8.4: Probabilidad Condicional
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
En esta sección, aprenderás a:
- reconocer situaciones que implican probabilidad condicional
- calcular probabilidades condicionales
Supongamos que un amigo te pregunta la probabilidad de que hoy nieva.
Si estás en Boston, Massachusetts en invierno, la probabilidad de nieve hoy podría ser bastante sustancial. Si estás en Cupertino, California en verano, la probabilidad de nieve hoy es muy diminuta, esta probabilidad es prácticamente 0.
Dejar:
- A= el suceso que hoy va a nevar
- B= el evento que hoy estás en Boston en invierno
- C= el evento que hoy estás en Cupertino en verano
Debido a que la probabilidad de nieve se ve afectada por la ubicación y época del año, no podemos simplemente escribirP(A) para la probabilidad de nieve. Necesitamos indicar la otra información que conocemos -ubicación y época del año. Necesitamos usar probabilidad condicional.
El evento que nos interesa es eventoA para nieve. El otro evento se llama la condición, representando la ubicación y época del año en este caso.
Representamos probabilidad condicional usando una línea vertical | que significa “si”, o “dado eso”, o “si sabemos eso”. El evento de interés aparece a la izquierda del |. El estado aparece en el lado derecho del |.
La probabilidad de que nieva dado que (si) estás en Boston en el invierno está representado porP(A|B). En este caso, la condición esB.
La probabilidad de que nieva dado que (si) estás en Cupertino en el verano está representada porP(A|C). En este caso, la condición esC.
Ahora, examinemos una situación en la que podamos calcular algunas probabilidades.
Supongamos que usted y un amigo juegan un juego que implica elegir una sola carta de una baraja bien barajada. Tu amigo te reparte una carta, boca abajo, de la baraja y te ofrece el siguiente trato: Si la carta es un rey, te pagará $5, de lo contrario, tú le pagas $1. ¿Deberías jugar el juego?
Razón de la siguiente manera. Dado que hay cuatro reyes en la baraja, la probabilidad de obtener un rey es 4/52 o 1/13. Entonces, la probabilidad de no obtener un rey es 12/13. Esto implica que la relación entre tu ganancia y pérdida es de 1 a 12, mientras que la relación de pagos es de solo $1 a $5. Por lo tanto, determinas que no debes jugar.
Pero considera el siguiente escenario. Mientras tu amigo estaba repartiendo la tarjeta, por casualidad te la echaste un vistazo y notaste que la tarjeta era una tarjeta facial. ¿Deberías, ahora, jugar el juego?
Dado que hay 12 cartas de cara en la baraja, los elementos totales en el espacio de muestra ya no son 52, sino solo 12. Esto significa que la probabilidad de obtener un rey es 4/12 o 1/3. Entonces tu probabilidad de ganar es 1/3 y de perder 2/3. Esto hace que su relación ganador/perdedor sea de 1 a 2, que le va mucho mejor con la relación de pagos de $1 a $5. Esta vez, determinas que debes jugar.
En la segunda parte del ejemplo anterior, estábamos encontrando la probabilidad de obtener un rey sabiendo que se había mostrado una carta facial. Este es un ejemplo de probabilidad condicional. Siempre que estamos encontrando la probabilidad de un eventoE bajo la condición de queF haya ocurrido otro evento, estamos encontrando probabilidad condicional.
El símboloP(E|F) denota el problema de encontrar la probabilidad deE dado queF ha ocurrido. LeemosP(E|F) como “la probabilidad deE, dada”F.
Una familia tiene tres hijos. Encuentra la probabilidad condicional de tener dos hijos y una niña dado que el primogénito es un niño.
Solución
Que el eventoE sea que la familia tenga dos hijos y una niña, yF que el primogénito sea un niño.
Primero, tenemos el espacio muestral para una familia de tres hijos de la siguiente manera.
S={BBB,BBG,BGB,BGG,GBB,GBG,GGB,GGG}
Como sabemos que el primogénito es un niño, nuestras posibilidades se reducen a cuatro resultados: BBB, BBG, BGB y BGG.
Entre los cuatro, BBG y BGB representan a dos niños y una niña.
Por lo tanto,P(E|F) = 2/4 o 1/2.
Un troquel de seis lados se enrolla una vez.
- Encuentra la probabilidad de que el resultado sea parejo.
- Encuentra la probabilidad de que el resultado sea incluso dado que el resultado sea mayor a tres.
Solución
El espacio muestral esS=1,2,3,4,5,6
Que eventoE sea que el resultado sea parejo yT sea que el resultado sea mayor a 3.
a.P(E) = 3/6 porqueE=2,4,6
b. PorqueT=4,5,6 sabemos que 1, 2, 3 no puede ocurrir; solo los resultados 4, 5, 6 son posibles. Por lo tanto de los valores enE, sólo 4, 6 son posibles.
Por lo tanto,P(E|T) = 2/3
Una moneda justa es tirada dos veces.
- Encuentra la probabilidad de que el resultado sea de dos cabezas.
- Encuentra la probabilidad de que el resultado sea de dos cabezas dado que se obtiene al menos una cabeza.
Solución
El espacio muestral es S=HH,HT,TH,TT
ESea el evento que se obtengan las dos cabezas yF se obtenga al menos una cabeza
a.P(E) = 1/4 porqueE=HH y el espacio muestralS tiene 4 resultados.
bF=HH,HT,TH. Dado que se obtuvo al menos una cabeza, no se presentó TT.
Estamos interesados en el evento de probabilidadE=HH de los 3 resultados en el espacio muestral reducido F.
Por lo tanto,P(E|F) = 1/3
Desarrollemos ahora una fórmula para la probabilidad condicionalP(E|F).
Supongamos que un experimento consiste en eventosn igualmente probables. Supongamos además que haym elementos enF, yc elementos enE∩F, como se muestra en el siguiente diagrama de Venn.
Si el eventoF ha ocurrido, el conjunto de todos los resultados posibles ya no es el espacio muestral completo, sino el subconjuntoF. Por lo tanto, solo miramos al setF y a nada fuera deF. Ya queF tienem elementos, el denominador en el cálculo deP(E|F) esm. Podemos pensar que el numerador para nuestra probabilidad condicional es el número de elementos enE. Pero claramente no podemos considerar los elementos deE que no están enF. Sólo podemos contar los elementos deE que están enF, es decir, los elementos enE∩F. Por lo tanto,
P(E|F)=cm
Dividiendo tanto el numerador como el denominador porn, obtenemos
P(E|F)=c/nm/n
Peroc/n=P(E∩F), ym/n=P(F).
Sustituyendo, derivamos la siguiente fórmula paraP(E|F).
Para dos eventosE yF, la probabilidad de "EDadoF" es
P(E|F)=P(E∩F)P(F)
Se enrolla una sola matriz. Utilice la fórmula anterior para encontrar la probabilidad condicional de obtener un número par dado que se ha mostrado un número mayor a tres.
Solución
ESea el evento que muestra un número par, yF ser el evento que muestra un número mayor a tres. Nosotros queremosP(E|F).
E=2,4,6yF=4,5,6. Lo que implica,E∩F=4,6
Por lo tanto,P(F) = 3/6, yP(E∩F) = 2/6
P(E|F)=P(E∩F)P(F)=2/63/6=23.
En la siguiente tabla se muestra la distribución por género de los estudiantes de un colegio comunitario que toman el transporte público y los que conducen a la escuela.
Macho (M) | Hembra (F) | Total | |
Transporte Público (T) | 8 | 13 | 21 |
Accionamiento (D) | 39 | 40 | 79 |
Total | 47 | 53 | 100 |
Los eventosM,F,T, yD son autoexplicativos. Encuentra las siguientes probabilidades.
- P(D|M)
- P(F|D)
- P(M|T)
Solución 1
Las probabilidades condicionales a menudo se pueden encontrar directamente de una tabla de contingencia. Si la condición corresponde a una sola fila o a una sola columna de la tabla, entonces puede ignorar el resto de la tabla y leer la probabilidad condicional directamente desde la fila o columna indicada por la condición.
- La condición es eventoM; podemos mirar solo la columna “Male” de la tabla e ignorar el resto de la mesa:P(D|M)=3947.
- La condición es eventoD; podemos mirar solo la fila “Drive” de la mesa e ignorar el resto de la mesa:P(F|D)=4079.
- La condición es eventoT; podemos mirar solo la fila “Transporte Público” de la mesa e ignorar el resto de la mesa:P(M|T)=821.
Solución 2
Utilizamos la fórmula de probabilidad condicionalP(E|F)=P(E∩F)P(F).
- P(D|M)=P(D∩M)P(M)=39/10047/100=3947.
- P(F|D)=P(F∩D)P(D)=40/10079/100=4079.
- P(M|T)=P(M∩T)P(T)=8/10021/100=821
DadoP(E) = .5,P(F) = .7, yP(E∩F) = .3. Encuentra lo siguiente:
- P(E|F)
- P(F|E)
Solución
Utilizamos la fórmula de probabilidad condicional.
- P(E|F)=P(E∩F)P(F)=37=37
- P(F|E)=P(E∩F)P(E)=.3/.5=3/5
EyF son eventos mutuamente excluyentes tales queP(E) = .4,P(F) = .9. EncuentraP(E|F).
Solución
EyF son mutuamente excluyentes, por lo queP(E∩F) = 0.
Por lo tantoP(E|F)=P(E∩F)P(F)=09=0.
DadoP(F|E) = .5, yP(E∩F) = .3. EncuentraP(E).
Solución
Usando la fórmula de probabilidad condicionalP(E|F)=P(E∩F)P(F), obtenemos
P(F|E)=P(E∩F)P(E)
Sustitución y resolución:
.5=.3P(E) or P(E)=3/5
En una familia de tres hijos, encuentra la probabilidad condicional de tener dos hijos y una niña, dado que la familia tiene al menos dos niños.
Solución
Que el eventoE sea que la familia tenga dos hijos y una niña, y queF sea la probabilidad de que la familia tenga al menos dos niños. Nosotros queremosP(E|F).
Enumeramos el espacio de muestra junto con los eventosE yF.
\ begin {alineado}
&\ mathrm {S} =\ {\ mathrm {BBB},\ mathrm {BBG},\ mathrm {BGB},\ mathrm {BGG},\ mathrm {GBB},\ mathrm {GBG},\ mathrm {GGB},\ mathrm {GGG}\}\\
&\ mathrm {E} =\ {\ mathrm rm {BBG},\ mathrm {BGB},\ mathrm {GBB}\}\ texto {y}\ mathrm {F} =\ {\ mathrm {BBB},\ mathrm {BBG},\ mathrm {BGB},\ mathrm {GBB}\}\\
&\ mathrm {E}\ cap\ mathrm {F} =\ {\ mathrm {BBG},\ mathrm {BGB},\ mathrm {GBB}\}
\ end {alineado}
Por lo tanto,P(F) = 4/8, yP(E∩F) = 3/8, y
P(E|F)=P(E∩F)P(E)=3/84/8=34.
En un colegio comunitario el 65% de los estudiantes se suscribe a Amazon Prime, el 50% se suscribe a Netflix y el 20% se suscribe a ambos. Si un alumno es elegido al azar, encuentra las siguientes probabilidades:
- el estudiante se suscribe a Amazon Prime dado que se suscribe a Netflix
- el estudiante se suscribe a Netflix dado que se suscribe a Amazon Prime
Solución
ASea el evento que el estudiante suscriba a Amazon Prime, yN sea el evento que el estudiante suscriba a Netflix.
Primero identificar las probabilidades y eventos dados en el problema.
P(estudiante se suscribe a Amazon Prime) =P(A) = 0.65
P(estudiante se suscribe a Netflix) =P(N) = 0.50
P(estudiante se suscribe tanto a Amazon Prime como a Netflix) =P(A∩N) = 0.20
Luego usa la regla de probabilidad condicional:
- P(A|N)=P(A∩N)P(N)=.20.50=25
- P(N|A)=P(A∩N)P(A)=.20.65=413