto de aeronave en cada ruta para que sea apropiado para la ruta y para la demanda de número de pasajeros.
- Las aeronaves deben ser compatibles con los aeropuertos desde los que sale y llega; no todos los aeropuertos pueden manejar todo tipo de aviones.
Un modelo para lograrlo podría contener miles de variables y restricciones. Analistas altamente capacitados determinan formas de traducir todas las restricciones en desigualdades matemáticas o ecuaciones para poner en el modelo.
Después de que los aviones estén programados, las tripulaciones deben ser asignadas a los vuelos. Cada vuelo necesita un piloto, un copiloto y asistentes de vuelo. Cada miembro de la tripulación necesita completar un recorrido diario o semanal para regresar a su base de operaciones. Las restricciones adicionales en las asignaciones de la tripulación de vuelo tienen en cuenta factores tales como:
- Cualificaciones de piloto y copiloto para volar el tipo particular de aeronave a la que están asignados
- La tripulación de vuelo tiene restricciones sobre la cantidad máxima de tiempo de vuelo por día y la duración de los períodos de descanso obligatorios entre vuelos o por día que deben cumplir con ciertas regulaciones de tiempo mínimo de descanso.
- Número de miembros de la tripulación requeridos para un tipo o tamaño determinado de aeronave.
Al programar tripulaciones a vuelos, la función objetiva buscaría minimizar los costos totales de la tripulación de vuelo, determinados por el número de personas en la tripulación y las tarifas de pago de los miembros de la tripulación. Sin embargo, el costo de cualquier ruta en particular podría no terminar siendo el más bajo posible para esa ruta, dependiendo de las compensaciones con el costo total de trasladar diferentes tripulaciones a diferentes rutas.
Una aerolínea también puede utilizar la programación lineal para revisar los horarios con poca antelación en caso de emergencia cuando hay una interrupción del horario, como por ejemplo debido al clima. En este caso las consideraciones a gestionar implican:
- Conseguir que los aviones y las tripulaciones vuelvan a su horario lo más rápido posible
- Mover aviones de áreas de tormenta a áreas con clima tranquilo para mantener la aeronave a salvo de daños y lista para volver a entrar en servicio de la manera más rápida y conveniente posible
- Asegurar que las tripulaciones estén disponibles para operar la aeronave y que las tripulaciones continúen cumpliendo con los requisitos y regulaciones del período de descanso obligatorio.
Cadena de Donación Renal
Para los pacientes que tienen enfermedad renal, un trasplante de un riñón sano de un donante vivo a menudo puede ser un procedimiento que salve vidas. Los criterios para un procedimiento de donación de riñón incluyen la disponibilidad de un donante que esté lo suficientemente sano para donar un riñón, así como una coincidencia compatible entre el paciente y el donante para el tipo de sangre y varias otras características. Idealmente, si un paciente necesita una donación de riñón, un pariente cercano puede ser compatible y puede ser el donante de riñón. Sin embargo muchas veces no hay un pariente que sea lo suficientemente cercano como para ser el donante. Considerar las donaciones de donantes no relacionados permite un mayor grupo de donantes potenciales. Las donaciones de riñón que involucran a donantes no relacionados a veces se pueden organizar a través de una cadena de donaciones que empareja a pacientes con donantes. Por ejemplo, una cadena de donación de riñón con tres donantes podría operar de la siguiente manera:
- El Donante A dona un riñón al Paciente B.
- El Donante B, que está relacionado con el Paciente B, dona un riñón al Paciente C.
- El Donante C, que está relacionado con el Paciente C, dona un riñón al Paciente A, quien está relacionado con el Donante A.
La programación lineal es una de varias herramientas matemáticas que se han utilizado para ayudar a identificar de manera eficiente una cadena de donación de riñón. En este tipo de modelos, a los pares paciente/donante se les asignan puntuaciones de compatibilidad en función de las características de los pacientes y los donantes potenciales.
El objetivo es maximizar los puntajes de compatibilidad total. Las restricciones aseguran que los donantes y los pacientes se emparejen solo si los puntajes de compatibilidad son suficientemente altos para indicar una coincidencia aceptable.
Anuncios en Marketing Online
¿Alguna vez realizó una compra en línea y luego notó que a medida que navega por sitios web, busca o usa las redes sociales, ahora ve más anuncios relacionados con el artículo que compró?
Las organizaciones de marketing utilizan una variedad de técnicas matemáticas, incluida la programación lineal, para determinar las compras de colocación publicitaria individualizada.
En lugar de anunciar aleatoriamente, los anunciantes en línea quieren vender paquetes de anuncios relacionados con un producto en particular a lotes de usuarios que tienen más probabilidades de comprar ese producto. Según las selecciones anteriores de navegación y compra de una persona, se le asigna una “puntuación de propensión” para realizar una compra si se muestra un anuncio para un determinado producto. La empresa que coloca el anuncio generalmente no conoce información personal individual basada en el historial de artículos vistos y comprados, sino que tiene información agregada para grupos de individuos en función de lo que ven o compran. Sin embargo, la compañía puede saber más sobre el historial de una persona si inició sesión en un sitio web haciendo que esa información sea identificable, dentro de las disposiciones de privacidad y términos de uso del sitio.
El objetivo de la compañía es comprar anuncios para presentar a lotes de tamaño especificado de personas que están navegando. El programa lineal asignaría anuncios y lotes de personas para ver los anuncios usando una función objetiva que busca maximizar la respuesta publicitaria modelada usando los puntajes de propensión. Las limitaciones son mantenerse dentro de las restricciones del presupuesto publicitario.
Préstamos
Un fabricante de automóviles vende sus autos a través de concesionarios. Los concesionarios pueden ofrecer financiamiento de préstamos a clientes que necesiten sacar préstamos para comprar un automóvil. Aquí consideraremos cómo los fabricantes de automóviles pueden utilizar la programación lineal para determinar las características específicas del préstamo que ofrecen a un cliente que compra un automóvil. En un futuro capítulo aprenderemos a hacer los cálculos financieros relacionados con los préstamos.
Un cliente que solicita un préstamo para automóvil llena una solicitud. Esto proporciona al concesionario de autos información sobre ese cliente. Además, el concesionario de autos puede acceder a una agencia de crédito para obtener información sobre el puntaje crediticio de un cliente.
Con base en esta información obtenida sobre el cliente, el concesionario de autos ofrece un préstamo con ciertas características, como la tasa de interés, el monto del préstamo y la duración del período de reembolso del préstamo.
La programación lineal puede ser utilizada como parte del proceso para determinar las características de la oferta de préstamo. El programa lineal busca maximizar la rentabilidad de su cartera de préstamos. Las restricciones limitan el riesgo de que el cliente incumpla y no devuelva el préstamo. Las limitaciones también buscan minimizar el riesgo de perder al cliente del préstamo si las condiciones del préstamo no son lo suficientemente favorables; de lo contrario, el cliente puede encontrar otro prestamista, como un banco, que puede ofrecer un préstamo más favorable.
Planeación y Programación de Producción en Manufactura
Considera el ejemplo de una empresa que produce yogurt. Existen diferentes variedades de productos de yogur en una variedad de sabores. Los productos de yogur tienen una vida útil corta; deben producirse oportunamente para satisfacer la demanda, en lugar de recurrir a una reserva de inventario como se puede hacer con un producto que no es perecedero. La mayoría de los ingredientes en el yogur también tienen una vida útil corta, por lo que no se pueden pedir y almacenar durante largos periodos de tiempo antes de su uso; los ingredientes deben obtenerse de manera oportuna para estar disponibles cuando sea necesario pero aún así estar frescos. La programación lineal se puede utilizar tanto en la planificación de la producción como en la programación.
Para iniciar el proceso, se desarrollan pronósticos de ventas para determinar la demanda para saber cuánto de cada tipo de producto hacer.
A menudo hay varias plantas de fabricación en las que se pueden producir los productos. Los ingredientes apropiados deben estar en la planta de producción para producir los productos asignados a esa instalación. Se deben considerar los costos de transporte, tanto para obtener y entregar los ingredientes a las instalaciones correctas, como para el transporte del producto terminado a los vendedores.
El programa lineal que monitorea la planificación y programación de la producción debe actualizarse frecuentemente, diariamente o incluso dos veces al día, para tener en cuenta las variaciones de un plan maestro.
Programas de Bike Share
Más de 600 ciudades de todo el mundo cuentan con programas de bicicletas compartidas. Aunque los programas de bikeshare han existido desde hace mucho tiempo, han proliferado en la última década ya que la tecnología ha desarrollado nuevos métodos para rastrear las bicicletas.
Los programas de bicicletas compartidas varían en los detalles de cómo funcionan, pero la mayoría de las personas suelen pagar una tarifa para unirse y luego pueden pedir prestada una bicicleta de una estación de bicicletas compartidas y devolver la bicicleta a la misma estación de bicicletas compartidas o a otra diferente. Con el tiempo las bicicletas tienden a migrar; puede haber más personas que quieran recoger una bicicleta en la estación A y devolverla en la estación B que hay personas que quieran hacer lo contrario. En el capítulo 9, investigaremos una técnica que pueda utilizarse para predecir la distribución de bicicletas entre las estaciones.
Una vez que se utilizan otros métodos para predecir las distribuciones reales y deseadas de bicicletas entre las estaciones, las bicicletas pueden necesitar ser transportadas entre estaciones para igualar la distribución. Los programas de Bikeshare en las grandes ciudades han utilizado métodos relacionados con la programación lineal para ayudar a determinar las mejores rutas y métodos para redistribuir bicicletas a las estaciones deseadas una vez que se han determinado las distribuciones de deseo. El modelo de optimización buscaría minimizar los costos de transporte y/o tiempo sujeto a las limitaciones de tener suficientes bicicletas en las distintas estaciones para satisfacer la demanda.